于曉輝，李越然，宋鵬彥，呂大剛

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江，哈爾濱 150090；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院智能防災(zāi)減災(zāi)工業(yè)與信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江，哈爾濱 150090；3. 河北大學(xué)建筑工程學(xué)院，河北，保定 071002)

近年來，以風(fēng)險(xiǎn)為導(dǎo)向的新一代基于性能地震工程得到了研究人員的廣泛關(guān)注[1]。根據(jù)美國太平洋地震工程研究中心(PEER)提出的全概率風(fēng)險(xiǎn)決策框架[2]，地震風(fēng)險(xiǎn)分析被分解為3個(gè)基本模塊，包括：地震危險(xiǎn)性分析、地震易損性分析和地震損失分析。其中，地震易損性分析是連接地震危險(xiǎn)性分析與地震損失分析的橋梁，它用來確定工程結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用下發(fā)生不同極限狀態(tài)破壞的概率[3 ? 4]。近年來，地震易損性被廣泛應(yīng)用于不同類型結(jié)構(gòu)的地震安全評(píng)估中[5 ? 9]，已經(jīng)成為工程結(jié)構(gòu)地震安全評(píng)估的一種有效手段[10]。

地震易損性分析主要包括概率地震需求分析[11]和概率抗震能力分析[12]。其中，概率抗震需求分析用來建立地震動(dòng)強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系；概率抗震能力分析則用來定義不同極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)抗震能力限值的概率分布。結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)的劃分與結(jié)構(gòu)損傷水平緊密相關(guān)，通常依賴于工程經(jīng)驗(yàn)判斷，無法形成較為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。僅以倒塌極限狀態(tài)而言，如何來定義結(jié)構(gòu)倒塌？不同的工程和研究人員對(duì)其定義均不同。因此，極限狀態(tài)的定義具有很強(qiáng)的“模糊性”。鑒于此，如何衡量地震易損性分析中極限狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)的模糊性，定量評(píng)價(jià)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響是一個(gè)值得研究人員關(guān)注的問題。

早在1965年，美國著名的控制論專家Zadeh[13]率先提出了模糊集合(fuzzy sets)理論。其中，他提出采用“隸屬函數(shù)(membership function)”來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)象差異的中間過渡，這突破了經(jīng)典集合論中屬于或不屬于的絕對(duì)關(guān)系，并由此開創(chuàng)了模糊數(shù)學(xué)學(xué)科。近年來，模糊數(shù)學(xué)在地震易損性的相關(guān)研究中已經(jīng)得到了一定應(yīng)用。例如：黃龍生和姜淑珍[14]基于歷史地震資料，采用模糊綜合評(píng)估方法，開展了群體公路橋梁的地震易損性分析，獲得了公路橋梁的地震易損性矩陣。張桂欣和孫柏濤[15]提出了一種基于模糊層次分析的建筑物單體震害預(yù)測方法，并針對(duì)汶川地震中的若干結(jié)構(gòu)震害數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。何浩祥等[16]提出了一種基于多元模糊評(píng)定的橋梁綜合地震易損性分析方法，實(shí)現(xiàn)了從橋梁單元易損性到橋梁體系易損性的過渡。Colangelo[17 ? 18]通過引入模糊-隨機(jī)模型，利用可靠度理論中的經(jīng)典概率干涉方法，推導(dǎo)獲得了考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)。然而，極限狀態(tài)的模糊性與所采用的隸屬函數(shù)緊密相關(guān)。采用不同類型的隸屬函數(shù)去描述極限狀態(tài)中存在的模糊性會(huì)導(dǎo)致地震易損性結(jié)果的不同。此外，極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性函數(shù)參數(shù)的影響也缺乏定量的評(píng)估。

針對(duì)上述問題，本文采用10種不同隸屬函數(shù)來表征極限狀態(tài)定義中的模糊性，采用模糊-概率模型推導(dǎo)獲得不同隸屬函數(shù)對(duì)應(yīng)的地震易損性解析函數(shù)，定量評(píng)價(jià)不同隸屬函數(shù)對(duì)地震易損性函數(shù)的影響，給出考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)修正方法。為說明上述研究思路，以4棟不同高度和不同設(shè)防烈度的RC框架結(jié)構(gòu)為例，進(jìn)行應(yīng)用分析。

