李玉婷， 馮進鈐， 岳曉樂

(1.西安工程大學 理學院，西安 710048；2.西北工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710072)

在實際工程中，由于碰撞是一種無法避免的非光滑因素，故其響應問題是非線性動力學中的熱點課題之一。Xu等[1-2]將Hertz接觸模型進行改進，并運用等效非線性方法推導得出碰撞振動系統(tǒng)的響應；李超[3]通過廣義胞映射方法得到該系統(tǒng)的響應結(jié)果；Rong等[4]應用多尺度方法，諧和與噪聲雙重干擾之下系統(tǒng)的平均響應被預測得到；Zhu等[5-10]將指數(shù)多項式閉合方法運用到隨機激勵下碰撞振動系統(tǒng)的研究中，得到了許多新穎的結(jié)果。

在眾多研究方法中，隨機平均法是一種研究隨機振動系統(tǒng)的有效方法。近年來，該方法的應用越來越廣泛。例如聶旭濤等[11]構(gòu)建了隨機因素作用下伺服機構(gòu)的動力學模型，并由隨機平均法和點插值無網(wǎng)格推導，得到了模型的響應；張波等[12]在非線性懸掛輪系統(tǒng)中加入了高斯白噪聲參激，通過Hamilton系統(tǒng)平均法分析了隨機全局穩(wěn)定性以及分岔現(xiàn)象；針對非彈性碰撞系統(tǒng)，徐明等[13]研究了噪聲作用下系統(tǒng)的首次穿越問題；對于噪聲作用下五自由度強非線性隨機振動系統(tǒng)，張雷等[14]利用基于廣義諧和函數(shù)的隨機平均法，得到了系統(tǒng)的平均首次穿越時間、條件可靠性函數(shù)以及平均首次穿越時間的條件概率密度。針對碰撞振動系統(tǒng)，Dimentberg等[15]利用廣義隨機平均法討論了碰撞振動系統(tǒng)的響應問題。對于雙參激作用下Van der Pol模型的隨機響應，Yang等[16]應用隨機平均法給出了結(jié)論。Feng等[17-18]分析了噪聲激勵下Duffing振子的響應及分岔問題。針對多自由度碰撞振動系統(tǒng)，Huang等[19]通過隨機平均法對其響應進行了研究。從平均能量損失角度出發(fā)，Gu等[20]則提出了一種分析碰撞振動系統(tǒng)的平均方法，并通過實例說明該方法是可行的。基于雅可比橢圓函數(shù)的隨機平均法，鄭麗文等[21-23]預測了有界噪聲和白噪聲作用下系統(tǒng)的響應。在非線性動力學中，噪聲的擾動會使系統(tǒng)產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象，包括外激振動和參激振動。外激振動會使系統(tǒng)狀態(tài)有一定程度的擴散；而在參激系統(tǒng)中，任意小的干擾都有可能導致運動狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的變化。因此，研究外激與參激聯(lián)合作用下的隨機振動具有重要意義。

形狀記憶合金(shape memory alloy, SMA)是一種新型智能材料，具有十分特殊的性能：形狀記憶效應。形狀記憶效應指的是合金在加熱升溫后會迅速恢復為低溫狀態(tài)下的形狀，是熱彈性馬氏體相變的宏觀體現(xiàn)。該材料被廣泛應用在許多領(lǐng)域，例如生物醫(yī)療領(lǐng)域，形狀記憶合金可被制成患者所需的生物支架，術(shù)前低溫狀態(tài)下將其折疊為最小體積，在送入人體之后，經(jīng)過溫度處理，使其展開形成支架，這樣可以大大地減小手術(shù)創(chuàng)傷和患者的病痛。隨機分岔是系統(tǒng)全局性態(tài)發(fā)生突變的一種現(xiàn)象，它的產(chǎn)生說明隨機激勵使得系統(tǒng)解的性質(zhì)發(fā)生了突變[24-28]，往往對系統(tǒng)的整體穩(wěn)定安全結(jié)構(gòu)起著關(guān)鍵作用。然而，關(guān)于SMA響應和分岔的研究相對較少，所以本文主要研究了具有非光滑特征、外激與參激聯(lián)合作用下SMA梁的概率響應和分岔。第2章建立外激和參激聯(lián)合作用下SMA梁模型。第3章利用非光滑變換，應用隨機平均法得到的平均Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK)方程，進而得到穩(wěn)態(tài)解析結(jié)果。第4章通過Monte Carlo法驗證了結(jié)果的有效性。此外，利用解析結(jié)果的極值條件得到了系統(tǒng)的隨機分岔臨界條件，著重研究了阻尼力與碰撞恢復力對系統(tǒng)響應的影響。

