閆文浩, 張艷鵬, 邢亞男，丁 群

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

混沌理論具有對(duì)初值的敏感、內(nèi)稟隨機(jī)性、遍歷性、拓?fù)鋫鬟f性和正的李氏指數(shù)等特性[1-3],被廣泛應(yīng)用到保密通信中[4-11]?；煦缤绞腔煦绫Ｃ芡ㄐ诺幕A(chǔ)，研究起步于20世紀(jì)90年代，美國科學(xué)家Peroca L M等證明了互相耦合的混沌系統(tǒng)，在一定條件下可以產(chǎn)生同步現(xiàn)象[12-13]。在混沌同步方法中，從驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)同步法、主動(dòng)—被動(dòng)同步法、反饋同步法、耦合同步法到自適應(yīng)同步法、脈沖同步法、廣義同步法、基于狀態(tài)觀測(cè)器的同步法等[14-20]，混沌同步方案包括電路混沌同步、激光混沌同步等[3,21-22]。離散混沌系統(tǒng)同步研究有連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化同步和(直接)離散混沌系統(tǒng)同步2種方法，本文對(duì)連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化同步方法開展研究?；煦缦到y(tǒng)同步主要基于模擬電路與數(shù)字電路兩種實(shí)現(xiàn)方式，目前均以理論研究和仿真實(shí)驗(yàn)占有主導(dǎo)地位。

Angeli A D等[23]指出，大多數(shù)研究一直專注于模擬電路系統(tǒng)，影響實(shí)際應(yīng)用，在通信方案表現(xiàn)出內(nèi)在的弱魯棒性，即不可避免地出現(xiàn)錯(cuò)誤電路元件的值，以及產(chǎn)生的干擾通過通信鏈路可以嚴(yán)重影響同步過程，并能使其無效。在實(shí)際應(yīng)用中，由于電路元件的差異及電路受到環(huán)境的影響，在同步通信中使得電路系統(tǒng)的元器件特性產(chǎn)生變化，使同步電路固有參數(shù)失配，在實(shí)際應(yīng)用面臨較大的困難。文獻(xiàn)[24-26]闡述了混沌保密通信同步方案的同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了數(shù)字混沌應(yīng)用前景。數(shù)字混沌的前提是離散混沌系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，由于離散系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)的嚴(yán)格匹配，具有比連續(xù)系統(tǒng)更多的優(yōu)勢(shì)，所以開始轉(zhuǎn)向離散非線性映射混沌系統(tǒng)同步研究。

在離散混沌同步研究的基礎(chǔ)上，需要面向?qū)嶋H研究一種簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的同步算法求解同步問題并分析類比同步性能指標(biāo)。對(duì)經(jīng)典傳統(tǒng)離散化同步系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比分析，設(shè)計(jì)性能優(yōu)良的同步控制器及保密通信系統(tǒng)。

本文主要基于安全通信的背景，以適合于離散混沌系統(tǒng)同步傳輸為主要目的展開研究。提出了一種基于鋸齒混沌的3D離散超混沌系統(tǒng)。并通過平衡點(diǎn)分析、Lyapunov指數(shù)分析以及近似熵分析，驗(yàn)證了此系統(tǒng)是一個(gè)離散超混沌系統(tǒng)。利用驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)法建立了主從系統(tǒng)的同步，為圖像的保密傳輸方案奠定了基礎(chǔ)。通過理論證明和數(shù)值仿真驗(yàn)證此方法的有效性，通過相關(guān)仿真實(shí)驗(yàn)分析證明了此系統(tǒng)的安全性和可行性。

1 新3D鋸齒離散超混沌系統(tǒng)

離散混沌系統(tǒng)可在加密傳輸系統(tǒng)中使信號(hào)同步，也可作為密鑰序列發(fā)生器對(duì)明文信息進(jìn)行加密?；阡忼X混沌的方程結(jié)構(gòu)和Henon映射，通過進(jìn)一步研究與比較，設(shè)計(jì)了一種基于鋸齒混沌的3D離散超混沌系統(tǒng)，可表示為

(1)

其中:a,b,c,d,e均為系統(tǒng)參數(shù)；N為正整數(shù)，取N=2。

1.1 混沌的證明

Lyapunov指數(shù)(LE)是證明混沌存在的廣泛使用的指標(biāo)。它度量了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)從極其接近的初始狀態(tài)出發(fā)的兩個(gè)軌跡的平均收斂速度。用LE的定義來證明系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng)。

定義1：如果一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)滿足:①相平面是整體有界的;②至少有一個(gè)正的LE。那么它就是混沌的。

