尚慶華，馬保慧

（1.天水電氣傳動(dòng)研究所集團(tuán)有限公司，甘肅 天水 741020；2.大型電氣傳動(dòng)系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 天水 741020）

隨著中國的工業(yè)升級，多電機(jī)同步控制在工業(yè)控制領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛，工業(yè)控制領(lǐng)域中多電機(jī)同步協(xié)調(diào)控制性能的優(yōu)劣直接影響工業(yè)的生產(chǎn)質(zhì)量和生產(chǎn)效率，因此研究多電機(jī)同步控制成為了實(shí)現(xiàn)工業(yè)自動(dòng)化的趨勢。

多電機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出、強(qiáng)耦合、時(shí)變的非線性系統(tǒng)。多電機(jī)控制系統(tǒng)現(xiàn)有的控制方案主要以PID控制為主，同步協(xié)調(diào)控制是多電機(jī)系統(tǒng)的基本要求，PID控制器解耦性能較差，運(yùn)行狀態(tài)的改變、負(fù)載擾動(dòng)都會(huì)影響控制的精度，參數(shù)整定較為困難，參數(shù)的魯棒性差，無法達(dá)到滿意的控制效果，無法共同滿足快速性、準(zhǔn)確性的要求。在多電機(jī)系統(tǒng)中張力與速度之間存在一定耦合，電機(jī)的狀態(tài)相互影響，實(shí)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)控制，不僅僅是各個(gè)電機(jī)同步運(yùn)行，還要保證張力的控制。實(shí)現(xiàn)多電機(jī)同步協(xié)調(diào)系統(tǒng)中張力和速度的解耦，使得張力不受速度變化的影響。針對多電機(jī)控制系統(tǒng)中同步協(xié)調(diào)問題，以及速度和張力的解耦問題成為研究的熱點(diǎn)。

在文獻(xiàn)［3～4］中將自抗擾引入多電機(jī)控制系統(tǒng)，以及在自抗擾的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)［5］中將智能算法引入多電機(jī)同步系統(tǒng)，通過各種優(yōu)化智能算法，對于傳統(tǒng)的PID控制中的一些不足加以改進(jìn)，提高了系統(tǒng)的抗干擾性能，但依賴于系統(tǒng)的精確模型。文獻(xiàn)［6］提出將虛擬主軸引入多電機(jī)同步控制系統(tǒng)，電機(jī)之間不再有主從之分，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，可以有效地提高系統(tǒng)的同步性能。文獻(xiàn)［7］采用了最小二乘支持向量機(jī)控制。文獻(xiàn)［8］提出將模糊PID引入多電機(jī)同步控制系統(tǒng)，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，有效地提高系統(tǒng)的同步性能。文獻(xiàn)［11］將滑?？刂埔攵嚯姍C(jī)同步控制系統(tǒng)，滑模算法具有很多算法無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，且獲得了較好的控制性能。然而，上述方法在應(yīng)用于多電機(jī)同步控制系統(tǒng)中存在耦合問題，較難確定耦合規(guī)律，而且使用多個(gè)控制器勢必導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)算復(fù)雜，計(jì)算工作量較大，跟蹤性能大打折扣，無法實(shí)現(xiàn)張力和速度較好解耦，控制器之間存在耦合，參數(shù)較多，同步控制系統(tǒng)調(diào)整性能差。

為了實(shí)現(xiàn)多電機(jī)系統(tǒng)更優(yōu)的速度、張力解耦，降低系統(tǒng)對于參數(shù)的依賴性，本文提出一種基于一體化控制的多電機(jī)同步協(xié)調(diào)控制方法，該方法通過引入反步控制，進(jìn)一步提升了多電機(jī)系統(tǒng)的同步協(xié)調(diào)能力，并提高了控制精度?；诜床竭f推控制的思想，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有效提高了速度、張力的解耦能力。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的一體化控制方法和傳統(tǒng)PID在速度、張力解耦和同步協(xié)調(diào)方面具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

1 多電機(jī)同步調(diào)速系統(tǒng)

多電機(jī)同步系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，圖中控制器控制三臺變頻器分別驅(qū)動(dòng)三臺交流異步電機(jī)，由此構(gòu)成了三電機(jī)同步協(xié)調(diào)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了張力、速度解耦控制。電機(jī)分別為1、2、3號，其中1號為主電機(jī)，2、3號為從動(dòng)電機(jī)，三臺電機(jī)通過減速后，再驅(qū)動(dòng)滾輪運(yùn)轉(zhuǎn)，滾輪通過皮帶相連，控制相鄰電機(jī)的速度差來控制張力。根據(jù)虎克定理得到張力表達(dá)式。

