王京潮，鄭志均

（1.寧?？h市政建設(shè)中心，浙江 寧海 315600；2.杭州市城建設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 杭州 310018）

0 引言

在曲線橋中，梁截面發(fā)生豎向彎曲時(shí)，由于曲率的影響，同時(shí)會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，這種扭轉(zhuǎn)作用又將導(dǎo)致梁的撓曲變形，稱為“彎- 扭耦合作用”[1]，因此，曲線橋的變形比相同跨度的直線橋大。同時(shí)，汽車在曲線橋上行駛時(shí)會(huì)對(duì)橋梁產(chǎn)生水平方向的離心力，導(dǎo)致橫向內(nèi)力及附加扭矩，使得曲線橋的動(dòng)力學(xué)分析比直線橋的動(dòng)力學(xué)分析復(fù)雜得多。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者的早期研究中，主要側(cè)重于解析方法研究，曲線橋采用Euler 梁、Timoshenko 梁或者梁?jiǎn)卧M，且多為簡(jiǎn)支梁，汽車模型多簡(jiǎn)化為移動(dòng)荷載[2-11]，分析曲線橋的動(dòng)力響應(yīng)或沖擊系數(shù)，李忠獻(xiàn)[12]針對(duì)公路和城市立交中的曲線箱梁橋，基于剪力柔性梁格法建立了曲線箱梁的梁格模型，進(jìn)行了車橋相互作用分析，得到曲線箱梁橋的車橋耦合振動(dòng)方程，利用Newmark-β 數(shù)值積分法求解橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。隨著研究的逐漸深入和有限元計(jì)算軟件的發(fā)展，車- 橋耦合系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)為解析方法和有限元方法相結(jié)合的方法。

盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者近些年對(duì)車- 曲線橋耦合系統(tǒng)進(jìn)行了一些研究，但已有的汽車- 橋梁耦合系統(tǒng)的計(jì)算方法各不相同，通用性不強(qiáng)，對(duì)于普通的橋梁設(shè)計(jì)人員或施工人員進(jìn)行實(shí)際車- 橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力計(jì)算有較大難度。為此，本文擬提出一種完全基于ANSYS 有限元分析軟件，建立車- 橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力計(jì)算模型的方法，并與已有文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證該方法的正確性；最后以某5 跨連續(xù)曲線箱梁公路橋?yàn)槔?，采用?shí)體單元建立車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力模型，分析各種因素對(duì)曲線橋動(dòng)撓度響應(yīng)和動(dòng)力系數(shù)的影響情況。研究成果可為曲線梁橋的設(shè)計(jì)、健康監(jiān)測(cè)、損傷識(shí)別、加固等的進(jìn)一步研究提供參考。

1 汽車- 曲線橋有限元模型

1.1 采用AP DL 建立車- 橋耦合系統(tǒng)有限元模型

圖1 所示是車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，為了便于獲得解析解，該模型中橋梁的計(jì)算模型多為簡(jiǎn)支梁，而實(shí)際的橋梁結(jié)構(gòu)多為連續(xù)梁橋或連續(xù)剛構(gòu)橋、變截面連續(xù)梁橋、鋼混組合梁橋等，顯然只通過(guò)解析方法進(jìn)行汽車- 橋梁耦合系統(tǒng)的動(dòng)力分析已不能滿足實(shí)際工程的需要。有限元方法卻能彌補(bǔ)這一不足，能夠建立各種復(fù)雜橋梁的計(jì)算模型。采用APDL位移耦合法[13]建立一個(gè)車輛模型，根據(jù)移動(dòng)速度對(duì)車輛模型施加不同的位移約束，將車輛模型與所移動(dòng)到的位置處的節(jié)點(diǎn)豎向位移耦合，該方法建模簡(jiǎn)單，計(jì)算的橋梁的動(dòng)力響應(yīng)正確，且無(wú)論橋梁模型采用何種單元類型，均能夠?qū)崿F(xiàn)車- 橋耦合系統(tǒng)的模擬計(jì)算。

圖1 車- 曲線橋耦合系統(tǒng)分析模型

本文將文獻(xiàn)[13]中的位移耦合法思想拓展應(yīng)用到汽車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型中，并計(jì)算橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。計(jì)算流程如圖2 所示，具體步驟包括：

