趙光同 曹 亮 周 琪 李鴻一

非線性互聯(lián)大系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、控制分散、子系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、模型維數(shù)高等特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、化工過程、智能電網(wǎng)和航空航天等領(lǐng)域.因此,針對(duì)此類系統(tǒng)的控制問題,吸引眾多學(xué)者的關(guān)注.由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/模糊邏輯系統(tǒng)能夠擬合非線性系統(tǒng)中復(fù)雜未知的連續(xù)函數(shù),為解決非線性互聯(lián)大系統(tǒng)的控制問題起到巨大作用.文獻(xiàn)[1-4]針對(duì)非線性互聯(lián)大系統(tǒng),基于反步法技術(shù),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/模糊邏輯系統(tǒng)逼近復(fù)雜系統(tǒng)中的非線性項(xiàng),使設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器達(dá)到良好的控制效果.然而,上述成果僅考慮了系統(tǒng)狀態(tài)可測(cè)的情況.在實(shí)際工程中,系統(tǒng)狀態(tài)往往不可測(cè)量或測(cè)量成本過高,導(dǎo)致已有的大部分成果將失效.因此,學(xué)者們?cè)谖墨I(xiàn)[5-9]中通過構(gòu)造觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)中的未知狀態(tài),提出了有效的輸出反饋控制方案.針對(duì)互聯(lián)大系統(tǒng),文獻(xiàn)[8-9]設(shè)計(jì)了模糊觀測(cè)器準(zhǔn)確觀測(cè)系統(tǒng)未知狀態(tài),并構(gòu)造自適應(yīng)容錯(cuò)控制器補(bǔ)償執(zhí)行器故障帶來(lái)的影響.盡管互聯(lián)大系統(tǒng)的研究成果已較為豐富,但仍存在一些問題尚待解決,如系統(tǒng)存在未建模動(dòng)態(tài)或執(zhí)行器故障時(shí),如何設(shè)計(jì)有效的控制器等問題.

在實(shí)際工程應(yīng)用中,為了保證控制性能和安全等指標(biāo),往往需要系統(tǒng)輸出受限于一定范圍.對(duì)此,文獻(xiàn)[10-12]基于障礙李雅普諾夫函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器,保證了系統(tǒng)輸出和跟蹤誤差受限.但是以上設(shè)計(jì)方法只能處理靜態(tài)受限的情況,難以實(shí)現(xiàn)快速的收斂.此外,由于實(shí)際非線性系統(tǒng)存在復(fù)雜性、不確定性和時(shí)變性等特點(diǎn),難以獲得準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型,不可避免地存在未建模動(dòng)態(tài)問題[13].對(duì)此,文獻(xiàn)[14-18]給出相應(yīng)的解決方法,其中文獻(xiàn)[14-15]基于小增益定理證明控制方案對(duì)未建模動(dòng)態(tài)處理的有效性.文獻(xiàn)[16-17]通過構(gòu)建輔助信號(hào)模型,抵消了未建模動(dòng)態(tài)的影響.但目前針對(duì)非線性互聯(lián)大系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)研究尚處于起步階段,需要進(jìn)一步探討.

受復(fù)雜工作環(huán)境的影響,實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在執(zhí)行器故障問題.執(zhí)行器故障不但會(huì)影響控制器的性能,甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)完全失控,造成安全隱患[19-21].因此,如何設(shè)計(jì)分散自適應(yīng)容錯(cuò)控制器,保證系統(tǒng)在發(fā)生故障情況下能正常運(yùn)行,引起許多學(xué)者的關(guān)注.為了補(bǔ)償故障對(duì)系統(tǒng)的影響,文獻(xiàn)[8-9,21]提出了有效的容錯(cuò)控制方案.隨著網(wǎng)絡(luò)化控制的普及,如何減少控制器與執(zhí)行器之間的通信帶寬,節(jié)約通信資源,變得尤其重要.而基于事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)的控制器,不但能實(shí)現(xiàn)此要求,而且可以保證控制效果不會(huì)降低,所以得到了廣泛研究[21-24].因此,文獻(xiàn)[21]設(shè)計(jì)了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的分散自適應(yīng)容錯(cuò)控制器,補(bǔ)償了執(zhí)行器故障對(duì)互聯(lián)大系統(tǒng)的影響,并保證了系統(tǒng)持續(xù)工作的穩(wěn)定性.雖然已有成果分別研究了非線性互聯(lián)大系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài),執(zhí)行器故障和輸出受限問題.但當(dāng)它們共存于非線性互聯(lián)大系統(tǒng)時(shí),如何處理耦合項(xiàng)、未建模動(dòng)態(tài)和輸出受限,并補(bǔ)償執(zhí)行器故障的影響,是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作.

