宋 帥，吳元昊，徐佰順，吳 剛，張 金

(1. 青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院，青島 266033；2. 太原理工大學(xué)土木工程學(xué)院，太原 030024；3. 內(nèi)蒙古大學(xué)交通學(xué)院，呼和浩特 010070；4. 華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，南昌 330013；5. 成都理工大學(xué)環(huán)境與土木工程學(xué)院，成都 610059)

斜拉橋因其卓越的跨越能力，常作為跨越大江大河的主要橋型。由于較高的建造成本及復(fù)雜的建造技術(shù)，斜拉橋常是交通線路樞紐的關(guān)鍵控制節(jié)點(diǎn)。在地震等災(zāi)害下，斜拉橋一旦發(fā)生破壞，其修復(fù)難度較大，因此其整體抗震性能對保證生命線工程的暢通至關(guān)重要[1]。對斜拉橋的抗震性能開展研究對地震災(zāi)害下的應(yīng)急救援、災(zāi)后恢復(fù)及重建具有重要意義[2]。

由于斜拉橋的幾何形狀及材料特性均表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，即使在確定作用下，其結(jié)構(gòu)響應(yīng)也會表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性[3 ? 4]。此外，受發(fā)震機(jī)理及地震傳播等影響，地震作用表現(xiàn)出強(qiáng)烈的隨機(jī)性，因此對斜拉橋地震響應(yīng)及抗震性能的研究需要借助于基于概率理論的可靠性分析方法[5]。地震易損性分析從概率的角度出發(fā)，考慮地震不確定性和結(jié)構(gòu)隨機(jī)性的影響，通過建立結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線，進(jìn)而對結(jié)構(gòu)抗震性能進(jìn)行評估[6]。地震易損性理論自被首次應(yīng)用于核電站地震風(fēng)險評估后，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，經(jīng)過幾十年的快速發(fā)展，已成為橋梁抗震分析及評估的重要手段[7]。結(jié)合全概率理論及卷積積分技術(shù)，地震易損性分析已發(fā)展成為基于性能地震工程的重要組成部分[8 ? 9]。

作為高次超靜定結(jié)構(gòu)，斜拉橋某一構(gòu)件的破壞并不意味著整體結(jié)構(gòu)的失效。相對于單個構(gòu)件，橋梁整體系統(tǒng)的抗震性能更值得關(guān)注[10]。然而在地震作用下，主塔、斜拉索、主梁、支座、輔助墩及連接墩等構(gòu)件相互影響，如何準(zhǔn)確模擬構(gòu)件地震響應(yīng)之間的相關(guān)性是地震易損性研究從單一構(gòu)件向橋梁整體系統(tǒng)轉(zhuǎn)變的難點(diǎn)之一[11 ? 12]。

針對構(gòu)件之間相關(guān)性的問題，可假定構(gòu)件地震響應(yīng)之間完全相關(guān)或者完全不相關(guān)，進(jìn)而得到系統(tǒng)易損性的上、下邊界，并偏于保守地采用上界描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的地震易損性[13 ? 14]。然而，當(dāng)系統(tǒng)包含構(gòu)件較多時，得到的上、下界限會過寬[11]，一階界限法的上界會明顯高估結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的地震易損性。此外，也可采用Monte-Carlo抽樣方法，建立橋梁系統(tǒng)的易損性曲線，但需大量數(shù)值模擬，且在聯(lián)合概率需求模型的建立過程中需預(yù)先假定邊緣及聯(lián)合概率分布類型[15]。

隨著數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展，處理變量之間相關(guān)性的Copula理論逐步應(yīng)用到機(jī)械、土木及水利工程領(lǐng)域[16 ? 18]。Copula模型通過將變量的邊緣分布與變量之間的相關(guān)性進(jìn)行分離，能夠準(zhǔn)確模擬變量之間的相關(guān)特征，進(jìn)而簡化聯(lián)合概率分布模型的建立，這為結(jié)構(gòu)整體系統(tǒng)的地震易損性評估提供了一種新思路。由于斜拉橋結(jié)構(gòu)復(fù)雜，包含的構(gòu)件數(shù)量較多，根據(jù)斜拉橋的構(gòu)件類型及其地震響應(yīng)之間的相關(guān)性，確定模型層數(shù)及組合形式，構(gòu)建Pair Copula模擬構(gòu)件兩兩之間的相關(guān)性，基于AIC、BIC準(zhǔn)則及擬合優(yōu)度檢驗方法對各層Pair Copula進(jìn)行優(yōu)選，通過對Pair Copula分層迭代，建立斜拉橋整體系統(tǒng)模型并對其進(jìn)行地震易損性評估。以一座高速鐵路斜拉橋為例闡述該方法的可行性及優(yōu)越性。