圖2 AP DL 位移耦合法流程圖

（1）根據(jù)實(shí)際橋梁選擇合適的單元類型建立其有限元計(jì)算模型；（2）在車輛移動(dòng)的起點(diǎn)建立質(zhì)量單元MASS21 模擬圖1 中的M1，在M1的上方距離為1 m（可根據(jù)實(shí)際情況確定此高度） 的位置建立模擬M2的MASS21 單元，再將M1和M2用彈簧- 阻尼器單元COMBIN14 連接起來(lái)，模擬圖1 中的彈簧和阻尼器；（3）在橋梁有限元模型中選擇車輛移動(dòng)的路線上的結(jié)點(diǎn)編號(hào)；（4）采用APDL 中的DO 循環(huán)命令使車輛依次經(jīng)過(guò)選定的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力分析，根據(jù)車輛移動(dòng)的速度，計(jì)算車輛移動(dòng)到各個(gè)結(jié)點(diǎn)的時(shí)刻，即該結(jié)點(diǎn)到起點(diǎn)的距離，對(duì)M1和M2施加相應(yīng)的位移約束，并采用CP 命令將M1和該結(jié)點(diǎn)的豎向位移相耦合實(shí)現(xiàn)車輛模型的移動(dòng)；（4）ANSYS 后處理功能可以提取橋梁結(jié)構(gòu)任意位置的動(dòng)力響應(yīng)，并能通過(guò)修改控制參數(shù)，分析各個(gè)控制參數(shù)對(duì)車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響情況。本文將這種完全由APDL 建立的車- 曲線橋有限元模型稱為APDL車- 曲線橋耦合模型。

1.2 驗(yàn)證AP DL 有限元模型的正確性

以文獻(xiàn)[4]中車輛和橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)為例，建立APDL 車- 曲線橋耦合系統(tǒng)計(jì)算模型，并與其計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證APDL 車- 曲線橋計(jì)算模型的正確性。

橋梁跨長(zhǎng)L=24 m，圓心角?=30°，截面積A=9 m2，截面特性Iz=18.75 m4、Ix=2.43 m4、J=21.18 m4，彈性模量E=32.3 GPa，泊松比ν=0.2，密度ρ=2.4 t/m3。車輛系統(tǒng)采用文獻(xiàn)[4]中的車重，即mv=29.9 t=29 900 kg，如圖1 所示的簧下質(zhì)量M1=1 083 kg，簧上質(zhì)量M2=28 817 kg，mv= M1+M2。參考重型汽車的參數(shù)，圖1 中車輛系統(tǒng)的彈簧剛度系數(shù)k1=2.135×106N/m，車輛阻尼系數(shù)c1=3.9×103N·s/m；車輛移動(dòng)速度v =40 m/s。

首先，在柱坐標(biāo)系下建立曲線梁，設(shè)曲線的徑向?yàn)閤 軸（柱坐標(biāo)的r）方向（正方向指向曲線的外側(cè)），沿橋的縱向?yàn)閥 軸（柱坐標(biāo)的θ）方向（逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍?，垂直于橋面方向向上為z 軸方向正方向。一端支座約束沿x 軸、y 軸、z 軸的線位移及繞y 軸的角位移，另一端約束沿x 軸、z 軸的線位移及繞y 軸的角位移。由于3 節(jié)點(diǎn)的BEAM189 單元可以適應(yīng)曲線邊界， 能更加準(zhǔn)確的模擬曲線橋， 因此選擇BEAM189 單元。

該曲線橋跨中截面的豎向位移動(dòng)力響應(yīng)如圖3所示，本文建立的APDL 車- 曲線橋耦合模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果吻合良好，說(shuō)明該方法是可行的。

圖3 與Ya ng[4]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

1.3 5 跨連續(xù)曲線梁橋的AP DL 車- 曲線橋計(jì)算模型

以某5×25.4 m 連續(xù)曲線箱梁公路橋，如圖4 所示為研究背景，分別采用梁?jiǎn)卧狟EAM189 和實(shí)體單元SOLID95 建立橋梁的有限元模型，本文按照等截面梁體建立，橋梁的橫截面示意圖如圖5 所示。橋梁和車輛的具體參數(shù)見(jiàn)表1 和表2。采用位移耦合法建立APDL 車- 曲線橋計(jì)算模型，如圖6 所示。

圖6 分別采用梁?jiǎn)卧蛯?shí)體單元建立的曲線橋限元模型

表1 橋梁參數(shù)

表2 車輛參數(shù)

