丁發(fā)興，熊姝寧，向 平

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長沙 410075；2. 湖南省裝配式建筑工程技術(shù)研究中心，湖南，長沙 410075)

現(xiàn)代建筑具有高層，大跨等特點(diǎn)，對柱的承載力要求高，而鋼管混凝土短柱(CFST)具有剛度大、承載力高、延性好和充分利用材料等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中得到了廣泛的應(yīng)用。鋼管混凝土短柱能否在設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)完成其在設(shè)計(jì)階段的預(yù)定功能，需要對其進(jìn)行可靠度評估。

可靠度理論從20世紀(jì)40年代發(fā)展起來，其主要的用途是評估各種結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)在加工以及使用階段完成預(yù)備功能的能力。結(jié)構(gòu)可靠度理論經(jīng)歷了第一代和第二代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論[1]，第二代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論采用基于矩法的可靠度理論，用統(tǒng)計(jì)矩反映荷載和抗力分布，進(jìn)而得出結(jié)構(gòu)的失效概率Pf及其相應(yīng)的可靠指標(biāo)β，如一次二階矩理論(FOSM)使用變量的前兩階矩，即均值和方差，該方法具有計(jì)算簡便且表達(dá)公式簡潔的特點(diǎn)，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用，如吳瑾等[2]采用一次二階矩法評估銹蝕鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)可靠度。林道錦等[3]為了計(jì)算鋼筋混凝土拱橋面穩(wěn)定性的剩余可靠度，提出一次可靠度方法與隨機(jī)有限元相結(jié)合的方法。黨育等[4]結(jié)合有限元方法和一次二階矩法，對隔震體系進(jìn)行模擬并分析其抗震可靠度。Mahdi Omidali等[5]采用FOSM對邊坡、船舶加筋板、樁和鋼筋混凝土橋柱等結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析。由于FOSM將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)并取至一次項(xiàng)，故當(dāng)函數(shù)非線性程度較高時難以反映變量真實(shí)的概率分布特征，為了提高FOSM的精度，學(xué)者們提出改進(jìn)的一次二階矩法，如呂大剛等[6]在FORM的基礎(chǔ)上引入多級力控制 Pushover 分析方法，提出了一種FORM有限元可靠度方法。孟增等[7]提出了一種結(jié)合了修正的混沌控制算法與一次二階矩法的方法。蔣水華等[8]提出基于FORM的空間變異邊坡可靠度方法以及線抽樣法進(jìn)行了邊坡可靠性評估。

一次四階矩法采用功能函數(shù)的前四階矩進(jìn)行可靠度分析，結(jié)果的精度與一次二階矩法相比大大提高，因此學(xué)者們運(yùn)用高階矩法評估結(jié)構(gòu)的可靠性，如Li等[9]基于二次二階矩(SOSM)、二次四階矩(SOFM)和蒙特卡洛模擬(MCS)方法，評估了風(fēng)橋相互作用相關(guān)的各種參數(shù)對渦激振動器的影響，鄒紅等[10]用矩法對CRTSⅡ型無砟軌道板橫向抗彎強(qiáng)度進(jìn)行時變可靠性評估。一次四階矩法對于非線性程度較高的功能函數(shù)，其計(jì)算精度較低，學(xué)者們在此基礎(chǔ)上提出了一些改進(jìn)方法，如Li等[11]、Lu等[12]和Zhou等[13]分別提出了基于三階矩、四階矩和六階矩的鞍點(diǎn)近似法。俞登科等[14]利用矩法，對特高壓輸電塔的抗風(fēng)體系進(jìn)行可靠度分析。范文亮等[15]提出了一種適用于巖土工程的改進(jìn)四階矩方法，并進(jìn)行算例驗(yàn)證。杜永峰等[16]建立了基于二次四階矩可靠度理論的隨機(jī)魯棒性指標(biāo)，并對隔震結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力進(jìn)行了評判。

近年來，丁發(fā)興課題組[17 ? 24]提出了各截面鋼管混凝土軸壓承載力公式，且目前的研究工作主要集中在對圓形和方形鋼管混凝土軸壓承載力進(jìn)行可靠度評估，而對于其他截面形式，可靠度尚未開展評估，為此筆者主要工作如下：1)收集國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行的各種截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，獲取基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)并建立構(gòu)件的功能函數(shù)；2)運(yùn)用新點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算功能函數(shù)的前四階中心矩；3)利用簡化四階矩法計(jì)算各種截面鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠指標(biāo)β。

