楊曄

[摘 要]數(shù)學(xué)建模指向模型思想和建模能力培養(yǎng)的全過程，通過“基于實(shí)際問題—建立數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”，幫助學(xué)生逐步形成和提升建模能力，核心價(jià)值在于通過解決一道題從而解決一類題。結(jié)合課例展開建模教學(xué)的策略論述，喚醒教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型;教材

模型思想和數(shù)學(xué)建模能力作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有重要的作用。它們是理論與實(shí)踐的相互表達(dá)，在小學(xué)階段，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建模能力的培養(yǎng)有助于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

一、建模教學(xué)的現(xiàn)狀分析

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語言的一種直觀表達(dá)，具有廣泛性。為了解本區(qū)域教師對“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)情況，筆者進(jìn)行了如下調(diào)查，并形成一些基本認(rèn)識(shí)。

（一）調(diào)查研究，了解建模狀態(tài)

共有118位教師填寫問卷。從問題（1）的結(jié)果來看，了解數(shù)學(xué)建模的教師占76.3%，略知的占22.4%，不了解的占1.3%，這說明大部分教師對數(shù)學(xué)建模并不陌生。但是經(jīng)常從數(shù)學(xué)建模角度進(jìn)行課堂詮釋的教師只占12.5%，偶爾的占35.8%，51.7%的教師從未如此處理。同樣，（3）（4）兩個(gè)問題的調(diào)查結(jié)果也顯現(xiàn)出部分教師對建模文章的冷淡，經(jīng)常關(guān)注和寫過相關(guān)文章的教師分別只占29.3%和8.4%。這是什么原因呢？既然大家對建模都了解，那為什么進(jìn)行這方面思考的卻很少呢？從大家列舉的從建模角度詮釋的課堂教學(xué)內(nèi)容來看，大家抓住了課程標(biāo)準(zhǔn)中“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”這句話，列舉的都是能夠總結(jié)出公式的相關(guān)問題，如加減乘除的運(yùn)算，周長、面積的計(jì)算等，內(nèi)容較為豐富。通過這份問卷可以看到，教師對建模的價(jià)值有一定的了解，但卻不重視在課堂上真正凸顯建模的意義和從建模的視角進(jìn)行反思。

2.個(gè)案研究分析

筆者對78位教師關(guān)于”三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)視頻進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在評價(jià)中提到“建模”的只有2位。數(shù)學(xué)建模在這節(jié)課中的地位非常突出，但教師教學(xué)中不談及，筆者認(rèn)為主要原因在于模型思想還未植根于教師的教育教學(xué)理念中。

結(jié)合以上調(diào)查研究，同樣發(fā)現(xiàn)目前建模教學(xué)存在如下問題：

（1）認(rèn)為建模指向結(jié)果的運(yùn)用

在建模能力培養(yǎng)的過程中，教師對數(shù)學(xué)建模的意義理解的不充分，從而過于注重模型的運(yùn)用，形成填鴨式訓(xùn)練。這種情況多見于計(jì)算類、公式運(yùn)用類教學(xué)，教師直接告知學(xué)生可以套用模型來解決一類問題。這樣在短時(shí)間內(nèi)能夠達(dá)成掌握的效果，但學(xué)生對于模型的理解就會(huì)有所欠缺，導(dǎo)致學(xué)生對這部分學(xué)習(xí)過于機(jī)械化，感受了數(shù)學(xué)的精密美，卻丟失了自我探索的樂趣。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該夯實(shí)過程，幫助學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造，促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實(shí)、深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

（2）模型結(jié)構(gòu)的邏輯理解不到位

數(shù)學(xué)是邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，很多知識(shí)的模型隨著學(xué)生能力的提升會(huì)不斷地完善和豐富，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該關(guān)注知識(shí)的邏輯體系，適時(shí)滲透，幫助學(xué)生對模型的形成有更為豐富的認(rèn)識(shí)。如在教學(xué)四年級“用數(shù)對確定位置”時(shí)，教師就應(yīng)該考慮到低年級的利用行、列確定位置和將來的在三維空間中確定位置，幫助學(xué)生初步經(jīng)歷“線—面—體”的模型建構(gòu)過程。

（二）文獻(xiàn)研究，了解研究動(dòng)態(tài)

張景中教授被認(rèn)為是我國最早研究數(shù)學(xué)建模的學(xué)者。筆者于2019年10月5日在中國知網(wǎng)以“數(shù)學(xué)建?！薄靶W(xué)數(shù)學(xué)建?！睘橹黝}和關(guān)鍵詞，對期刊類文章和碩博論文按照發(fā)表年度和研究層次展開檢索。從檢索結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，不論是圍繞“數(shù)學(xué)建?！边€是“小學(xué)數(shù)學(xué)建?！钡难芯繑?shù)量，總體都呈上升趨勢，尤其是自2012年以來，有關(guān)“小學(xué)數(shù)學(xué)建?！钡难芯繑?shù)量上升幅度較前幾年有明顯的變化。由此可以看出2011年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)增加的“模型思想”引起了許多教育研究者極大的興趣，大家紛紛投入其中開展相關(guān)研究，這同時(shí)也反映出“數(shù)學(xué)建模”在當(dāng)今教育領(lǐng)域占據(jù)著舉足輕重的地位。同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，建模又成為高中階段學(xué)生的六大核心素養(yǎng)之一，可見培養(yǎng)建模能力的重要性。