1 基本理論

1.1 地震易損性

地震易損性是指在給定強(qiáng)度地震下，結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)達(dá)到或超越某一極限狀態(tài)的概率，在數(shù)學(xué)上其表示為[19]：

式中：Psin為單個構(gòu)件的易損性；IM為地震動強(qiáng)度指標(biāo)；D為構(gòu)件地震響應(yīng)；C為構(gòu)件抗震能力。假定C和D服從對數(shù)正態(tài)分布，則式(1)可進(jìn)一步表示為[20]：

以上地震易損性的定義是針對單個構(gòu)件，對于斜拉橋，其整體抗震系統(tǒng)是由主塔、斜拉索、主梁、支座、連接墩及輔助墩等多個構(gòu)件組成。任意一個構(gòu)件發(fā)生破壞，均可影響橋梁整體功能的發(fā)揮。因此在數(shù)學(xué)上可采用串聯(lián)體系，將主塔、支座、過渡墩及輔助墩等構(gòu)件進(jìn)行組裝，進(jìn)而模擬斜拉橋的整體抗震系統(tǒng)，其地震易損性表達(dá)式為：

式中：Psys為斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性；∪表示并集；PBj為單個支座的易損性，Bm為支座數(shù)量；PTj為單個主塔或塔肢的易損性，Tk為主塔或塔肢的數(shù)量；PPj為單個橋墩的易損性；Pn為橋墩數(shù)量。根據(jù)概率統(tǒng)計理論對式(4)進(jìn)行分解，斜拉橋整體系統(tǒng)易損性可進(jìn)一步表示為：

1.2 Pair Copula模型

由于構(gòu)件在地震作用下相互影響，構(gòu)件地震響應(yīng)之間存在顯著的相關(guān)性，多構(gòu)件同時破壞的失效概率并不等于單個構(gòu)件失效概率的乘積。因此，如何求解式(5)中多構(gòu)件同時破壞的失效概率是整體系統(tǒng)易損性評估的關(guān)鍵。為此，基于二維Copula函數(shù)，通過分層迭代技術(shù)將系統(tǒng)中的構(gòu)件進(jìn)行組合配對，構(gòu)建橋梁整體抗震系統(tǒng)的Pair Copula模型，進(jìn)而對斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性進(jìn)行評估。

1.2.1 Copula的定義

已知隨機(jī)變量X=(X1,X2)，假設(shè)二維聯(lián)合分布函數(shù)F的邊緣分布分別為F1、F2，根據(jù)Sklar定理[22]，對于任意x=(x1,x2)，存在Copula函數(shù)C滿足：

式中：f(x1,x2)為聯(lián)合概率密度函數(shù)；c(u1,u2)為Copula的密度函數(shù)。由式(6)知，引入Copula函數(shù)后，聯(lián)合分布函數(shù)可由邊緣分布顯式表達(dá)。隨著理論研究的深入，各種不同的Copula函數(shù)形式不斷涌現(xiàn)，橢圓Copula與阿基米德Copula是目前應(yīng)用最廣泛的兩類形式，如表1所示。

表1 常規(guī)Copula 函數(shù)匯總Table 1 Summary of general Copula functions

將變量空間從二維擴(kuò)展到d維情況，可得到多維Copula，如式(7)所示：

由式(7)可知，計算難度隨Copula的維度急劇增加，目前針對二維Copula的應(yīng)用較為成熟，而針對多維Copula的研究僅限于Gaussian及t-Copula等橢圓Copula類[23]。然而，橢圓Copula類僅能描述變量之間對稱的相關(guān)性，對于變量之間復(fù)雜的尾部相關(guān)性的模擬無能為力。為此，引入分層迭代技術(shù)，根據(jù)變量之間的相關(guān)性，基于二維Copula將變量進(jìn)行兩兩配對，構(gòu)建Pair Copula模型。若變量的總數(shù)為d，通過建立d/2個Pair Copula將變量的總數(shù)減少為d/2。基于式(6)計算變量兩兩之間的聯(lián)合分布函數(shù)，并以此作為下次分層組合配對的基礎(chǔ)。以此類推，通過多次迭代，建立Pair Copula分層模型，將變量的總數(shù)減少為2，達(dá)到降維的效果。Pair Copula分層迭代模型示意如圖1所示。

