曹一青

（1.莆田學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 莆田 351100；2.福建省激光精密加工工程技術(shù)研究中心，福建 莆田 351100）

引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)圖像信息采集的要求越來越高，傳統(tǒng)成像設(shè)備的視場(chǎng)范圍存在一定局限性。超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)（如魚眼鏡頭、折反射全景成像系統(tǒng)等）具有大視場(chǎng)角特點(diǎn)，能夠避免常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)拍攝大視場(chǎng)范圍圖像應(yīng)用拼接法帶來的原始數(shù)據(jù)量大、拼接算法復(fù)雜及實(shí)時(shí)性差等問題，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人導(dǎo)航、虛擬現(xiàn)實(shí)和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)等領(lǐng)域中[1-4]。相比于魚眼鏡頭系統(tǒng)，折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)僅由1 塊反射鏡和1 組常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成，結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單[5]。目前，隨著圖像傳感技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)的像質(zhì)提出了更高要求，使得此類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)成為目前急需解決的問題。

折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)中光學(xué)元件雖然是軸對(duì)稱布置，但是大視場(chǎng)物點(diǎn)發(fā)出的成像光束以較大的入射角（大于800）打在系統(tǒng)光學(xué)元件表面上，使得它具有平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的成像特性，導(dǎo)致簡(jiǎn)單地應(yīng)用軸對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論很難解決此類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題[6]。國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)進(jìn)行了詳細(xì)地探索，提出了許多系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法[7-10]，尤其是上海大學(xué)呂麗軍基于三階平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論研究了此類系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[6]，但是該方法僅針對(duì)中小孔徑成像情況。目前人們?yōu)榱双@得更清晰圖像，往往追求大孔徑成像，在這種情況下系統(tǒng)高階像差貢獻(xiàn)顯著[11]，導(dǎo)致在設(shè)計(jì)過程中缺少較完整的設(shè)計(jì)理論對(duì)其進(jìn)行分析，以及缺少確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法。

鑒于上述問題，本文應(yīng)用光焦度控制方程和超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論研究了超大視場(chǎng)折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)初步確定方法，結(jié)合Zemax 軟件設(shè)計(jì)了一款全視場(chǎng)角范圍為12°～178°，F(xiàn)數(shù)為3.5，成像性能良好的系統(tǒng)，為以后設(shè)計(jì)超大視場(chǎng)折反射全景成像系統(tǒng)提供了一種有效的方法。

1 超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論

折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)具有平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)成像特性，本文應(yīng)用超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論對(duì)其進(jìn)行像差分析[12]。反射和折射式超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)光路圖如圖1所示。圖1 中AiOiOi+1Oi+2為主光線，交第k（k=i,i+1）個(gè)光學(xué)面于 Ok，并交光軸于Mk-1；ωk-1為光線AiOiOi+1Oi+2在第k個(gè)光學(xué)面的視場(chǎng)角，αk、βk分別為主光線在第k個(gè)光學(xué)面的入射角和反射角或折射角，nk-1、nk分別為第k個(gè)光學(xué)面的物方和像方空間折射率；在第k個(gè)光學(xué)面上的點(diǎn) Ok處的法線與光軸相交于 Ck，同時(shí)第k個(gè)光學(xué)面與光軸相交于 Dk；沿光軸方向光學(xué)面之間的距離為。

圖1 含反射和折射式超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)光路圖Fig.1 Optical scheme of an ultra-wide angle optical system consisting of the cases of reflection and refraction

應(yīng)用波像差理論計(jì)算系統(tǒng)波像差時(shí)，首先需要通過主光線傳遞方程計(jì)算各個(gè)光學(xué)面的入射角α和反射角或折射角 β，方程式如下：

