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        形式花樣迷人眼 撥開云霧見分明
        ——淺析定義型試題的分類解答

        2021-09-27 05:48:52王蘇文
        數(shù)理化解題研究 2021年25期
        關(guān)鍵詞:三邊本題命題

        王蘇文

        (浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

        自深化高考改革以來,高考考查從知識立意轉(zhuǎn)移到能力立意上,特別是隨著新教材中研究性課題的引入,高考也加強(qiáng)了對創(chuàng)新意識的考查力度.所謂創(chuàng)新就是對新穎的信息、情境,能選擇有效的方法和手段,綜合地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法,進(jìn)行獨立思考、探索和研究,提出解決問題的方法.在高考中經(jīng)??梢娨活愵}型的考查,即定義型試題,這些試題時常令部分學(xué)生束手無策,尤其是平時依賴于題型套路解題的這類學(xué)生更是如此.從平時的高考題中可將此類定義型試題分為三類:機(jī)械型定義題、拓展型定義題、概念型定義題,下面通過一些實例來淺析試題的分類解答.

        一、機(jī)械型定義題

        所謂機(jī)械型定義題,就是所給信息以一種運(yùn)算形式,按照給定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算,此類問題按部就班進(jìn)行運(yùn)算就可得到正確結(jié)果,一般易解答.

        例1 對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運(yùn)算“⊕”為:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)=( ).

        A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)

        分析解決此題的關(guān)鍵主要是對“?” “⊕”兩種運(yùn)算符所表達(dá)的運(yùn)算理解是否正確.

        解析由(1,2)?(p,q)=(5,0),結(jié)合(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad),得 (p-2q,2p+q)=(5,0).

        根據(jù)規(guī)定,得p-2q=5,2p+q=0.

        故p=1,q=-2.

        由(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),得(1,2)⊕(p,q)=(2,0).故選B.

        例2 設(shè)集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定義運(yùn)算“⊕”為:Ai⊕Aj=Ak,其中k為i+j被4除的余數(shù),i,j=0,1,2,3.則滿足關(guān)系(x⊕x)⊕A2=A0的x(x∈S)的個數(shù)為( ).

        A.1 B.2 C.3 D.4

        分析本題是對⊕的運(yùn)算及下標(biāo)的正確理解.

        解析根據(jù)題意“⊕”的運(yùn)算為Ai,Aj間的運(yùn)算,因此設(shè)x⊕x=Ak,則(x⊕x)⊕A2=A0變?yōu)锳k⊕A2=A0.由k=0,1,2,3,結(jié)合余數(shù)為0,則k=2.即x⊕x=A2.

        又被4除的余數(shù)為2,故x=A1或x=A3,故選B.

        二、拓展型定義題

        所謂拓展型定義題,根據(jù)題目所給的信息與我們所學(xué)的知識具有一定的類似性,希望利用所學(xué)知識中類似的方法靈活變通地去求在新定義下的結(jié)論.

        例3定義集合A-B={x|x∈A且x?B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},則N-M為( ).

        A.MB.NC.{6} D.{1,2,4,5}

        分析借助于集合運(yùn)算,得出新的集合運(yùn)算形式.

        解析根據(jù)A-B的定義,N-M表示為集合N中的元素除去在M中的元素,因此N-M={6}.

        例4 對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1| ,給出下列三個命題:①若點C在線段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||;②在△ABC中,若∠C=90°,則||AC||2+||CB||2=||AB||2;③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.其中真命題的個數(shù)為( ).

        A.0 B.1 C.2 D.3

        分析本題是對“距離”的一種新定義,結(jié)合原有距離概念下的相關(guān)知識,獲得結(jié)論進(jìn)行拓展是否也同樣成立.

        解析1 對于①,若點C在線段AB上,設(shè)點C坐標(biāo)為(x0,y0),則x0在x1,x2之間,y0在y1,y2之間,所以||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x1-x2|+|y1-y2|=||AB||成立,故①正確.

        對于②,在直角坐標(biāo)系下如圖1所示,||AC||=c+d,||CB||=a+b,||AB||=e+f,則||AC||2=c2+d2+2cd,||CB||2=a2+b2+2ab.

        結(jié)合圖形,a+c=f,d-b=e,||AB||2=e2+f2+2ef=(d-b)2+(a+c)2+2(b-d)(a+c),顯然||AC||2+||CB||2=||AB||2不一定成立,此命題不成立.

        對于③,在△ABC中,||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|,利用不等式|a|+|b|≥|a±b|,得||AC||+||CB||≥|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||,故③不一定成立.所以真命題的個數(shù)為1,故選B.

        解析2 本題中的②③真假判斷可用賦值法進(jìn)行甄別,如②:取A(-1,2),B(4,2),C(0,0),顯然,||AC||2+||CB||2>||AB||2;③取A(-1,0),B(0,1),C(0,0),顯然||AC||+||CB||=||AB||.

        三、概念型定義題

        所謂概念型定義題,簡單地講就是對一個題目的新包裝,只是一個名稱,具體還是要利用原有的知識和方法來求解,此類型不在于具體稱作什么,僅僅是個代號.

        A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②

        綜上可知,滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.故選A.

        例6 一個函數(shù)f(x),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a,b,c都在f(x)的定義域內(nèi),就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.

        解析(1)f1(x),f2(x)是“保三角形函數(shù)”,f3(x)不是“保三角形函數(shù)”.

        對于f3(x),3,3,5可作為一個三角形的三邊長,但32+32<52,所以不存在三角形以32,32,52為三邊長,故f3(x)不是“保三角形函數(shù)”.

        總之,對于定義型試題的求解,關(guān)鍵還是如何正確理解題意,從中獲取有用的信息,在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,準(zhǔn)確把握運(yùn)算規(guī)則,從而有效解決問題.

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