圖1 Pair Copula迭代示意圖Fig.1 Schematic diagram of Pair Copula iteration

以8維為例，在數(shù)學(xué)上Pair Copula分層迭代模型可表示為：

1.2.2 Copula參數(shù)估計

基于樣本數(shù)據(jù)ui,i∈{1,2,···,n}，可對Pair Copula分層迭代模型的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計，對數(shù)似然函數(shù)定義為[24]：

其中：

當(dāng)樣本數(shù)n→∞，極大似然估計值趨于真實值，如下式所示：

1.2.3 Pair Copula優(yōu)選

由于Copula函數(shù)的形式多樣，在Pair Copula分層迭代模型中需對Copula函數(shù)進(jìn)行優(yōu)選。目前衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的方法主要有AIC及BIC信息準(zhǔn)則。AIC信息準(zhǔn)則基于熵的概念，用于權(quán)衡估計模型的復(fù)雜度與模型擬合數(shù)據(jù)的優(yōu)良性，其定義如下[25]：

式中： ?(θ;u1,u2,···,un)為極大似然函數(shù)；k為Pair Copula中參數(shù)的個數(shù)。AIC不僅以提高模型擬合度為目的，而且引入了懲罰項(2k)，使模型參數(shù)盡可能少，有助于降低過擬合的可能性。

與AIC信息準(zhǔn)則類似，BIC信息準(zhǔn)則也是對模型擬合效果進(jìn)行評價，其定義如下[26]：

式中：N為樣本總數(shù)；BIC值越小，模型對數(shù)據(jù)擬合越好。BIC的懲罰項lg(N)k考慮了樣本數(shù)量的影響，其值比AIC大。當(dāng)樣本數(shù)量過多時，BIC信息準(zhǔn)則可有效防止模型精度過高造成模型復(fù)雜度過高的問題。

1.2.4 擬合優(yōu)度檢驗

通過擬合優(yōu)度檢驗，檢驗計算樣本值與Pair Copula模型計算得到的理論值之間的一致性，判斷Pair Copula模型是否與計算樣本值相吻合，對基于AIC及BIC信息準(zhǔn)則優(yōu)選的Pair Copula進(jìn)行檢驗，評估擬合的質(zhì)量及有效性。經(jīng)驗Copula定義為：

其中：

2 方法驗證

2.1 算例描述

如圖2所示平面桁架結(jié)構(gòu)，水平及豎向桿件長度均值為1×103mm，彈性模量均值為2×105MPa，1、3及5桿件截面均值為2×104mm2，2、4及6桿件截面均值為1×104mm2，集中荷載均值為1×105N。結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)及其概率分布如表2所示。

圖2 平面6桿桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of planar 6-bar truss structure

表2 算例結(jié)構(gòu)中不確定性參數(shù)Table 2 Uncertainty parameters of the example structure

2.2 結(jié)果分析

以應(yīng)變描述桿件的受力狀態(tài)，以應(yīng)變達(dá)到0.05作為判定桿件失效的依據(jù)。該桁架為靜定結(jié)構(gòu)，任一桿件失效均導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)破壞，因此其整體為6個桿件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)。采用OpenSees平臺建立數(shù)值模型進(jìn)行分析，本文方法運(yùn)算100次，Monte Carlo方法運(yùn)算1×105次，其結(jié)果對比如圖3所示。

由圖3可知，對于6桿件構(gòu)成的平面桁架，基于Pair Copula分層迭代得到系統(tǒng)的破壞概率為91.47%，基于Monte Carlo方法得到系統(tǒng)的破壞概率為89.09%。與Monte Carlo方法相比，Pair Copula分層迭代方法的誤差僅為2.67%，驗證了該方法的正確性及有效性。