1 形狀記憶合金梁模型

如圖1所示，考慮一個矩形SMA梁模型[29]。梁長為l，寬為b，厚度為h，并且受隨機激勵

F1=s0+s1ζ1(t)，F(xiàn)2=s0+s2ζ2(t)

(1)

圖1 SMA梁模型Fig.1 The model of SMA beam

式中:s1和s2為位移，s0為初始時刻的位移;ζ1(t)，ζ2(t)為相互獨立的標準高斯白噪聲。ζ1(t)和ζ2(t)滿足

E[ζ1(t)]=0,E[ζ1(t+τ)ζ1(t)]=δ(τ)

E[ζ2(t)]=0,E[ζ2(t+τ)ζ2(t)]=δ(τ)

梁的邊界條件的一階模態(tài)為

(2)

結(jié)合式(1)，并利用梁的邊界條件、幾何變性條件，由彎矩公式可得

(3)

其中

式中:mi(i=1,2,3,4)為遲滯環(huán)骨架曲線與實驗曲線的偏差;η是梁的幾何變形條件。

該梁的動力學方程為

(4)

式中：M是梁的彎矩;c是線性阻尼;ω是梁豎直方向上的位移;ρA表示單位長度梁的質(zhì)量。

將式(1)、式(2)和式(3)代入式(4)并進行積分，無量綱化后可得隨機激勵下形狀記憶合金梁的運動方程

(5)

式中

在葛根等的SMA梁模型的基礎(chǔ)上，本文考慮非光滑因素碰撞對梁的影響，得到了外激和參激聯(lián)合作用下的形狀記憶合金梁振動模型如下

(6)

2 概率響應

由于非光滑因素的存在使得系統(tǒng)不易直接研究，故利用非光滑變換[30]，得到系統(tǒng)(6)的近似等效系統(tǒng)

3.1 經(jīng)濟效益分析 按照當前水稻種植的水平，生產(chǎn)投入7 575元/hm2，田租7 500元/hm2，水稻產(chǎn)量在8 250 kg/hm2左右，利潤在6375元/hm2左右。通過蝦稻鱖綜合種養(yǎng)，由于蝦、鱖養(yǎng)殖分攤了田租和人工成本，且減少了農(nóng)藥、肥料的使用，水稻種植成本僅7 375元/hm2，成本下降了51.1%；在產(chǎn)量僅6 250 kg/hm2的情況下，利潤達到8 875元/hm2。

f1sgn(y)ζ1(t)+f2yζ2(t)

(7)

(8)

由Khassminskii定理[31]知，引入小參數(shù)ε>0，當ε→0時，H被近似為一個Markov過程，則平均It微分方程為

(9)

式中

(10)

(11)

平均后的FPK方程為

(12)

其穩(wěn)態(tài)解

(13)

式中

(14)

最終，位移x1和速度x2的PDF為

(15)

(16)

3 概率響應分析

3.1 數(shù)值仿真

在本小節(jié)中，利用Monte Carlo法，對原系統(tǒng)(6)進行數(shù)值仿真得到數(shù)值結(jié)果，證明解析結(jié)果(13)的正確性，從而驗證該隨機平均法的有效性。另外，討論不同的噪聲幅值f1，f2對系統(tǒng)響應的影響。參數(shù)固定為k=-1，μ=0.01，γ=0.01，β=0.01，e=0.98。

圖2表示不同噪聲幅值激勵對系統(tǒng)響應的影響，圖3表示加性噪聲幅值f1=0.2時系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由圖可知解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果擬合的很好，驗證了該隨機平均法的有效性。由圖2(a)、(b)和(c)知，隨著噪聲幅值的增大，能量、位移和速度的概率密度函數(shù)曲線峰值越低，這表明噪聲的擾動使得系統(tǒng)逐漸偏離平衡狀態(tài)。

