劉勇智， 聶 愷， 于錦祿， 陳俊柏

(1.空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院， 西安， 710038； 2.空軍工程大學(xué)研究生院， 西安， 710051)

為了解決傳統(tǒng)飛機(jī)運(yùn)行成本高、可靠性和穩(wěn)定性較差的問(wèn)題，多電飛機(jī)[1]的概念相繼被提出。相比于傳統(tǒng)飛機(jī)，多電飛機(jī)廣泛使用電能來(lái)代替氣壓能和液壓能，主要有兩大優(yōu)勢(shì)：一方面隨著大量的機(jī)電作動(dòng)器和功率電傳技術(shù)被應(yīng)用，飛機(jī)的運(yùn)行更加穩(wěn)定，并且有效簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的復(fù)雜性。另一方面，由于減少了傳統(tǒng)液壓管道，多電飛機(jī)的體積得以減小，與此同時(shí)又使燃油效率得到提升。在飛機(jī)上，與其他二次能源相比較而言，電能的優(yōu)勢(shì)尤其突出，可靠性大大增強(qiáng)。當(dāng)飛機(jī)發(fā)生故障時(shí)，電能驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)往往可以僅將故障點(diǎn)隔離出來(lái)，而傳統(tǒng)的氣、液壓能一般會(huì)將整個(gè)系統(tǒng)電路全部進(jìn)行隔離，使系統(tǒng)不能正常運(yùn)作。除此之外，使用電能時(shí)，在相同狀況下，故障發(fā)生的可能性僅是傳統(tǒng)氣、液壓能系統(tǒng)的百分之一。但是，含有大量電力電子變換器件的系統(tǒng)中往往表現(xiàn)為恒功率負(fù)載的特性，使系統(tǒng)阻尼減小，更容易發(fā)生振蕩，此時(shí)電力系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行尤為關(guān)鍵，小擾動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題成為研究重點(diǎn)。

飛機(jī)電力系統(tǒng)小信號(hào)模型建模方法[2-4]通常有3種：狀態(tài)空間平均法(SSA)dq變換法和平均值建模法。相比于其他兩種方法，dq變換法在飛機(jī)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)建模上具有突出優(yōu)勢(shì)[5-6]，構(gòu)建的狀態(tài)方程階數(shù)較少。文獻(xiàn)[7]運(yùn)用電壓、電流雙閉環(huán)反饋對(duì)電機(jī)進(jìn)行控制，文獻(xiàn)[8]提出了一種用于多電飛機(jī)電力系統(tǒng)的自耦變壓器整流裝置(ATRU)的動(dòng)態(tài)模型。該模型大大降低了飛機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)建模的復(fù)雜性，使其在對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行暫態(tài)和穩(wěn)定分析時(shí)更加實(shí)用。目前研究電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法有阻抗分析法，李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)等[9-11]。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于模塊的小信號(hào)建模方法，為復(fù)雜多電飛機(jī)電力系統(tǒng)建模提供了新的思路。

對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性起到主要作用的參數(shù)往往難以選取，需要進(jìn)行大量的篩選工作。利用參與因子可以很好地解決這一問(wèn)題，故本文在建立飛機(jī)電力系統(tǒng)小信號(hào)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)其線性化得到系統(tǒng)特征值，并將參與因子與系統(tǒng)特征值結(jié)合[13-14]，顯示了各模態(tài)的參與因子與狀態(tài)變量的關(guān)系，可以直觀、快捷地找出主要參與因子，簡(jiǎn)化系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的過(guò)程。

1 系統(tǒng)小信號(hào)模型

本文研究的飛機(jī)電力系統(tǒng)概念圖如圖1所示。

圖1 飛機(jī)電力系統(tǒng)概念圖

Req、Leq、Ceq分別是傳輸線上的等效電阻、電感、電容。CPL為恒功率負(fù)載。rF、LF、CF代表系統(tǒng)直流部分濾波器相應(yīng)參數(shù)。