圖3 算例結(jié)果對比驗證Fig.3 Comparative verification of example results

3 工程實例

3.1 工程概況

該鐵路斜拉橋總長580 m，橋跨布置為50 m+90 m+300 m+90 m+50 m。主梁為單箱雙室等高截面的預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，梁高4 m、橫向?qū)?3 m。橋面以上主塔采用倒Y形，橋面以下塔柱內(nèi)縮為鉆石形。主塔高118 m，縱向?qū)挾扔伤?.5 m加寬至塔底8 m，橫向?qū)挾扔?.5 m加寬到4.2 m，采用HRB400鋼筋，豎向主筋直徑32 mm，箍筋直徑20 mm。斜拉索采用空間雙索面體系，共72組斜拉索，抗拉標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為1860 MPa。主橋采用半漂浮體系，連接墩、輔助墩處設(shè)豎向約束，主塔與主梁之間設(shè)置豎向約束及橫向約束。輔助墩及連接墩采用圓端型實體墩，縱向?qū)?.66 m，橫向?qū)?.66 m，豎向主筋直徑16 mm，箍筋直徑12 mm。每個橋墩處均布置有2個支座，一側(cè)為單向活動支座，另一側(cè)為雙向活動支座，每個橋塔處的兩個支座均為雙向活動支座。基礎(chǔ)采用鉆孔灌注樁，樁直徑為2 m。設(shè)計地震動峰值加速度為0.15g，場地為中硬土的Ⅱ類場地，斜拉橋布置如圖4所示。

圖4 斜拉橋示意圖/m Fig.4 Schematic diagram of the cable-stayed bridge

3.2 結(jié)構(gòu)建模

基于OpenSees平臺建立斜拉橋數(shù)值模型。橋墩和主塔采用非線性纖維梁柱單元模擬其縱橫向可能發(fā)生的塑性破壞，根據(jù)截面配筋情況，將其沿縱橋向及橫橋向劃分纖維截面，混凝土采用Concrete02材料模擬，鋼筋采用Steel02材料模擬。支座采用零長度單元模擬，通過Hardening材料模擬其縱橫向的彈塑性。由于主梁基本處于彈性狀態(tài)，采用彈性梁柱單元模擬。索單元選用Truss單元模擬，通過嵌套初應(yīng)變材料與MinMax材料，實現(xiàn)初應(yīng)變的施加及拉索應(yīng)力閾值的設(shè)定。主塔及橋墩底部在縱橫向進(jìn)行固結(jié)，暫未考慮樁土相互作用。全橋的數(shù)值模型如圖5所示。

圖5 斜拉橋全橋數(shù)值模型Fig.5 Analytical model of the cable-stayed bridge

3.3 不確定性

3.3.1 地震動不確定性

由于地震動的復(fù)雜性，采用多條地震動對結(jié)構(gòu)進(jìn)行概率地震響應(yīng)分析是考慮地震動不確定性的最佳手段。為滿足概率統(tǒng)計分析的要求，在結(jié)構(gòu)概率地震響應(yīng)分析時，從太平洋地震工程中心NGA-West2強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫選取148組地震動記錄。每組記錄均包含兩條水平向的地震波，并將其沿縱橫橋向分別進(jìn)行輸入，分析斜拉橋在兩個方向地震動同時作用下的概率響應(yīng)。為保證地震動的強(qiáng)度、頻譜及持時特性具有一般性，所選地震動記錄在震級、震中距及持時上的分布范圍較寬。圖6(a)為所選地震動記錄在對數(shù)坐標(biāo)軸下的加速度反應(yīng)譜；圖6(b)為所選地震動記錄的震級、斷層距、持時及剪切波速(Vs30)信息。

圖6 所選148條地震動記錄Fig.6 Selected 148 ground motion records

3.3.2 結(jié)構(gòu)不確定性

混凝土彈性模量、混凝土抗壓強(qiáng)度、鋼筋屈服強(qiáng)度、支座的摩擦系數(shù)、斜拉索極限強(qiáng)度及其彈性模量為材料層次的不確定性；幾何尺寸、保護(hù)層厚度、鋼筋直徑以及阻尼比等屬于體系層次的不確定性。結(jié)構(gòu)不確定性的主要參數(shù)概率分布如表3所示。