圖4 橋梁示意圖

圖5 橋梁橫截面示意圖（單位：cm）

計(jì)算得橋梁各跨跨中截面B 點(diǎn)的撓度時(shí)程曲線如圖7 各圖所示，表3 為兩種模型計(jì)算得到的各跨跨中截面最大撓度及差值列表。

圖7 采用兩種橋梁模型所得橋梁各跨跨中截面B 點(diǎn)的撓度時(shí)程曲線

表3 兩種橋梁計(jì)算模型所得各跨跨中B 點(diǎn)最大撓度及差值（單位：×10-5 m）

由圖7 可知，采用兩種橋梁計(jì)算模型所得橋梁各跨跨中截面的撓度時(shí)程曲線變化趨勢(shì)一致，實(shí)體單元模型的計(jì)算結(jié)果偏大一些。且由表3 可知，最大撓度之差最大為0.268×10-4m，可見(jiàn)采用實(shí)體單元模型計(jì)算偏于安全。下面的分析均采用實(shí)體單元模型進(jìn)行計(jì)算。

2 車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)撓度的影響因素分析

動(dòng)力沖擊系數(shù)（IM）是橋梁設(shè)計(jì)中用以表征車輛動(dòng)荷載對(duì)橋梁沖擊效應(yīng)的系數(shù)[14]:

式中: Δdmax為最大動(dòng)響應(yīng)，m；Δsma為最大靜響應(yīng)，m。

《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（JTG D60—2015）[15]中的計(jì)算公式為：

式中：f 為橋梁的基頻，該算例中橋梁的基頻為5.072 2 Hz，因此，動(dòng)力沖擊系數(shù)為0.27。

2.1 偏載的影響

修改APDL 命令流中汽車荷載作用位置，使汽車荷載分別沿不同的路線（內(nèi)偏載L1、軸線L2、外偏載L3，如圖4 所示）駛過(guò)橋梁時(shí)，計(jì)算各跨跨中截面中的A 點(diǎn)（橫截面底板外側(cè)點(diǎn)，如圖5 所示）、B 點(diǎn)、C點(diǎn)（橫截面底板內(nèi)側(cè)點(diǎn)，如圖5 所示）的動(dòng)撓度及動(dòng)力沖擊系數(shù)。由于結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，因此第1 跨和第5 跨、第2 跨和第4 跨的撓度時(shí)程曲線也具有對(duì)稱性，因此本文只列出第1 跨、第2 跨、第3 跨的撓度時(shí)程曲線，如圖8～圖10 所示。表4 和表5 分別為，汽車荷載沿不同路線駛過(guò)橋梁時(shí)，各跨跨中截面中的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度及動(dòng)力沖擊系數(shù)列表。

表5 汽車荷載分別沿L1 、L2、L3 駛過(guò)橋梁時(shí)，各跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)動(dòng)撓度的IM 列表

圖8 汽車荷載沿內(nèi)偏載路線L1 駛過(guò)橋梁時(shí)，第1～3 跨跨中截面中的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的動(dòng)撓度時(shí)程曲線

圖10 汽車荷載沿外偏載路線L3 駛過(guò)橋梁時(shí)，第1～3 跨跨中截面中的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的動(dòng)撓度時(shí)程曲線

圖9 汽車荷載沿軸線L2 駛過(guò)橋梁時(shí)，第1～3 跨跨中截面中的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的動(dòng)撓度時(shí)程曲線

由圖8～10 和表4～5 可知，偏載對(duì)該5 跨連續(xù)曲線橋各跨跨中截面中A 點(diǎn)和C 點(diǎn)的動(dòng)撓度及動(dòng)撓度的動(dòng)力沖擊系數(shù)影響較大。車輛荷載沿L1（內(nèi)偏載）移動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)C 點(diǎn)的最大撓度比外側(cè)A 點(diǎn)和軸線B點(diǎn)的最大撓度大，最大差值為2.078 5×10-4m；車輛荷載沿L2（軸線）移動(dòng)時(shí)，外側(cè)A 點(diǎn)、軸線B 點(diǎn)和內(nèi)側(cè)C 點(diǎn)的最大撓度相差較小，最大差值僅為-0.430 8×10-4m；車輛荷載沿L3（外偏載）移動(dòng)時(shí)，外側(cè)A 點(diǎn)的最大撓度比軸線B 點(diǎn)和內(nèi)側(cè)C 點(diǎn)的最大撓度大，最大差值為3.401 1×10-4m。說(shuō)明曲線橋在移動(dòng)車輛荷載作用下均有扭轉(zhuǎn)變形，偏載時(shí)扭轉(zhuǎn)更明顯。但是，偏載對(duì)軸線B 點(diǎn)的動(dòng)撓度的影響較小，最大差值僅為-0.363 3×10-4m，而偏載對(duì)外側(cè)A 點(diǎn)和內(nèi)側(cè)C點(diǎn)的影響較大，最大差出現(xiàn)在第5 跨的外側(cè)A 點(diǎn)，差值為-2.968 1×10-4m。