本文采用dq建模法，建立適合分析系統(tǒng)小信號(hào)穩(wěn)定性的模型。

1.1 電力系統(tǒng)dq等效電路

飛機(jī)電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建模方法主要有3種：dq變換法、平均值建模法和狀態(tài)空間平均建模法。相比于其他兩種方法dq變換法建立的模型可以使系統(tǒng)中各個(gè)部分很好地連接在一起。同時(shí)，dq變換法建立的電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型具有更低的階數(shù)，利于分析。因此，本文采用dq變換法對(duì)飛機(jī)電力系統(tǒng)進(jìn)行建模。

圖1對(duì)應(yīng)的dq坐標(biāo)系下的等效電路如圖2所示。

圖2 飛機(jī)電力系統(tǒng)等效電路

1.2 非線性動(dòng)態(tài)模型和線性化模型

將基爾霍夫電壓定律(KVL)和基爾霍夫電流定律(KCL)應(yīng)用于圖2的電路中，得到一組非線性微分方程。

狀態(tài)變量：x=[IdsIqsVbus,dVbus,qIdcVout]

輸入量：u=[VmPCPL]

輸出量：y=[Vout]

系統(tǒng)非線性微分方程為：

(1)

假設(shè)飛機(jī)電力系統(tǒng)在正常運(yùn)行狀態(tài)下工作點(diǎn)不發(fā)生快速變化。因此，利用泰勒展開的一階項(xiàng)對(duì)式(1)進(jìn)行線性化處理，從而得到一組圍繞平衡點(diǎn)的線性微分方程，則式(1)的dq線性化模型為：

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

由式(4)可知，線性化模型需要定義Vout,o、λo用于小信號(hào)仿真和穩(wěn)定性分析研究。建立出電力系統(tǒng)單線圖，得到潮流方程[15]，通過(guò)牛頓-拉夫遜迭代法可以求得穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)據(jù)Vout,o、λo，系統(tǒng)中參數(shù)如表1所示。

表1 飛機(jī)電力系統(tǒng)參數(shù)

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)特征值分析

由特征值理論可知：當(dāng)求得的系統(tǒng)特征值全部處于坐標(biāo)軸左側(cè)時(shí)，此時(shí)所研究的飛機(jī)電力系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)求得的系統(tǒng)特征值存在于任一處坐標(biāo)軸右側(cè)時(shí)，所研究的飛機(jī)電力系統(tǒng)不穩(wěn)定。已知電力系統(tǒng)小信號(hào)數(shù)學(xué)模型，由式(4)中的雅可比矩陣A(x0,u0)計(jì)算出特征值λ=δ±jω。

當(dāng)特征值實(shí)部δ小于0，該系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)特征值實(shí)部δ大于0，該系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的振蕩狀態(tài)；當(dāng)特征值實(shí)部δ等于0，該系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，即不穩(wěn)定。將此系統(tǒng)用特征值法進(jìn)行分析，可以快速、直觀地觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且整個(gè)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確度高。經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得系統(tǒng)特征值分布如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)特征值分布圖

PCPL從0～30 kW變化時(shí)系統(tǒng)在不同功率下的特征值如圖4所示。

圖4 不同功率下的特征值(λ5，λ6)

圖4中選取靠近坐標(biāo)軸的局部特征值，隨著PCPL的增大，該電力系統(tǒng)特征值λ5和λ6(分別位于圖4的上半部和下半部)的實(shí)部由坐標(biāo)軸負(fù)半軸逐漸過(guò)渡到正半軸，這也就表示系統(tǒng)的穩(wěn)定性在逐漸變差。當(dāng)PCPL=17 kW到PCPL=18 kW時(shí)，系統(tǒng)特征值開始越過(guò)坐標(biāo)軸，系統(tǒng)失穩(wěn)，即此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定性的臨界點(diǎn)。

在0、0.4、0.6、0.9 s分別給定功率7、12、17、18 kW如圖5所示。

圖5 負(fù)載功率改變時(shí)電壓的變化情況

由圖5可知，PCPL變化對(duì)輸出電壓的影響如下：當(dāng)給定的功率逐漸增大，系統(tǒng)輸出電壓收斂到穩(wěn)定的能力逐漸變差。給定功率為17 kW時(shí)，系統(tǒng)輸出電壓有收斂到穩(wěn)定的趨勢(shì)，當(dāng)給定功率增加到18 kW時(shí)系統(tǒng)輸出電壓無(wú)法收斂，呈現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì)。該仿真驗(yàn)證了在18 kW恒功率負(fù)載值下發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的理論結(jié)果。這大于不穩(wěn)定狀態(tài)下的17 kW值。

