趙向陽,周慧琳,王 磊

(1.河南工學(xué)院 車輛與交通工程學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003;2.河南工學(xué)院 材料科學(xué)與工程學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003;3.河南工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

混沌是在確定性系統(tǒng)中發(fā)生的貌似隨機(jī)的無規(guī)則或不規(guī)則運(yùn)動(dòng)[1]?；煦缡窍到y(tǒng)固有的特性,它的表現(xiàn)是復(fù)雜的,既非準(zhǔn)周期和周期運(yùn)動(dòng),又非隨機(jī)運(yùn)動(dòng),而是呈現(xiàn)出對初值敏感的貌似隨機(jī)現(xiàn)象[2-3]。從20世紀(jì)70年代以來,混沌研究取得了較大進(jìn)展,在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、氣象學(xué)、通信、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用并取得了可喜的成績[4-6]。

1 非線性電路中的混沌演化過程

混沌是非線性系統(tǒng)在特定條件下的一種非線性動(dòng)力學(xué)行為,已有大量研究表明在一些非線性電路中存在混沌現(xiàn)象[7]。比較典型的混沌電路有Chua電路、Chen電路、Jerk電路、Lorenz電路和L?電路等。其實(shí),從混沌發(fā)現(xiàn)以來,通向混沌的途徑一直是非線性系統(tǒng)的重點(diǎn)研究方向[8]。目前,通向混沌的主要途徑有:概周期分叉、陣發(fā)性、倍周期分叉、激變、擦邊分叉[9-12]。

以林森電路為例分析混沌的演化過程。林森電路構(gòu)成如圖1所示,其中線性電感L=100μH,線性電阻R=200Ω,D是一變?nèi)荻O管,u是一正弦交流電壓(頻率2MHz)。

圖1 林森電路原理圖

如圖2所示,電壓幅值Um變化引起電流的復(fù)雜變化。當(dāng)Um<1V,即圖2中0～Um1段,電路中電流I是一周期非正弦電流,其頻率、周期和u相同。當(dāng)Um1

圖2 回路電流I隨Um變化情況

2 壓電諧振中的混沌現(xiàn)象

2.1 等效電路

壓電諧振器是諧振式傳感器和執(zhí)行器的核心部件,通常工作在共振和穩(wěn)幅狀態(tài)。在外部簡諧振動(dòng)激勵(lì)作用下,壓電諧振器可以等效為一正弦交流電源和一電容串聯(lián)。將其與電阻、電感和非線性電容串聯(lián),設(shè)計(jì)的電路如圖3所示。

圖3 壓電諧振器分流電路

其中,Cp是壓電諧振器固有電容;非線性電容Cn有以下庫伏特性:

vc=aq3

(1)

其中,vc和q分別是非線性電容兩端電壓和電荷,a是非線性系數(shù)。

對圖3所示電路,根據(jù)基爾霍夫定律,有

(2)

很顯然,這是一個(gè)Holmes型Duffing方程。

2.2 等效電路求解方法

對方程(2)進(jìn)行等效變換:

(3)

方程組(3)是典型的一階微分方程組,很難求其解析解。利用四階龍格庫塔算法求其數(shù)值解。將方程組(3)繼續(xù)進(jìn)行變換,令

(4)

(5)

其中,x是向量,F(x,t)是向量函數(shù)。方程組(3)可以變換為如下形式:

(6)

方程(6)可由以下方程進(jìn)行迭代求解:

(7)

其中,

l1=F(xn,tn)

(8)

(9)

(10)

l4=F(xn+Δtl3,tn+Δt)

(11)

方程(7)給定一個(gè)初值,利用MATLAB編制程序即可求解。

2.3 等效電路中的混沌現(xiàn)象

給定參數(shù)L=1H,R=0.1Ω,Cp=1F,a=1,ω=1rad/s,給定初值q=0,i=0,對等效電路系統(tǒng)方程進(jìn)行求解,得出電路輸出信號隨時(shí)間變化的時(shí)域波形圖和相圖。圖4、圖5、圖6分別是其他參數(shù)不變情況下僅改變激勵(lì)電壓Vm值時(shí)系統(tǒng)輸出的結(jié)果。

(a)電荷時(shí)域波形

(b)電流時(shí)域波形

(c)相圖圖4 Vm=0.1,初值q=0,i=0時(shí)電路輸出結(jié)果

由圖4—6可知,隨著激勵(lì)電壓幅值的增大,系統(tǒng)特性發(fā)生變化,電路輸出波形從簡單到復(fù)雜,但并沒有很強(qiáng)的規(guī)律性,這證實(shí)了確定電路中的不確定性,即貌似隨機(jī)性的行為特征。且從圖6可以看出,該系統(tǒng)的軌線滿足不交率,即兩條最大軌線不可能穿過同一常點(diǎn),因?yàn)槠浣獾墓饣成涫俏ㄒ坏?所以其軌線在相空間只能纏繞而不會(huì)相交,這時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

(a)電荷時(shí)域波形

(b)電流時(shí)域波形

(c)相圖圖5 Vm=10,初值q=0,i=0時(shí)電路輸出結(jié)果

(a)電荷時(shí)域波形

(b)電流時(shí)域波形

(c)相圖圖6 Vm=90,初值q=0,i=0時(shí)電路輸出結(jié)果

3 結(jié)論

本文通過將壓電諧振器等效并串聯(lián)非線性電容構(gòu)建了一個(gè)典型的受迫Duffing電路,同時(shí)建立了其動(dòng)力學(xué)方程,并著重研究了 Duffing 電路的非線性動(dòng)力學(xué)特性。通過將Duffing 方程降階并編制程序進(jìn)行數(shù)值仿真,系統(tǒng)表現(xiàn)出了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為;在選擇適當(dāng)?shù)碾娐穮?shù)時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。對于Duffing 電路,其非線性特性在各種領(lǐng)域有著極大的潛在應(yīng)用價(jià)值,如將其初值的敏感特性應(yīng)用在保密通訊中,在其隨機(jī)共振響應(yīng)下可以進(jìn)行信號檢測等。這項(xiàng)研究有著重大的理論和工程應(yīng)用價(jià)值[12]。