何澤榮*,徐俊芳

(杭州電子科技大學 運籌與控制研究所，浙江杭州 310018)

§1 引言

為何研究種群系統(tǒng)的可控性? 主要動機包括兩方面:一是保護生物多樣性,拯救瀕危物種,使種群朝著人們期望的方向演化;二是獲得有趣也有挑戰(zhàn)性的數(shù)學控制問題,拓展無窮維系統(tǒng)控制理論疆界.對于具有年齡或者個體尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)模型的可控性,已有一些研究成果面世,參見文[1-9]及其所引文獻.這些成果深化人們的認知,也是進一步發(fā)展的基石.另一方面,種群鎮(zhèn)定問題也很值得探討,因為種群狀態(tài)的巨幅振蕩通常都是不祥之兆,容易導致種群消亡.現(xiàn)有鎮(zhèn)定性成果可參見[10-16].

通觀具有個體結(jié)構(gòu)差異(如年齡,尺度,空間位置)的種群系統(tǒng)模型,其現(xiàn)有可控性成果都是基于常規(guī)的年齡(尺度,空間)結(jié)構(gòu)模型,并不能反應(yīng)個體的等級(或稱社會地位)差異,而這種差異既是普遍的,也是重要的;生態(tài)學方面參見綜述文獻[17],基于數(shù)學模型的演化分析可見[18-28],可控性成果罕見.有鑒于此,本文探討一類基于個體年齡等級差異的捕食種群系統(tǒng)的可控性和零解鎮(zhèn)定問題.與常規(guī)年齡結(jié)構(gòu)模型比較,本文的主要特點是采用二元函數(shù)描述種群內(nèi)部環(huán)境,而不是通常只依賴于時間的一元函數(shù).相應(yīng)的模型更逼近實際,且理論分析的難度更大. §2提出模型后, §3運用多值映射的不動點方法建立系統(tǒng)可控性, §4構(gòu)造適當?shù)淖顑?yōu)控制問題,由此確定如何選擇控制策略,實現(xiàn)系統(tǒng)可控性. §5, §6分別處理零解鎮(zhèn)定問題,總結(jié)全文.

§2 系統(tǒng)模型

假定種群中的個體具有基于年齡的等級差異,密度制約和種間相互影響均由相應(yīng)種群的內(nèi)部環(huán)境決定.運用連續(xù)年齡結(jié)構(gòu)生滅系統(tǒng)的標準建模方法,可得下列動態(tài)模型:

其中Q=(0,A)×(0,T),A代表個體最大年齡,T為系統(tǒng)演化時長.p1(a,t)和p2(a,t)分別表示食餌和捕食者種群的瞬時年齡密度.E(pi)(a,t)表征第i種群的內(nèi)部環(huán)境,α為等級折扣系數(shù).μi(a)與mi(E(pi)(a,t))分別給出自然死亡率與內(nèi)部競爭導致的額外死亡率.f1(E(p2)(a,t))描述因捕食產(chǎn)生的食餌死亡率,f2(E(p1)(a,t))則表示食餌對捕食者的增長貢獻.βi(a,E(pi)(a,t))為個體平均繁殖率,(a)是初始年齡分布.控制函數(shù)ui(a,t)表征遷進或移出.

為了后續(xù)理論分析所需,提出下列假設(shè):

§3 近似可控性

定義3.1若對任意初始分布

則稱系統(tǒng)(1)在[0,T]上近似可控.

記p(0,0)為系統(tǒng)(1)相應(yīng)于u=(0,0)的解.不失一般性,可假設(shè)‖p(0,0)(·,T)?‖>1.

將函數(shù)mi,fi,βi中的內(nèi)部環(huán)境E(p)=(E(p1),E(p2))固定為P=(P1,P2),系統(tǒng)(1)退化成

易知系統(tǒng)(2)可以視為兩個獨立的子系統(tǒng),根據(jù)文獻[5]中的結(jié)果可知子系統(tǒng)均可控;亦即,存在ui ∈L∞(Q)使得

下文以此為基礎(chǔ),運用多值映射的不動點方法,將系統(tǒng)(2)的可控性拓展到系統(tǒng)(1).為此,需要先對線性系統(tǒng)(2)做一些分析.