表3 斜拉橋結(jié)構(gòu)中不確定性參數(shù)Table 3 Uncertainty parameters of cable-stayed bridge

3.4 概率地震響應(yīng)分析

為綜合考慮結(jié)構(gòu)及地震動不確定性的影響，基于結(jié)構(gòu)中不確定參數(shù)的概率分布(表3)，采用拉丁超立方技術(shù)進(jìn)行分層抽樣，建立148個橋梁樣本。將其與選擇的148組地震動進(jìn)行隨機(jī)組合，進(jìn)而構(gòu)成148組地震動-橋梁樣本對。通過非線性動力時程分析，得到148組橋梁地震響應(yīng)樣本，以Sa(T= 6 s)為地震動強(qiáng)度指標(biāo)，以支座位移、墩底曲率及塔底曲率為相應(yīng)構(gòu)件的地震響應(yīng)指標(biāo)，得到構(gòu)件的概率地震響應(yīng)如圖7所示。

圖7 構(gòu)件概率需求模型Fig.7 Probabilistic demand models of components

基于式(3)對構(gòu)件的概率地震響應(yīng)進(jìn)行回歸分析，得到其數(shù)學(xué)表達(dá)式如表4所示。

表4 構(gòu)件概率地震響應(yīng)模型Table 4 Probabilistic seismic demand models of components

由表4可知，在構(gòu)件地震響應(yīng)的回歸分析中，其相應(yīng)的p值均小于顯著性水平0.01，表明基于式(3)建立回歸模型是合適的，能夠反應(yīng)樣本的總體回歸趨勢；判定系數(shù)R2均大于0.4，個別構(gòu)件的回歸模型中R2接近0.9，可見采用Sa(T= 6 s)為地震動強(qiáng)度指標(biāo)，對構(gòu)件地震響應(yīng)的擬合效果較好。

3.5 相關(guān)性分析

基于支座、橋墩及主塔的概率地震響應(yīng)(圖7)，計算構(gòu)件地震響應(yīng)之間的秩相關(guān)系數(shù)，進(jìn)行相關(guān)性分析，其結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，在縱橋向，支座之間的相關(guān)性最強(qiáng)，主塔次之，橋墩最弱；在橫橋向，主塔之間的相關(guān)性最強(qiáng)，支座次之，橋墩最弱。總體而言，同類構(gòu)件的相關(guān)性最強(qiáng)，不同類構(gòu)件的相關(guān)性次之，但其秩相關(guān)系數(shù)也均在0.5以上。由此可見，斜拉橋整體系統(tǒng)中各構(gòu)件地震響應(yīng)存在顯著的相關(guān)性。

圖8 構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性Fig.8 Correlation between component seismic demands

3.6 整體系統(tǒng)的Pair Copula模型

3.6.1 Pair Copula分層迭代模型

根據(jù)斜拉橋中構(gòu)件的附屬關(guān)系及空間位置，優(yōu)先將位置較近的構(gòu)件進(jìn)行組合，建立斜拉橋整體系統(tǒng)的Pair Copula分層迭代模型，如圖9所示。

圖9 整體系統(tǒng)的Pair Copula模型Fig.9 Pair Copula model of the overall system

由圖9可知，首先將連接墩及輔助墩與布置在其上的支座進(jìn)行組合，將同一主塔的兩塔肢進(jìn)行組合，構(gòu)建底層Pair Copula；然后將同側(cè)的連接墩與輔助墩進(jìn)行組合，將主塔與布置在其上的支座進(jìn)行組合，構(gòu)建第二層Pair Copula；將兩側(cè)的橋墩進(jìn)行組合，將兩個主塔進(jìn)行組合，構(gòu)建第三層Pair Copula；最后將橋墩與主塔進(jìn)行組合，構(gòu)建第四層Pair Copula。采用4層Pair Copula迭代進(jìn)而模擬斜拉橋的整體系統(tǒng)。

3.6.2 地震響應(yīng)概率轉(zhuǎn)換

不同強(qiáng)度地震動作用下，結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)存在顯著差異，而實際地震動記錄數(shù)據(jù)庫中，同等強(qiáng)度地震動記錄數(shù)量有限。為消除地震動強(qiáng)度的影響，基于構(gòu)件的概率響應(yīng)模型(表4)對非線性動力時程分析樣本進(jìn)行殘差分析，結(jié)果如圖10所示。