目前國內(nèi)對小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究主要集中在以下幾個(gè)方面：小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義和價(jià)值;小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo);小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的策略與途徑;小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程?；趯σ陨蠈W(xué)者研究的整理和學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不僅有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的落實(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)走向深度，而且是數(shù)學(xué)學(xué)科走向數(shù)學(xué)科學(xué)的必經(jīng)過程。

二、建模教學(xué)的實(shí)施策略

基于以上研究，筆者通過對教材的解讀、對內(nèi)容的理解、對課堂的詮釋，形成如下數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略。

（一）立足教材，把握知識(shí)生長邏輯

對于教學(xué)內(nèi)容的研讀，必須從兩個(gè)維度出發(fā)進(jìn)行思考，一個(gè)是內(nèi)容體系，立足知識(shí)本位，索前與探后，了解教學(xué)內(nèi)容在整個(gè)知識(shí)體系中的邏輯地位;另一個(gè)是基于教材進(jìn)行思考，對例題深度把握，確定詮釋方法。對于小學(xué)中能突出培養(yǎng)模型思想和建模能力的內(nèi)容，教師需要立足這兩點(diǎn)進(jìn)行思考，才可能把握好模型知識(shí)的生長邏輯，有準(zhǔn)備地步入課堂。

如蘇教版三年級下冊“長方形和正方形的面積”教學(xué)，學(xué)生通過度量操作逐步抽象建立面積計(jì)算模型，并在運(yùn)用中深化和掌握。在備課這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以從以下幾方面進(jìn)行研讀。

從內(nèi)容體系來看，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過長度單位，并掌握度量線段長度的方法。線段長度的度量就是從一個(gè)維度進(jìn)行單位的累加，這與面積的計(jì)算的本質(zhì)是一致的。面積計(jì)算是從兩個(gè)維度累加單位，以此類推，學(xué)生六年級學(xué)習(xí)長方體和正方體的體積時(shí)，就是從三個(gè)維度進(jìn)行單位累加。了解這部分內(nèi)容所處的位置，教師就會(huì)從喚醒經(jīng)驗(yàn)的角度幫助學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探究，站在知識(shí)的上位進(jìn)行教學(xué)，助推學(xué)生模型思想的形成。

從教材安排來看，本課時(shí)教材共安排了3道例題，這3道例題是讓學(xué)生從具體操作到逐步抽象概括的過程。教師在研讀時(shí)要清楚了解每道例題的價(jià)值。學(xué)生通過擺1平方厘米的小正方形，初步感受長方形的面積與小正方形的個(gè)數(shù)有關(guān);再通過小正方形的數(shù)量來進(jìn)行驗(yàn)證;最后通過在心中擺小正方形，在三個(gè)維度的深化中形成長方形的面積公式，即建立模型。正方形面積的推導(dǎo)既是長方形面積計(jì)算模型的應(yīng)用，又是深度理解模型的過程?？此坪唵蔚拿娣e計(jì)算公式，要讓學(xué)生真正的理解和掌握，教師不可定于“教”，而應(yīng)助于“學(xué)”。

數(shù)學(xué)建模能將學(xué)生的思維過程用直觀的語言進(jìn)行歸納總結(jié)，外化于行。同時(shí)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解、把握與構(gòu)建的能力，在很大程度上反映了他們的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)觀念及意識(shí)。教師在理解建模思想培養(yǎng)的典型素材時(shí)，必須站在更高的高度來理解，才能引導(dǎo)學(xué)生向深度學(xué)習(xí)邁進(jìn)。

（二）基于學(xué)生，關(guān)注建模的全過程，有結(jié)構(gòu)地組織教學(xué)

為體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，我們應(yīng)該把從生活中抽象出的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)和求解再運(yùn)用到生活中去，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程。

1.立足問題，指明教學(xué)方向

沒有問題指向就沒有課堂的教學(xué)研究，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在不斷解決問題中掌握知識(shí)、形成技能，升華思想、豐富經(jīng)驗(yàn)。好的問題能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的深入。

例如五年級下冊的“圓的面積”，教學(xué)的核心就是“怎樣計(jì)算圓的面積”。因?yàn)檫@個(gè)核心問題，才有下面的問題探究，從而讓學(xué)生在一系列的探究和推理中形成圓面積的計(jì)算模型。

低年級的數(shù)學(xué)問題趨向于情境化，利用形象的圖片讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，抽象出數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。到了中高年級趨向于具體的生活問題和科學(xué)的解決訴求，問題與學(xué)生的心智發(fā)展切合，因而很好地為建立數(shù)學(xué)模型做鋪墊。教師要善于捕捉情境中的數(shù)學(xué)信息，同時(shí)盡可能抓住生活中可利用的素材生成問題進(jìn)行教學(xué)，這樣不僅可以拉近數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，而且可以為應(yīng)用數(shù)學(xué)模型、體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值做支撐。