1 基本概念

1.1 模糊集與隸屬度

隨機(jī)變量X上的一個(gè)模糊集A是指：對(duì)任何x∈X，均有一個(gè)數(shù)μA(x)∈[0,1]與之對(duì)應(yīng)。其中，μA(·)被稱之為模糊集A的隸屬函數(shù)，又被稱作模糊分布。μA(x)表示x對(duì)A的隸屬度[19]。根據(jù)隸屬度的定義，可知：當(dāng)μA(x)=1時(shí)，元素完全屬于模糊集A；μA(x)=0時(shí)，元素完全不屬于模糊集A。圖1給出了經(jīng)典集合論與模糊集中關(guān)于隸屬度的定義及其差異。由圖1可見，在經(jīng)典集合論中，代表點(diǎn)的隸屬度非0即1。然而，在模糊集合論中，代表點(diǎn)對(duì)集合的隸屬度是在[0,1]。

圖1 經(jīng)典集合論與模糊集合論中的隸屬度含義差異Fig.1 Difference between memberships defined according to the classic sets and the fuzzy sets

1.2 隸屬函數(shù)

確定隸屬函數(shù)μA(·)的方法主要包括：統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法、指派法、借用(已有客觀尺度)法、二元對(duì)比排序法等。本文采用指派法確定極限狀態(tài)的隸屬函數(shù)。指派法是一種基于檢驗(yàn)并根據(jù)問題性質(zhì)而直接采用典型隸屬函數(shù)來模擬模糊性的方法。根據(jù)問題中所要描述對(duì)象的模糊性大小，所指派的隸屬函數(shù)包括偏小型、中間型和偏大型，分別用來描述偏小、中間狀態(tài)、偏大的模糊現(xiàn)象。

地震易損性分析中的極限狀態(tài)定義包含大量工程經(jīng)驗(yàn)，不同工程和科研人員對(duì)同一極限狀態(tài)的理解也不盡相同，可認(rèn)為屬于模糊性較大的情況。因此，本文采用偏大型隸屬函數(shù)來描述極限狀態(tài)定義存在的模糊性。采用模糊-概率積分的方法在地震易損性分析中考慮極限狀態(tài)模糊性，基本原理詳見第2節(jié)。本文考慮了10種不同類型的偏大型隸屬函數(shù)，如式(1)～式(10)所示。式中，α表示x的界限值；λ用來控制模糊區(qū)間的寬度。在所考慮的10種隸屬函數(shù)中，μ2(x)、μ3(x)、μ4(x)為冪函數(shù)型，μ5(x)、μ6(x)、μ7(x)為三角函數(shù)型，μ8(x)為指數(shù)型，μ9(x)和μ10(x)為對(duì)數(shù)型。μ1(x)較為特殊，其在整個(gè)模糊區(qū)間上模糊度為0.5，表示其在整個(gè)模糊區(qū)間上模糊性均達(dá)到最大。圖2給出了所考慮的10種隸屬函數(shù)的模糊分布曲線，以[(1?λ)×α，(1+λ)×α]為模糊區(qū)間，且在x=α界限值處取得最大模糊值。為說明模糊性的影響，圖2中以經(jīng)典集合論中的非0即1的隸屬函數(shù)c(x)(見式(11))作為對(duì)比。

圖2 本文考慮的10種隸屬函數(shù)Fig.2 Ten membership functions considered in this paper

1.3 隸屬函數(shù)的模糊度參數(shù)與形狀參數(shù)

為了較為定量地衡量隸屬函數(shù)之間的差別，本節(jié)特引入模糊度參數(shù)和形狀參數(shù)分別來描述隸屬函數(shù)的模糊度大小以及隸屬曲線形狀特點(diǎn)。模糊性大小與模糊區(qū)間大小緊密相關(guān)，而模糊區(qū)間大小則由參數(shù)λ(λ>0)來決定(即：[(1?λ)×α, (1+λ)×α]為模糊區(qū)間)。具體而言，λ越大，模糊區(qū)間范圍越大，隸屬函數(shù)曲線越平緩，表示x在界限周圍的模糊性越大；λ越小，模糊區(qū)間范圍越小，隸屬函數(shù)曲線越陡，表示x在界限周圍的模糊性越小。當(dāng)λ=0時(shí)，指數(shù)型隸屬函數(shù)μ2(x)、μ3(x)、μ4(x)與c(x)完全重合。這一結(jié)果表明：當(dāng)λ=0時(shí)，隸屬函數(shù)所表征的模糊性消失，隸屬函數(shù)退化為經(jīng)典集合論中非0即1的階躍型隸屬函數(shù)。綜上，λ可視為隸屬函數(shù)的模糊度參數(shù)。