表4 汽車荷載分別沿L1 、L2、L3 駛過(guò)橋梁時(shí)，各跨跨中截面中的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度列表（單位：×10-4 m）

車輛荷載沿軸線L2移動(dòng)時(shí)，橋梁各跨跨中截面的撓度動(dòng)力沖擊系數(shù)，均遠(yuǎn)小于規(guī)范規(guī)定的沖擊系數(shù)0.27，而偏載時(shí)，均有大于0.27 的動(dòng)力沖擊系數(shù)。車輛荷載沿L1（內(nèi)偏載）移動(dòng)時(shí)，較大的動(dòng)力沖擊系數(shù)出現(xiàn)在外側(cè)A 點(diǎn)，除第2 跨外，其余各跨均大于0.27，最大值為0.684 7；車輛荷載沿L3（外偏載）移動(dòng)時(shí)，較大的動(dòng)力沖擊系數(shù)出現(xiàn)在內(nèi)側(cè)C 點(diǎn)，除第4、5 跨外，其余各跨均大于0.27，最大值為0.619 6?？梢?jiàn)，偏載時(shí)對(duì)橋梁動(dòng)撓度的影響較大，內(nèi)偏載時(shí)對(duì)外側(cè)點(diǎn)的動(dòng)力沖擊系數(shù)較大，而外偏載時(shí)內(nèi)側(cè)點(diǎn)的動(dòng)力沖擊系數(shù)較大，與文獻(xiàn)[12]所得結(jié)論相同。

2.2 車速的影響

將APDL 命令流中的車速分別修改為：20 km/h、v=40 km/h、v=60 km/h（設(shè)計(jì)時(shí)速）、v=80 km/h，汽車荷載分別沿不同的路線（軸線L1、外偏載L2、內(nèi)偏載L3，見(jiàn)圖4 所示）駛過(guò)橋梁時(shí)，計(jì)算各跨跨中截面A點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的撓度，及動(dòng)力沖擊系數(shù)。由于篇幅有限，這里只給出了車輛荷載分別在L1、L2、L3上以不同車速移動(dòng)時(shí)，引起的第3 跨跨中最大撓度和動(dòng)力沖擊系數(shù)列表，見(jiàn)表6 和表7。

表6 汽車荷載分別以不同車速沿L1 、L2、L3 駛過(guò)橋梁時(shí)，第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度列表（單位：×10-3 m）

表7 汽車荷載分別以不同車速沿L1 、L2、L3 駛過(guò)橋梁時(shí)，第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的IM 列表（單位：×10-3 m）

由表6 和表7 可見(jiàn)，隨著車速的增加，第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的最大撓度和動(dòng)力沖擊系數(shù)均有所增加。當(dāng)車輛沿L2（軸線）移動(dòng)時(shí)，車速為80 km/h 時(shí)A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的最大撓度與車速為20 km/h 時(shí)A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的最大撓度之差較小，且均約為-0.007 3 ×10-3m，IM 的差值也都約為0.04。當(dāng)車輛沿L1（內(nèi)偏載）移動(dòng)時(shí)，第3 跨跨中截面的C 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度之差最大為-0.042 2×10-3m，而A 點(diǎn)和B 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度之差分別為-0.023 7×10-3m 和-0.022 0×10-3m，均比車輛軸線移動(dòng)時(shí)的差值大；A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的IM 差值分別為0.238 6、0.121 0、0.154 0，可見(jiàn)內(nèi)偏載時(shí)車速對(duì)第3 跨跨中截面的動(dòng)力沖擊系數(shù)影響較大，且對(duì)外側(cè)A 點(diǎn)的IM影響最大。當(dāng)車輛沿L3（外偏載）移動(dòng)時(shí)，第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的最大動(dòng)撓度之差比較接近，最大為-0.020 2×10-3m，最小為-0.015 1×10-3m，均比車輛沿軸線移動(dòng)時(shí)的差值大；A 點(diǎn)、B 點(diǎn)和C 點(diǎn)的IM 差值分別為0.050 5、0.104 9、0.159 8，且對(duì)內(nèi)側(cè)C 點(diǎn)的IM 影響最大。