式中Rk為第k個(gè)光學(xué)面的曲率半徑。

對(duì)于由g塊光學(xué)面組成的光學(xué)系統(tǒng)，它的本征波像差計(jì)算表達(dá)式為

其中，

式中：xg，yg為第g塊光學(xué)面的光瞳坐標(biāo)；Ak|g，Bk|g是光瞳坐標(biāo)在光學(xué)面之間線性傳遞系數(shù)，其表達(dá)式為

從上述分析可以得出，計(jì)算波像差需要首先知道光學(xué)面的物方、像方空間在子午和弧矢平面內(nèi)的焦距它們可以應(yīng)用二階波像差系數(shù)w200=0和w020=0來確定[12]。

由于在大相對(duì)孔徑和大視場(chǎng)角成像情況下，必須考慮衍生波像差和光瞳坐標(biāo)二階精度傳遞對(duì)波像差修正的貢獻(xiàn)，因此在超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論中系統(tǒng)總波像差系數(shù)計(jì)算表達(dá)式為

2 折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 初始結(jié)構(gòu)參數(shù)確定方法

系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)選取是否合適至關(guān)重要，它直接影響著后續(xù)優(yōu)化結(jié)果。因此，本文提出將折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)分為兩部分，即前組和后組系統(tǒng)，然后應(yīng)用系統(tǒng)光焦度控制方程和基于超大視場(chǎng)六階波像差理論建立前后組系統(tǒng)波像差平衡方程，提出一種初步確定該類系統(tǒng)結(jié)構(gòu)初始參數(shù)的方法。根據(jù)系統(tǒng)總光焦度、前組和后組系統(tǒng)光焦度的關(guān)系表達(dá)式（8），合理分配各部分透鏡組光焦度：

式中：Φ前和Φ后分別為前組和后組系統(tǒng)光焦度，d前-后為它們之間的間隔。

應(yīng)用高斯光學(xué)和矩陣光學(xué)理論[13-14]可得由g塊透鏡組成的系統(tǒng)矩陣為

式中：?k(k=1,2,...g)表示第k塊透鏡的光焦度；dk為第k塊與第k+1塊透鏡之間的間隔。

根據(jù)系統(tǒng)矩陣的性質(zhì)和公式（9），可得到由g塊透鏡組成的系統(tǒng)等效光焦度方程：

由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)較多，將最初始的前組系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為已知條件，求解出后組系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來平衡前組系統(tǒng)像差，達(dá)到初步校正系統(tǒng)總像差的目的。另外，系統(tǒng)成像性能是針對(duì)整個(gè)視場(chǎng)角范圍綜合評(píng)價(jià)得到的，超大視場(chǎng)折反射全景成像系統(tǒng)視場(chǎng)角范圍較廣，所以選擇具有代表性的0.707ω視場(chǎng)角作為研究對(duì)象。應(yīng)用超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論計(jì)算前、后組光學(xué)系統(tǒng)在該視場(chǎng)角情況下的三階、五階彗差波像差和四階、六階球差波像差，并以前組系統(tǒng)波像差為約束條件，建立波像差平衡表達(dá)式：

式中：Wthird-coma(T)、Wfifth-coma(T)和Wfourth-sph(T)、Wsixth-sph(T)分別為前組系統(tǒng)的三階、五階彗差波像差和四階球差、六階球差波像差；Wˉ區(qū)分于W，表示后組系統(tǒng)情況。

最后，結(jié)合光焦度控制理論方程及系統(tǒng)波像差平衡表達(dá)式，應(yīng)用數(shù)值方法對(duì)它們進(jìn)行求解，得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)初始解。

