王寶良

[摘 要]對(duì)于一些無(wú)法用現(xiàn)有的定理公式解決的難題，可以先得出類似問(wèn)題的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而類比遷移，從而利用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型有效突破難點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]基礎(chǔ)模型;類比遷移;函數(shù)

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》雜志小學(xué)版2014年第7、8期（合刊）刊載了范午英老師的一篇教研論文，題目是《教數(shù)學(xué)要以理服人》，范老師通過(guò)嚴(yán)密的論證說(shuō)明了數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)要“理直氣壯”，范老師嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、精益求精的治學(xué)態(tài)度令人折服。筆者反復(fù)品讀該文，受益匪淺，對(duì)范老師的觀點(diǎn)也十分認(rèn)同，但是對(duì)一道題的講解，筆者認(rèn)為教師給出的解題方法一定要“有理有據(jù)”：這“理”一定要在事理上、邏輯上、數(shù)學(xué)理論上站得住腳。

原題回放：[題1]用一塊長(zhǎng)10厘米、寬6厘米的鐵皮可以焊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的最大體積是多少？筆者認(rèn)為原文中闡述的解題原理超出小學(xué)生的認(rèn)知范圍，因此對(duì)文中舉出的例題仔細(xì)分析，并提出修改意見：在“長(zhǎng)方體”后面加上“盒子”二字，對(duì)“體積”的描述換成“容積”，且要補(bǔ)充說(shuō)明“在切割和焊接時(shí)厚度和損耗忽略不計(jì)”，這樣描述更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。另外，范老師在文末蓋棺定論：“43.75立方厘米是能切割出的最大的體積?！边@個(gè)結(jié)論也是有問(wèn)題的。

一、找到基礎(chǔ)模型

筆者先研究一個(gè)類似的問(wèn)題：[題2]用20米長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)在墻根處（圍墻足夠長(zhǎng)）圍一塊長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形的一邊用圍墻代替）的花圃，怎樣才能使圍成的長(zhǎng)方形的面積最大？最大的面積是多少？

對(duì)于這道題，采用逐一列舉法就可以推知答案。眾所周知，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，圍成的長(zhǎng)方形在長(zhǎng)、寬相等時(shí)面積最大。但這道題又有所不同，題目所要圍成的并不是一個(gè)完整的長(zhǎng)方形，其中有一條邊是墻體，鐵絲網(wǎng)的全長(zhǎng)只是被分成三條邊，由此，一個(gè)大膽的想法在筆者的腦海中浮現(xiàn)：假設(shè)圍墻的“另一面”也有一個(gè)“長(zhǎng)方形”，它與“花圃長(zhǎng)方形”沿著圍墻對(duì)稱，那么從空間視角來(lái)看，這兩個(gè)對(duì)稱的長(zhǎng)方形不就拼接成了一個(gè)大長(zhǎng)方形嗎？此時(shí)這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就恰好是鐵絲網(wǎng)的全長(zhǎng)，應(yīng)為20×2=40（米），根據(jù)已有的解題經(jīng)驗(yàn)，要使這個(gè)“假想”出的大長(zhǎng)方形面積最大，必須令其長(zhǎng)、寬相等，而其長(zhǎng)、寬一旦相等，這個(gè)長(zhǎng)方形就會(huì)變成正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為40÷4=10（米）。由于這個(gè)“假想”的正方形是一個(gè)對(duì)稱圖形，所以隱去添加的對(duì)稱部分后，就得到圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10米，寬為10÷2=5（米），這時(shí)圍成的長(zhǎng)方形的面積最大，最大的面積為10×5=50（平方米）。

二、上升到函數(shù)高度

函數(shù)的作用就是將列舉法進(jìn)行了無(wú)限化處理，滲透了極限思想，因?yàn)榱信e法不可能列出所有數(shù)據(jù)，難免有所遺漏，而函數(shù)思想則彌補(bǔ)了這一缺陷，將列舉法中自變量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程連續(xù)化、綿密化，其論證結(jié)果更具說(shuō)服力。有人認(rèn)為“學(xué)生接受不了函數(shù)思想，只能接受列舉法”，但是教師兩者都必須掌握，只有占據(jù)理論的制高點(diǎn)，教師才能做到高屋建瓴、指揮若定。