為了更加全面地定量分析不同隸屬函數(shù)對(duì)地震易損性函數(shù)的影響時(shí)，本文提出了一個(gè)反映隸屬函數(shù)形狀特性的變量γ，該變量能夠反映隸屬函數(shù)曲線在模糊區(qū)間[(1?λ)×α, (1+λ)×α]上的形狀特征，如圖3所示。γ的定義如式(12)所示：

式中： |μk(x)?c(x)|表 示隸屬函數(shù)μk(x)與c(x)的差值；λα表示模糊區(qū)間(式(12)積分區(qū)間)的1/2，可計(jì)算為：[(1+λ) × α?(1?λ)× α]/2。因此，根據(jù)式(12)和圖3，通過與c(x)對(duì)比，γ可以定量化反映隸屬曲線形狀的“陡峭”和“平緩”程度。γ值越大，說明μk(x)與c(x)相差越大，模糊區(qū)間越大，因此，說明隸屬曲線形狀越“平緩”。反之，隸屬曲線形狀越“陡峭”。根據(jù)γ的定義式，γ=0表示隸屬函數(shù)與c(x)一致；γ=1表示隸屬函數(shù)在λ區(qū)間上的函數(shù)值皆為0.5，此時(shí)隸屬函數(shù)為μ1(x)。

圖3 隸屬度函數(shù)的模糊形狀參數(shù)的定義Fig.3 Definition of fuzziness shape factor of membership functions

值得說明地是，λ和γ分別用來描述隸屬函數(shù)的模糊度和形狀特征，前者反映模糊程度大小，后者反映隸屬函數(shù)形狀特征。根據(jù)式(12)，分別計(jì)算10種隸屬函數(shù)μi(x) (i=1,2,···,10)的形狀參數(shù)γ值，如表1所示。

表1 10種隸屬函數(shù)的形狀參數(shù)γTable 1 Calculated shape factors γ of ten membership functions

2 基于模糊-概率積分的易損性函數(shù)

2.1 模糊-概率積分的基本原理

根據(jù)經(jīng)典的可靠度概率干涉理論，結(jié)構(gòu)失效概率P可以表示為結(jié)構(gòu)抗力R與結(jié)構(gòu)需求S的卷積，可表示為：

式中：fRS為R與S的聯(lián)合概率密度函數(shù)；r和s分別為R與S的實(shí)現(xiàn)。

引入經(jīng)典集合理論中的隸屬函數(shù)c(x)(見式(11))，式(13)可表示為：

采用模糊集中的隸屬函數(shù)μ(r,s)替換式(14)中的c(r,s)，獲得概率-模糊積分為：

式中，P′表示考慮模糊性的失效概率。

當(dāng)λ=0時(shí)，式(14)和式(15)的解析表達(dá)式一致，即：P′=P。令R?=lnR和S?=lnS，式(15)改寫為：

2.2 考慮模糊性的地震易損性解析函數(shù)

地震易損性函數(shù)F(x)可分為：基于地震動(dòng)強(qiáng)度的函數(shù)和基于變形的函數(shù)[3]。其中，采用基于變形的地震易損性函數(shù)，可以將地震易損性分析分解為概率地震需求分析和概率抗震能力分析。式(17)給出了常用的基于變形的地震易損性函數(shù)：

式中：mC和 βC分別表示對(duì)應(yīng)不同極限狀態(tài)的結(jié)構(gòu)抗震能力C的中位值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差；mD|IM和βD|IM分別表示在給定地震動(dòng)強(qiáng)度IM下，結(jié)構(gòu)需求D的中位值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，可分別按式(18)和式(19)計(jì)算[11]：

式中：Di(i=1,2,···,N)為第i條地震動(dòng)作用下的地震需求；N為地震動(dòng)個(gè)數(shù)；系數(shù) β0和 β1要通過對(duì)數(shù)線性回歸獲得。

基于式(17)，分別以C和D替換式(15)中的R和S，則有R?=C?和S?=D?。令t=C??D?，則有D/C=e?t。將式(16)進(jìn)行變換，得到：

根據(jù)式(20)，可以推導(dǎo)獲得采用前4類隸屬函數(shù)μi(x)(i=1,2,3,4)來考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性解析函數(shù)?；谑Ｓ?類隸屬函數(shù)，無法利用式(19)直接獲得考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)的解析表達(dá)式，需借助數(shù)值積分方法求解。

