彭永剛

1.南京郵電大學 理學院 應用物理系，南京210003

2.江蘇省新能源技術(shù)工程實驗室，南京210003

核磁共振量子計算是利用已經(jīng)研究了六十多年的非常完善的核磁共振技術(shù)所實現(xiàn)的量子計算方案。近十幾年，核磁共振量子計算方案實驗研究[1-6]快速發(fā)展，成為量子計算物理實現(xiàn)的候選方案之一。利用核磁共振實現(xiàn)量子算法，需要用到單量子位邏輯門操作和兩量子位邏輯門操作，對于單量子位邏輯門操作需要一個微秒量級的射頻脈沖磁場來實現(xiàn)，對于兩量子位邏輯門操作，需要控制射頻脈沖磁場與系統(tǒng)內(nèi)部核自旋之間的相互作用（不加射頻磁場脈沖）隨時間演化的合理組合來實現(xiàn)。量子算法是由一序列基本幺正變換的乘積構(gòu)成的，利用核磁共振技術(shù)實現(xiàn)量子算法就是把一序列基本幺正變換編譯成現(xiàn)代超導核磁共振譜儀上能夠直接執(zhí)行的核磁共振脈沖序列。1995年，Barenco等人[7]已證明：任意一個量子算法可以寫成兩量子位量子控制非門和一位單量子位門的組合，因此，研究量子控制非門的核磁共振的物理實現(xiàn)，對研究量子算法的核磁共振物理實現(xiàn)具有重要意義。1999年，Price等人[8]提出用經(jīng)典幾何代數(shù)學的方法構(gòu)造量子控制非門的核磁共振脈沖序列。2001年，F(xiàn)ung等人[9]提出用成對的偽純態(tài)代替單個偽純態(tài)的方法來設計核磁共振脈沖序列，實現(xiàn)量子控制非門。2018年，Gaikwad等人[10]提出量子過程層析成像的方法實現(xiàn)核磁共振量子控制非門。2018年，Jiang等人[11]提出零磁場核磁共振脈沖序列的方法實現(xiàn)量子控制非門。2020年Zeng等人[12]提出了驗證核磁共振實現(xiàn)量子控制非門的方法。本文運用在核磁共振條件下單體和兩體含時薛定諤方程[13-15]的近似求解方法，研究量子控制非門核磁共振物理實現(xiàn)脈沖序列的設計和脈沖序列參數(shù)取值。根據(jù)Suzuki乘積公式[16-18]，給出數(shù)值求解含時薛定諤方程的方法，用該方法對含時薛定諤方程進行數(shù)值計算，驗證量子控制非門磁共振脈沖序列設計和參量取值的正確性。

1 量子控制非門核磁共振實現(xiàn)的脈沖序列

1.1 兩量子位核磁共振量子處理器

1H、13C、14N、31P等原子的核自旋均為1/2，可作為量子比特使用。在一個分子中，如果有兩個核自旋為1/2的原子，可作為一臺兩量子位的處理器[1，19]，在外加的均勻磁場和射頻磁場中，這個自旋1/2兩核自旋系統(tǒng)的哈密頓量[1，19]為：

式中，表示第j核自旋沿α方向自旋算符，表示核自旋1和核自旋2之間相互作用的強度，表示作用在核自旋沿z軸方向的均勻磁場，表示作用在第j核自旋沿α方向的射頻磁場表示作用在第j核自旋沿α方向射頻磁場的頻率和初相位。

1.2 單量子位邏輯門核磁共振實現(xiàn)

核自旋狀態(tài)的波函數(shù)是一個二分量的列旋量，向上和向下的基矢量可表示為：

單個核自旋受到沿著z軸的均勻磁場和沿x軸的射頻脈沖磁場作用，其狀態(tài)隨時間的演化，遵守單體含時薛定諤方程：

核自旋繞x軸轉(zhuǎn)動，需要在y軸上施加射頻脈沖磁場。核自旋繞x和y軸順時針轉(zhuǎn)動π/2的操作可表示為：

第j核自旋繞x軸和y軸逆時針轉(zhuǎn)動π/2的操作表示為：

1.3 量子控制非門核磁共振脈沖序列設計

量子計算中兩核自旋之間通過核自旋與核自旋的相互作用交換量子信息，核自旋1和核自旋2之間的相互作用受控相移門[20]為：

其中，c0=a0+a1，c1=a1-a0，c2=a2+a3，c3=a3-a2，由于量子控制非門的定義是當且僅當?shù)谝缓俗孕幱趹B(tài)時，才翻轉(zhuǎn)第二核自旋的狀態(tài)，這要求?00=?01，式（13）改寫為：

