王芳，賈勝坤，張會(huì)書(shū)，袁希鋼，余國(guó)琮

（化學(xué)工程聯(lián)合國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津大學(xué)化工學(xué)院，天津 300072）

引言

物質(zhì)在湍流條件下的擴(kuò)散是廣泛存在于化工過(guò)程中的基本現(xiàn)象[1-2]，了解湍流中的傳質(zhì)擴(kuò)散規(guī)律，對(duì)于化工基礎(chǔ)和應(yīng)用研究具有重要意義。然而由于其復(fù)雜性，湍流條件下物質(zhì)擴(kuò)散或濃度分布的嚴(yán)格模擬十分困難，已成為化學(xué)工程領(lǐng)域基礎(chǔ)問(wèn)題之一[1]。

由于實(shí)驗(yàn)測(cè)量難度的限制，以往的實(shí)驗(yàn)研究大多集中于邊界層中物質(zhì)擴(kuò)散現(xiàn)象，而對(duì)于湍流中傳質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程實(shí)驗(yàn)研究則不多，實(shí)驗(yàn)手段也較少，其中較為有效的包括采用粒子成像測(cè)速儀（PIV）針對(duì)流場(chǎng)和激光誘導(dǎo)熒光（LIF）針對(duì)濃度場(chǎng)測(cè)量研究[3-5]，有的結(jié)合了激光多普勒測(cè)速（LDV）技術(shù)[6]。流型包括帶軸向葉輪的攪拌槽[5]以及帶有格柵的水平流體通道[6]。

在湍流中傳質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程數(shù)值模擬方面，近年來(lái)的研究主要集中在基于嚴(yán)格Navier-Stokes 方程的湍流擴(kuò)散模型研究。例如Sun 等[7]通過(guò)湍流傳質(zhì)模型計(jì)算了湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)，并將其用于板式精餾塔的數(shù)值模擬中；Liu 等[8]通過(guò)數(shù)值模擬，預(yù)測(cè)了散堆填料精餾塔中的液相濃度分布，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相吻合；Dong 等[9]利用3D 體積流體模型（VOF）建立了對(duì)流擴(kuò)散模型，模擬了二氧化碳在氫氧化鈉溶液中的反應(yīng)吸收過(guò)程，計(jì)算出了液體傳質(zhì)系數(shù)；Zhang等[10]將湍流傳質(zhì)的理論模型應(yīng)用到鼓泡塔反應(yīng)器中，同時(shí)精確地預(yù)測(cè)鼓泡塔中物質(zhì)的濃度和速度分布。雖然上述研究建立了湍流條件下傳質(zhì)的嚴(yán)格模擬方法，但是，因?yàn)閲?yán)格模擬依賴于計(jì)算微元網(wǎng)格上的離散，導(dǎo)致必須以巨大的計(jì)算量來(lái)?yè)Q取計(jì)算精度，因此，計(jì)算量與計(jì)算精度之間權(quán)衡難以實(shí)現(xiàn)，嚴(yán)重制約著這一類方法的應(yīng)用和發(fā)展。因而針對(duì)湍流傳質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程建立新的更加快速、高效的數(shù)值方法具有重要的意義。

如果將湍流作為一種時(shí)間序列隨機(jī)過(guò)程，那么對(duì)其進(jìn)行數(shù)值描述面臨超高的維度。為此研究者提出了湍流流場(chǎng)的降維重構(gòu)方法，即使用有限的特征來(lái)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行近似。這一種降維方法的關(guān)鍵是從已知的流場(chǎng)數(shù)據(jù)中尋找和提取復(fù)雜物理過(guò)程中主要的特征，或稱模態(tài)[11-12]。本征正交分解（proper orthogonal decomposition,POD）是一種常用的降維和特征提取方法，能夠有效獲取湍流過(guò)程中的一系列相干結(jié)構(gòu)以及每個(gè)結(jié)構(gòu)重要性參數(shù)，即能量[13]。Zhang等[14]測(cè)量了平板分離再附流動(dòng)的速度場(chǎng)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了POD 分析，通過(guò)低階特征模態(tài)重構(gòu)了流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。Lacassagne 等[15]利用粒子成像測(cè)速（PIV）技術(shù)，測(cè)量了剪切變稀聚合物溶液中振蕩格柵湍流的流場(chǎng)，并應(yīng)用POD對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行了周期性分析。Taira 等[16]以數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，應(yīng)用POD 方法提取了圓柱繞流流場(chǎng)的空間模態(tài)，并分析了圓柱繞流的周期性。然而已有研究都是對(duì)速度場(chǎng)的特性進(jìn)行POD 分析，迄今尚未有關(guān)于湍流中的濃度分布進(jìn)行POD 分析研究的報(bào)道。POD 是一種基于數(shù)據(jù)的復(fù)雜過(guò)程數(shù)值重構(gòu)方法，建立基于POD 的湍流傳質(zhì)擴(kuò)散的數(shù)值模擬方法具有重要的探索價(jià)值。