2.2 設(shè)計(jì)實(shí)例

應(yīng)用設(shè)計(jì)實(shí)例來詳細(xì)討論折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：工作波段為可見光，全視場(chǎng)角范圍為12°～178°，F(xiàn)數(shù)為3.5，焦距為2 mm 和總長(zhǎng)小于130 mm。為了得到有利于系統(tǒng)優(yōu)化的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，首先需要在參考文獻(xiàn)和專利數(shù)據(jù)庫(kù)中并結(jié)合設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)選取一個(gè)最初始結(jié)構(gòu)，選擇依據(jù)是折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)由反射鏡和常規(guī)光學(xué)鏡頭系統(tǒng)組成，以及雙高斯鏡頭光學(xué)結(jié)構(gòu)能更有效校正像差的特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)系統(tǒng)的最初始結(jié)構(gòu)從右向左依次為1 塊球面反射鏡和1 組具有雙高斯鏡頭結(jié)構(gòu)的透鏡組（圖2 中Lens1～Lens6），對(duì)應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分布圖如圖2所示，光學(xué)參數(shù)由表1 給出。該光學(xué)系統(tǒng)中的反射鏡和Lens1～Lens3、Lens4～Lens6 分別作為前組、后組系統(tǒng)。

圖2 折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)最初始結(jié)構(gòu)分布圖Fig.2 Primal structure distribution diagram of catadioptric panoramic optical imaging system

表1 折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)最初始結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Primal structure parameters of catadioptric panoramic optical imaging system with ultra-wide field of view

在表1 給出的系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上，根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)（焦距、F數(shù)及視場(chǎng)角等）進(jìn)行相應(yīng)縮放和修改，得到的系統(tǒng)成像性能非常差，因此需要應(yīng)用上述方法初步確定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。具體步驟為：首先，在保證系統(tǒng)總光焦度指標(biāo)不變情況下，根據(jù)（8）式和（10）式建立后組系統(tǒng)光焦度控制方程；其次，應(yīng)用（7）式計(jì)算系統(tǒng)在半視場(chǎng)角為57.5°時(shí)的波像差，并將其設(shè)定為約束條件，列出后組系統(tǒng)波像差表達(dá)式，然后建立系統(tǒng)像差平衡表達(dá)式；最后聯(lián)立光焦度控制方程和波像差平衡表達(dá)式，通過數(shù)值求解方法得到系統(tǒng)初步結(jié)構(gòu)參數(shù)。但是，光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)較多，很難單純地應(yīng)用解析方法來求解出高成像質(zhì)量的系統(tǒng)，并且在像差平衡表達(dá)式中僅考慮了彗差和球差，需要經(jīng)過后續(xù)反復(fù)的像差校正和像差平衡來實(shí)現(xiàn)。在應(yīng)用上述方法確定初始結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)反射鏡設(shè)計(jì)成偶次非球面，并應(yīng)用Zemax 軟件對(duì)該系統(tǒng)像差進(jìn)行反復(fù)優(yōu)化[15-17]，優(yōu)化后得到的系統(tǒng)光路圖如圖3所示。對(duì)應(yīng)的光學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。偶次非球面反射鏡的非球面系數(shù)可以表示為[18]

表2 優(yōu)化后折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)光學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Optical structure parameters of optimized catadioptric panoramic optical imaging system

圖3 優(yōu)化后折反射全景成像光學(xué)系統(tǒng)光路圖Fig.3 Optical scheme of optimized catadioptric omnidpanoramic optical imaging system

式中：c0=1/R0，R0為非球面頂點(diǎn)曲率半徑；z和Y分別為非球面弧矢高度和弦高；K為非球面圓錐系數(shù)；A、B、C、D為非球面高次項(xiàng)系數(shù)。優(yōu)化后折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)中偶次非球面反射鏡非球面系數(shù)見表3所示。