推論1：如果動(dòng)力系統(tǒng)有多于一個(gè)正 LE，就會(huì)產(chǎn)生超混沌行為。

命題1:若系統(tǒng)(1)滿足系統(tǒng)參數(shù)cd>1,則系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng)。

證明：顯然系統(tǒng)(1) 是全局有界的，該系統(tǒng)的Jacobian 推導(dǎo)如下

(2)

系統(tǒng)(1)從觀測(cè)時(shí)間0 到觀測(cè)時(shí)間k-1 的Jacobian矩陣乘法為

(3)

令γ1(Φk),γ2(Φk)和γ3(Φk) 是矩陣Φk的3個(gè)特征值，則系統(tǒng)(1)的3個(gè)LEs計(jì)算如下

(4)

則有

(5)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)cd>1時(shí)，LE1+LE2+LE3>0,則LE1,LE2,LE3至少有一個(gè)正的。

1.2 相圖

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=0.3,b=0.1,c=2.3,d=0.5,e=0.5，且初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(0.3,0.7,0.6)時(shí)，系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)軌道見圖1。 由圖1可見， 系統(tǒng)1 的輸出序列基本充滿(0,2)整個(gè)空間，說明該系統(tǒng)具有很好的遍歷性。初始值相差δ=10-3對(duì)輸出序列的影響見圖2。由圖2 可見，該系統(tǒng)是對(duì)初始值敏感的。

圖1 鋸齒混沌的3D離散超混沌系統(tǒng)坐標(biāo)投影

圖2 鋸齒混沌的3D離散超混沌序列演化

1.3 Lyapunov指數(shù)分析

在非線性動(dòng)力學(xué)理論中，LE用定量的方法描述相空間中軌道的無窮小偏差。相空間中的兩個(gè)軌道彼此靠近，隨著時(shí)間的推移將呈指數(shù)分離。LE值越大，相空間軌跡分布越快,表明系統(tǒng)對(duì)初始條件越敏感。取d=1,鋸齒混沌的3D離散超混沌序列的LEs見圖3。由圖3可見，在參數(shù)c>1時(shí)，系統(tǒng)至少有一個(gè)正的LE,與1.1節(jié)的理論證明相吻合。因此，當(dāng)參數(shù)c>1時(shí)，系統(tǒng)1處于混沌狀態(tài)。

圖3 鋸齒混沌的3D離散超混沌序列的LEs

1.4 近似熵分析

對(duì)序列進(jìn)行近似熵分析，以檢驗(yàn)二進(jìn)制序列的復(fù)雜度。不同于其它的非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)，近似熵主要是從衡量一個(gè)時(shí)間序列復(fù)雜度的角度來度量信號(hào)中產(chǎn)生新模式的概率大小。如果時(shí)間序列的熵值越大，說明此時(shí)間序列隨機(jī)性越強(qiáng)，能夠產(chǎn)生出新模式的概率越大。假設(shè)原始序列為{xi}，預(yù)先給定模式維數(shù)(m=2)和相似容限r(nóng)，近似熵的值與參數(shù)m,r和N的選取有關(guān)，近似熵測(cè)試結(jié)果見表1。

表1 鋸齒3D離散混沌序列近似熵分析值

由表1可見，系統(tǒng)(1)在兩種r值情況下，由該混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的3個(gè)混沌序列的近似熵基本相同，即3個(gè)序列的復(fù)雜度基本相同，并且隨著序列長(zhǎng)度的增加，逐漸趨向穩(wěn)定，同時(shí)復(fù)雜度均很高，滿足保密通信的要求。證實(shí)了該混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的3個(gè)混沌序列都可以應(yīng)用于產(chǎn)生序列密碼，并且達(dá)到一定長(zhǎng)度時(shí)，復(fù)雜度相對(duì)較好。

2 3D鋸齒離散超混沌系統(tǒng)的同步

以該超混沌離散系統(tǒng)為例，實(shí)現(xiàn)非線性反饋方法的同步。其中，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(6)

則響應(yīng)系統(tǒng)：

(7)

控制律為

(8)

定義系統(tǒng)誤差ei(k-1)=yi(k-1)-xi(k-1)(i=1,2,3),則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)的同步誤差離散系統(tǒng)為

(9)

定理1：對(duì)于線性離散系統(tǒng)

e(k)=Ae(k-1)

(10)

其中，A∈Rn×n是系數(shù)矩陣。如果A的所有特征值的?！?，那么系統(tǒng)(9)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：設(shè)V(e(k-1))=eT(k-1)e(k-1)則