圖10 構(gòu)件地震需求殘差處理Fig.10 Residual processing of component seismic demands

為保證樣本數(shù)據(jù)位于Copula的定義域內(nèi)，采用非參數(shù)核密度估計方法建立構(gòu)件的邊緣概率分布，進(jìn)而對構(gòu)件地震響應(yīng)進(jìn)行概率轉(zhuǎn)換，如圖11所示。

由圖11可知，在縱橋向，支座的概率分布高度一致，在橫橋向支座的概率分布差別也不顯著；橋墩及主塔在縱、橫橋向的概率分布差距較明顯，采用單一概率分布進(jìn)行擬合會引起較大偏差。

圖11 構(gòu)件響應(yīng)概率變換Fig.11 Probabilistic transformations of component demands

3.6.3 參數(shù)估計及擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)構(gòu)件地震響應(yīng)的概率轉(zhuǎn)換及Pair Copula迭代模型，基于式(11)對Pair Copula的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計。然后，基于AIC及BIC準(zhǔn)則，對Pair Copula迭代模型中的Copula進(jìn)行優(yōu)選。最后對優(yōu)選的Pair Copula分層迭代模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗，以評估Pair Copula模型的有效性，其結(jié)果如表5所示。

由表5可知，在Pair Copula迭代模型中，各Copula的AIC及BIC值均較小，且其擬合優(yōu)度檢驗的p值均大于顯著性水平0.05，表明Pair Copula迭代模型合理有效。Gumbel Copula在迭代模型中出現(xiàn)的次數(shù)最多，表明Gumbel Copula能描述大部分構(gòu)件兩兩之間的相關(guān)性。由于Gumbel Copula的概率密度函數(shù)呈現(xiàn)上尾高而下尾低的J形，因此大部分構(gòu)件兩兩之間的相關(guān)性呈現(xiàn)出典型的上尾相關(guān)特征。通過將Gumbel、Gaussian、t、Joe及BB8 Copula分層迭代，能夠滿足描述斜拉橋整體系統(tǒng)中構(gòu)件地震響應(yīng)相關(guān)性的要求。

表5 Pair Copula的參數(shù)估計及優(yōu)選Table 5 Parameter estimation and selection of Pair Copulas

4 斜拉橋整體系統(tǒng)易損性評估

4.1 極限狀態(tài)定義

該斜拉橋的支座形式為盆式橡膠支座，采用相對變形能較好地描述支座在地震作用下的力學(xué)性能，因此采用位移指標(biāo)來定義其破壞狀態(tài)[3]。對于主塔及橋墩，采用曲率延性比作為其地震響應(yīng)參數(shù)[28]，由于連接墩及輔助墩均經(jīng)過抗震設(shè)計，鋼筋在墩底和墩頂截面不存在搭接情況，因此分別以縱向鋼筋首次屈服、截面等效屈服、截面最大彎矩能力及混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變定義輕微損傷、中等損傷、嚴(yán)重?fù)p傷及完全破壞4種破壞狀態(tài)。主塔作為主要受力構(gòu)件，一旦失效會導(dǎo)致斜拉橋完全喪失承載能力，以主塔縱向鋼筋的屈服作為判別主塔失效的標(biāo)準(zhǔn)。

斜拉索作為受拉構(gòu)件，拉索斷裂是最主要的失效模式，由于單根或者某幾根拉索失效并不會引起斜拉橋橋面坍塌，因此暫不單獨(dú)考慮斜拉索在地震下的破壞[29]。一般研究認(rèn)為地震下斜拉橋的主梁只有在產(chǎn)生較大位移的情況下才發(fā)生破壞，在本研究中暫不考慮。將支座、連接墩、輔助墩及主塔在輕微損傷、中等損傷、嚴(yán)重?fù)p傷及完全破壞四種破壞狀態(tài)下的指標(biāo)限值進(jìn)行匯總，結(jié)果如表6所示。

表6 構(gòu)件極限狀態(tài)定義Table 6 Definition of component limit states

4.2 構(gòu)件易損性

結(jié)合構(gòu)件概率地震響應(yīng)模型(表4)及其極限狀態(tài)(表6)，基于式(4)建立構(gòu)件在縱橋向及橫橋向的地震易損性曲線，如圖12所示。