式中，β=α+?11-?00，α=(?10-?11)/2，ei?00是無關(guān)緊要的整體相位因子，根據(jù)伊辛模型：

執(zhí)行受控相移門I12=e-iτH,則?00=τ(J/4+h),?01=?10=-τJ/4，?11=τ(J/4-h)，考慮到?00=?01，式（14）改寫為：

τ表示量子處理器在沒有外界射頻磁場作用時，兩量子位核自旋系統(tǒng)的狀態(tài)在哈密頓量式（15）的支配下，隨時間演化的時間間隔。

在伊辛模型式（15）中兩個核自旋處于相同的靜態(tài)磁場，但實際上兩個核自旋處于不同的靜態(tài)磁場，這個靜態(tài)磁場為：

是通過系統(tǒng)隨時間演化e-iτHNMR來實現(xiàn)，演化時間間隔為τJ=-π，由式（22）可知，實現(xiàn)量子控制非門的核磁共振脈沖序列不是唯一的。

1.4 核磁共振脈沖序列參數(shù)的取值

一種理想的情況。實際情況是使核自旋1發(fā)生共振的射頻脈沖磁場不僅會改變核自旋1的狀態(tài)，也會改變核自旋2的狀態(tài)，要參數(shù)設定更準確，必須求解兩體核自旋系統(tǒng)的含時薛定諤方程，考慮數(shù)值計算中的參數(shù)設定是采用參考文獻[1]參數(shù)式（24），核自旋之間相互作用時間遠小于射頻脈沖作用持續(xù)時間，這時核自旋之間相互作用對核自旋在射頻脈沖作用下隨著時間演化的影響可以忽略不計，兩體含時薛定諤方程為：

采用自然單位，令?=1，這時兩個核自旋處于一個靜態(tài)磁場和一個射頻正旋磁場中，這時選擇在旋轉(zhuǎn)參考系[13]中計算含時薛定諤方程，當射頻磁場與核自旋1發(fā)生共振，即

其中，k2、n2是正整數(shù)，式（34）和式（35）無精確解，但在k1和k2很大，γ為有理數(shù)時，令γ=N/M，0>1，那么，k1=kMN2和k2=k NM2將使方程式（34）和式（35）產(chǎn)生足夠精確解，相關(guān)物理量之間的關(guān)系由下式給出：

式（19）、式（22）和式（36）是量子控制非門脈沖序列參數(shù)取值的關(guān)系式，核自旋1和核自旋2繞x軸轉(zhuǎn)動π/2的脈沖序列參數(shù)取值也有同樣的關(guān)系式。在式（36）中，取k=1，M=4，N=1，再利用式（22），射頻脈沖序列的操作時間τ以及等參數(shù)取值見表1，表1中各參數(shù)的單位為109πHz。在式（36）中，取k=1，M=4，N=1，再加上式（19）計算出實現(xiàn)量子控制非門核磁共振脈沖序列的單量子位邏輯門及受控相移門的執(zhí)行時間τ，得到執(zhí)行時間參數(shù)見表2，執(zhí)行時間單位為4πns。當k=2、8、32時射頻脈沖序列的操作時間τ以及等參數(shù)不予贅述。

表1 k=1量子控制非門脈沖序列參數(shù)J和h取值Table 1 Parameter values of quantum controlled not gate pulse sequence J and h for k=1 109πHz

表2 k=1核磁共振脈沖序列參數(shù)執(zhí)行時間τ取值Table 2 Parameter execution timeτof NMR pulse sequence for k=14πns

2 量子控制非門脈沖序列設計與參數(shù)取值正確性的驗證

2.1 含時薛定諤方程的數(shù)值求解方法

為了驗證上述量子控制非門核磁共振實現(xiàn)脈沖序列設計及參數(shù)取值的正確性，需對含時薛定諤方程進行數(shù)值求解。核自旋系統(tǒng)隨時間的演化遵守含時薛定諤方程：