本文以熒光素鈉水溶液在格柵通道中的湍流擴(kuò)散過(guò)程為研究主體，采用PIV 和LIF 聯(lián)用方法，同時(shí)測(cè)量了湍流通道的速度和濃度瞬時(shí)分布，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定量分析，應(yīng)用POD 方法對(duì)中心位置處測(cè)得的瞬時(shí)濃度分布進(jìn)行了模態(tài)分解及周期性分析。最后，利用POD 分解得到的低階模態(tài)，進(jìn)行了湍流擴(kuò)散濃度分布的數(shù)值重構(gòu)，為快速預(yù)測(cè)湍流擴(kuò)散中的濃度分布提供了基礎(chǔ)。

1 實(shí)驗(yàn)原理和方法

1.1 測(cè)量原理

PIV 技術(shù)原理是通過(guò)CCD 相機(jī)，借助于具有良好跟隨性示蹤粒子的散射光，記錄流體某一區(qū)域中多個(gè)粒子的位置，并計(jì)算兩次曝光時(shí)間間隔內(nèi)每個(gè)粒子的位移矢量，進(jìn)而得到該區(qū)域速度矢量場(chǎng)[17-18]。由于湍流狀態(tài)下流體的速度較大，故本實(shí)驗(yàn)PIV 相機(jī)采用雙幀雙曝光模式。

LIF 技術(shù)原理是用特定波長(zhǎng)的激光照射溶液中熒光劑來(lái)激發(fā)熒光，通過(guò)CCD 相機(jī)記錄熒光強(qiáng)度分布，并將光強(qiáng)轉(zhuǎn)換為濃度進(jìn)而獲得溶液中熒光劑的濃度分布[19]。當(dāng)熒光劑濃度較低時(shí)，可以忽略激光光束和熒光信號(hào)在吸收介質(zhì)中的衰減，熒光強(qiáng)度和熒光劑濃度之間有如下關(guān)系[2]：

式中，If為被檢測(cè)的熒光強(qiáng)度；Kopt為光學(xué)常數(shù)；I0為入射激光強(qiáng)度；φ為熒光量子產(chǎn)率；ε為熒光劑摩爾吸收系數(shù)；V為采集體積；Cf為熒光劑的濃度。當(dāng)熒光劑、裝置位置、激光強(qiáng)度等實(shí)驗(yàn)條件固定時(shí)，除熒光劑濃度變量外，等式右邊其他系數(shù)都可視為常數(shù)，則熒光強(qiáng)度與熒光劑濃度呈線性關(guān)系。

1.2 實(shí)驗(yàn)試劑

實(shí)驗(yàn)采用熒光素鈉（C20H10Na2O5）（純度≥98%）作為熒光劑，其極易溶于水且熒光較強(qiáng)的特性適用于LIF 濃度測(cè)量；示蹤粒子是空心玻璃球（直徑8～12 μm，密度900 kg·m-3），其與水的密度十分接近，在水中的跟隨性良好，粒子的運(yùn)動(dòng)就代表了湍流的流動(dòng)，因此示蹤粒子對(duì)熒光劑擴(kuò)散的影響可以忽略；水為經(jīng)凈化處理的自來(lái)水。

