喬旭安 陳麗莎 李 華 諸厚文

（重慶城市職業(yè)學(xué)院,重慶 402160）

1 引言

輪廓儀是對物體的輪廓、二維尺寸、二維位移進(jìn)行測試與檢驗(yàn)的儀器，作為精密測量儀器在汽車制造和鐵路行業(yè)的應(yīng)用十分廣泛[1]。接觸式輪廓儀的工作原理[2]是通過在待測物體的表面滑過探針以獲取表面輪廓參數(shù)，探針接觸到被測工件表面并勻速滑行，傳感器感受到被測表面的幾何變化，在X和Z方向分別采樣，并轉(zhuǎn)換成電信號，再將電信號放大處理，轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號儲(chǔ)存在數(shù)據(jù)文件中。理想狀況下，輪廓曲線應(yīng)該是光滑的，但由于接觸式輪廓儀存在探針玷污、探針缺陷、掃描位置不準(zhǔn)等問題，檢測到的輪廓曲線呈現(xiàn)出粗糙不平的情況，這給工件形狀的準(zhǔn)確標(biāo)注帶來了影響[3]。本文結(jié)合2020年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題的主要問題，介紹模型各參數(shù)值的確定方法和水平校正法。

2 模型假設(shè)

（1）假設(shè)工件1在水平狀態(tài)下測量的輪廓線圖的轉(zhuǎn)折點(diǎn)依次為A1～A30，其中A1坐標(biāo)為(a1,b1)，以此類推，A30坐標(biāo)為(a30,b30)，如圖1所示。

圖1 對工件1轉(zhuǎn)折點(diǎn)的標(biāo)注

（2）假設(shè)A1A2之間的直線方程為A4A5之間的直線方程為以此類推，如圖1所示。

（3）假設(shè)直線A1A2～A9A10與所對應(yīng)的圓相切。

3 問題求解

3.1 標(biāo)注輪廓線參數(shù)值

將工件1在水平狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB軟件中，輸入繪圖命令：得到圖形，如圖2所示。

圖2 附件1表數(shù)據(jù)圖

（1）求點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)。

步驟一：使用SPSS對A1、A2附近部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行擬合[4]得出線性方程為如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)擬合得出線性方程

步驟二：運(yùn)用Excel軟件，將取值范圍內(nèi)所有數(shù)據(jù)分別帶入所求出的線性方程中，得出Z的值，用（誤差），

求A1時(shí)取330～337之間的誤差值，如表1所示；求A2時(shí)取129～135之間的誤差值，如表2所示。

表1 序號330～337之間的誤差值（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

表2 序號129～135之間的誤差值（部分?jǐn)?shù)據(jù)）

步驟三：觀察表1，可以看出誤差的絕對值在331號附近向兩邊逐漸變大，取誤差絕對值接近于0的30組數(shù)據(jù)中的，取其平均值作為A1的橫坐標(biāo)，代入所在的直線方程得到A1的坐標(biāo)為（49.767 617 31，-1.770 968 78）。同理，觀察表2，得到A2的坐標(biāo)為（49.916 389 23，-2.163 820 208）。

（2）求A4、A5、A6、A7等點(diǎn)的坐標(biāo)。

A4、A5、A6、A7等點(diǎn)的坐標(biāo)的求解方法和步驟與求A1、A2點(diǎn)類似，分別得到的坐標(biāo)如表3所示。

表3 A5、A6、A7的坐標(biāo)

（3）求A3、A8、A13的坐標(biāo)。

利用Excel求以上點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)果如表4所示（以A3為例）。

表4 A3的坐標(biāo)

（4）求點(diǎn)A17的坐標(biāo)。

A17是直線A16A17與A17A18的交點(diǎn)，將z1617與z1718所得出的方程聯(lián)立求解：

最終得到A17坐標(biāo)為（76.826 512 82，-0.437 037 436）。同理，得到A19、A21、A22、A24、A25、A27、A28、A30坐標(biāo)，如表5所示。

表5 A19、A21、A22等的坐標(biāo)

（5）求圓弧半徑和圓心坐標(biāo)。

在Python軟件中編寫相對應(yīng)求解圓弧半徑和圓心坐標(biāo)的相關(guān)代碼程序，將所得出的A19、A20、A21的坐標(biāo)值代入程序中，可以分別求出第一個(gè)圓弧的半徑和圓心坐標(biāo)。圓心坐標(biāo)為（85.700 448 04，-1.354 101 04），半徑為0.994 125 967 964 683 4。

其他測量數(shù)據(jù)結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式得到，如求斜線與水平線之間的角度可以利用斜率計(jì)算，斜線線段的長度可以利用兩點(diǎn)間距離公式得到，圓弧長度可以利用弧長公式得到，等等，本文不一一贅述。

3.2 做出水平校正

首先，將D題提供的工件1在傾斜狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS軟件中，然后觀察整體圖形，如圖4所示。

圖4 25-1全部數(shù)據(jù)繪制圖

圖5 水平校正后的散點(diǎn)圖

4 模型的評價(jià)與推廣

本文從工件1在水平和傾斜狀態(tài)下的測量數(shù)據(jù)出發(fā)，利用Excel、MATLAB、SPSS、Python等軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過線性擬合、坐標(biāo)平移變換法、三點(diǎn)定圓等方法，構(gòu)建了標(biāo)注參數(shù)與水平校正模型，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，利用平均分析法對數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，為測量工件或產(chǎn)品輪廓提供了有效的方法。

4.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）運(yùn)用多種軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，能夠更精確地得到各項(xiàng)參數(shù)值的測量數(shù)據(jù)。

（2）通過對工件1在傾斜狀態(tài)下測量數(shù)據(jù)的分析，提煉了坐標(biāo)平移、轉(zhuǎn)換的方法，從而創(chuàng)建了一個(gè)概念模型。

4.2 模型的缺點(diǎn)

（1）對函數(shù)分段擬合需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，若能構(gòu)建實(shí)現(xiàn)自動(dòng)計(jì)算的模型，將取得更快更好的效果。

（2）在數(shù)據(jù)擬合時(shí)，截取的數(shù)據(jù)為模糊區(qū)間范圍內(nèi)的散點(diǎn)，可能導(dǎo)致測量的精度不夠。

4.3 模型的推廣

本文所建立的模型可應(yīng)用于不同傾斜角度數(shù)據(jù)的水平校正，進(jìn)而對各輪廓線參數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化，能夠有效解決一些工件或產(chǎn)品的輪廓在使用三次元、投影儀等常規(guī)方法不能滿足測量要求的問題。