徐 訓(xùn)， 陳 浩， 朱亞杉， 田克兢， 林廷燦

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 武漢 430070)

主動質(zhì)量阻尼器(active mass damper, AMD)因其減振效果好、控制力實時可調(diào)以及魯棒性強等優(yōu)點，在工程結(jié)構(gòu)的振動控制中得到了廣泛研究與應(yīng)用[1-4]。主動控制算法直接影響著AMD的控制效果，許多學(xué)者在此方面做出了貢獻。Yang[5]最先將現(xiàn)代控制理論引入到土木工程的振動控制中來。Chang等[6]利用LQR最優(yōu)控制理論研究了ATMD的控制性能。Nishimura[7]提出了最優(yōu)位移反饋的控制算法。還有一些如H∞最優(yōu)控制[8]，極點控制算法[9]也被學(xué)者應(yīng)用到AMD的算法實現(xiàn)中來。

結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)取決于AMD的系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)。因此，參數(shù)的選取也成為了值得研究的問題。祁皚等[10]采用估計的結(jié)構(gòu)參數(shù)K和M選取權(quán)矩陣Q，并分析了AMD參數(shù)對控制效果的影響。王磊等[11]采用人工魚群算法優(yōu)化了AMD系統(tǒng)的權(quán)矩陣，驗證了該方法對權(quán)參數(shù)選取的準確性和有效性。

然而基于上述研究的AMD采用的作動器大多為液壓作動器或伺服電機作動器，前者構(gòu)造復(fù)雜、占空間大、維護成本高，后者需要機械傳動部件，響應(yīng)慢等。歐進萍等[12]所提出的電磁驅(qū)動AMD系統(tǒng)雖能解決上述問題，但存在著質(zhì)量塊行程受限的問題。在大震或較大風(fēng)荷載作用下，AMD行程很大，加上結(jié)構(gòu)空間有限，質(zhì)量塊易與主體結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，破壞控制系統(tǒng)。因此為保證直線AMD安全穩(wěn)定運行，通常需要在軌道兩端增設(shè)限位裝置來約束AMD行程 ，不僅給設(shè)計來帶麻煩，還會限制AMD最優(yōu)的控制效果。為此Zhang等[13]提出一種旋轉(zhuǎn)激勵的作動器，慣性質(zhì)量通過輕桿連接電機做旋轉(zhuǎn)運動，解決了電磁驅(qū)動直線AMD質(zhì)量塊的行程問題。

本文將“旋轉(zhuǎn)”運動的概念，引入到直線電磁驅(qū)動的AMD裝置，將直線軌道改進為旋轉(zhuǎn)軌道，提出一種電磁驅(qū)動的回轉(zhuǎn)式振動控制裝置(RVCD)。不同于文獻[13]的是，其驅(qū)動無需旋轉(zhuǎn)電機帶動，而是由電磁直接驅(qū)動。質(zhì)量無需輕桿連接，這會解決輕桿的承重和所占空間的問題。軌道形式不局限于圓形，以適應(yīng)不同條件下的控制。本文首先，建立了結(jié)構(gòu)和RVCD耦合的數(shù)學(xué)模型，針對該系統(tǒng)的強耦合性和非線性，采用無量綱處理以及全局坐標變換將其簡化為級聯(lián)形式，并為其設(shè)計了滑?？刂破?；接著，通過仿真來驗證RVCD控制系統(tǒng)的減振效果和魯棒性，并對裝置物理參數(shù)進行敏感性分析；最后，針對滑?？刂扑惴ㄖ卸鄥?shù)的最優(yōu)取值問題，本文從AMD做負功的角度構(gòu)造了目標函數(shù)，提出了一種基于粒子群算法的優(yōu)化方法。

1 RVCD模型及控制器設(shè)計

1.1 系統(tǒng)模型

RVCD的構(gòu)造如圖1所示，固定組件安裝于被控結(jié)構(gòu)，軌道組件安裝在固定組件外表面，線圈繞組環(huán)繞在軌道外側(cè)的定子鐵芯上，質(zhì)量塊卡接于軌道，內(nèi)部貼有永磁體，并通過滾珠在軌道內(nèi)滑行。其驅(qū)動方式利用了同步電機的原理：定子線圈繞組通入三相正弦交流電后會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場，質(zhì)量塊內(nèi)的永磁體會產(chǎn)生恒定磁場，由于磁極間的相互作用，定子的旋轉(zhuǎn)磁場與永磁體的恒定磁場之間產(chǎn)生的磁拉力會拉動質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)，并最終使質(zhì)量塊跟隨旋轉(zhuǎn)磁場同步旋轉(zhuǎn)。質(zhì)量塊在旋轉(zhuǎn)時會受到切向的慣性力和法向的向心力作用。這兩個力的反作用力充當(dāng)結(jié)構(gòu)的控制力，從而控制結(jié)構(gòu)的振動。