式中，系數(shù)αi和βi見表2。

表2 考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)系數(shù)Table 2 Parameters of seismic fragility functions considered limit state fuzziness

2.3 考慮模糊性的地震易損性函數(shù)數(shù)值積分

若式(20)無法獲得解析解，可以采用蒙特卡洛法進(jìn)行數(shù)值積分求解。將式(20)分解為2部分積分，第一部分積分域?yàn)?[ ?ln(1?λ),0]，假設(shè)t在區(qū)間 [?ln(1?λ),0]上服從均勻分布，概率密度函數(shù)為g(t)，則有：

式(20)的第二部分積分域?yàn)?[0,ln(1?λ)]，可表示為：

將式(23)和式(25)代入式(20)中，可以獲得考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性的數(shù)值積分解為：

3 考慮極限狀態(tài)模糊性的RC框架結(jié)構(gòu)地震易損性分析

3.1 RC框架結(jié)構(gòu)

本文選取文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[20]中所采用的4個(gè)不同高度且具有不同設(shè)防烈度的RC框架結(jié)構(gòu)為例，分析極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響。這四個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)為：1) 結(jié)構(gòu)F-1，3層結(jié)構(gòu)，其設(shè)防烈度為VI度，設(shè)計(jì)基本加速度為0.05g；2) 結(jié)構(gòu)F-2，5層結(jié)構(gòu)，設(shè)防烈度為VI度，設(shè)計(jì)基本加速度為0.05g；3) 結(jié)構(gòu)F-3，8層結(jié)構(gòu)，設(shè)防烈度為VI度，設(shè)計(jì)基本加速度為0.05g；4) 結(jié)構(gòu)F-4，10層結(jié)構(gòu)，設(shè)防烈度為VI度，設(shè)計(jì)基本加速度為0.05g。采用OpenSees對(duì)結(jié)構(gòu)在地震作用下的非線性反應(yīng)進(jìn)行分析。上述四個(gè)算例結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和建模詳細(xì)信息可參見文獻(xiàn)[11]。為保證論文的完整性，給出四個(gè)框架結(jié)構(gòu)的平面和立面布置，如圖4所示[11]。

圖4 算例結(jié)構(gòu) /mm Fig.4 Case structures

3.2 不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析

值得指出地是，考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析，只需要在已有地震易損性分析結(jié)果基礎(chǔ)上，利用第2節(jié)中基于模糊-概率模型推導(dǎo)獲得的考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性解析和數(shù)值解，即可計(jì)算獲得。因此，本文所提出的方法可以較為簡單有效地利用已有地震易損性分析結(jié)果，無須額外進(jìn)行地震時(shí)程分析，即可在傳統(tǒng)地震易損性分析結(jié)果的基礎(chǔ)上考慮極限狀態(tài)模糊性的影響。

鑒于上述，由于文獻(xiàn)[20]中已經(jīng)較為詳細(xì)地給出了上述四個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)的地震易損性分析過程和結(jié)果，因此，本節(jié)僅給出不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析結(jié)果。其中，采用100條地震動(dòng)作為輸入，以譜加速度Sa作為地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)，以結(jié)構(gòu)最大層間位移角θmax為地震需求參數(shù)，采用云圖法[11]建立概率地震需求模型。結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)劃分為4級(jí)：輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞和完全破壞。采用隨機(jī)Pushover方法[12]建立不同極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)的概率抗震能力模型。表3和表4分別給出了上述四個(gè)RC框架對(duì)應(yīng)的概率地震需求模型參數(shù)和概率抗震能力模型參數(shù)。將表中給出的需求和能力模型參數(shù)代入式(16)，即可獲得地震易損性曲線。

表3 概率地震需求模型參數(shù)Table 3 Probabilistic seismic demand model parameters

表4 概率抗震能力模型參數(shù)Table 4 Probabilistic seismic capacity model parameters

3.3 考慮極限狀態(tài)模糊性的易損性分析

基于3.2節(jié)中不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析結(jié)果，根據(jù)2.2節(jié)和2.3節(jié)中方法，獲得考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線。僅以一種隸屬函數(shù)μ3(x)為例，給出四個(gè)算例結(jié)構(gòu)在考慮和不考慮極限狀態(tài)模糊性情況下的地震易損性曲線，如圖5所示。由圖5可見，考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線要比不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線更為平緩。極限狀態(tài)模糊性對(duì)完全破壞狀態(tài)的地震易損性影響要高于其對(duì)其他三個(gè)狀態(tài)地震易損性的影響。第4節(jié)將定量評(píng)價(jià)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響，進(jìn)一步討論不同隸屬函數(shù)描述極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響。