由圖12可知，不同類型構(gòu)件的地震易損性存在一定的差別，支座的易損性最大，主塔次之，橋墩的易損性最小；且支座及主塔的易損性顯著大于橋墩。這是由于橋塔與橋墩的極限狀態(tài)取值不同。不同類型支座之間的易損性也存在一定的差別，在橫橋向尤為明顯；不同塔肢之間的易損性基本一致；不同橋墩之間的易損性差異主要是由于連接墩與輔助墩在地震下的響應(yīng)不同所導(dǎo)致。支座在兩個方向的易損性基本一致，其縱橋向的易損性略大于橫橋向。主塔塔肢在輕微損傷及中等損傷兩種破壞狀態(tài)下，縱橋向的易損性大于橫橋向；在嚴(yán)重?fù)p傷及完全破壞兩種狀態(tài)下，當(dāng)?shù)卣饎訌?qiáng)度較小時，主塔塔肢縱橋向的易損性大于橫橋向，隨著地震動強(qiáng)度的增加，其橫橋向的易損性逐漸超過縱橋向。連接墩與輔助墩在縱橋向的易損性均大于橫橋向。

4.3 系統(tǒng)易損性

結(jié)合Pair Copula分層迭代模型(圖9)及其優(yōu)選的Copula(表5)，建立斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性曲線，如圖13所示。

對比圖12及圖13可知，斜拉橋整體的地震易損性大于支座、橋墩及主塔等單一構(gòu)件的易損性，但整體系統(tǒng)與橋墩之間的易損性差距明顯大于系統(tǒng)與支座或主塔之間的易損性差距。由此可見，支座及主塔是斜拉橋的易損部位，對斜拉橋系統(tǒng)易損性的貢獻(xiàn)處于主導(dǎo)地位；相比之下，橋墩的易損性水平較低，對斜拉橋系統(tǒng)的易損性影響有限。

圖12 構(gòu)件地震易損性曲線Fig.12 Seismic vulnerability curves of components

由圖13可知，斜拉橋整體系統(tǒng)在輕微、中等、嚴(yán)重及完全四種破壞狀態(tài)下，其地震易損性曲線分布均勻，無顯著增大或者減小情況出現(xiàn)。系統(tǒng)在縱橋向四種破壞狀態(tài)下對應(yīng)的Sa(T=6 s)中位值分別為0.007g、0.020g、0.029g及0.048g；在橫橋向四種破壞狀態(tài)下對應(yīng)的Sa(T=6 s)中位值分別為0.008g、0.021g、0.028g及0.044g。由此可見，該斜拉橋系統(tǒng)的縱橋向與橫橋向地震易損性基本一致，兩個方向的抗震性能及地震可靠性設(shè)計均衡。

圖13 斜拉橋系統(tǒng)地震易損性曲線Fig.13 Seismic vulnerability curves of bridge system

4.4 相關(guān)性對系統(tǒng)易損性的影響

當(dāng)假定支座、橋墩及主塔等構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)，由一階界限理論推導(dǎo)整體系統(tǒng)的易損性為：

當(dāng)假定構(gòu)件地震響應(yīng)之間完全不相關(guān)，基于一階界限理論得到斜拉橋整體系統(tǒng)的易損性為：

為量化支座、橋墩及主塔之間相關(guān)性對斜拉橋系統(tǒng)易損性的影響，將基于Pair Copula迭代模型建立的系統(tǒng)易損性與構(gòu)件完全相關(guān)及完全不相關(guān)兩種情況下的易損性進(jìn)行對比，結(jié)果如圖14所示。