圖1 三電機(jī)協(xié)調(diào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

主電機(jī)和#2號從動(dòng)機(jī)兩個(gè)電機(jī)之間的張力F12表達(dá)式為：

兩個(gè)從動(dòng)機(jī)#2、#3間的之間張力F23表達(dá)式為

式中，K1=E/V1、K2=E/V2分別為傳遞函數(shù)；T1=L1/AV1、T2=L2/AV2為張力變化常數(shù)；A是皮帶截面積，E是皮帶的彈性模量；L1、L2分別是1、2電機(jī)、2、3電機(jī)的間距；V1、V2是預(yù)期的速度；r1、r2、r3是驅(qū)動(dòng)滾輪的半徑；k1、k2、k3是驅(qū)動(dòng)滾輪的速度比；Wr1、Wr2、Wr3是各個(gè)電機(jī)的角速度；np1、np2、np3是各個(gè)電機(jī)的極對數(shù)；從張力表達(dá)式可以看出，電機(jī)速度Wr1和電機(jī)之間的張力F12、F23存在耦合現(xiàn)象，對于單一變量的控制不能很好地實(shí)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)控制，因此要進(jìn)行解耦。

三電機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為：

式中，J1、J2、J3是電機(jī)各自的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Lr1、Lr2、Lr3是電機(jī)轉(zhuǎn)子電感，Tr1、Tr2、Tr3是轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)，TL1、TL2、TL3是三電機(jī)各自的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，φr1、φr2、φr3是電機(jī)轉(zhuǎn)子磁通。

2 基于PID控制的多電機(jī)同步控制系統(tǒng)

在多電機(jī)同步協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)中，PID控制應(yīng)用最為廣泛，圖2是基于PID控制的三電機(jī)同步控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖2 PID三電機(jī)協(xié)調(diào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

多電機(jī)同步協(xié)調(diào)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出的強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，三個(gè)輸入變量且變量之間存在耦合現(xiàn)象所以采用三個(gè)PID控制器，分別為轉(zhuǎn)速控制器、張力F12和F23控制器，轉(zhuǎn)速反饋量采用光電編碼器檢測獲取，張力反饋量則采用張力傳感器測量得到。張力和速度之間存在耦合，通過控制相鄰電機(jī)的速度差來控制張力，三個(gè)滑輪的半徑不一致還需要進(jìn)行折算，給定速度經(jīng)過半徑折算比例和張力F12控制器的輸出共同作用來控制2號電機(jī)的速度，同理，2號電機(jī)的速度轉(zhuǎn)換和張力F23控制器的輸出共同作用來控制三號電機(jī)的速度。但是PID控制器參數(shù)較多，參數(shù)整定困難，參數(shù)敏感，外界運(yùn)行狀態(tài)的改變，都會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度，參數(shù)的魯棒性差，多電機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出、強(qiáng)耦合、時(shí)變的非線性系統(tǒng)，且變量之間存在耦合，任意變量的改變都會(huì)影響系統(tǒng)的精度，PID控制器已經(jīng)無法滿足高性能同步性的要求。

3 基于一體化控制的多電機(jī)同步控制系統(tǒng)

針對PID控制存在的問題，本文提出基于一體化控制的多電機(jī)同步控制方法。一體化控制即將三個(gè)電機(jī)的三個(gè)控制器用反步控制器替換、整合為一。在解決變量耦合的同時(shí)，減少控制器的數(shù)量，間接提高了系統(tǒng)的帶寬。最后，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。控制器要實(shí)現(xiàn)速度和張力趨向無差跟蹤，以跟蹤和鎮(zhèn)定為主要目標(biāo)。

3.1 反步控制原理

反步控制的思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階次的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)和中間虛擬控制量，在保證每個(gè)子系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，推導(dǎo)出系統(tǒng)的最終控制律，實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。通過反向設(shè)計(jì)使得系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并且消除了經(jīng)典無源性設(shè)計(jì)中相對階為1的限制。反步法的理念是在每個(gè)子系統(tǒng)中引入虛擬控制，通過虛擬反饋，使得子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)趨近穩(wěn)定，引入誤差變量，使得整個(gè)系統(tǒng)趨近穩(wěn)定。圖3是基于一體化反步控制的三電機(jī)同步控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖3 三電機(jī)一體化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3.2 基于一體化控制的多電機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

根據(jù)數(shù)學(xué)模型，可將三電機(jī)系統(tǒng)設(shè)置為五階子系統(tǒng)，因?yàn)榇嬖隈詈峡蓪⑥D(zhuǎn)速和張力形成遞推子系統(tǒng)，使得跟蹤誤差漸進(jìn)趨向穩(wěn)定。本文采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論判斷反步控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定義誤差變量z。

第一步：速度Wr1反步控制器

其中Wr1ref是速度給定值，對于誤差求導(dǎo)，

首先構(gòu)造一個(gè)反步閉環(huán)控制系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

對V1進(jìn)行求導(dǎo)，將式（1）、（2）帶入可得

為了穩(wěn)定系統(tǒng)的誤差，得出所設(shè)計(jì)的反步控制系統(tǒng)滿足李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的充分條件，選取