因此,針對(duì)一類具有未建模動(dòng)態(tài)及執(zhí)行器故障的非嚴(yán)格反饋非線性互聯(lián)大系統(tǒng),如何基于事件觸發(fā)機(jī)制,設(shè)計(jì)有效的分散自適應(yīng)輸出反饋容錯(cuò)控制方案是一個(gè)值得深入研究的問題.對(duì)此本文主要完成以下工作:1)構(gòu)建模糊觀測(cè)器,估計(jì)系統(tǒng)不可測(cè)的狀態(tài).通過引入一類李雅普諾夫函數(shù),約束系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài),從而保證控制器的設(shè)計(jì)不受未建模動(dòng)態(tài)的影響.2)基于事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)分散自適應(yīng)容錯(cuò)控制器,在減少通信帶寬的同時(shí),補(bǔ)償執(zhí)行器故障對(duì)系統(tǒng)的影響.3)基于一類時(shí)變新型的障礙李雅普諾夫函數(shù),使得系統(tǒng)跟蹤誤差能快速收斂至原點(diǎn)附近較小區(qū)域內(nèi),從而滿足性能要求,保證系統(tǒng)輸出受限的約束.

本文的組織結(jié)構(gòu)如下:第1 節(jié)介紹互聯(lián)大系統(tǒng)的模型和相關(guān)的假設(shè)及定理;第2 節(jié)提出觀測(cè)器和控制器的設(shè)計(jì)方案,并進(jìn)行穩(wěn)定性分析;第3 節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證該方法的有效性;第4 節(jié)對(duì)全文的工作進(jìn)行總結(jié).

1 問題描述及相關(guān)介紹

1.1 問題描述

本文考慮的非線性互聯(lián)大系統(tǒng)模型由N個(gè)子系統(tǒng)所構(gòu)成,其中,第i個(gè)子系統(tǒng)的模型為:

其中,i=1,···,N.j=1,···,n－1.XXXi=[xi,1,···,xi,n]T∈Rn為子系統(tǒng)狀態(tài),zi∈Rm為未建模動(dòng)態(tài).fi,j(Xi),qi(zi,yi) 是未知的光滑函數(shù),Δi,j(yi,zzzi)代表未知的動(dòng)態(tài).y=[y1,···,yN]T∈RN為各個(gè)子系統(tǒng)的輸出,Hi,j(y) 是子系統(tǒng)的互聯(lián)項(xiàng),是未知的光滑函數(shù).bi,q是已知的控制增益.ui,q為第q個(gè)執(zhí)行器的輸出,即執(zhí)行器對(duì)系統(tǒng)的控制輸入.本文假設(shè)僅系統(tǒng)的輸出yi是可測(cè)的.基于文獻(xiàn)[21],執(zhí)行器故障模型可表示為

1.2 指數(shù)相關(guān)的障礙李雅普諾夫函數(shù)

為了更好地保證系統(tǒng)跟蹤誤差受限,一種指數(shù)相關(guān)的障礙李雅普諾夫函數(shù)被提出[27],形式如下:

其中,k(t)=kae-rt+kb是時(shí)變函數(shù),ka ＞kb＞0,r ＞0.與文獻(xiàn)[10-12]中設(shè)計(jì)的障礙李雅普諾夫函數(shù)不同,本文選取的障礙李雅普諾夫函數(shù)結(jié)合了指數(shù)型性能函數(shù),該性能函數(shù)可以保證變量的收斂速度,進(jìn)一步可以提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能.

引理2[27].對(duì)于任意的k(t),當(dāng)且僅當(dāng)|s|＜k(t),以下不等式成立:

引理3[28].對(duì)于任何定義在緊集U上的連續(xù)函數(shù)f(x),存在模糊邏輯系統(tǒng)θTφ(x) 及任意大于0 的常數(shù)?,使得下列不等式成立:

其中,φ(x)=[φ1(x),···,φL(x)]T為模糊基函數(shù),θ∈RL是理想權(quán)重向量.φi(x) 可以選取高斯函數(shù):

其中,δi,?i分別代表高斯函數(shù)的中心和寬度.

2 觀測(cè)器及控制器的設(shè)計(jì)

2.1 模糊觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

采用模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)逼近未知非線性函數(shù):

為了估計(jì)系統(tǒng)中不可測(cè)的狀態(tài),設(shè)計(jì)如下的模糊觀測(cè)器:

2.2 自適應(yīng)事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

接下來(lái),根據(jù)反步法原理,構(gòu)建如下誤差變換:

其中,zi,j(i=1,···,N,j=2,···,n) 為誤差變量,νi,j-1為濾波器的輸出.

注2.在反步法設(shè)計(jì)中,對(duì)虛擬控制的求導(dǎo)容易出現(xiàn) “計(jì)算爆炸” 問題,為降低計(jì)算量,利用濾波器估計(jì)虛擬控制器導(dǎo)數(shù)的思想被相應(yīng)提出[29-32].