1. 固定組件; 2. 質(zhì)量塊; 3. 限位彈簧; 4. 擋板; 5. 線圈繞組; 6. 永磁體; 7. 定子鐵芯; 8. 軌道組件; 9. 滾珠; 10. 連接螺栓圖1 回轉(zhuǎn)式振動控制裝置構(gòu)造圖Fig.1 Construction of rotary vibration control device

由拉格朗日方程可以得到其動力學(xué)模型

圖2 回轉(zhuǎn)式振動控制裝置/結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)俯視圖Fig.2 Top view of rotary vibration control device/structure coupled system

(1)

(2)

為便于控制器的設(shè)計，引入下列無量綱量[14]

(3)

(4)

(5)

(6)

式中:xd,fd,u,Cd表示無量綱化的結(jié)構(gòu)位移，外界干擾，控制力矩和阻尼；τ表示無量綱化時間；ε是一個輔助參數(shù)，表示水平運動與旋轉(zhuǎn)運動的耦合關(guān)系。

結(jié)構(gòu)與RVCD耦合的數(shù)學(xué)模型(1)和(2)可寫為

(7)

(8)

可以看出，系統(tǒng)(7)和(8)具有強耦合性，引入下列坐標變換[15]

(9)

系統(tǒng)(7)和(8)轉(zhuǎn)化為下列級聯(lián)規(guī)范形式

(10)

式中：

(11)

1.2 控制器設(shè)計

對于具有非線性項的系統(tǒng)(10)而言，其控制變量(η和ξ)數(shù)目大于輸入數(shù)目(ν)，是一個典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，本文采用滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計其控制器。

系統(tǒng)的控制目標是使?fàn)顟B(tài)變量達到平衡點，即

(12)

由式(9)可知，式(12)等價于

[η1η2ξ1ξ2]T=[0 0 0 0]T

(13)

取滑模函數(shù)為

s=c1η1+c2η2+c3ξ1+ξ2

(14)

其中，c1,c2,c3均大于0

(15)

采用指數(shù)趨近律，有

(16)

其中，h=h0+c2D,|fd|≤D,h0>0,κ>0

結(jié)合式(15)和式(16),可以求解出

ν=-c1η2-c2(-η1-Cdη2+εsinξ1+εCdξ2cosξ1)-c3ξ2-hsgn (s)-κs

(17)

定義Lyapunov函數(shù)為

(18)

則

κs2≤0

(19)

故系統(tǒng)的狀態(tài)變量會漸進穩(wěn)定到平衡點。

(20)

式中，φ>0，其大小決定了函數(shù)的拐點位置，雙曲正切函數(shù)的穩(wěn)定性可由同樣方法證明。

2 PSO優(yōu)化滑?？刂茀?shù)

粒子群算法(particle swarm opimization，PSO)是一種常用的進化優(yōu)化算法，其原理是：在解空間內(nèi)隨機生成一群粒子，計算每個粒子對應(yīng)的初始適應(yīng)度值(目標函數(shù)值)，通過每一次迭代過程，粒子會更新自己的位置，從而獲得新的適應(yīng)度值，與初始的最優(yōu)適應(yīng)度值進行比較，直到找到全局的最優(yōu)解。粒子的更新公式為

(21)

式中:k表示迭代次數(shù);h1,h2表示學(xué)習(xí)因子；r1,r2是[0,1]內(nèi)的隨機數(shù)；V為粒子速度,P為個體極值；G為群體極值；X表示粒子當(dāng)前位置。

AMD對結(jié)構(gòu)的控制效果從本質(zhì)上來講，是通過主動控制力對結(jié)構(gòu)做負功來抵消外界干擾輸入到結(jié)構(gòu)的能量實現(xiàn)的[17]，故可從能量角度設(shè)定優(yōu)化的目標函數(shù)。對式(1)各項同乘位移微分,在外界激勵持時t內(nèi)積分，可以得到RVCD-結(jié)構(gòu)能量平衡方程