1 基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

功能函數(shù)的基本隨機(jī)變量包括抗力、恒荷載和活荷載。抗力的分布由多個基本隨機(jī)變量影響，包括混凝土軸心抗壓強(qiáng)度fc，截面尺寸D和B，鋼管厚度t，鋼材屈服強(qiáng)度fy，計(jì)算模式不定性系數(shù)kp?？沽Φ姆植冀品膶?shù)正態(tài)分布[25]。

1.1 軸壓承載力公式

鋼管混凝土軸壓承載力公式為：

式中：R為根據(jù)公式計(jì)算出來的鋼管混凝土軸壓極限承載力；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度；fy為鋼管的屈服強(qiáng)度；Ac為鋼管內(nèi)核心混凝土的面積；As為鋼管的橫截面積；k1為鋼管形狀約束系數(shù)，與截面形狀有關(guān)，表1給出了式(1)中不同形狀的截面所對應(yīng)的k1[17 ? 24]取值。表2列出了不同形狀截面的計(jì)算公式[17 ? 24]。

表1 鋼管形狀約束系數(shù)k1列表Table 1 Shape confinement coefficient of CFST

表2 不同截面鋼管混凝土柱Ac和As的計(jì)算公式Table 2 Calculation formula of Ac and As for concrete filled steel tubular columns with different sections

荷載效應(yīng)S[26]表達(dá)式如下：

式中：SGk為恒荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值；SQk為活荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值，僅考慮辦公室樓面活荷載和住宅樓面活荷載；γG為恒荷載分項(xiàng)系數(shù)；γQ為活荷載分項(xiàng)系數(shù)。

圖1 各種截面鋼管混凝土Fig.1 Sections of different shapes

由式(1)與式(2)可得鋼管混凝土軸壓極限狀態(tài)Z的方程為：

式中，kp為鋼管混凝土軸壓抗力計(jì)算模式不定性的隨機(jī)變量。

1.2 荷載的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

最常見的荷載效應(yīng)組合有兩種：1)SG+SL辦和2)SG+SL住，下標(biāo)G、L辦、L住分別代表永久荷載、辦公室活荷載和住宅建筑的樓蓋活荷載，恒載和活載組合時的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表3。

表3 荷載組合時的荷載統(tǒng)計(jì)參數(shù)[27]Table 3 The statistical parameters of load combinations

1.3 幾何尺寸的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

普通鋼管混凝土的幾何參數(shù)有鋼管厚度t、截面直徑或厚度D以及截面長邊邊長B，均服從均值系數(shù)為1.00，變異系數(shù)為0.05的正態(tài)分布[27]。

1.4 計(jì)算模式不定性的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

反映構(gòu)件計(jì)算抗力與實(shí)際抗力差異的計(jì)算模式不定性隨機(jī)變量kp表達(dá)式如下：

式中：Nu為構(gòu)件軸壓承載力實(shí)測值；N0為按式(1)計(jì)算的構(gòu)件抗力值。

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010?2010)[26]規(guī)定，立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fcu,k與軸心抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fck的關(guān)系如下：

式中，對于不超過C50級的混凝土，取αc1=0.76，對C80取αc1=0.82，中間按線性規(guī)律變化，大于C80的混凝土，按C50～C80的線性規(guī)律繼續(xù)插值；對C40以下混凝土取αc2=1.0，對C80取αc2=0.87，中間按線性規(guī)律變化，大于C80的混凝土，按C40到C80的線性規(guī)律繼續(xù)插值；混凝土強(qiáng)度的變異系數(shù)δc的取值按表4確定。

表4 混凝土強(qiáng)度的變異系數(shù)[26] /(%)Table 4 Variation coefficient of concrete strength

筆者收集了國內(nèi)外460個圓形、340個矩形、16個六邊形、30個八邊形、71個橢圓形和29個圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17 ? 23, 28 ? 77]，其 中 包 括 本 書 中 提 到 的37個 圓形、20個矩形、8個六邊形、8個八邊形、8個橢圓形和26個圓端形截面鋼管混凝土實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。所有946個數(shù)據(jù)的鋼管外截面尺寸與厚度比值在20～220，構(gòu)件長厚比L/B(或L/D)≤7，立方體抗壓強(qiáng)度fcu在25 MPa～120 MPa，鋼管的屈服強(qiáng)度fy在180 MPa～650 MPa。

將各隨機(jī)變量的取值代入式(1)，得到Nu，再利用式(4)求得kp，各截面鋼管混凝土的計(jì)算模式不定性系數(shù)kp統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表5，并對每個kp的概率分布進(jìn)行Jarque-Bera檢驗(yàn)，顯著性水平為5%，結(jié)果表明kp服從正態(tài)分布。