其中c1>0，

可得

第二步：張力F12反步控制器

定義誤差：

其中F12ref是張力給定值，對于誤差求導(dǎo)，

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

對V2進(jìn)行求導(dǎo)，將式（6）、（8）、（9）帶入可得，

選取虛擬控制量

其中c2>0，

可得

第三步：引入Wr2虛擬變量

定義誤差：

求導(dǎo)得

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

對V3進(jìn)行求導(dǎo)，將式（12）、（14）帶入可得，

選取

其中c3>0，

整理后

第四步：張力F23反步控制器

定義誤差：

其中F23ref是張力給定值，對于誤差求導(dǎo)，

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

對V4進(jìn)行求導(dǎo)，將式（17）、（19）帶入可得

選取虛擬控制量

其中c4>0，

可得

第五步：引入Wr3虛擬變量

定義誤差：

求導(dǎo)得

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

對V5進(jìn)行求導(dǎo)，將式（23）、（25）帶入可得，

選取

其中c5>0，

可得

3.3 穩(wěn)定性分析

本文采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論判斷反步控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。首先構(gòu)造一個(gè)反步閉環(huán)控制系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，由李雅普諾夫穩(wěn)定性條件推導(dǎo)出變量的選取，引入了虛擬變量，經(jīng)過理論分析可得出，只需要確定ci為非負(fù)數(shù)即可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在實(shí)際的工業(yè)控制中，其中的控制變量ci選取需要結(jié)合實(shí)際，參數(shù)對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性起了重要的作用，需要不斷進(jìn)行嘗試。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

為了驗(yàn)證本文提出的基于一體化控制的多電機(jī)同步控制系統(tǒng)方法的可行性，仿真中所用電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 伺服電機(jī)參數(shù)

4.2 解耦性能驗(yàn)證

初始速度Wr1給定25πr/min,張力F12給定60N，張力F23給定50N，在5s時(shí)速度Wr1由給定25πr/min突變至30πr/min，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 張力速度對比波形

由圖4可以得出，PID控制時(shí)候的調(diào)節(jié)時(shí)間ts為1.5s；而一體化控制方法下調(diào)節(jié)時(shí)間ts為0.18s。在速度突變的時(shí)候，PID控制對于張力影響較為明顯，張力F12、F23的恢復(fù)時(shí)間為1.55s、0.8s；但是一體化控制方法速度突變對于張力影響較小，經(jīng)過0.15s后張力恢復(fù)到給定。

初始速度W r1給定25πr/min,張力F12給定50N，張力F23給定40N，在10s時(shí)張力F12由給定突變至60N，張力F23由給定突變至50N。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 速度張力對比波形

由圖5可以得出，在張力突變時(shí)PID控制，張力突變時(shí)速度經(jīng)過1s后恢復(fù)給定，在一體化控制下影響較小，幾乎一次性達(dá)到系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。在速度突變、張力不變和速度不變、張力突變的情況下，基于一體化控制可以更好實(shí)現(xiàn)張力、速度解耦。

4.3 跟蹤性能驗(yàn)證

在張力給定的情況下，初始速度給定為幅度為20、頻率為1rad/sec的正弦波信號，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 速度正弦波對比波形

由圖6可以得出，采用PID控制時(shí)，正弦波的速度跟蹤時(shí)間滯后0.1s，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess為3.75%，采用一體化控制方法時(shí)，幾乎可以達(dá)到無差跟蹤。

在張力給定時(shí)，初始速度給定為幅度為50到80、周期為2s的三角波信號，響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 速度三角波對比波形

如圖7可見，采用PID控制時(shí)，三角波的速度跟蹤時(shí)間滯后0.1s，跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差為±2，采用一體化控制方法時(shí)，速度跟蹤性能良好，無滯后跟蹤時(shí)間，跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差為±0.3。

在速度給定時(shí)，初始張力F23給定幅度為20、頻率為1rad/sec的正弦波信號，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 張力正弦波對比波形

如圖8可見，采用PID控制時(shí)，正弦波信號的張力跟蹤響應(yīng)時(shí)間為0.9s，跟蹤存在滯后，跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差ess為3.75%，采用一體化控制方法時(shí)，速度跟蹤性能良好，張力跟蹤響應(yīng)時(shí)間為0.3s，幾乎無滯后跟蹤時(shí)間。可見基于一體化控制的同步系統(tǒng)具有更快的響應(yīng)速度，較好的跟蹤精度。

5 結(jié)論

針對多電機(jī)系統(tǒng)具有多輸入多輸出、強(qiáng)耦合、時(shí)變的非線性系統(tǒng)等特點(diǎn)，本文提出了一種基于一體化控制的多電機(jī)同步協(xié)調(diào)控制方法，該控制方法通過引入反步提高了系統(tǒng)的快速性和控制精度。通過解耦、跟蹤仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文提出的方法有更快的響應(yīng)速度，仿真結(jié)果驗(yàn)證了基于一體化控制的多電機(jī)同步協(xié)調(diào)控制方法的正確性和有效性。