Ek+Es+Ed+Eu=Ei

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

對于彈性結(jié)構(gòu)，無塑性變形，其應(yīng)變能等于彈性勢能。在振動結(jié)束時系統(tǒng)的動能和彈性勢能變?yōu)榱悖斎氲浇Y(jié)構(gòu)的能量最終由自身阻尼耗能和RVCD所作功來承擔(dān)，RVCD通過摩擦將負功轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉。因此RVCD所做的負功越大，結(jié)構(gòu)承擔(dān)和消耗的能量就越小。

文獻[18]指出，AMD控制力過大不僅無法取得更好的控制效果，還可能超出作動器的額定驅(qū)動力。本文的控制目標應(yīng)為在保證結(jié)構(gòu)控制效果的前提下適當(dāng)降低作動器的出力，因此本文定義目標函數(shù)為

(28)

式中:Eie和Eue表示結(jié)構(gòu)停止振動時外界干擾輸入到結(jié)構(gòu)的能量和RVCD所做的總功；Nmax和Ns表示RVCD的最大驅(qū)動力和額定驅(qū)動力；λ1和λ2是權(quán)系數(shù)，二者之和取為1。

在優(yōu)化過程中，必須始終滿足實際結(jié)構(gòu)中AMD的約束條件，即

Nmax

(29)

控制算法的性能由Q=[c1,c2,c3,h,φ,κ]這些控制參數(shù)所決定，為便于搜尋，Q應(yīng)該滿足一定取值范圍：

Q∈W

(30)

式中，W為Q中各參數(shù)的取值范圍。

所以本文將基于PSO算法優(yōu)化RVCD，在滿足控制轉(zhuǎn)矩的約束條件下找到最優(yōu)目標函數(shù)值對應(yīng)的控制參數(shù)。

其具體優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 粒子群算法優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow chart of weighting matrices using PSO

3 仿真分析

3.1 RVCD控制系統(tǒng)的仿真模型

為探究采用RVCD控制的減振效果與魯棒性，本文選用一個單層框架結(jié)構(gòu)進行仿真，被控結(jié)構(gòu)質(zhì)量為983 kg，剛度為2×105N/m，阻尼為390 N·m/s。為減輕結(jié)構(gòu)自重，實際工程中AMD與結(jié)構(gòu)質(zhì)量比一般不超過5%，本文RVCD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)質(zhì)量比取為2%，旋轉(zhuǎn)半徑取為0.15 m，則轉(zhuǎn)動慣量為0.44 kg·m2?？捎嬎愠龇匠?10)參數(shù)：ε=0.099 2,Cd=0.027 5。

S函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù)(system function, SF)的簡稱，在 MATLAB中具有特定的語法格式，能夠以代碼的形式實現(xiàn)Simulink中的模塊功能，適合于復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。本文分別編寫了被控結(jié)構(gòu)響應(yīng)求解以及滑?？刂扑惴K的S函數(shù)，并在Simulink環(huán)境下進行了仿真，其仿真模型如圖4所示。

圖4 RVCD控制系統(tǒng)仿真模型Fig.4 Simulation model of RVCD control system

3.2 控制系統(tǒng)的有效性及魯棒性分析

施加0.05 m的初始位移激勵，并與無控結(jié)構(gòu)、TMD控制結(jié)構(gòu)進行比較，其結(jié)果如圖5所示。

取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為±5%[19]。假設(shè)為結(jié)構(gòu)位移降低到初始位移5%所用的時間。由圖5可知，不施加控制時，ts大于10 s；采用TMD控制時，系統(tǒng)在4.66 s到達穩(wěn)定；采用RVCD控制時，系統(tǒng)在2.40 s時到達穩(wěn)定。

圖5 初始位移激勵下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Fig.5 Structural displacement response under initial displacement excitation

實際工程中，結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)會存在不確定性，這需要控制器具有良好的魯棒性?？紤]惡劣情況，分別將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量增加15%，剛度減少15%，采用RVCD進行仿真，結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 質(zhì)量增加15%結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Fig.6 Structural displacement response with 15% mass increase

圖7 剛度減少15%結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Fig.7 Structural displacement response with 15% stiffness decrease

由圖6和圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加15%，TMD控制時，系統(tǒng)穩(wěn)定時間由4.66 s增加7.40 s，增加58.8%;RVCD進行控制時，系統(tǒng)到達穩(wěn)定的時間并無明顯變化，僅由2.40 s增加到2.85 s，增加到18.7%。當(dāng)剛度減少15%時，結(jié)論類似。這說明當(dāng)結(jié)構(gòu)模型存在不確定性時，RVCD具有良好的魯棒性。

