張云鋒

(廣東省惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué) 516211)

對于初中平面幾何問題，學(xué)生會傾向于構(gòu)建直線型模型來轉(zhuǎn)化條件，習(xí)慣利用三角形、四邊形的知識來解決問題，從而輔助線的添加就被局限在直線型里.實際上利用曲線型輔助線，在一些特定條件下，更有利于條件的集中與拓展，而圓是曲線型輔助線的代表.利用圓，構(gòu)建隱圓模型，可以使圖形的條件更豐富，通過下面六種構(gòu)建隱圓模型解題方法的對比，讓學(xué)生感受構(gòu)建隱圓模型解題的獨特，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.

一、利用圓的定義構(gòu)建隱圓模型

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，求點P到邊AB距離的最小值是多少？

分析因點E是動點，導(dǎo)致EF，EC，EP都在變化，但是FP=FC=2不變，所以點P到點F的距離永遠等于2.根據(jù)圓的定義構(gòu)建隱圓模型，可知點P在以F為圓心的圓周上運動.

解析因為△CEF沿直線EF翻折，可知△CEF≌△PEF，所以FP=FC=2，點P在以F為圓心的圓周上運動.過點F作FH⊥AB于點H，交⊙F于點P′,則FP′=FP=FC=2.

所以當(dāng)點P位于點P′位置時，線段PH取得最小值.

由∠A=∠A,∠AHF=∠C=90°，知△AFH∽△ABC.

所以AF∶FH∶AH=AB∶BC∶AC=5∶4∶3.

又因為AF=5，所以FH=4.所以點P到邊AB距離的最小值為P′H=FH-FP′=4-2=2.

二、利用“直角所對的弦是圓的直徑”構(gòu)建隱圓模型

例2 如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E是矩形內(nèi)部的一個動點，且AE⊥BE，求線段CE的最小值為多少.

分析利用AE⊥BE可構(gòu)建隱圓模型，即點E在以AB為直徑的⊙O上.

解析如圖4所示，因為AE⊥BE，所以點E在以AB為直徑的半⊙O上.連接CO交⊙O于點E′，所以當(dāng)點E位于點E′位置時，線段CE取得最小值.

因為AB=4，所以O(shè)A=OB=OE′=2.

三、利用“四點共圓”構(gòu)建隱圓模型

例3 如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O為AB的中點，過O作OE⊥OF，OE,OF分別交射線AC,BC于點E,F，求EF的最小值為多少？

分析因為∠EOF=90°，∠C=90°，所以點C，O，E，F(xiàn)四點共圓.因為EF是圓的直徑，點O，C均在圓上，且OC長度固定，要使得EF最短，則圓最小，要使圓最小，由于OC為固定長度，則OC為直徑時，圓最小.

四、利用“定弦對定角”構(gòu)建隱圓模型

例4 (2017年威海)如圖7，△ABC為等邊三角形，AB=2．若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，求線段PB長度的最小值為多少？

分析因為AC=2定弦、∠APC=120°定角，所以利用“定弦對定角”構(gòu)建隱圓模型，點P在圓周上，當(dāng)B，P，O三點共線時，BP最短.

五、確定等腰三角形的存在性構(gòu)建隱圓模型

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(2，3)，在坐標(biāo)軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有____個．

分析先分類：①OA=OP；②PO=PA；③AO=AP.

①OA=OP：以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與坐標(biāo)軸交于P1,P2,P3,P4四個點，如圖10.

②PO=PA：OA的垂直平分線與x軸、y軸的交點分別為點P7,點P8，如圖10.

③AO=AP：以點A為圓心，以AO為半徑畫弧，與x軸、y軸的交點分別為點P5、點P6，如圖10.

解析如圖10所示，符合題意的點共有8個點．

本題考查了等腰三角形、圓的基本性質(zhì)等，解答此題的關(guān)鍵在于構(gòu)建隱圓模型，確定等腰三角形的存在性.

六、確定直角的存在性構(gòu)建隱圓模型

例6 如圖11，矩形CDEF是由矩形ABCG(AB

分析要判斷直角頂點的個數(shù)，只要判定以AE為直徑的圓與線段BD的位置關(guān)系即可，相交時有2個點，相切時有1個，外離時有0個，不會出現(xiàn)更多的點.

解析如圖12所示，符合題意的點共有2個點．

本題主要是根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，把判定頂點的個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系的問題來解決，即圓與直線BD相交，則直角頂點P的位置有兩個.

綜上所述，通過六種構(gòu)建隱圓模型解題方法的對比，對有代表性的例題進行分類剖析、解答，讓學(xué)生感受構(gòu)建隱圓模型解題的獨特，進而能切實有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,進一步開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.