1.3 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖1(a)所示，本文所用實(shí)驗(yàn)裝置由液相湍流擴(kuò)散發(fā)生系統(tǒng)和PIV/LIF 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成。液相湍流擴(kuò)散發(fā)生系統(tǒng)是由儲(chǔ)水槽、潛水泵、流體通道、轉(zhuǎn)子流量計(jì)以及熒光素鈉溶液注入系統(tǒng)組成。其中流體通道為有機(jī)玻璃制成的透明方形截面通道，內(nèi)部尺寸為1000 mm×60 mm×60 mm（長(zhǎng)×高×寬），如圖1(b)所示。熒光素鈉溶液通過(guò)隔膜泵、轉(zhuǎn)子流量計(jì)和圓形噴嘴組成的注射裝置在通道截面中心位置注入。為了讓熒光劑的擴(kuò)散在較為均勻（充分發(fā)展）的湍流中進(jìn)行，熒光劑注入的軸向位置選在距通道進(jìn)口400 mm處，同時(shí)在其上游70 mm處設(shè)有金屬絲網(wǎng)格柵，絲徑為1 mm，柵格間距為6 mm。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 Schematic diagram of experimental apparatus

聯(lián)合PIV/LIF 數(shù)據(jù)測(cè)量系統(tǒng)包括一個(gè)Nd∶YAG激光器和兩個(gè)CCD 相機(jī)，其中Nd∶YAG 激光器輸出波長(zhǎng)為532 nm，最大脈沖能量為200 mJ 柱狀激光，通過(guò)片狀光學(xué)器件將柱狀激光重塑為最小厚度約為1 mm 的楔形片狀激光光束垂直穿過(guò)擴(kuò)散通道。兩個(gè)CCD相機(jī)分別用于PIV和LIF系統(tǒng)，用來(lái)記錄流體中激光照射的片狀區(qū)域中示蹤粒子的流動(dòng)位移和熒光素鈉的熒光強(qiáng)度，便可獲得照射的片狀區(qū)域二維信號(hào)分布。CCD 相機(jī)的分辨率均為1376 pixel×1040 pixel。PIV 相機(jī)前加設(shè)波長(zhǎng)為532 nm 的窄帶濾光片來(lái)消除背景光的影響，LIF 相機(jī)則加設(shè)550 nm 以上的高通濾鏡來(lái)保留熒光和濾除激發(fā)光。為了同時(shí)測(cè)量相同位置湍流速度和濃度分布，PIV相機(jī)與LIF 相機(jī)位于同一高度且聚焦相同的視場(chǎng)，由兩個(gè)相機(jī)方向之間的夾角導(dǎo)致的圖像誤差由軟件加以校正。兩個(gè)相機(jī)和激光器的操作控制以及圖像處理和校正通過(guò)LaVision 公司的DaVis8.2 軟件同步完成，圖像的拍攝頻率為5 Hz。

1.4 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前，需要對(duì)LIF 熒光強(qiáng)度與實(shí)際熒光劑濃度關(guān)系[即式（1）中的常數(shù)]進(jìn)行標(biāo)定[20]。首先配制不同濃度熒光素鈉溶液，再利用LIF 相機(jī)分別拍攝50 張連續(xù)圖像，去除背景噪聲后取平均值，即得到不同濃度熒光素鈉溶液對(duì)應(yīng)的熒光強(qiáng)度值。得到的標(biāo)定曲線如圖2 所示。可以看出，熒光強(qiáng)度和熒光劑濃度間基本呈線性關(guān)系。

圖2 熒光強(qiáng)度-熒光素鈉濃度標(biāo)定曲線Fig.2 Calibration curve between fluorescence intensity and C20H10Na2O5concentration