為進一步研究RVCD抵抗外界干擾的能力，考慮了地震輸入，選用El Centro波(1940,NS)進行仿真，地震波幅值為2 m/s2,其仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。

圖8 地震激勵下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Fig.8 Structural displacement response under earthquake wave

圖9 RVCD轉(zhuǎn)角位移Fig.9 Angle of rotary vibration control device

圖10 RVCD輸出轉(zhuǎn)矩Fig.10 Output torque of rotary vibration control device

由仿真結(jié)果可知，在地震激勵作用下，采用RVCD進行控制時，結(jié)構(gòu)峰值位移與無控結(jié)構(gòu)相比，下降了42%，這說明RVCD具有很好的減振效果。

3.3 RVCD系統(tǒng)參數(shù)分析

實際AMD設(shè)計中，由于考慮到AMD控制系統(tǒng)安全性、安裝空間、成本或減輕結(jié)構(gòu)自重等因素，AMD參數(shù)的設(shè)計往往會受到限制，如AMD的質(zhì)量，最大行程等。這就需要AMD在這些參數(shù)受限的情況下仍具有良好的控制效果，故在此對RVCD在地震作用下系統(tǒng)參數(shù)偏離時對結(jié)構(gòu)振動控制的有效性進行分析，并與傳統(tǒng)的直線AMD和TMD進行對比。其中，AMD采用LQR算法進行設(shè)計，權(quán)矩陣Q和R的待定系數(shù)取為：α=104，β=1。TMD的最優(yōu)參數(shù)按Tsai等[20]提出的優(yōu)化方法取值。定義峰值位移的減振效果為

(31)

式中，xu max和xc max分別為無控和施加控制后結(jié)構(gòu)的最大位移。

由圖11可看出，隨著質(zhì)量比的增加，TMD、直線AMD、RVCD的減振效果均逐漸增加，直線AMD效果略好于RVCD。TMD控制效果明顯差于上述兩種控制裝置，無論質(zhì)量比取何值，其最大的峰值位移減振效果小于另外兩種控制裝置最小的峰值位移減振效果。當(dāng)質(zhì)量比由0.05下降到0.01時，RVCD的減振效果仍有34.16%，說明其在質(zhì)量受限的情況下仍具有良好的魯棒性。

圖11 結(jié)構(gòu)峰值位移減振效果與質(zhì)量比的關(guān)系Fig.11 Relationship between vibration reduction effect of peak displacement and mass ratio

調(diào)整LQR算法中的參數(shù)Q和R,可以得到直線AMD減振效果與質(zhì)量塊行程的關(guān)系，從圖12的結(jié)果可以看出，當(dāng)質(zhì)量塊的最大行程由0.202 m減少到0.1 m時，結(jié)構(gòu)的減振效果由50.17%下降到25.15%。這說明在建筑空間受限的情況下，AMD無法按理想的最大行程設(shè)計，結(jié)構(gòu)的減振效果下降顯著。而RVCD控制時，質(zhì)量塊作旋轉(zhuǎn)運動，無行程限制。安裝空間主要會限制裝置的旋轉(zhuǎn)半徑，圖13給出旋轉(zhuǎn)半徑對控制效果的影響。當(dāng)半徑r由0.2 m減小到0.1 m時，結(jié)構(gòu)的峰值位移減振效果略有下降，僅由45.38%下降到40.14%，說明在安裝空間受限的情況下，RVCD比直線AMD具有更好的控制效果。

圖12 直線AMD控制時結(jié)構(gòu)峰值位移減振效果與質(zhì)量塊行程的關(guān)系

Fig.12 Relationship between vibration reduction effect of structural peak displacement and mass stroke under linear AMD control

圖13 RVCD控制時結(jié)構(gòu)峰值位移減振效果與旋轉(zhuǎn)半徑的關(guān)系Fig.13 Relationship between vibration reduction effect of structural peak displacement and rotation radius under control of RVCD

結(jié)合之前分析結(jié)果，結(jié)構(gòu)RVCD控制系統(tǒng)具有很強的魯棒性，在結(jié)構(gòu)模型參數(shù)變化和自身物理參數(shù)受限的情況下仍具有很好的控制效果。

