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        追“根”溯源,與“系數(shù)”共舞

        2021-09-27 05:59:10文/徐
        初中生世界 2021年35期

        文/徐 莉

        一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系,是我們解決一元二次方程根的問題的重要工具。

        具體內(nèi)容如下:一元二次方程x2+px+q=0(p、q為常數(shù),p2-4q≥0)的兩個實(shí)數(shù)根為x1、x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q;對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根為x1、x2,那么x1+x2=。

        一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在應(yīng)用時要注意以下幾點(diǎn):

        1.使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時,要先把方程化為一般式,并注意隱含條件a≠0;

        2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提是方程有實(shí)數(shù)根,因此在應(yīng)用時,一定要記住根的判別式b2-4ac≥0 這一隱含條件;

        3.只適合于一元二次方程,其他的方程不適用。

        一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系主要有如下幾方面的應(yīng)用:

        1.不解方程,求與方程根有關(guān)的代數(shù)式的值;

        2.已知方程的一個根,求方程的另一個根及待定字母的值;

        3.與根的判別式相結(jié)合,解決一些綜合問題;

        4.常見的涉及代數(shù)式的一些重要變形:

        蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第22頁有這樣一道題:

        例題小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字:

        一元二次方程x2-x=0 的兩根是2+和2-,你能寫出這個方程中被墨跡污染的一次項系數(shù)和常數(shù)項嗎?

        【解析】設(shè)一次項系數(shù)為b,則(2+)+(2-)=-b,可得一次項系數(shù)b為-4;設(shè)常數(shù)項為c,則(2+)×(2-)=c,可得常數(shù)項c為1。

        【小結(jié)】本題是有關(guān)一元二次方程根的計算問題。當(dāng)根是無理數(shù)時,運(yùn)算將十分煩瑣,這時,如果方程的系數(shù)是有理數(shù),利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易,化繁為簡的作用。

        變式1(2021·湖南永州)已知關(guān)于x的一元二次方程px2+2x+q=0 的兩根分別為m、n。

        (1)若m=2、n=-4,求p、q的值;

        (2)若p=3、q=-1,求m+mn+n的值。

        【解析】(1)方法一:把m=2、n=-4 代入方程,得

        解得p=1,q=-8。

        方法二:利用根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=-。將m=2、n=-4 代入,得

        解得p=1,q=-8。

        (2)將p=3、q=-1 代入方程px2+2x+q=0得3x2+2x-1=0。

        方法一:利用因式分解變形得到方程(x+1)(3x-1)=0,

        【小結(jié)】本題在解法上靈活多變,式子的變形具有創(chuàng)造性,重在考查變式的能力。利用根與系數(shù)的關(guān)系可以減少運(yùn)算量,降低出錯率。

        變式2(2020·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田)關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2-m=0 有兩個實(shí)根α、β,且α2+β2=12,那么m的值為( )。

        A.-1 B.-4

        C.-4或1 D.-1或4

        【解析】因?yàn)棣?、β是關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2-m=0 的兩個實(shí)根,

        所以α+β=-2(m-1)=-2m+2,αβ=m2-m。

        因?yàn)棣?+β2=(α+β)2-2αβ=12,

        所以(-2m+2)2-2(m2-m)=12,

        整理得m2-3m-4=0,利用因式分解變形得(m-4)(m+1)=0,

        解得m=4或m=-1。

        又因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2+2·(m-1)x+m2-m=0有兩個實(shí)根,

        所 以b2-4ac=[2(m-1)]2-4(m2-m)≥0,

        解得m≤1,

        所以m=-1。

        故選A。

        【小結(jié)】本題有兩個實(shí)數(shù)根α、β滿足α2+β2=12,可聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,利用變形α2+β2=(α+β)2-2αβ得到關(guān)于參數(shù)m的方程。但是同學(xué)們要注意,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是一元二次方程有解,即滿足根的判別式b2-4ac≥0,這往往是容易忽略的隱含條件,解題時要特別留意。

        變式3(2021·北京)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。

        (1)求證:該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

        (2)若m>0,且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2,求m的值。

        【解析】(1)證明:根據(jù)題意,得a=1,b=-4m,c=3m2,

        所以Δ=b2-4ac=(-4m)2-4×1×3m2=4m2。

        又因?yàn)闊o論m取何值時,4m2≥0,即Δ≥0,

        所以原方程總有兩個實(shí)數(shù)根。

        (2)因?yàn)閤2-4mx+3m2=0,即(x-m)·(x-3m)=0,所以x1=m,x2=3m。

        又因?yàn)閙>0,且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2,所以3m-m=2,

        解得m=1。

        【小結(jié)】本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系。一般地,如果題目中的兩根滿足等式(或不等式),可以將此關(guān)系式進(jìn)行恒等變形,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系,建立含參的方程(或不等式),從而求出參數(shù)的值(或不等式的范圍)。

        變式4(2019·內(nèi)蒙古包頭)已知等腰三角形的三邊長分別為a、b、4,且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根,則m的值是( )。

        A.34 B.30

        C.30或34 D.30或36

        【解析】分三種情況:(1)當(dāng)a=4時,b<8。由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0 的兩根,可得4+b=12,則b=8,不符合題意。

        (2)當(dāng)b=4 時,a<8。由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根,可得4+a=12,則a=8,不符合題意。

        (3)當(dāng)a=b時,由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根,可得a+b=12,ab=m+2,則a=b=6,m+2=36,所以m=34。

        故選A。

        【小結(jié)】本題首先要對a、b分類討論,其次求出的a、b的值還要滿足三角形的三邊關(guān)系。根據(jù)題意,可分以下三種情況:(1)當(dāng)a=4 時,b<8;(2)當(dāng)b=4時,a<8;(3)當(dāng)a=b時,a>2。同學(xué)們在解題時一定要注意取舍。

        一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,是解決有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具。相關(guān)知識的運(yùn)用方法靈活多樣,是設(shè)計考查創(chuàng)新能力試題的載體,在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)的頻率很高,應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容。通過以上內(nèi)容的學(xué)習(xí),同學(xué)們能大致了解考查根與系數(shù)這個知識點(diǎn)的題目類型了吧?希望同學(xué)們既要熟悉問題的常規(guī)解法,也要靈活使用特殊的簡捷解法,提高自身的解題能力。

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