圖5 考慮和不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線Fig.5 Seismic fragility curves with and without considering fuzziness in limit states

4 極限狀態(tài)模糊性對(duì)易損性的影響

4.1 極限狀態(tài)模糊性對(duì)易損性的影響系數(shù)

本文提出了一個(gè)影響系數(shù) ηP來定量評(píng)價(jià)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響，如式(27)所示：

式中，[0,xup]為積分區(qū)間，本文取xup=2.0g。對(duì)于譜加速度Sa而言，Sa=2.0g這一強(qiáng)度已足夠大能使其對(duì)應(yīng)的失效概率接近為1。因此，式(27)所示的積分可以對(duì)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性曲線在較寬區(qū)間內(nèi)的影響給出評(píng)估； ΔPmax表示考慮和不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線的最大絕對(duì)概率差，可表示為：

4.2 極限狀態(tài)模糊性大小的影響

僅以3層結(jié)構(gòu)F-1為例，將結(jié)構(gòu)在嚴(yán)重破壞狀態(tài)對(duì)應(yīng)的考慮和不考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。其中，采用隸屬函數(shù)μ4(t)來描述極限狀態(tài)模糊性，關(guān)注不同模糊度參數(shù)λ取值對(duì)地震易損性的影響。

圖6 λ值對(duì)考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性的影響Fig.6 Effect of λ values on seismic fragility curves considering fuzziness in limit states

由圖6可見，λ取值越小，考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性曲線與傳統(tǒng)地震易損性曲線越接近。當(dāng)λ增大時(shí)，考慮模糊性的易損性曲線趨于平緩，且逐漸偏離傳統(tǒng)易損性曲線。當(dāng)λ→0時(shí)，考慮模糊性的易損性曲線與傳統(tǒng)易損性曲線基本重合。在實(shí)際地震易損性的相關(guān)研究中，λ的取值受研究人員主觀因素影響較大。若研究人員認(rèn)為所采用的極限狀態(tài)定義存在較大的模糊性，可以取較大的λ值。反之，可以取較小的λ值。

4.3 隸屬函數(shù)的影響

仍以3層結(jié)構(gòu)F-1為例，采用不同隸屬函數(shù)來描述極限狀態(tài)模糊性，對(duì)比結(jié)構(gòu)在嚴(yán)重破壞狀態(tài)對(duì)應(yīng)的考慮和不考慮模糊性的地震易損性曲線，如圖7所示。僅研究隸屬函數(shù)對(duì)地震易損性的影響，在此取λ定值為0.5。由圖7可見，采用不同隸屬函數(shù)獲得的考慮模糊性的地震易損性曲線并不相同。為了定量評(píng)估隸屬函數(shù)選擇對(duì)考慮模糊性的地震易損性結(jié)果影響，采用ηP作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。圖8給出了10種隸屬函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)F-1、F-2、F-3和F-4在嚴(yán)重破壞極限狀態(tài)時(shí)地震易損性結(jié)果的影響。由圖8可以看出，隨著γ的增大，不同隸屬函數(shù)對(duì)易損性的影響也逐漸顯著。綜合圖7的結(jié)果，在本文所考慮的隸屬函數(shù)中，按照ηP的大小進(jìn)行排序?yàn)椋?/p>

圖7 隸屬函數(shù)對(duì)考慮模糊性的地震易損性的影響Fig.7 Effect of membership on seismic fragility considering fuzziness in limit states

圖8 10種隸屬函數(shù)對(duì)應(yīng)的ηP值及其隨λ的變化Fig.8 Values of ηP corresponding to ten membership considered and the corresponding variation with λ

μ1(x)>μ4(x)>μ2(x)>μ6(x)>μ10(x)>μ8(x)≈μ7(x)>μ3(x)>μ9(x)>μ5(x)