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，先向擴(kuò)散通道中注入水，控制水的流速為0.2 m·s-1，對(duì)應(yīng)的Reynolds數(shù)約為12000，流動(dòng)狀態(tài)為湍流。待流速穩(wěn)定后，將300 mg·L-1的熒光素鈉溶液注入流體通道，同時(shí)保證熒光素鈉溶液的流速也為0.2 m·s-1。通過(guò)電腦控制激光器、LIF 相機(jī)和PIV 相機(jī)進(jìn)行同時(shí)拍攝，記錄100 s時(shí)間內(nèi)熒光素鈉溶液在水中擴(kuò)散過(guò)程。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中房間應(yīng)保持黑暗以避免測(cè)量噪聲。實(shí)驗(yàn)在（25.3±0.3）℃下進(jìn)行，擴(kuò)散裝置、激光頭、相機(jī)均固定于防震平臺(tái)上。

在PIV圖像處理過(guò)程中，判詢域尺寸為48 pixel×48 pixel，利用時(shí)間序列互相關(guān)算法計(jì)算各個(gè)判詢域中示蹤粒子的位移，從而計(jì)算出速度矢量即為流體的瞬時(shí)速度。LIF圖像的處理如圖3所示，首先去除背景噪聲，再使用DaVis8.2 軟件中位移校正功能將處理后的LIF圖像調(diào)整到與PIV圖像相同的坐標(biāo)，利用圖2的標(biāo)定曲線將LIF圖像熒光強(qiáng)度轉(zhuǎn)換為熒光素鈉的濃度。實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變激光片狀光束與流體通道的相對(duì)位置，可以獲得流體中不同位置的二維信號(hào)。

圖3 LIF圖像處理流程圖Fig.3 Flow diagram for LIF image processing

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.1 湍流擴(kuò)散濃度和速度分布

應(yīng)用上述實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理方法，可以得到不同時(shí)刻t下，中心切面（z=0）上的熒光素鈉濃度分布，結(jié)果如圖4 所示?？v坐標(biāo)y表示觀測(cè)區(qū)域的高度，y=0處為熒光素鈉噴嘴的位置，橫坐標(biāo)x表示觀測(cè)區(qū)域的長(zhǎng)度，坐標(biāo)原點(diǎn)為熒光劑入口。由圖4 熒光劑濃度分布可以看出流體處于較強(qiáng)程度的湍流狀態(tài)。

圖4 熒光素鈉在湍流水中擴(kuò)散過(guò)程的不同時(shí)刻熒光素鈉濃度分布（中心位置z=0）Fig.4 Concentration distribution during diffusion process at different times(central position z=0)

對(duì)100 s 內(nèi)拍攝的500 張中心切面的LIF/PIV 圖像，分別求時(shí)間平均后可以得到平均濃度和平均速度分布，如圖5所示。從圖5(a)可以看出，受軸向流體流動(dòng)的影響，軸向擴(kuò)散程度比徑向高，因此熒光素鈉的時(shí)均濃度分布呈錐形。從圖5(b)可以看到，平均后的速度矢量基本沿水平方向，并且由于湍流邊界層在壁面上的發(fā)展，沿著流體流動(dòng)方向，壁面附近平均速度逐漸減小，中心區(qū)域的平均速度逐漸增加。

2.2 不同切面位置濃度分布

為了進(jìn)一步探究湍流擴(kuò)散的特性，本文還測(cè)量了不同切面位置處的濃度分布，其時(shí)間平均濃度分布如圖6所示。不同切面位置的濃度分布是通過(guò)保持激光和CCD 相機(jī)的位置不變，然后前后平移流體通道裝置，因介質(zhì)厚度改變從而微調(diào)相機(jī)焦距來(lái)獲得的，z為偏離中心切面的距離。為了使不同切面的熒光素鈉濃度顯示得更清楚，縮小了平均濃度的標(biāo)尺，如圖6(a)所示。圖6(b)、(c)是距離中心切面8 mm位置的平均濃度分布，可以看出兩圖的濃度分布形狀基本一致，均呈現(xiàn)錐形分布，并且沿軸向方向0～20 mm 處的熒光素鈉濃度較低，20～100 mm 間濃度較高，而后濃度又減小，說(shuō)明此擴(kuò)散過(guò)程呈現(xiàn)三維的錐形分布，即入口附近湍流擴(kuò)散程度較小，隨著軸向距離增加，擴(kuò)散程度逐漸增大。圖6(d)、(e)為距離中心切面16 mm切面位置的平均濃度分布，與8 mm的濃度分布相比，其靠近入口處的低濃度區(qū)域進(jìn)一步增大，后續(xù)錐形區(qū)域內(nèi)的濃度也更低。