2.2 特征值所對(duì)應(yīng)模態(tài)參與因子分析

當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)每一個(gè)狀態(tài)變量的反應(yīng)程度均不同，采用參與因子來(lái)表示這種影響程度，設(shè)特征值的左、右特征向量矩陣分別為Ψ=(φ1T,φ2T,φ3T…)和Φ=(φ1,φ2,φ3…)，Λ=diag(λ1,λ2,λ3…)表示所有特征值組成的對(duì)角矩陣。因而有如下關(guān)系式[16]：

(6)

參與因子pki可以由第k個(gè)狀態(tài)變量對(duì)第i個(gè)特征值的相關(guān)性表示：

pki=φikφki

(7)

式中:φki和φik為矩陣Φ和Ψ中相應(yīng)行和列的元素。

由圖3特征值分布可知，其相對(duì)應(yīng)的各模態(tài)參與因子與狀態(tài)變量之間的關(guān)系如表2所示。

表2 各模態(tài)參與因子與狀態(tài)變量

表2所示狀態(tài)變量Vbus,d是模態(tài)λ1、λ2對(duì)應(yīng)的主要參與因子；狀態(tài)變量Vbus,q是模態(tài)λ3、λ4對(duì)應(yīng)的主要參與因子；狀態(tài)變量Vout是模態(tài)λ5、λ6對(duì)應(yīng)的主要參與因子。

3 系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

電力系統(tǒng)矩陣的特征值會(huì)根據(jù)參數(shù)值的變化而變化，特征根離虛軸的距離決定了其系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？拷撦S的特征根稱為主導(dǎo)特征根。由圖3可選取此系統(tǒng)的主導(dǎo)特征根λ5、λ6。

本文選取了電力系統(tǒng)中具有代表性的參數(shù)：直流側(cè)濾波器電容CF、直流側(cè)濾波器電感LF、系統(tǒng)的頻率ω。

在保證系統(tǒng)其他參數(shù)不變的前提下，分別給定系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電容CF的值為300、350、400、450、500、550、600、650 μF。得到電力系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電容CF增大時(shí)系統(tǒng)主導(dǎo)特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖6，其中300 μF≤CF≤650 μF。

圖6 CF增大時(shí)特征根變化趨勢(shì)

由圖6可知：隨著CF的增大，λ5、λ6由坐標(biāo)軸右側(cè)逐漸移到坐標(biāo)軸左側(cè)，意味著實(shí)部由正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)，整個(gè)系統(tǒng)由不穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到穩(wěn)定狀態(tài)，并且穩(wěn)定性增強(qiáng)。此外通過(guò)表2可知Vout是模態(tài)λ5、λ6的主要參與因子，隨著CF的增大，Vout的穩(wěn)定性也隨之增強(qiáng)。

在0.4、0.6、0.8、1.0 s時(shí)分別在系統(tǒng)中給定功率12、18、26、32 kW。并選取CF的值分別為300、500、700、900 μF如圖7所示。

由圖7可知，隨著CF值的增大，相同條件下系統(tǒng)可承受負(fù)載越來(lái)越大，直流側(cè)輸出電壓Vout收斂到穩(wěn)定所需時(shí)間縮短。意味著CF越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，同時(shí)可以準(zhǔn)確的預(yù)估出CF的失穩(wěn)點(diǎn)。由此可見(jiàn)，CF的值越大，系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)生的概率越小。

圖7 CF變化時(shí)系統(tǒng)的帶載能力

在保證系統(tǒng)其他參數(shù)不變的前提下，分別給定系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電感LF的值為1、1.5、2、2.5、3、3.5、4、4.5、5 mH。得到電力系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電感LF增大時(shí)系統(tǒng)主導(dǎo)特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖8，其中1 mH≤LF≤5 mH。

圖8 LF增大時(shí)特征根變化趨勢(shì)

