趙敬文，虞 靜，劉建貞

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

構(gòu)造新的可積方程族一直是孤立子與可積系統(tǒng)領(lǐng)域的熱門(mén)研究。主要是從譜問(wèn)題的空間部分出發(fā)，應(yīng)用譜問(wèn)題空間和時(shí)間部分的相容性條件，構(gòu)造出一個(gè)可積方程族，并通過(guò)跡恒等式將方程族表示成哈密頓結(jié)構(gòu)[1]。該方法在2008年被推廣到超李代數(shù)B(0,1)上[2]。1928年，Dirac方程被提出以來(lái)，關(guān)于Dirac方程的n重達(dá)布變換和孤立子解受到廣泛關(guān)注[3-5]，同時(shí)基于李超代數(shù)B(0,1)上的超Dirac方程族的構(gòu)造[2]及其雙非線性化[6]等方面也被深入研究。正交辛李超代數(shù)osp(2,2)作為另一種類(lèi)型的超李代數(shù)，由Scheunert在1978年提出[7]。目前學(xué)者們針對(duì)李超代數(shù)osp(2,2)的超AKNS方程族及其非線性化[8]的研究比較多，而基于該李超代數(shù)的其它類(lèi)型的超可積方程族研究甚少。故本文試圖構(gòu)造基于osp(2,2)的超Dirac方程族，并通過(guò)超跡恒等式，將其表示成超哈密頓結(jié)構(gòu)。

1 與李超代數(shù)osp(2,2)相關(guān)的超Dirac方程族

李超代數(shù)osp(2,2)的基由8個(gè)4階方陣組成[9]，文獻(xiàn)[8,10]給出了8個(gè)4階方陣的具體形式。為了構(gòu)造與該李超代數(shù)相關(guān)的超Dirac方程族，本文考慮如下的空間矩陣譜問(wèn)題：

φx=Uφ,U=U(u,λ)=pe1+(λ+q)e2+(-λ+q)e3+α1e5+α2e6+β1e7+β2e8

(1)

式中，e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8是李超代數(shù)osp(2,2)的一組基，u=(p,q,α1,α2,β1,β2)T是1個(gè)位勢(shì)向量，p,q是偶位勢(shì)，α1,α2,β1,β2是奇位勢(shì)，λ是1個(gè)譜參數(shù)，φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T是1個(gè)向量特征函數(shù)。

為了導(dǎo)出與李超代數(shù)osp(2,2)相關(guān)的超Dirac方程族，首先解駐定方程：

Vx=[U,V]=UV-VU

(2)

式中，

V=Ce1+(A+B)e2+(A-B)e3+De4+Ee5+Fe6+Ge7+He8

(3)

A,B,C,D,E,F,G,H是待定的關(guān)于位勢(shì)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

將U和V代入式(2)，可得：

(4)

令

(5)

將式(5)代入式(4)，并比較λ的同次冪系數(shù)，可得：

(6)

式中，j≥0。不難得到遞推關(guān)系式：

(7)

L31=α1+2α2?-1q,L32=α2-2α2?-1p,L33=q-α2?-1α2+β1?-1β1,

L34=-?-p+α2?-1α1+β1?-1β2,L35=-α2?-1β2-β1?-1α1,L36=α2?-1β1-β1?-1α2,

L41=-α2-2α1?-1q,L42=α1+2α1?-1p,L43=?-p+α1?-1α2+β2?-1β1,

L44=-q-α1?-1α1+β2?-1β2,L45=α1?-1β2-β2?-1α1,L46=-α1?-1β1-β2?-1α2,

L51=β1+2β2?-1q,L52=β2-2β2?-1p,L53=-α1?-1β1-β2?-1α2,

L54=-α1?-1β2+β2?-1α1,L55=q+α1?-1α1-β2?-1β2,

L56=-?-p+α1?-1α2+β2?-1β1,L61=-β2-2β1?-1q,L62=β1+2β1?-1p,

L63=-α2?-1β1+β1?-1α2,L64=-α2?-1β2-β1?-1α1,

L65=?-p+α2?-1α1+β1?-1β2,L66=-q+α2?-1α2-β1?-1β1

從式(6)中不難得到B0,x=D0,x=0，故可取初始值B0=D0=0，并取所有的積分常數(shù)為0，這樣就可以唯一確定所有Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj,Gj,Hj(j≥1)的表達(dá)式。下面僅列舉前3項(xiàng)結(jié)果：

B1=D1=0,A1=q,C1=p,E1=α1,F1=α2,G1=β1,H1=β2,

D3=-α1,xβ2+α1β2,x-α2,xβ1+α2β1,x+pα1β2+pα2β1-qα1β1+qα2β2.

接下來(lái)考慮時(shí)間部分的譜問(wèn)題：

φtn=V(n)φ,V(n)=(λnV)+

(8)

式中，

(9)

由式(1)和式(8)的相容性條件，得到零曲率方程：

(10)

將U和V(n)的表達(dá)式代入式(10)，得到方程族：

(11)

在式(11)中，取n=1，得到一個(gè)平凡的方程：

ut=(px,qx,α1,x,α2,x,β1,x,β2,x)T

(12)

在式(11)中，取n=2，得到第一個(gè)非平凡的方程：

(13)

式中，Lax對(duì)由式(1)中的U和V(2)給出，其中V(2)為：

(β1λ-β2,x)e7+(β2λ+β1,x)e8.

觀察式(13)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)奇位勢(shì)α1=α2=β1=β2=0時(shí)，方程即為：

這恰為著名的Dirac方程。故稱(chēng)方程(13)為超Dirac方程、方程族(11)為超Dirac方程族。

2 超Dirac方程族的超哈密頓結(jié)構(gòu)

通過(guò)超跡恒等式將超Dirac方程族(11)改寫(xiě)成超哈密頓結(jié)構(gòu)。超跡恒等式如下：

(14)

計(jì)算式(14)中各項(xiàng)，得到：

(15)

將式(15)代入式(14)，并比較λ-n-1項(xiàng)的系數(shù)，有：

(16)

式(16)中，令n=1，不難導(dǎo)出s=0，則有：

(17)

因此，超Dirac方程族(11)可表示成超哈密頓結(jié)構(gòu)：

(18)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文從李超代數(shù)osp(2,2)出發(fā)，首先構(gòu)造了它的基矩陣的一個(gè)線性組合，并將之視為空間部分的譜矩陣。然后根據(jù)空間部分的譜問(wèn)題和時(shí)間部分的譜問(wèn)題的相容性條件，得到與李超代數(shù)osp(2,2)相關(guān)的超Dirac方程族。最后通過(guò)計(jì)算超跡恒等式，把超Dirac方程族表示成超哈密頓結(jié)構(gòu)。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)超Dirac方程族中n為2且奇位勢(shì)為0時(shí)，超Dirac方程族恰好為經(jīng)典系統(tǒng)中的Dirac方程族。下一步將針對(duì)與李超代數(shù)osp(2,2)相關(guān)的超KN方程族以及超CKdV方程族展開(kāi)進(jìn)一步研究。