圖6 不同切面位置平均濃度分布Fig.6 Mean concentration distribution of different section positions

2.3 濃度分布定量分析

圖7 為沿z方向不同切面的熒光素鈉時(shí)均濃度分布，其中橫坐標(biāo)是y方向距離，縱坐標(biāo)分別是熒光素鈉時(shí)均濃度或歸一化的時(shí)均濃度。每一切面都畫(huà)出了沿流動(dòng)方向x=0～50 mm 處的時(shí)均濃度變化曲線。圖7(a)為z=0（中心位置）處不同軸向距離上的時(shí)均濃度曲線。y=0即熒光劑入口位置，熒光素鈉濃度最高，隨著軸向距離的增加，濃度逐漸減小，由于受湍流擴(kuò)散的影響，濃度曲線均呈高斯分布。沿流動(dòng)方向較遠(yuǎn)的x=30、40、50 mm處的濃度曲線變化較平緩，為了清楚觀察其濃度分布特征，對(duì)圖7(a)的時(shí)均濃度進(jìn)行了歸一化處理，結(jié)果如圖7(b)所示。圖7(b)中，Cc表示熒光劑入口中心線(y=0)處的濃度值，歸一化后的濃度同樣符合高斯分布。圖7(c)、(d)分別為z=8 mm 和z=-8 mm 切面上不同軸向時(shí)均濃度曲線，可以看出兩圖曲線變化基本一致，說(shuō)明湍流擴(kuò)散的時(shí)均濃度分布呈軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)。此外，不同軸向濃度變化與z=0相反，隨著軸向距離增加，濃度逐漸增大，這是因?yàn)橥牧鲾U(kuò)散為錐形即擴(kuò)散程度在逐漸增大。圖7(e)、(f)分別為z=16 mm 和z=-16 mm 對(duì)應(yīng)的平均濃度曲線，其變化規(guī)律與圖7(c)、(d)相似。

圖7 不同切面平均濃度分布軸向方向距離入口0～50 mm處平均濃度變化Fig.7 The mean concentration distribution of different sections at 0 to 50 mm away from the outlet in the axial direction

3 濃度分布POD模態(tài)分析

3.1 POD模態(tài)分解原理

POD 方法是一種高效的數(shù)據(jù)降維分析方法，其目標(biāo)是把復(fù)雜的高維物理過(guò)程用低維模態(tài)進(jìn)行近似，進(jìn)而顯著減小用數(shù)值方法重現(xiàn)復(fù)雜物理過(guò)程所需的計(jì)算量和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)量[21]。湍流并非是完全不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，而是存在一定結(jié)構(gòu)特征的復(fù)雜流體運(yùn)動(dòng)，在這樣的流場(chǎng)中，熒光劑濃度作為一個(gè)物理參數(shù)，其分布存在一系列可識(shí)別的具有周期性的結(jié)構(gòu)，這種有序結(jié)構(gòu)稱為相干結(jié)構(gòu)[22]。而通過(guò)POD分解所得到的模態(tài)可以識(shí)別出濃度分布的相干結(jié)構(gòu)[23]。

POD 方法將瞬時(shí)濃度矩陣C(x)分解為時(shí)間系數(shù){θi}和空間模態(tài){φi(x)}[24-27]序列，其中i=1,…,N，N為完全重構(gòu)瞬時(shí)濃度分布所需的模態(tài)數(shù)，即

瞬時(shí)濃度數(shù)據(jù)矩陣由LIF實(shí)驗(yàn)獲得，假設(shè)在LIF圖像上有m個(gè)離散采樣點(diǎn)，單次采樣就可以同時(shí)得到m個(gè)離散點(diǎn)的值，共計(jì)采集N次。以矩陣的形式表示為：

