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        厘清要點 逐個擊破

        2021-09-27 05:58:58謝潔紅
        初中生世界 2021年35期
        關(guān)鍵詞:移項五邊形一元二次方程

        文/謝潔紅

        進入九年級,方程家族再添一員——一元二次方程?;仡櫼辉淮畏匠?、二(三)元一次方程(組)、可化為一元一次方程的分式方程等知識的探究過程,我們發(fā)現(xiàn),方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,其研究路徑一般是“概念—解法—應(yīng)用”。本章主要是從一元二次方程的概念、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和應(yīng)用等方面來研究,對數(shù)學(xué)后續(xù)的學(xué)習(xí)和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也有著重要意義,讓我們一起來厘清要點,逐個擊破吧。

        知識點1:一元二次方程的概念

        一元二次方程必須同時滿足三個條件:①整式方程,即等號兩邊都是整式;②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0,特別要注意二次項系數(shù)a不為0。

        例1(2021·湖北荊門)x=2 是關(guān)于x的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0 的一個根,那么k的值為________。

        【分析】本題根據(jù)一元二次方程及其解的概念列出關(guān)于k的方程,再解這個方程求得k的值即可(特別注意二次項系數(shù)不為0)。

        【解答】把x=2 代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0,得4k+2k2-4+2k+4=0,整理,得k2+3k=0,解得k1=0,k2=-3。因為k≠0,所以k的值為-3。故答案為-3。

        知識點2:一元二次方程的解法

        一元二次方程的解法主要包括:直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法等。解決問題的基本策略就是降次,利用轉(zhuǎn)化的思想方法,通過直接開平方、配方、因式分解等,將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。解一元二次方程主要有四種基本方法,我們要根據(jù)方程的特點靈活選用,以簡化解題過程。下面我們一起通過實踐來觀察幾種解法的相互聯(lián)系和差別。

        例2解方程:

        (1)(2021·江蘇無錫)(x+1)2-4=0;

        (2)(x-2)2=(2x+5)2;

        (3)x2-4x-3=0;

        (4)(2021·黑龍江齊齊哈爾)x(x-7)=8(7-x)。

        【分析】先觀察這幾個方程的結(jié)構(gòu):(1)(2)兩題我們可以用直接開平方法,或選擇因式分解法(平方差公式)來求解,這兩種方法是首選方法;(3)可以用配方法或公式法求解;(4)的等號兩邊有(x-7)和(7-x)這個互為相反數(shù)的因式,可以用因式分解法(提取公因式)來求解,同樣也可以化成一般式后再用合適的方法求解。

        【解答】(1)(直接開平方法)移項,得(x+1)2=4。兩邊直接開平方,得x+1=±2,解得x1=1,x2=-3。

        (因式分解法)利用平方差公式,得(x+1+2)(x+1-2)=0,解得x1=1,x2=-3。

        (2)這題與(1)利用相同的方法可以解得x1=-1,x2=-7。

        (3)(配方法)移項,得x2-4x=3。配方,得x2-4x+22=3+22,即(x-2)2=7。解這個方程,得x-2=±7,即x1=2+。

        (如果這題改為x2-4x+3=0,還能用因式分解法,同學(xué)們可以試一下哦!)

        (4)(因式分解法)移項,得x(x-7)-8(7-x)=0。提公因式,得(x-7)(x+8)=0,解得x1=7,x2=-8。

        知識點3:一元二次方程的根的判別式

        根的判別式是b2-4ac,我們通過它的符號來判斷ax2+bx+c=0(a≠0)是否有實數(shù)根或者有幾個實數(shù)根,具體方法如下:(1)當(dāng)b2-4ac>0 時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當(dāng)b2-4ac=0 時,方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)當(dāng)b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根。反之也成立。

        例3(2021·湖北黃岡)若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根,則m的值可以是______。(寫出一個即可)

        【分析】由“方程x2-2x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根”可知:當(dāng)b2-4ac>0 時,此方程有兩個不相等的實數(shù)根。因為b2-4ac=(-2)2-4×1×m=4-4m>0,得m<1,所以只要寫出一個滿足m<1的m的值即可。

        【答案】比如0或-1等。

        知識點4:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

        一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是著名的韋達定理,雖然在教材里它是選學(xué)內(nèi)容,但這部分內(nèi)容可以幫我們進一步加深對一元二次方程及其根的認(rèn)識,它的應(yīng)用非常廣泛。先簡單了解下這個定理:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2,那么有x1+x2=-

        例4(2021·江蘇鹽城)設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0 的兩個根,則x1+x2的值為( )。

        A.-2 B.-3 C.2 D.3

        【分析】解決此類問題我們可以不求出方程的根,觀察得出a=1,b=-2,c=-3,由韋達定理可知x1+x2=-=2。故選C。

        知識點5:用一元二次方程解決實際問題

        利用一元二次方程解決實際問題,就是要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,難點是數(shù)量關(guān)系的確定。我們可以借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)直觀工具(如表格、線形示意圖等),找出問題中的各種量的相等關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型(一元二次方程),解決實際問題。此外,還需要根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗方程的解是否合理。

        例5在長方形ABCD中,AB=5cm,BC=6cm,點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s 的速度移動,與此同時,點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s 的速度移動。如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),當(dāng)點Q運動到點C時,兩點停止運動。設(shè)運動時間為t秒(t>0)。

        (1)填空:BQ=______,PB=______(用含t的代數(shù)式表示);

        (2)當(dāng)t為何值時,PQ的長度等于5cm?

        (3)是否存在t的值,使得五邊形APQCD的面積等于26cm2?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由。

        【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,勾股定理的應(yīng)用,表示出BQ、PB的長度是解題的關(guān)鍵。

        (1)根據(jù)P、Q兩點的運動速度可得BQ、PB的長度;

        (2)根據(jù)勾股定理可得PB2+BQ2=QP2,代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可;

        (3)根據(jù)題意可得△PBQ的面積為長方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積,再根據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長,即可得到方程,解方程即可。

        【解答】(1)∵P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動,∴AP=t(cm)。

        ∵AB=5(cm),∴PB=(5-t)cm。

        ∵點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動,

        ∴BQ=2t(cm)。

        (2)由題意得(5-t)2+(2t)2=52,

        解得t1=0(不合題意,舍去),t2=2。

        ∴當(dāng)t=2秒時,PQ的長度等于5cm。

        (3)當(dāng)t=1秒時,五邊形APQCD的面積等于26cm2。理由如下:

        長方形ABCD的面積是5×6=30(cm2),

        要使得五邊形APQCD的面積等于26cm2,

        則△PBQ的面積為30-26=4(cm2),

        解得t1=4(不合題意,舍去),t2=1。

        ∴當(dāng)t=1 秒時,五邊形APQCD的面積等于26cm2。

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