本文采用如下的二階濾波器:

其中,pi,j和ωi,j∈(0,1] 為需要設(shè)計(jì)的正數(shù),且νi,j(0)=αi,j(0),=0,虛擬控制器αi,j為濾波器輸入.

由于濾波過程容易產(chǎn)生誤差,影響控制效果[33].對(duì)此引入補(bǔ)償信號(hào)qi,j進(jìn)行處理,定義如下新的誤差變換:

基于反步遞推控制方法,對(duì)每一個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)的虛擬控制器、補(bǔ)償信號(hào)導(dǎo)數(shù)及參數(shù)自適應(yīng)律如下:

根據(jù)上述設(shè)計(jì)方案與分析,得到以下定理.

定理1.對(duì)于含有未建模動(dòng)態(tài),狀態(tài)不可測(cè),執(zhí)行器故障的非嚴(yán)格反饋非線性互聯(lián)大系統(tǒng) (1),在滿足假設(shè)1～7 的情況下,通過設(shè)計(jì)觀測(cè)器 (11),濾波器 (22) 及補(bǔ)償信號(hào) (25),(27),(29),(31),虛擬控制器 (24),(26),(28),事件觸發(fā)容錯(cuò)控制器 (51)～(52),以及參數(shù)自適應(yīng)律 (32)～(34),可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)是半全局一致最終有界的,且避免了Zeno行為.

注 6.根據(jù)事件觸發(fā)條件可以看出,控制器觸發(fā)的時(shí)間間隔由控制器vi,q大小決定.這種觸發(fā)機(jī)制的優(yōu)勢(shì)在于:當(dāng)vi,q很大時(shí),能增大控制器觸發(fā)的時(shí)間間隔;若vi,q很小時(shí),觸發(fā)的時(shí)間間隔就很小,這就保證控制器輸出精準(zhǔn)的控制量,保證系統(tǒng)精準(zhǔn)的控制和性能;同時(shí),參數(shù)τi,q能避免Zeno 現(xiàn)象出現(xiàn).

3 仿真及結(jié)果

本文考慮有兩個(gè)子系統(tǒng)組成的非線性互聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)模型如下 (i=1,2) :

由圖1 可得,設(shè)計(jì)的觀測(cè)器能準(zhǔn)確對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),提出的控制方案可以保證系統(tǒng)跟蹤誤差能夠收斂于原點(diǎn)較小的領(lǐng)域內(nèi),同時(shí)保證系統(tǒng)輸出受限滿足:yi,d－ki(t)≤yi≤ki(t)+yi,d.從圖2 可以看出,未建模動(dòng)態(tài)是穩(wěn)定有界的,軌跡曲線與輸出相似.從圖3 可以看出,虛擬控制器含有非常高頻率的分量,曲線劇烈抖動(dòng),顯然它的導(dǎo)數(shù)是非常復(fù)雜的.而濾波器能消除高頻分量,且有效地估計(jì)虛擬控制器.圖4 表明事件觸發(fā)機(jī)制能避免執(zhí)行器持續(xù)更新,減少了通信的次數(shù),且由圖可以看出,執(zhí)行器發(fā)生故障對(duì)執(zhí)行器總輸出不會(huì)有太大影響,說明設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器能有效補(bǔ)償故障影響.仿真結(jié)果表明了該控制方案的有效性.

圖1 子系統(tǒng)的輸出 y1,y2 和觀測(cè)狀態(tài)的響應(yīng)曲線Fig.1 Trajectories of output y1,y2 and observer

圖2 子系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài) z1,z2 響應(yīng)曲線Fig.2 Trajectories of unmodeled dynamics z1,z2

圖3 濾波器輸入及輸出的響應(yīng)曲線Fig.3 Trajectories of filter＇s input and output

圖4 子系統(tǒng)第一個(gè)執(zhí)行器輸出的響應(yīng)曲線Fig.4 Trajectories of the first actuator＇s output

4 結(jié)論

本文主要解決了存在未建模動(dòng)態(tài)和狀態(tài)不可測(cè)情況下,非嚴(yán)格反饋非線性互聯(lián)大系統(tǒng)的輸出受限和執(zhí)行器故障等問題.通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),引入李雅普諾夫函數(shù)來(lái)約束未建模動(dòng)態(tài).基于事件觸發(fā)機(jī)制和時(shí)變障礙李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)自適應(yīng)容錯(cuò)控制器,不僅保證了系統(tǒng)在發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí),系統(tǒng)輸出受限,還避免了Zeno 行為,并且閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局一致最終有界的.最后,通過仿真驗(yàn)證了所提出控制策略的有效性.在未來(lái)工作中,研究如何將事件觸發(fā)機(jī)制應(yīng)用于無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的協(xié)同編隊(duì)問題.