POD 算法可以求出一組模態(tài)[28-29]，通過(guò)這組模態(tài)可以得到瞬時(shí)濃度分布的最佳近似值，同時(shí)每個(gè)模態(tài)滿足與所有其他模態(tài)正交的條件。為建立等效的特征值問(wèn)題，由C建立協(xié)方差矩陣R

R為N×N階矩陣，其維數(shù)遠(yuǎn)低于C。于是空間模態(tài)可表示為：

式中，λ是模態(tài)φ對(duì)應(yīng)的特征值，表示相應(yīng)模態(tài)的能量大小，并由大到小進(jìn)行排列[30]。

時(shí)間系數(shù)矩陣θ由式（6）計(jì)算得到：

3.2 濃度分布的POD模態(tài)分解

從圖4所示的瞬時(shí)濃度分布，可以看到在遠(yuǎn)離熒光劑入口區(qū)域的濃度很低且接近于0，而對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行瞬態(tài)POD 模態(tài)分析，將導(dǎo)致大量的數(shù)據(jù)和計(jì)算資源被用來(lái)處理這些不明顯區(qū)域。而且，低濃度區(qū)域的濃度受測(cè)量噪聲的影響更大，而這些噪聲是無(wú)法有效進(jìn)行POD 模態(tài)分析的。因此，本文僅對(duì)熒光劑入口區(qū)域附近進(jìn)行了POD模態(tài)分析。截取的瞬時(shí)濃度分布如圖8所示，x=0處為熒光劑入口位置。

圖8 截取后的瞬時(shí)濃度分布（t=10 s）Fig.8 Instantaneous concentration field after interception(t=10 s)

應(yīng)用式（6）得到湍流擴(kuò)散的瞬時(shí)濃度分布的前四階模態(tài)，如圖9 所示。從圖9(a)可以看出，1 階模態(tài)中，正負(fù)時(shí)間系數(shù)呈現(xiàn)上下對(duì)稱的分布結(jié)構(gòu)；圖9(c)、(d)所示的3 和4 階模態(tài)大致在0～10 mm 范圍內(nèi)呈現(xiàn)前后交替的結(jié)構(gòu)；圖9(b)為2 階模態(tài)，處于過(guò)渡階段，既有前后交替又有上下反對(duì)稱結(jié)構(gòu)。從模態(tài)分解的結(jié)果可以定性看出，在x方向前10 mm 的區(qū)間內(nèi)，湍流擴(kuò)散的濃度分布具有較明顯的規(guī)則結(jié)構(gòu)特征，10 mm以后則較弱。

圖9 POD前4階模態(tài)θ值的分布Fig.9 Distribution of θ of the first 4 POD modes

3.3 濃度分布模態(tài)結(jié)構(gòu)周期性分析

基于圖9 所示的結(jié)構(gòu)分布特征，可對(duì)實(shí)驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行分區(qū)，現(xiàn)將距離熒光劑入口較近的x=0～10 mm的區(qū)域稱為A 區(qū)，較遠(yuǎn)的即x＞10 mm 區(qū)域稱為B 區(qū)。前4階模態(tài)沿軸向的平均時(shí)間系數(shù)分布曲線如圖10所示，可以看出，前4 階模態(tài)的平均時(shí)間系數(shù)在A 區(qū)規(guī)律性更強(qiáng)，均呈振幅不同的類正弦曲線分布，而各階模態(tài)在B 區(qū)的曲線則更不規(guī)則。在各階模態(tài)中，類似正弦的時(shí)間系數(shù)曲線說(shuō)明此區(qū)域的瞬時(shí)濃度分布周期性更明顯[17]。因此，在A 區(qū)，湍流擴(kuò)散導(dǎo)致的熒光劑濃度分布具有明顯的周期性，隨流動(dòng)距離增加，湍流擴(kuò)散的周期性逐漸減弱、消失。

圖10 平均時(shí)間系數(shù)Fig.10 Mean temporal coefficient

3.4 濃度分布POD模態(tài)重構(gòu)