表5 普通鋼管混凝土軸壓公式計(jì)算模式不定性統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 5 The statistical parameters of calculation model uncertainty

1.5 材料性能的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

由于規(guī)范中只給出了C60以下混凝土材料性能的變異系數(shù)，故筆者利用文獻(xiàn)[78]給出的演繹法推算混凝土材料性能的均值系數(shù)和方差，鋼材材料性能的均值系數(shù)和方差見文獻(xiàn)[78]，鋼材和混凝土性能的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表6。

表6 材料性能指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)[25- 26, 78]Table 6 The statistical parameters of material

2 可靠度方法

2.1 基于降維模型的新點(diǎn)估計(jì)法

對于含有n個隨機(jī)變量的功能函數(shù)G(X)，Zhao等[79]提出了基于n點(diǎn)估計(jì)的一維減維模型：

一維減維模型將功能函數(shù)化為n個單變量函數(shù)而簡化了計(jì)算過程，但當(dāng)功能函數(shù)有較強(qiáng)的非線性時，用一維減維模型求功能函數(shù)的前k階矩時精度不高，則采用二維減維模型代替原功能函數(shù)。對隨機(jī)變量進(jìn)行逆正態(tài)變換，且利用文獻(xiàn)[80]給出的公式對功能函數(shù)G(X)進(jìn)行二維減維，則功能函數(shù)可以寫為：

Zhao等[79]提出了新點(diǎn)估計(jì)法來計(jì)算功能函數(shù)的前k階矩，其核心思想是通過逆正態(tài)變換(Rosenblatt變換)[81]將原始隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，再利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)和權(quán)重估計(jì)函數(shù)的前四階矩。非正態(tài)隨機(jī)變量的估計(jì)點(diǎn)可表示為：

式中：Φ(U)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的分布函數(shù)；FX(X)為原變量的分布函數(shù)；xj為一般隨機(jī)變量；uj為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)ui和權(quán)重Pi為：

式中，yi和wi是加權(quán)函數(shù)為exp(?y2)的Hermite積分的橫坐標(biāo)和權(quán)重[82]，于是可求得七點(diǎn)估計(jì)的ui和Pi[79]，取值見表7。

表7 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)和權(quán)重Table 7 Sampling points and weights of standard normal variables

2.2 基于立方正態(tài)分布的簡化四階矩法

由可靠度指標(biāo)定義，可得到基于二階矩法的可靠度指標(biāo)βSM和基于四階矩法的可靠度指標(biāo)βFM的關(guān)系[83]：

式中，zs為標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量。

Zhao等[84]提出了簡化四階矩計(jì)算公式，其基本原理是將隨機(jī)變量Z標(biāo)準(zhǔn)化后的變量zs近似表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u的三次多項(xiàng)式：

式中，系數(shù)l1、k1和k2見詳文獻(xiàn)[84]。

對式(11)進(jìn)行z-u轉(zhuǎn)換，可得到：

式中，系數(shù)p和系數(shù)D見文獻(xiàn)[84]。以上關(guān)系可以簡寫為u=S?1(zs)。

由式(10)和式(12)可得，基于四階矩法和二階矩法的可靠度指標(biāo)[85]的關(guān)系為：

而傳統(tǒng)一次二階矩法的可靠度指標(biāo)計(jì)算公式為：

2.3 可靠度計(jì)算步驟

根據(jù)前述2.1的簡化四階矩法，可以求得鋼管混凝土軸壓承載力公式的可靠度指標(biāo)β。

1)確定影響可靠度的隨機(jī)變量為截面尺寸(D,B)、鋼管厚度(t)、荷載效應(yīng)(SGk,SQk)、計(jì)算模式不定性(kp)、混凝土強(qiáng)度(fc)、鋼管強(qiáng)度(fy)，利用MATLAB對基本隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，獲得抗力R統(tǒng)計(jì)參數(shù)；

2)建立功能函數(shù)Z=G(X)，對功能函數(shù)進(jìn)行降維處理，利用隨機(jī)變量R、SGk、SQk的統(tǒng)計(jì)參數(shù)以及新點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算G(X)的前四階矩；

3)用簡化四階矩法求得可靠度指標(biāo)βFM。

3 可靠度結(jié)果與分析

3.1 截面形狀和含鋼率的影響

運(yùn)用基于一維與二維降維模型的簡化四階矩法計(jì)算可靠度指標(biāo)，設(shè)置變化參數(shù)為截面形狀和含鋼率。荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。