3.4 粒子群算法優(yōu)化滑?？刂茀?shù)結(jié)果

為進一步提升滑?？刂破鞯目刂菩ЧF(xiàn)用粒子群算法結(jié)合上述構(gòu)造的目標函數(shù)(J)對滑?？刂扑惴ㄖ械膮?shù)進行優(yōu)化，仍采用上述結(jié)構(gòu)在地震激勵下進行仿真優(yōu)化。經(jīng)試算，Q取值范圍{c1,c2,c3∈[0.5,50],h∈[1,10],κ∈(0,10],φ∈(0,1)}。權(quán)系數(shù)λ1和λ2分別取0.8和0.2。最終的優(yōu)化結(jié)果如圖14～圖19所示。最優(yōu)參數(shù)取為：[c1,c2,c3,h,κ,φ]=[6.32,10.26,5.54,5.71,4.39,0.39]。

圖14 粒子群算法迭代結(jié)果Fig.14 Iterative results of PSO

圖15 無控結(jié)構(gòu)能量時程Fig.15 Energy time history of uncontrolled structures

圖16 RVCD控制時結(jié)構(gòu)能量時程Fig.16 Energy time history of structures under control of rotary vibration control device

圖17 地震輸入能對比Fig.17 Comparison of seismic input energy

圖18 結(jié)構(gòu)自身耗能對比Fig.18 Comparison of energy dissipation of structures

圖19 結(jié)構(gòu)動能和彈性勢能之和對比Fig.19 Comparison of the sum of structural kinetic energy and elastic potential energy

從圖15可以看出，整個地震響應(yīng)過程中系統(tǒng)的能量是守恒的。地震前期較為劇烈，因此輸入能和結(jié)構(gòu)的阻尼耗能增加很快，結(jié)構(gòu)的動能和彈性勢能也較大。隨著地震的強度下降，輸入能和結(jié)構(gòu)的阻尼耗能漸漸穩(wěn)定，而動能和彈性勢能慢慢慢減小到0，能量最終幾乎全部由結(jié)構(gòu)自身阻尼消耗掉。

從圖16～圖19可以看出，采用RVCD進行控制后，由于主動控制力做負功而承擔(dān)了大部分的能量，結(jié)構(gòu)最終自身阻尼耗能下降了81.6%，前期的動能和彈性勢能峰值減小了62.8%。這說明采用RVCD進行控制時，能量大部分由主動控制裝置承擔(dān)，結(jié)構(gòu)的自身承擔(dān)的能量很少，RVCD起到了保護結(jié)構(gòu)的作用。

為驗證所優(yōu)化參數(shù)結(jié)果，選取通過試算得到的一般解進行對比。從表1可以看出，在最優(yōu)參數(shù)控制下，其控制效果要明顯優(yōu)于未優(yōu)化參數(shù)的控制效果。

表1 優(yōu)化前后減振效果對比Tab.1 Comparison before and after optimization

4 結(jié) 論

對于所提出的回轉(zhuǎn)式振動控制裝置(RVCD)，通過理論分析和數(shù)值仿真，得到了以下主要結(jié)論：

(1) 本文所提出的RVCD以及所設(shè)計的控制方法能有效控制結(jié)構(gòu)振動，并且對模型參數(shù)的不確定性和外界干擾具有很強魯棒性。在初始位移激勵下，當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加15%或剛度減小15%時，TMD控制時系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的時間增加了60%左右；RVCD控制時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)時間增僅加了19%左右。當(dāng)系統(tǒng)受到2 m/s2的地震作用時，RVCD系統(tǒng)的減振效果達到42%。

(2) 結(jié)構(gòu)RVCD控制系統(tǒng)對裝置物理參數(shù)的改變具有不敏感性。當(dāng)質(zhì)量比由0.05下降到0.01時，RVCD的峰值位移減振效果仍有34.16%。當(dāng)半徑r由0.2 m減小到0.1 m時，結(jié)構(gòu)的減振效率仍有40.14%，而直線AMD最大行程由0.2 m減少到0.1 m時，減振效果下降到25.15%，這說明在建筑空間受限的情況下，RVCD比直線AMD能發(fā)揮很好的控制效果，RVCD能有效解決直線AMD的行程問題。

(3) 采用PSO結(jié)合AMD做負功的優(yōu)化方法表明：RVCD通過主動控制力做負功，承擔(dān)了地震輸入的大部分能量，明顯減小了結(jié)構(gòu)的能量響應(yīng)，結(jié)構(gòu)阻尼耗能下降了81.6%，結(jié)構(gòu)的動能和彈性勢能之和的峰值減小了62.8%。

(4) 對于滑?？刂扑惴ㄖ锌刂茀?shù)的選取問題，從能量角度構(gòu)造目標函數(shù)結(jié)合粒子群優(yōu)化算法能夠確定算法的最優(yōu)參數(shù)值。