約定記號

引理3.1對任意給定的P=(P1,P2)∈(L∞(Q))2,及任意u=(u1,u2)∈U,系統(tǒng)(2)的解pu(·,·;P)=(·,·;P))滿足

其中E(p)t和E(p)a分別表示關(guān)于t和a的偏導數(shù),常數(shù)C1獨立于P,u.

證由(2)和特征線方法可得

其中函數(shù)Fi,Ki定義如下:

下文只分析T >A的情況.相反的情形可以類似處理.

據(jù)函數(shù)關(guān)系式(7)-(8)和(10)-(11),利用本文基本假設(shè)易知

Πi(a,t,s;P)≤1,即使M2(a,t;P)能取負值,它也有下界,從而函數(shù)Π2仍有上界;

結(jié)合(9)與上述估計,可知存在獨立于P,u的常數(shù)C2使得0≤buii(t;P)≤C2.從而表達式(5)和環(huán)境E(pi)的定義保證了與的一致有界性.

下列引理是已知的(見[29,p452]).

引理3.4(Ky Fan-Glicksberg)如果以下條件成立:

(1) 集K為局部凸空間X中的非空緊凸集;

(2) 集值映射G:K →2K上半連續(xù);

(3) 對任一x ∈K,G(x) 是非空閉凸集,

那么G至少有一個不動點.

定理3.1系統(tǒng)(1)在空間(L∞(Q))2中近似可控.

證令X=(L∞(Q))2,集K由引理3.2給出.定義多值映射G:K →2X如下:若P ∈K,則

引理3.1 意味著:對任一P ∈K,G(P)∈2K.

容易看出K是凸集.引理3.2表明:引理3.4中的條件(1)滿足.

根據(jù)文[5]中的可控性結(jié)果知:G(P)/=?.由于控制變量u=(u1,u2)屬于線性系統(tǒng)(2)的非齊次項,故G(P)必為凸集.此外,引理3.3保證了集G(P)的閉性.所以,引理3.4中的條件(3)也成立.

只需再證G的上半連續(xù)性.

進一步,關(guān)系E(pun)∈G(Pn)和(3)式意味著控制函數(shù)un必須滿足

對上列不等式取極限,即得

因此,h=E(p(·,·;P))且h ∈G(P).

總之,映射G滿足引理3.4的所有條件,它存在不動點.這意味著系統(tǒng)(1)近似可控.

§4 確定控制策略

定理3.1表明:存在控制函數(shù)向量u=(u1,u2)∈U,使得系統(tǒng)(1)在T時刻相應(yīng)的狀態(tài)與預先給定的目標任意接近.一般而言,有許多(甚至無窮多)這樣的控制向量.應(yīng)該如何選擇呢?

由于實施任何控制都需要成本,自然希望以最小成本完成種群狀態(tài)調(diào)節(jié).因此,如果下列最優(yōu)控制問題存在唯一解,那么就將該解作為可控性所需的控制函數(shù).

(P1) 尋求u?=()∈U,使得J(u?)≤J(u),?u ∈U,其中

這里k為罰參數(shù),(u,p)滿足系統(tǒng)(1),為給定的目標狀態(tài).

應(yīng)用類似于引理3.3的證明方法,可以證明下列結(jié)果(細節(jié)省去).

引理4.1系統(tǒng)(1)的解pu關(guān)于u連續(xù).

不失一般性,下文假設(shè)m1(x)=m2(x)≡0.

定理4.1控制問題(P1)的任一最優(yōu)解u?=()都具有反饋結(jié)構(gòu)=Fj(k|qj|),j=1,2,其中截斷函數(shù)Fj定義為

共軛變量qj滿足下列共軛系統(tǒng)

注意主方程中的變量(a,t)已被省去(出于簡潔性考慮).