從模態(tài)分解和分析結(jié)果可以看出，湍流擴(kuò)散在模態(tài)空間中具有一定的規(guī)律。因此，基于以上分解結(jié)果，可以對(duì)湍流擴(kuò)散的濃度分布進(jìn)行重構(gòu)。在式（5）中，特征值可以表示相應(yīng)模態(tài)的能量大小，模態(tài)的能量越大，表示該階模態(tài)對(duì)湍流濃度分布的貢獻(xiàn)度和影響越大。并且POD分解得到的模態(tài)是按其能量貢獻(xiàn)大小進(jìn)行降序排列的[31],因此低階模態(tài)占有更高的能量比例。各階模態(tài)的能量占總能量的比例如式（7）所示，式中λi為第i階模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值[32]。前p階模態(tài)的能量占總能量的比例如式（8）所示。

圖11(a)為A 和B 區(qū)前500 階POD 模態(tài)能量圖，可以看出在A 和B 區(qū)內(nèi)，低階模態(tài)均含有較高的能量，但A 區(qū)的低階模態(tài)能量占比高于B 區(qū)，說(shuō)明A 區(qū)的能量在低階模態(tài)更集中。隨著模態(tài)階數(shù)的增加，能量占比急劇下降，并逐漸接近于0。圖11(b)為前500 階模態(tài)的能量占比的累積值，可以發(fā)現(xiàn)A 區(qū)前100階模態(tài)的能量之和占前500階總能量的85%，而B(niǎo)區(qū)前100階模態(tài)的能量?jī)H占68%，表明周期性較強(qiáng)的A區(qū)應(yīng)用POD模態(tài)重構(gòu)會(huì)更為有效。

圖11 POD模態(tài)能量（A和B區(qū)）Fig.11 POD modal energy(A and B regions)

根據(jù)式（2），由前r階模態(tài)所重構(gòu)的濃度分布為[33]：

圖11(b)表明，隨著r的增加，重構(gòu)的精度隨之增加，但會(huì)顯著減緩。

圖12 是分別選擇前10、20、50 和100 階模態(tài)重構(gòu)得到的瞬時(shí)濃度分布。與圖8 比較可以看出，選用的階數(shù)越高，重構(gòu)得到的濃度分布越接近于實(shí)驗(yàn)濃度分布。但隨著階數(shù)的增加，計(jì)算量和所需要的數(shù)據(jù)量也隨之增加。圖12 利用前100 階模態(tài)重構(gòu)的濃度分布基本反映了原始分布的主要特征。

圖12 POD模態(tài)重構(gòu)Fig.12 POD modal reconstruction

圖13 為在x方向上不同位置重構(gòu)的濃度分布與實(shí)驗(yàn)值的比較結(jié)果?？梢钥闯?，當(dāng)x≤10 mm，50和100 階重構(gòu)結(jié)果均能較好地捕捉實(shí)驗(yàn)濃度分布特征；x=15 mm 處僅前100 階重構(gòu)較為接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果；而x=20、25 mm 的重構(gòu)結(jié)果均與原始相差較大，表明A 區(qū)低階和高階重構(gòu)效果均較好，超出該區(qū)域則需要較高階模態(tài)重構(gòu)，以致不能準(zhǔn)確重構(gòu)。

圖13 不同軸向位置的模態(tài)重構(gòu)和原始濃度分布Fig.13 Modal reconstruction and original concentration distribution of different coaxial positions

圖14 給出了4 種不同階數(shù)重構(gòu)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值之間的相對(duì)誤差分布。可以看出，不同階數(shù)的重構(gòu)結(jié)果中，誤差較大的區(qū)域均集中于B 區(qū)右下方，且隨著階數(shù)的升高，高誤差區(qū)域逐漸減小，這可能是因?yàn)橥牧髟诤蠖酥饾u發(fā)展，速度邊界層逐漸建立，內(nèi)部流動(dòng)逐漸接近橢圓側(cè)型流動(dòng)，此時(shí)的流動(dòng)狀態(tài)與前端大不相同，具有某種傾向性，壓抑了隨機(jī)性，加之邊壁效應(yīng)，使得誤差增大。而A 區(qū)的相對(duì)誤差均在1% 以內(nèi)，重構(gòu)結(jié)果十分接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖14 模態(tài)重構(gòu)相對(duì)誤差Fig.14 Relative error of modal reconstruction