圖2為不同截面形狀的可靠度指標(biāo)變化規(guī)律，可見由于八邊形、六邊形、橢圓形和圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)少，其δkp較小，故抗力R的δR較小，由式(14)可知，可靠度指標(biāo)β較大，而圓形和矩形截面的δkp較大，故可靠度指標(biāo)β較小。由于本文的功能函數(shù)為一維函數(shù)，采用一維降維模型和二維降維模型得到的結(jié)果幾乎完全相同，故以下均用一個圖表達(dá)結(jié)果。

圖2 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.2 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖3和圖4分別為圓形截面和全部截面統(tǒng)計(jì)的計(jì)算模式不定性系數(shù)下，截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見：1) 鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)都能滿足目標(biāo)可靠度指標(biāo)3.2[86]的要求，由于圓形截面統(tǒng)計(jì)的δkp較大而全部截面統(tǒng)計(jì)的δkp較小，導(dǎo)致全部截面統(tǒng)計(jì)計(jì)算模式不定性系數(shù)下鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)偏大，但可靠度指標(biāo)差別不超過5%，因此對于不同截面形式，均采用全部截面統(tǒng)計(jì)計(jì)算模式不定性系數(shù)分析其他參數(shù)的影響；2) 由于圓形、六邊形和八邊形截面的鋼管形狀約束系數(shù)k1較大，使得功能函數(shù)的方差較大，導(dǎo)致可靠度指標(biāo)較?。?) 隨著含鋼率α增大，力比Φs=fyAs/(fcAc)均值增大而鋼管對混凝土的約束效率降低，變異系數(shù)不變，導(dǎo)致抗力隨機(jī)變量的變異系數(shù)略增大，使得可靠度指標(biāo)β略減小。此外，對隨機(jī)變量R、SQk、SGk進(jìn)行隨機(jī)取樣，代入功能函數(shù)Z，其失效區(qū)間的占比隨著含鋼率的增加呈非線性增長，故結(jié)構(gòu)的失效概率隨著含鋼率的增加而增加。

圖3 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.3 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖4 截面形狀和含鋼率變化對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.4 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

3.2 混凝土和鋼管強(qiáng)度等級的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，鋼材類別為Q235。圖5所示為混凝土類別變化對可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見隨著混凝土等級的增加，隨機(jī)變量fc的變異系數(shù)減小，導(dǎo)致抗力隨機(jī)變量的變異系數(shù)減小，使得可靠度指標(biāo)β變大。

圖5 混凝土類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.5 Influence of concrete type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40。圖6所示為鋼材類別變化對可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見隨著鋼材等級的增加，隨機(jī)變量fy的變異系數(shù)略微減小，使得可靠度指標(biāo)β略微增大。

圖6 鋼材類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.6 Influence of steel type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

3.3 荷載比和荷載組合的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖7所示為荷載比變化對可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，分析結(jié)果表明，當(dāng)僅有荷載比為變量且ρ約為1.0時，利用條件極值求得SGk+SQk值較小，故失效概率較小，可靠度指標(biāo)較大，而兩者方法的計(jì)算結(jié)果略有差別：1) 采用MCS法時，當(dāng)ρ=2.0時，可靠度指標(biāo)最小，而ρ=0.5～1.0時，可靠度指標(biāo)較大且極差不超過0.03；2) 采用簡化四階矩法時，當(dāng)ρ=0.25時，可靠度指標(biāo)最小，而ρ=0.5～2.0時，可靠度指標(biāo)的極差約為0.05，當(dāng)ρL=1.0時，可靠度指標(biāo)最大。

圖7 荷載比對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.7 Influence of load ratio on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖8所示為活載類別變化對可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見由于辦公室活載的均值系數(shù)小于住宅樓面活載的均值系數(shù)，而二者的方差相差很小，故荷載組合為恒載和辦公室活載時，荷載效應(yīng)較小，可靠度指標(biāo)較大。

圖8 活載類別對鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.8 Influence of live load category on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

4 結(jié)論

本文采用簡化四階矩法對鋼管混凝土軸壓承載力公式進(jìn)行可靠度分析，結(jié)論如下：

(1) 不同截面形狀的鋼管混凝土軸壓承載力公式均高于3.7，滿足目標(biāo)可靠指標(biāo)3.2[86]的要求。

(2) 對于同一截面形狀的鋼管混凝土軸壓構(gòu)件，當(dāng)辦公室活載：恒載=1.0時，混凝土強(qiáng)度越高，可靠指標(biāo)略增大。