證令(u?,p?)為問題(P1)的最優(yōu)對.對任一給定的切向量v ∈TU(u?)(集U在u?處的切錐),當ε充分小時必有u?+εv ∈U.因而J(u?)≤J(u?+εv);此即

其中z(a,t)=(z1(a,t),z2(a,t)) :=limε→0+ε?1[pε(a,t)?p?(a,t)]是下列系統(tǒng)的解.(略去主方程中的變量(a,t))

應(yīng)當注意:對于給定的p?=(),極限limε→0+ε?1[pε(a,t)?p?(a,t)]的存在性和系統(tǒng)(28)的適定性可用標準方法處理[1].

將(28)的第i個方程乘以qi(a,t),并在區(qū)域Q上積分,可以導出(應(yīng)用(25))

結(jié)合(29)與(27),可知下列不等式

對于任意v ∈TU(u?)均成立.因此(kq12)∈NU(u?)(集U在u?處的法錐).應(yīng)用法向量的結(jié)構(gòu)特征即得定理結(jié)論.

下列結(jié)果建立控制問題(P1)最優(yōu)解的存在唯一性.

定理4.2如果T足夠小,那么最優(yōu)控制問題(P1)有且只有一個解.

下文將證明H′(ε)嚴格單調(diào)增加.

分別記pε和pε+δ(δ >0充分小)為系統(tǒng)(1)相應(yīng)于εu1+(1?ε)u2和(ε+δ)u1+[1?(ε+δ)]u2的解.那么

根據(jù)p和q的連續(xù)性及有界性(令其上界分別為C3和C4)可得

代(35)入(34),即可導出

當T充分小時,必有(ε1?ε2)H′(ε1)?H′(ε2)>0.因此,H(ε)嚴格下凸,存在唯一ε?∈(0,1)最小化H(ε).從而,泛函J(u)有唯一最小元ε?u1+(1?ε?)u2.

§5 零解鎮(zhèn)定

首先考察下列未受控系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性:

系統(tǒng)(37)在(0,0)處的線性化如下:

考慮系統(tǒng)(38)形如pi(a,t)=wi(a)exp{λt},i=1,2的解,可得

將(40)代入(38)的第三個等式,導出特征方程

將(41)左端視為實變量λ的函數(shù),由其單調(diào)性易知:若存在i ∈{1,2}使得

則方程(41)至少有一個正實根,從而(37)的零解不穩(wěn)定.

一個很自然的問題是:應(yīng)當采取怎樣的遷移策略才能迫使零解穩(wěn)定? 在有限時域[0,T]上,此問題可作如下陳述.(P2) 尋求u?∈U,使得J(u?)≤J(u)對任意u ∈U均成立,這里

其中k代表罰參數(shù),向量函數(shù)對((u1,u2),(p1,p2))滿足下列受控系統(tǒng)約束:

運用類似于定理4.1的分析方法,可以給出問題(P2)中最優(yōu)解的下列描述.

定理5.1問題(P2)有唯一解=F(qi),i=1,2,其中共軛向量(q1,q2)由下列共軛系統(tǒng)給出.(主方程中的變量(a,t)已略去)

函數(shù)F,,由(25)定義.

§6 結(jié)論

本文基本假設(shè)(A1)-(A6)的生態(tài)學意義明確,(A1)對自然死亡率的限制是與有限的最大年齡相呼應(yīng),數(shù)學方面的要求完全合理.定理3.1表明具有個體年齡等級差異的捕食種群系統(tǒng)是近似可控的;換言之,必定存在個體遷移策略(u1,u2)使得系統(tǒng)終態(tài)(p1(a,T),p2(a,T))任意接近預定目標.定理4.1和4.2顯示這種策略可由(1),(25)以及定理4.1中的反饋控制率給出.共軛梯度法[30,p29]可用于遷移策略的近似計算.因此,關(guān)于此類種群系統(tǒng)調(diào)控的理論基礎(chǔ)和計算方法均已具備.鑒于農(nóng)林業(yè)害蟲抑制,傳染病和生物入侵防控的現(xiàn)實需求,定理5.1提出的零解鎮(zhèn)定方法也是有價值的.

致謝：作者感謝審稿專家和編輯老師的寶貴意見.