2.3 離心力的影響

《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（JTG D60—2004）[15]中規(guī)定，曲線橋離心力為車輛荷載（不計(jì)沖擊力）乘以離心力系數(shù)C 計(jì)算，其中離心力系數(shù)的計(jì)算公式為：

式中：v 為設(shè)計(jì)速度，km/h，應(yīng)按橋梁所在路線設(shè)計(jì)速度采用；R 為曲線半徑，m。

該算例中v=60 km/h，汽車荷載沿軸線L1移動(dòng)時(shí)R=160 m，C=0.177； 汽車荷載沿外偏載L2移動(dòng)時(shí)R=160+2.087 5=162.087 5 m，C=0.175；汽車荷載沿軸線L1移動(dòng)時(shí)R=160-2.087 5=157.912 5 m，C=0.180。

汽車荷載分別沿不同的路線（軸線L1、外偏載L2、內(nèi)偏載L3，如圖4 所示）駛過(guò)橋梁時(shí)，分別計(jì)算考慮離心力和不考慮離心力時(shí)曲線橋各跨跨中截面A點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的撓度。圖11～圖12 為離心力對(duì)第3跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)的撓度的影響情況。

圖11 汽車荷載沿L1 駛過(guò)橋梁時(shí)，離心力對(duì)第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)撓度的影響情況

圖12 汽車荷載沿L2 駛過(guò)橋梁時(shí)，離心力對(duì)第3 跨跨中截面的A 點(diǎn)、B 點(diǎn)、C 點(diǎn)撓度的影響情況

表6 為考慮離心力與不考慮離心力時(shí)各跨跨中最大撓度偏差列表。偏差的計(jì)算公式：

式中：uzlx為考慮離心力時(shí)的最大撓度，mm；uz為不考慮離心力時(shí)的最大撓度，mm。

由圖11～圖12、表6 可知，考慮離心力時(shí)，跨中橫截面中的A 點(diǎn)和B 點(diǎn)的最大撓度均比不考慮離心力時(shí)偏大，最大偏差為9.518 2%，B 點(diǎn)的偏差均小于1%，C 點(diǎn)的最大撓度均比不考慮離心力時(shí)偏小，最大偏差為-12.320 6%。內(nèi)偏載和軸線移動(dòng)（汽車荷載沿L1、L2移動(dòng)）時(shí)，A 點(diǎn)的偏差均大于5%，外偏載（汽車荷載沿L3移動(dòng)） 時(shí)，C 點(diǎn)的負(fù)偏差最大，均大于-5%，A 點(diǎn)的偏差均小于5%。

3 結(jié)論

本文采用有限元法，完全由APDL 建立了車-曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析的模型，并與已有文獻(xiàn)對(duì)比驗(yàn)證了該方法的正確性。以一座5 跨連續(xù)曲線梁橋?yàn)槔?，采用APDL 車- 曲線橋計(jì)算模型，計(jì)算了該橋在四分之一車輛荷載作用下的動(dòng)撓度響應(yīng)，及偏載、車速、離心力對(duì)動(dòng)撓度和動(dòng)力沖擊系數(shù)IM 的影響情況，結(jié)論如下：

（1）偏載對(duì)連續(xù)曲線橋各跨跨中截面的動(dòng)撓度及IM 均有較大影響；

（2）隨著車速的增大，連續(xù)曲線橋跨中截面的最大撓度和動(dòng)力沖擊系數(shù)IM 均有增大的趨勢(shì)。偏載時(shí)比車輛沿軸線移動(dòng)時(shí)影響更大，內(nèi)偏載時(shí)車速對(duì)外側(cè)的動(dòng)力沖擊系數(shù)影響較大，外偏載時(shí)車速對(duì)內(nèi)側(cè)的動(dòng)力沖擊系數(shù)影響較大。汽車經(jīng)過(guò)曲線橋時(shí)，盡量沿橋梁的軸線行駛；

（3）離心力對(duì)跨中截面軸線處的撓度影響不大，但是對(duì)于跨中截面內(nèi)外側(cè)的A 點(diǎn)和C 點(diǎn)的撓度均有相對(duì)較大的影響，撓度偏差大于5%，因此，分析曲線橋的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，須要考慮離心力的影響。

本文提出的基于APDL 的車- 曲線橋動(dòng)力仿真分析方法，可以有效提高工程師分析車- 橋耦合振動(dòng)問(wèn)題的工作效率，也可以作為進(jìn)一步研究多軸多車- 曲線橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析、曲線橋損傷識(shí)別、確定曲線橋動(dòng)力沖擊系數(shù)限值等的重要參考方法。