V(e(k))-V(e(k-1))=eT(k)e(k)-eT(k-1)e(k-1)=eT(k-1)ATAe(k-1)-eT(k-1)e(k-1)

由矩陣A的所有特征值<1，可得矩陣ATA的所有特征值λ(ATA)為≤1的正數(shù)。所以

V(e(k))-V(e(k-1))=eT(k)e(k)-eT(k-1)e(k-1)=eT(k-1)ATAe(k-1)-

eT(k-1)e(k-1)≤(λmax(ATA)-1)eT(k-1)e(k-1)<0

即由Lyapunov穩(wěn)定性判斷可知，系統(tǒng)(10)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

根據(jù)定理1，誤差系統(tǒng)(10)能夠漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(7)能夠達(dá)到同步。運(yùn)用Matlab 2016a軟件實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)仿真，設(shè)混沌系統(tǒng)(6)和(7)的初值分別為：(x10,x20,x30)=(0.4,0.5,0.2),(y10,y20,y30)=(0.3,0.7,0.6),同步誤差的仿真結(jié)果見圖4，同步誤差很快趨于0。

圖4 驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差

3 離散混沌加密傳輸系統(tǒng)

以彩色圖像加密傳輸系統(tǒng)為例，離散混沌圖像加密傳輸系統(tǒng)框圖見圖5。彩色圖像分為R，G，B3色分量，每個(gè)分量由像素矩陣值組成，分別表示為Rn×m(x,y),Gn×m(x,y),Bn×m(x,y),其中n為矩陣的行數(shù)，m為矩陣的列數(shù)，n×m為圖像的像素個(gè)數(shù)。彩色圖像先轉(zhuǎn)換成3個(gè)顏色分量的矩陣，采用混沌序列加密算法，將圖像的3個(gè)顏色分量矩陣按行排列順序分別轉(zhuǎn)換成整數(shù)值序列R(i)、G(i)、B(i)，其中i∈(0,n×m)。選取像素值的范圍為0～255，每一位的像素值可以轉(zhuǎn)換成8位二進(jìn)制數(shù)，此時(shí)獲得基于彩色圖像的二進(jìn)制序列R(i)、G(i)、B(i)，其中j∈(0,n×m×8)?；阡忼X離散混沌系統(tǒng)的x2序列，經(jīng)過區(qū)域量化后產(chǎn)生二值序列用來異或加密，分別對(duì)R，G，B3個(gè)顏色分量做同樣處理，得到的是3個(gè)顏色分量加密后的序列值，按8 bits組成一個(gè)十進(jìn)制數(shù)，還原成圖像序列值及圖像像素矩陣，合成得到加密后的彩色圖像。將加密后的圖像與混沌序列做一次異或運(yùn)算還原原始圖像。

圖5 離散混沌圖像加密傳輸系統(tǒng)

量化：區(qū)間量化法的數(shù)學(xué)表達(dá)式[27-28]為

(11)

加密：

(12)

解密：

(13)

其中：i∈(0,n×m)，j∈(0,n×m×8)，將加密后的圖像二進(jìn)制序列E(j)按每8 bits轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制整數(shù)序列，再轉(zhuǎn)化成n×m階的矩陣，將3個(gè)顏色方向矩陣合并成彩色加密圖像。

選擇以標(biāo)準(zhǔn)的Lena(256×256)圖像為例進(jìn)行加解密實(shí)驗(yàn)見圖6。圖6(a)為原始圖像，在同樣量化方法下給出Logistic，Henon-X，鋸齒混沌3D離散超混沌(mod1)x2序列及(mod2)x2序列作為加密序列，其序列加密效果見圖6(b)～圖6(e)。經(jīng)鋸齒混沌3D離散超混沌序列(mod2)x2序列解密效果見圖6(f)。由圖6可見，Logistic混沌序列的加密結(jié)果中能看見人物的輪廓；Henon-X序列加密的結(jié)果可清楚的辨認(rèn)出原圖的人物信息；鋸齒3D離散超混沌系統(tǒng) (mod2)x2序列和鋸齒3D離散超混沌系統(tǒng)(mod2)x2序列加密已經(jīng)完全無法獲得任何原圖的信息，并且能正常解密。