由圖14可知，與構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)的情況相比，考慮構(gòu)件真實相關(guān)性得到的斜拉橋整體系統(tǒng)在縱橋向四種破壞狀態(tài)下的易損性分別增加6.80%、9.79%、10.00%及10.46%；與構(gòu)件地震響應(yīng)完全不相關(guān)的情況相比，考慮構(gòu)件真實相關(guān)性得到的系統(tǒng)易損性在四種破壞狀態(tài)下分別減少25.40%、47.04%、50.38%及50.78%。在橫橋向，與構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)的情況相比，考慮構(gòu)件真實相關(guān)性得到的斜拉橋整體系統(tǒng)在四種破壞狀態(tài)下的易損性分別增加4.01%、6.84%、7.48%及6.98%；與構(gòu)件地震響應(yīng)完全不相關(guān)的情況相比，四種破壞狀態(tài)下考慮構(gòu)件真實相關(guān)性得到的斜拉橋整體系統(tǒng)的易損性分別減少31.41%、43.60%、45.08%及45.81%。由此可見，構(gòu)件地震響應(yīng)之間的相關(guān)性對斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性影響顯著。假定構(gòu)件地震響應(yīng)完全不相關(guān)，會高估斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性25%以上；而假定構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)，會低估斜拉橋整體系統(tǒng)的真實地震易損性4%～11%。

圖14 相關(guān)性對系統(tǒng)易損性影響Fig.14 Influence of correlations on system vulnerability

總體而言，隨著破壞程度的增長，假定構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)及完全不相關(guān)，得到的斜拉橋整體系統(tǒng)地震易損性之間的間距不斷增大，表明支座、橋墩及主塔地震響應(yīng)之間相關(guān)性對斜拉橋系統(tǒng)易損性的影響不斷增大。由構(gòu)件地震響應(yīng)的相關(guān)性分析可知，支座、橋墩及主塔地震響應(yīng)之間相關(guān)性較強(qiáng)，因此斜拉橋整體系統(tǒng)的真實地震易損性接近構(gòu)件完全相關(guān)情況下得到的結(jié)果，而與假定構(gòu)件完全不相關(guān)情況下得到的整體系統(tǒng)易損性相差較大。

斜拉橋自振周期長，其整體系統(tǒng)的易損性相對常規(guī)混凝土梁橋較小。但由于斜拉索及主梁等上部結(jié)構(gòu)在地震下可能發(fā)生較大的水平位移，斜拉橋的支座易損性相對橋墩及主塔等下部結(jié)構(gòu)較高，對斜拉橋整體系統(tǒng)的易損性產(chǎn)生較大影響。

5 結(jié)論

針對斜拉橋的支座、橋墩及主塔等構(gòu)件地震響應(yīng)之間的相關(guān)性，提出基于Pair Copula分層迭代模型的斜拉橋整體系統(tǒng)地震易損性評估方法，以一座高速鐵路斜拉橋為例闡述該方法的應(yīng)用，主要結(jié)論如下：

(1) Pair Copula模型通過分層迭代將斜拉橋中的支座、橋墩及主塔等多個構(gòu)件組合為整體系統(tǒng)，基于AIC及BIC準(zhǔn)則對Pair Copula中的分層Copula進(jìn)行優(yōu)選及擬合優(yōu)度檢驗，可準(zhǔn)確模擬斜拉橋系統(tǒng)中構(gòu)件兩兩之間的相關(guān)性。

(2)地震作用下斜拉橋的支座、橋墩及主塔等構(gòu)件之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，隨著破壞程度的增長，構(gòu)件地震響應(yīng)之間相關(guān)性對斜拉橋整體系統(tǒng)易損性的影響不斷增大。假定構(gòu)件地震響應(yīng)完全不相關(guān)，會顯著高估斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性；而假定構(gòu)件地震響應(yīng)完全相關(guān)，會稍微低估斜拉橋整體系統(tǒng)的易損性。

(3)支座及主塔是斜拉橋的易損部位，其對斜拉橋整體系統(tǒng)易損性的貢獻(xiàn)處于主導(dǎo)地位；相比之下，橋墩的易損性水平較低，對斜拉橋整體系統(tǒng)的易損性影響有限。

由于主塔、橋墩及支座等不同類型構(gòu)件的重要性不同，不同構(gòu)件的損傷對斜拉橋整體的影響程度及震后修復(fù)難度差異顯著。在斜拉橋整體系統(tǒng)的地震易損性評估中，引入重要度的概念，細(xì)化主塔、橋墩及支座等不同構(gòu)件破壞后的影響程度需要進(jìn)一步深入研究。此外，對于其他跨徑的斜拉橋，可采用所提的Pair Copula技術(shù)，以橋梁的概率地震分析為基礎(chǔ)，建立相應(yīng)的Pair Copula迭代模型對其整體系統(tǒng)的易損性進(jìn)行研究。