在特定的射頻脈沖執(zhí)行過程中參量J、h和h?可看成是恒定的。顯然上述構(gòu)造U?(δ)是幺正的，上述求解含時薛定諤方程的算法是無條件穩(wěn)定[16-17]的?？梢宰C明|U(δ)-U?(δ)|≤cδ3，這意味著在二階時間步長δ內(nèi)算法是正確的，這種解法的結(jié)果和式（37）的含時薛定諤方程的精確解沒有區(qū)別。

2.2 數(shù)值求解計算結(jié)果與討論

在參數(shù)設定關(guān)系式（35）中取k=1時，實現(xiàn)量子控制非門核磁共振脈沖序列及控制相移門的執(zhí)行時間τ、時間步長δ和時間步m數(shù)見表3。當k=2,8,32的執(zhí)行時間、時間步長及時間步數(shù)不予贅述。

表3 k=1脈沖序列執(zhí)行時間、時間步長和執(zhí)行步數(shù)Table 3 Pulse sequence execution time，time step and number of execution steps for k=1 4πns

用上述數(shù)值求解含時薛定諤方程的方法編程計算得到：k=1,2,8,32時，量子控制非門作用于時，量子位1和量子位2的Q1、Q2隨時間演化曲線如圖1、圖2、圖3和圖4所示。

圖1 k=1時，Q1和Q2時間步數(shù)演化Fig.1 Evolution of Q1 and Q2 for k=1

圖2 k=2時，Q1和Q2隨時間步數(shù)演化Fig.2 Evolution of Q1 and Q2 for k=2

在圖1、圖2、圖3和圖4中，縱坐標Q1表示第一量子位的核自旋z方向分量的期望值隨時間演化，由實線表示，Q2表示第二量子位的核自旋z方向分量的期望值隨時間演化，用短劃線表示。橫坐標表示時間步數(shù)，橫坐標除相互作用受控相移門I′12外，執(zhí)行一個基本操作的時間步數(shù)是100，圖1、圖2、圖3和圖4中Q1和Q2隨時間演化曲線表明：（1）在兩個核自旋之間相互作用時間遠小于射頻脈沖作用時間這個條件下，當2kN(M-N)>>1時，式（35）確實是式（33）和式（34）足夠精確的近似解，上述兩體含時薛定諤方程的近似求解方法是正確的。（2）本文的設計確實能使射頻磁場對核自旋1作用時對核自旋2不起作用，射頻磁場對核自旋2作用時對核自旋1不起作用，相互作用受控相移門I′12在時間步數(shù)300左右在核自旋1和核自旋2發(fā)生明顯相互作用。（3）驗證了上述量子控制非門核磁共振脈沖序列設計和參數(shù)取值的正確性。

圖3 k=8時，Q1和Q2隨時間步數(shù)演化Fig.3 Evolution of Q1 and Q2 for k=8

圖4 k=32時，Q1和Q2隨時間步數(shù)演化Fig.4 Evolution of Q1 and Q2 for k=32

3 結(jié)束語

通過單核自旋1/2系統(tǒng)繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動算符和兩量子位相互作用受控相移門的組合，可設計量子控制非門核磁共振脈沖序列。當射頻電磁場的頻率與某一特定核自旋進動頻率相同時，在兩個核自旋之間相互作用時間遠小于射頻脈沖作用時間的條件下，這時兩體含時薛定諤方程有足夠精確近似解，由兩體含時薛定諤方程的足夠精確的近似解可推出量子控制非門核磁共振脈沖序列的參數(shù)取值之間的關(guān)系式。用Suzuki對稱乘積公式對含時薛定諤方程進行數(shù)值求解計算，可驗證量子控制非門核磁共振脈沖序列設計、參數(shù)取值的正確性和算法的穩(wěn)定性。本文所使用的利用核磁共振實現(xiàn)量子控制非門的方法，即用單量子位轉(zhuǎn)動門和兩量子位之間相互作用受控相移門的組合也可用于構(gòu)造其他量子邏輯門和量子算法。用Suzuki對稱乘積公式數(shù)值求解含時薛定諤方程的方法也可用來驗證其他量子邏輯門和量子算法設計的正確性。