對(duì)上述相對(duì)誤差圖進(jìn)行分區(qū)處理，分別對(duì)A和B 區(qū)的相對(duì)誤差求平均，得到如圖15 所示曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，兩個(gè)區(qū)域的平均相對(duì)誤差均隨模態(tài)階數(shù)的增加而減小，A 區(qū)的平均相對(duì)誤差極低，前10階模態(tài)重構(gòu)的平均相對(duì)誤差為0.74%，前100 階模態(tài)重構(gòu)的平均相對(duì)誤差僅為0.45%；而B(niǎo) 區(qū)的平均相對(duì)誤差相對(duì)較高，前10 階模態(tài)重構(gòu)的平均相對(duì)誤差為11%，前100 階模態(tài)重構(gòu)的平均相對(duì)誤差為3.8%。誤差的分析結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明了具有周期性的A 區(qū)域POD 模態(tài)重構(gòu)效果更好，重構(gòu)誤差集中在B 區(qū)。

圖15 模態(tài)重構(gòu)平均相對(duì)誤差（A和B區(qū)）Fig.15 Mean relative error of modal reconstruction(A and B regions)

4 結(jié)論

（1）本文采用PIV 與LIF 聯(lián)用技術(shù)實(shí)現(xiàn)了湍流擴(kuò)散過(guò)程速度和濃度分布的同時(shí)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)此湍流擴(kuò)散過(guò)程的時(shí)間平均濃度分布呈三維錐形，且不同切面位置的徑向平均濃度均呈高斯分布。

（2）建立了利用POD 模態(tài)分解方法對(duì)瞬時(shí)濃度分布進(jìn)行數(shù)值重構(gòu)的方法，將濃度分布進(jìn)行模態(tài)分解，得到有一定規(guī)律的時(shí)間系數(shù)分布。

（3）在接近熒光劑入口區(qū)域內(nèi)，低階模態(tài)的平均時(shí)間系數(shù)呈現(xiàn)振幅不同的類正弦曲線分布，具有周期性，而遠(yuǎn)離熒光劑入口區(qū)域的模態(tài)沒(méi)有此特征；接近熒光劑入口區(qū)域的低階模態(tài)時(shí)間系數(shù)在模態(tài)空間內(nèi)的分布呈現(xiàn)一定的相干結(jié)構(gòu)和規(guī)律，而遠(yuǎn)離熒光劑入口區(qū)域則沒(méi)有明顯規(guī)律。

（4）接近熒光劑入口區(qū)域和遠(yuǎn)離該區(qū)域的各階模態(tài)能量占比變化具有相似趨勢(shì)，即低階模態(tài)均具有較高能量，隨著模態(tài)數(shù)的增加，能量占比急劇降低，逐漸接近于0。但接近熒光劑入口區(qū)域的能量更集中在低階模態(tài)，前100 階模態(tài)能量占85%，而遠(yuǎn)離熒光劑入口區(qū)域前100階模態(tài)能量?jī)H占68%。

（5）對(duì)瞬時(shí)濃度分布進(jìn)行了POD 模態(tài)重構(gòu)及誤差分析，越高階數(shù)重構(gòu)所得到的濃度分布越接近于原始濃度分布，且包含的主要特征越多；近熒光劑入口區(qū)域和遠(yuǎn)離該區(qū)域的平均相對(duì)誤差均隨重構(gòu)模態(tài)數(shù)的增加而減小，且重構(gòu)誤差主要集中在遠(yuǎn)離熒光劑入口區(qū)域，結(jié)果表明周期性較強(qiáng)的近熒光劑入口區(qū)域更適合應(yīng)用POD 模態(tài)進(jìn)行濃度分布的重構(gòu)。考慮到計(jì)算量應(yīng)采用較少的模態(tài)數(shù)，在較為規(guī)則的湍流區(qū)域，使用POD 較低階模態(tài)就可以預(yù)測(cè)，而用普通的直接數(shù)值模擬難以奏效。