圖6 混沌序列圖像加密結(jié)果

4 離散混沌加密傳輸系統(tǒng)安全性分析

對(duì)離散混沌圖像加密進(jìn)行安全性分析，主要包括圖像加密直方圖分析、密鑰空間分析、密鑰敏感性分析和相關(guān)性分析。

4.1 直方圖分析

直方圖是圖像像素的統(tǒng)計(jì)特征和分布情況的一種表現(xiàn)形式。彩色圖像要分別從R，G，B3個(gè)顏色分量表示直方圖。一幅明文圖像直方圖的分布是非均勻的，體現(xiàn)了圖像像素分布特點(diǎn)，對(duì)于加密后的圖像，應(yīng)該是趨于均勻的分別對(duì)混沌序列圖像加密結(jié)果的R，G，B3個(gè)顏色分量和原始圖像Lena進(jìn)行直方圖分析，分析結(jié)果見圖7、圖8。由圖7、圖8可見，根據(jù)原始圖像以及加密圖像的直方圖結(jié)果，鋸齒3D離散超混沌序列(mod2)加密后的圖像直方圖明顯均勻化有很大幅度提高，均勻化程度明顯，有更好的加密效果。

圖7 原始圖像的直方圖

圖8 加密后圖像的直方圖

4.2 密鑰空間分析

密鑰空間的大小影響著加密算法的安全性和抵抗窮舉攻擊的能力。選擇鋸齒3D離散超混沌系統(tǒng)X序列加密，該混沌系統(tǒng)初值x0，y0和z0作為密鑰，如果密鑰長(zhǎng)度為64 bits，那么密鑰空間為2192，遠(yuǎn)大于2100。密鑰空間是以指數(shù)冪次增長(zhǎng)，大小足以抵抗窮舉攻擊。

4.3 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性是加密算法安全性分析的重要指標(biāo)，密鑰敏感性越高表明加密算法的安全性越高。采用的混沌序列加密算法，其密鑰為系統(tǒng)初值(x0,y0,z0)=(0.3,0.7,0.6)，僅對(duì)初值x0做微小的改變，將加密密鑰變成(x0,y0,z0)=(0.3×10-5,0.7,0.6)，密鑰敏感性測(cè)試結(jié)果見圖9，在密鑰微小改變的情況下，無法獲得正確的解密結(jié)果。

圖9 解密結(jié)果

4.4 相關(guān)性分析

圖像像素相關(guān)性的分析是加密圖像加密效果分析的重要指標(biāo)。相鄰兩點(diǎn)像素的相關(guān)系數(shù)為

(14)

其中：x和y分別為相鄰兩點(diǎn)的像素值；E(x)和E(y)為數(shù)學(xué)期望；D(x)和D(y)為方差；N為像素對(duì)的數(shù)量。

(15)

(16)

分別作原始圖像以及用混沌序列加密后的圖像的相鄰像素分布圖。由于圖像像素分布特點(diǎn)以及相關(guān)性的特點(diǎn)，分別從垂直方向、水平方向以及對(duì)角線方向圖形進(jìn)行分析。利用提到的鋸齒混沌3D離散超混沌 (mod2)X序列作為加密序列進(jìn)行分析。

加密前相鄰像素相關(guān)性分布見圖10，分別是在水平方向、垂直方向、對(duì)角方向，原始圖像的R，G，B3個(gè)顏色分量像素相關(guān)性分布圖。由圖10可見，原始圖像的相鄰像素點(diǎn)分布較為集中，具有較大的相關(guān)性。加密后相鄰像素相關(guān)性分布見圖11，分別在水平方向、垂直方向、對(duì)角方向，經(jīng)過混沌序列的加密之后的圖像在R，G，B3個(gè)顏色分量上的相鄰像素點(diǎn)分布較為分散，相關(guān)性明顯下降。

圖11 加密后相鄰像素相關(guān)性

根據(jù)以上加密結(jié)果的安全性分析，可見離散混沌系統(tǒng)在離散混沌同步的基礎(chǔ)上對(duì)圖像加密傳輸同樣有應(yīng)用價(jià)值，本文提出的鋸齒混沌3D離散超混沌(mod2)序作為加密序列，相對(duì)于一維Logistic序列加密和二維Henon混沌序列加密具有一定優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

提出了一個(gè)基于鋸齒的3D離散超混沌系統(tǒng)，從3個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行分析，驗(yàn)證此混沌系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng),且具有很好的復(fù)雜度。通過驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)法建立了同步，從理論和實(shí)驗(yàn)仿真方面確立了此算法的可靠性，且同步時(shí)間較快。將此同步算法應(yīng)用于圖像加密的保密傳輸方案中，由仿真結(jié)果可見，解密出來的圖像幾乎與原圖像保持一致，成功實(shí)現(xiàn)了保密傳輸，具有很強(qiáng)的安全性及可行性。