表3 偶次非球面反射鏡的非球面系數(shù)Table 3 Aspherical coefficients of even aspherical mirror

經(jīng)過上述優(yōu)化設(shè)計(jì)后，得到的折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）曲線如圖4所示。從圖4 中可以看出，系統(tǒng)在空間頻率40 lp/mm 處，半視場(chǎng)角為6°，44.5°，62.9°和89°時(shí)子午和弧矢方向的MTF 值分別高于0.520 和0.583，0.376 和0.534，0.458 和0.613，0.480 和0.553，并且曲線平滑。此外，該系統(tǒng)在半視場(chǎng)角為6°，44.5°，62.9°和89°情況下的點(diǎn)列圖如圖5所示，對(duì)應(yīng)均方根（RMS）半徑由表4 給出，系統(tǒng)F-theta 畸變曲線如圖6所示。由圖6 可知，系統(tǒng)畸變?cè)谌晥?chǎng)角范圍內(nèi)均小于60%。因此，設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有較大相對(duì)孔徑和大視場(chǎng)角范圍，像差得到良好校正，成像質(zhì)量較好。

圖6 優(yōu)化后折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)的畸變曲線Fig.6 Distortion curve of optimized catadioptric omnidpanoramic optical imaging system

表4 圖5 中點(diǎn)列圖對(duì)應(yīng)的RMS 半徑值Table 4 RMS radius of spot diagram shown as Fig.5

圖4 優(yōu)化后折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)MTF 曲線圖Fig.4 MTF curves of optimized catadioptric panoramic optical imaging system

圖5 優(yōu)化后折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)點(diǎn)列圖Fig.5 Spot diagram of optimized catadioptric panoramic optical imaging system

3 公差分析

通過優(yōu)化設(shè)計(jì)得到了成像質(zhì)量較好的折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)后，需要給系統(tǒng)中所有光學(xué)加工和裝調(diào)分配公差。為保證系統(tǒng)能達(dá)到規(guī)定的性能指標(biāo)，并考慮制造工藝和成本，本文應(yīng)用Zemax軟件對(duì)設(shè)計(jì)好的系統(tǒng)進(jìn)行公差分析，得到較合適的公差范圍。公差分析過程中，光學(xué)元件加工和裝調(diào)誤差分別設(shè)置為：1）表面公差，曲率半徑為3 光圈、厚度為0.1 mm、X偏心和Y偏心均為0.05 mm、傾斜X軸和Y軸均為0.2°，S+A 不規(guī)則度為3 光圈；2）元件公差，X偏心和Y偏心均為0.05 mm、傾斜X軸和Y軸均為0.2°；3）折射率和阿貝數(shù)公差分別為0.001 和1%。采用系統(tǒng)半視場(chǎng)角在6°、44.5°、62.9°和89°情況下子午和弧矢方向的衍射MTF 的平均值作為評(píng)價(jià)函數(shù)，使用后焦補(bǔ)償，在空間頻率為40 lp/mm 處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行400 次蒙特卡羅分析，具體分析結(jié)果見表5所示。由表5可知，系統(tǒng)具有較寬松的公差范圍，便于后續(xù)加工和裝調(diào)。

表5 優(yōu)化折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)公差分析結(jié)果Table 5 Tolerance analysis results of optimized catadioptric panoramic optical imaging system

通過上述方法設(shè)計(jì)的折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)成像質(zhì)量好，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且僅采用BK7 和BK3 兩種較普通透鏡材料，系統(tǒng)不僅滿足實(shí)際應(yīng)用要求，而且還能有效降低生產(chǎn)成本，具有較寬松的公差。

4 結(jié)論

由于目前折反射全景光學(xué)成像系統(tǒng)追求大相對(duì)孔徑成像，本文結(jié)合光焦度控制方程，應(yīng)用超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)六階波像差理論建立其像差平衡方程，初步對(duì)系統(tǒng)像差進(jìn)行校正，獲得較合適的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)。利用Zemax 軟件對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到僅由1 片偶次非球面反射鏡和6 片折射透鏡組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，視場(chǎng)角范圍較廣，F(xiàn)數(shù)為3.5，像差得到了有效校正，成像質(zhì)量較好并具有較寬松的公差范圍，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用要求。該類系統(tǒng)在安防監(jiān)控、機(jī)器人導(dǎo)航及遠(yuǎn)程會(huì)議等領(lǐng)域均具有廣闊的應(yīng)用前景。