由圖8可知：隨著LF的增大，λ5、λ6由坐標(biāo)軸左側(cè)逐漸移到坐標(biāo)軸右側(cè)，意味著實(shí)部由負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，整個(gè)系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到不穩(wěn)定狀態(tài)。此外通過(guò)表2可知Vout是模態(tài)λ5、λ6的主要參與因子，隨著LF的增大，Vout的穩(wěn)定性也隨之降低。

在保證系統(tǒng)其他參數(shù)不變的前提下，0.4、0.6、0.8、1.0 s時(shí)分別在系統(tǒng)中給定功率10、13、18、34 kW。并選取LF的值分別為1、2、3、4 mH如圖9所示。

由圖9可知，隨著LF值的增大，相同條件下系統(tǒng)可承受負(fù)載越來(lái)越小，直流側(cè)輸出電壓Vout收斂到穩(wěn)定所需時(shí)間變長(zhǎng)。意味著LF越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，同時(shí)可以準(zhǔn)確預(yù)估出LF的失穩(wěn)點(diǎn)。由此可見(jiàn)，LF的值越大，系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)生的概率越大。

圖9 LF變化時(shí)系統(tǒng)的帶載能力

在保證系統(tǒng)其他參數(shù)不變的前提下，分別給定系統(tǒng)頻率ω的值為200、250、300、350、400、450、500、550、600 Hz。得到電力系統(tǒng)頻率ω增大時(shí)系統(tǒng)主導(dǎo)特征值λ5、λ6的變化軌跡如圖10，其中200 Hz≤ω≤800 Hz。

由圖10可知，隨著ω的增大，λ5、λ6由坐標(biāo)軸右側(cè)逐漸移到坐標(biāo)軸左側(cè)，意味著實(shí)部由正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)，整個(gè)系統(tǒng)由不穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到穩(wěn)定狀態(tài)，并且穩(wěn)定性增強(qiáng)。此外通過(guò)表2可知Vout是模態(tài)λ5、λ6的主要參與因子，隨著ω的增大，Vout的穩(wěn)定性也隨之增強(qiáng)。

圖10 系統(tǒng)頻率增大時(shí)特征根變化趨勢(shì)

在0.4、0.6、0.8、1.0 s時(shí)分別在系統(tǒng)中給定功率16、18、20、22 kW。并選取ω的值分別為200、400、600、800 Hz。帶載能力如圖11所示。

圖11 頻率變化時(shí)系統(tǒng)的帶載能力

由圖11可知，隨著ω值的增大，相同條件下系統(tǒng)可承受負(fù)載越來(lái)越大，直流側(cè)輸出電壓Vout收斂到穩(wěn)定所需時(shí)間變短。意味著ω越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越強(qiáng)，同時(shí)可以準(zhǔn)確的預(yù)估出ω的失穩(wěn)點(diǎn)。由此可見(jiàn)，ω的值越大，系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)生的概率越小。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)飛機(jī)電力系統(tǒng)直流側(cè)濾波器等參數(shù)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定域難以確定、參數(shù)主要參與因子選取困難的問(wèn)題，提出了一種基于特征值及其參與因子分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：通過(guò)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)的分析，結(jié)合泰勒公式建立了飛機(jī)電力系統(tǒng)小信號(hào)模型，并運(yùn)用特征值原理、參與因子原理分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此分析過(guò)程快速、便捷，并且分析結(jié)果具有高精度。通過(guò)與simulink仿真相結(jié)合，驗(yàn)證了模型的有效性和可行性。在分析過(guò)程中，通過(guò)對(duì)飛機(jī)電力系統(tǒng)中主要參數(shù)進(jìn)行數(shù)值上改變，可以觀察的系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化趨勢(shì)，從而獲取準(zhǔn)確的穩(wěn)定邊界，結(jié)果表明：系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電容CF的值越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定。系統(tǒng)直流側(cè)濾波器電感LF的值越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定。系統(tǒng)頻率ω的值越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定。同時(shí)此方法為系統(tǒng)預(yù)測(cè)各參數(shù)失穩(wěn)點(diǎn)提供了有效、快捷的解決辦法。