2.抽象概況，搭建模型結(jié)構(gòu)

從具體問題抽象出數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)剝?nèi)o關(guān)因素，只留下問題本質(zhì)時(shí)，數(shù)學(xué)課堂的研究之旅即為開啟。在幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程中，教師應(yīng)該循序漸進(jìn)，使學(xué)生逐步了解模型的整體結(jié)構(gòu)。

如六年級下冊“圓錐的體積”的教學(xué)。

學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)對圓錐的體積進(jìn)行研究，分享時(shí)呈現(xiàn)兩類資源。

[資源1]學(xué)生使用的實(shí)驗(yàn)材料是水、等底等高的圓柱和圓錐形容器，實(shí)驗(yàn)的過程是在圓錐形容器里裝滿水，然后倒入圓柱形容器中，一共倒了3次，結(jié)論是圓柱的體積是與它等底等高的圓錐的體積的3倍。

[資源2]學(xué)生選擇的實(shí)驗(yàn)材料是水、等底等高的圓柱和圓錐形容器，實(shí)驗(yàn)的過程是在圓柱形容器中裝滿水，然后倒入圓錐形容器中，同樣倒了3次，結(jié)論是圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的1/3。

學(xué)生介紹自己的實(shí)驗(yàn)操作過程，在清晰的表達(dá)中獲得圓錐體積的計(jì)算模型。

對于同一知識(shí)，學(xué)生所形成的模型結(jié)構(gòu)并不是單一的，作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)理解。通過問題情境和學(xué)習(xí)素材，放手讓學(xué)生聯(lián)系自己已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試建立不同的數(shù)學(xué)模型，在討論和對比中不斷優(yōu)化模型，讓方法多樣化和方法優(yōu)化成為學(xué)生模型建構(gòu)的智慧橋梁。

3.提煉固化，探索模型之解

對于學(xué)生建立的數(shù)學(xué)模型，教師要讓學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去進(jìn)行求證，確定結(jié)果及結(jié)果的意義。教師要為學(xué)生提供探究的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷模型求解的過程。

例如蘇教版教材六年級下冊“圓柱的體積”的教學(xué)，學(xué)生通過長方體和正方體的體積計(jì)算已經(jīng)形成對等底等高的圓柱的體積計(jì)算公式的猜想。接著通過轉(zhuǎn)化，在演繹推理中建立圓柱和轉(zhuǎn)化后的長方體的對應(yīng)關(guān)系，從而證得圓柱的體積計(jì)算公式。

這樣的求解求證過程，是對知識(shí)的提煉和鞏固，更是對原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的喚醒和升華。學(xué)生在圓的面積計(jì)算中已經(jīng)獲得求解這類模型的經(jīng)驗(yàn)，再次運(yùn)用，不僅是經(jīng)歷，更是喚醒，除了在建模能力上獲得提升外，經(jīng)驗(yàn)也得以豐富。在教學(xué)中，很多探究規(guī)律的問題，重點(diǎn)就是模型的驗(yàn)證，學(xué)生在建立模型后通過推理、實(shí)驗(yàn)、舉例等方法求解模型，可以達(dá)成對知識(shí)的理解和掌握。

4.應(yīng)用理解，提升建模能力

在教學(xué)中，教師可以從知曉、解釋和應(yīng)用三個(gè)方面去促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)的理解，讓學(xué)生明白建立數(shù)學(xué)模型可以達(dá)成對數(shù)學(xué)知識(shí)的解釋，而模型的應(yīng)用則是對數(shù)學(xué)知識(shí)的一種認(rèn)可和延伸。在這一過程中，學(xué)生不僅達(dá)成對知識(shí)的鞏固和消化，更認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的意義和價(jià)值所在。

例如在教學(xué)蘇教版四年級下冊“畫示意圖解決問題”時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過圖形建立了“長增加求原來面積”問題的模型時(shí)，教師就可以啟發(fā)學(xué)生思考“還可以怎樣改變圖形使得面積也發(fā)生變化”。這時(shí)候?qū)W生通過長增加想到寬增加，再到長和寬都增加使得面積增加，而面積增加對應(yīng)的則為面積減少，長和寬不僅可以同時(shí)增加和減少，甚至還能一個(gè)增加一個(gè)減少……在這樣的變化中，學(xué)生不斷調(diào)整認(rèn)知，挑戰(zhàn)自我思維，數(shù)學(xué)能力得到了充分的提升。

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，但數(shù)學(xué)模型卻始終如一，以不變應(yīng)萬變，這就是數(shù)學(xué)的魅力所在?？傊?，基于模型思想的研究是數(shù)學(xué)教育的一種應(yīng)然追求，幫助學(xué)生提升建模能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的生活性、應(yīng)用性、科學(xué)性和工具性，站在核心素養(yǎng)培育的高度，以深度表達(dá)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，為客觀世界與數(shù)學(xué)科學(xué)之間搭建智慧的橋梁，創(chuàng)造數(shù)學(xué)理性之美。

（責(zé)編 吳美玲）