函數(shù)思想可以很好地“指導(dǎo)”列舉法，比如列舉時(shí)可以有序列舉（對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的連續(xù)性），可從兩個(gè)端點(diǎn)開始嘗試列舉，不斷向中間“縮進(jìn)合攏”。例如，從寬度是0開始，不斷遞增，同時(shí)從寬度是10開始，不斷遞減，這也對(duì)應(yīng)著函數(shù)思想（圖像）里的函數(shù)圖像與橫坐標(biāo)的兩個(gè)交點(diǎn)（[x1]，0）（[x2]，0），此時(shí)函數(shù)值為0。更為神奇的是，函數(shù)圖像里的兩交點(diǎn)（[x1]，0）（[x2]，0）的中點(diǎn)坐標(biāo)就是最值的橫坐標(biāo)（對(duì)稱軸所在處），可以類比遷移到列舉法里，能得到最大值的寬度就是兩個(gè)端點(diǎn)值的中間值，也就是（0+10）÷2=5。這種思想方法克服了列舉法的斷續(xù)性和有限性，可以彌補(bǔ)無(wú)法窮舉帶來(lái)的漏洞。

三、基礎(chǔ)模型的類比和函數(shù)理論的推廣

由題2的兩種解法聯(lián)想到，長(zhǎng)方體的體積一定時(shí)，只有長(zhǎng)、寬、高相等，也就是長(zhǎng)方體變成正方體時(shí)，表面積最小。反過(guò)來(lái)，當(dāng)長(zhǎng)方體的表面積一定，且長(zhǎng)、寬、高相等時(shí)，也就是變成正方體時(shí)，體積最大。這其實(shí)是對(duì)“面積周長(zhǎng)最值定律”的推廣，只不過(guò)由原先的長(zhǎng)、寬兩個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)充為長(zhǎng)、寬、高三個(gè)數(shù)據(jù)，由原先的二維平面圖形延伸為三維立體圖形，但原理是一樣的。至此，能否大膽假設(shè)：題1中還有一塊同樣的鐵皮，如此一來(lái)，切割焊接后，根據(jù)前文推廣的最值定律，焊接而成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的容積達(dá)到最大時(shí)，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高必然相等，即變?yōu)檎襟w盒子。此時(shí)，設(shè)焊接成的正方體盒子的棱長(zhǎng)為a厘米，則有6[a2]=10×6×2;[a2]=20，a=[25]，則按題1的要求，再將這個(gè)正方體有蓋盒子沿著某個(gè)面的中線切割一半下來(lái)，使其變成兩個(gè)相同的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子（如圖2），這個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的容積應(yīng)為[a3]÷2=20×[25]=2044.72（立方厘米）。

上述由類比推廣出的方法，有沒有函數(shù)理論上的依據(jù)呢？設(shè)圍成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子內(nèi)部的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c（假定開蓋的那個(gè)面為a×b），則有ab+2ac+2bc=10×6，這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的容積應(yīng)為abc。當(dāng)abc最大時(shí)，4[a2][b2][c2]也一定最大，即ab×2ac×2bc最大，又因?yàn)閍b+2ac+2bc=60，這三個(gè)數(shù)（把這三個(gè)積當(dāng)成三個(gè)數(shù)）的和一定，要使它們的積最大，那么這三個(gè)數(shù)一定相等，這也是對(duì)“兩個(gè)數(shù)的和一定，要使積最大，必須使兩個(gè)數(shù)相等”的推廣，即ab=2ac=2bc，則有a=b=2c，所以4[c2]+4[c2]+4[c2]=60，[c2]=5，a=[25]，b=[25]，c=[5]，那么題目中要求的長(zhǎng)方體盒子的容積abc=[25]×[25]×[5]=20[5]=44.72（立方厘米）。

通過(guò)對(duì)此題的研究，筆者認(rèn)為范老師給出的方法是好的，設(shè)計(jì)是巧妙的，但是數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)欠妥，因?yàn)樽詈蟪霈F(xiàn)無(wú)法避免和抵消的平方根，導(dǎo)致一道精巧的題出現(xiàn)瑕疵，并引起不必要的爭(zhēng)端。如果將題1的數(shù)據(jù)稍作改動(dòng)，比如將鐵皮的長(zhǎng)改為8厘米，寬為6厘米，這樣一來(lái)，c=[4]=2，恰好為整數(shù)，效果會(huì)更好。

（責(zé)編 黃春香）