將隸屬函數(shù)形狀對(duì)地震易損性結(jié)果的影響按ηP值大小分成5個(gè)等級(jí)，如表5所示。針對(duì)四個(gè)算例結(jié)構(gòu)，計(jì)算10種隸屬函數(shù)對(duì)地震易損性的影響等級(jí)。結(jié)果表明，對(duì)地震易損性影響較高的隸屬函數(shù)為：μ1(x)、μ2(x)、μ4(x)和μ6(x)。隨著λ值的增大，極限狀態(tài)模糊性對(duì)易損性的影響等級(jí)顯著增加，影響程度可以達(dá)到V級(jí)(ηP>15%)。對(duì)于其他隸屬函數(shù)，當(dāng)λ>0.7時(shí)，其對(duì)地震易損性的影響程度也較為明顯，影響等級(jí)可以達(dá)到III級(jí)，5%<ηP<10%。綜上，要合理考慮極限狀態(tài)的模糊性，要綜合考慮隸屬函數(shù)和λ值的影響。

表5 基于ηP的隸屬函數(shù)形狀對(duì)地震易損性影響等級(jí)劃分Table 5 Classification of effect of membership functions on seismic fragility curves using ηP

5 考慮極限狀態(tài)模糊性的易損性修正

根據(jù)第2節(jié)，通過模糊-概率積分可獲得考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)。但是，這種方法獲得的地震易損性解析函數(shù)通常較為復(fù)雜。為解決這一問題，本文提出了一種較為簡化的考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)修正方法。該方法基于模糊-概率積分法獲得的地震易損性結(jié)果，假設(shè)考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)仍然服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，通過建立地震易損性函數(shù)中位值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與模糊度參數(shù)λ之間的回歸關(guān)系，實(shí)現(xiàn)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性函數(shù)的修正。

將式(18)代入式(17)中進(jìn)行變換，獲得基于地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的易損性函數(shù)，如式(29)所示[3]：

式中，未考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)中位值mR和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 βR，按式(30)和式(31)計(jì)算：

式中，a1、a2、b1、b2為回歸參數(shù)，受隸屬函數(shù)形狀影響，不同隸屬函數(shù)對(duì)應(yīng)不同的回歸參數(shù)。

修正后的地震易損性函數(shù)為：

圖9 和與λ的關(guān)系Fig.9 Relationships between and and λ

6 結(jié)論

本文考慮10種隸屬函數(shù)來描述極限狀態(tài)模糊性，考慮不同模糊度的影響，采用模糊-概率積分法推導(dǎo)了考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)。以4個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)為例，開展了考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析，研究了在極限狀態(tài)模糊性中考慮不同隸屬函數(shù)和不同模糊度對(duì)地震易損性結(jié)果的影響，給出了考慮極限狀態(tài)模糊性修正的地震易損性函數(shù)。得到如下結(jié)論：

(1) 采用不同隸屬函數(shù)考慮極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性結(jié)果影響較為顯著。隨著模糊度的提高，不同隸屬函數(shù)對(duì)應(yīng)的考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性分析結(jié)果差異也逐漸增加。

(2) 在本文所考慮的10種隸屬函數(shù)中，μ1(x)、μ4(x)、μ2(x)和μ6(x)對(duì)地震易損性的影響較大，在模糊度較大時(shí)(λ>0.7)，極限狀態(tài)模糊性對(duì)易損性的影響可以達(dá)到15%以上。對(duì)于其他隸屬函數(shù)μ3(x)、μ5(x)、μ7(x)、μ8(x)、μ9(x)和μ10(x)，當(dāng)模糊度較大時(shí)(λ>0.7)，極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響在5%～10%。

(3) 采用本文提出的考慮極限狀態(tài)模糊性修正的地震易損性函數(shù)可以較好地體現(xiàn)極限狀態(tài)模糊性對(duì)地震易損性的影響。

值得指出地是，考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)選取受研究人員主觀意愿控制。若研究人員認(rèn)為在地震易損性分析中所采用的極限狀態(tài)模糊性較大，就可以選取較大的λ值，同時(shí)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)去選取特定的隸屬函數(shù)，并利用本文推導(dǎo)的相應(yīng)的考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性函數(shù)進(jìn)行分析。反之，研究人員可以選擇較小的λ值或者不考慮極限狀態(tài)的模糊性。但是，本文提供的考慮極限狀態(tài)模糊性的地震易損性解析函數(shù)，為工程人員更加客觀地考慮極限狀態(tài)定義中存在的經(jīng)驗(yàn)性問題提供了一條解決方案。