3.2 隨機分岔

本節(jié)固定系統(tǒng)參數(shù)k=-1，γ=0.01，β=0.01，f1=0.1，f2=0.1，由解析結(jié)果可得系統(tǒng)產(chǎn)生隨機分岔的臨界線，進而得到阻尼系數(shù)μ和恢復力系數(shù)e使得系統(tǒng)發(fā)生分岔的臨界值。

由解析結(jié)果(13)的極值條件得到系統(tǒng)發(fā)生分岔的臨界條件為

(17)

圖4中實線為隨機分岔臨界線，可以看到隨機分岔臨界線將區(qū)域一分為二，左上部分為火山口區(qū)域，也就是當對應參數(shù)為該區(qū)域的值時，系統(tǒng)響應峰的形狀呈現(xiàn)“火山口”，即會發(fā)生分岔現(xiàn)象；而右下部分是單峰區(qū)域，對應的峰的形狀為單峰，即系統(tǒng)此時未發(fā)生分岔。在臨界線附近取三點A(-0.01,0.99)、B(-0.01,0.98)和C(-0.03,0.98)，由上述分析可得，當系統(tǒng)取點A或點C時，系統(tǒng)發(fā)生分岔；而當取點B時未發(fā)生分岔。

圖4 的隨機分岔臨界線Fig.4 The critical line of stochastic bifurcation

為進一步驗證隨機分岔臨界線的有效性，圖5(a)、(b)和(c)分別表示點A、B和C的聯(lián)合PDF曲面圖，可以清楚地看到圖5(a)曲面發(fā)生凹陷，并呈現(xiàn)火山口形狀，圖5(b)曲面則是單峰，而圖5(c)曲面出現(xiàn)明顯的火山口形狀。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，對比點A和點B，固定μ=-0.01，較大的e值更易使得系統(tǒng)產(chǎn)生分岔；而結(jié)合點B和點C比較得出，同一恢復力系數(shù)e=0.98下，系統(tǒng)取較小的μ值時容易發(fā)生分岔。

圖6表示不同線性阻尼μ下系統(tǒng)的聯(lián)合PDF。固定碰撞恢復力系數(shù)e=0.98，隨著阻尼系數(shù)不斷減小，PDF曲線的峰值在不斷降低。當μ=-0.013時，峰值趨于平滑狀態(tài)，直到μ=-0.02時出現(xiàn)清晰的火山口。由此可得，阻尼系數(shù)μ誘導系統(tǒng)發(fā)生分岔的臨界值為μ≈-0.013。

圖7表示不同恢復力e下系統(tǒng)的聯(lián)合PDF。圖7與圖6具有相似的變化歷程，固定線性阻尼μ=-0.01，當恢復力系數(shù)e逐漸增大時，PDF曲線峰值在不斷地趨于平滑，當e=0.984時，該峰形狀平緩并伴隨下凹趨勢，直到在e=1.0形成火山口形狀。由此表明，當碰撞恢復力系數(shù)增大時，系統(tǒng)的能量損失越大，而恢復力系數(shù)使得系統(tǒng)產(chǎn)生分岔值為e≈0.984。

4 結(jié) 論

本文應用隨機平均法，主要研究了非光滑SMA梁在外激和參激噪聲聯(lián)合作用下的概率響應及其分岔。首先由非光滑變換得到近似等效系統(tǒng)，通過隨機平均法和It公式推導得到系統(tǒng)的PDF并驗證。研究結(jié)果表明，隨機擾動會使得系統(tǒng)不斷偏離平衡狀態(tài)。進一步分析發(fā)現(xiàn)，阻尼力和碰撞恢復力可誘導系統(tǒng)發(fā)生分岔現(xiàn)象，由近似解析結(jié)果得到了系統(tǒng)產(chǎn)生分岔的臨界條件，并驗證了該條件的正確性。分岔破壞SMA梁的穩(wěn)定性，易構(gòu)成不安全隱患。本文分岔臨界條件的產(chǎn)生使得研究系統(tǒng)分岔有了更加直觀具體的方法，有助于通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)來抑制隨機分岔的發(fā)生，使得工程構(gòu)建更加安全可靠。