柴 潔，過榴曉，沈莞薔，陳 晶

（江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫 214122）

（*通信作者電子郵箱guoliuxiao@jiangnan.edu.cn）

0 引言

多個(gè)體系統(tǒng)作為一個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域，可以廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，如一致性、編隊(duì)控制和同步［1-3］等，一致性問題作為多個(gè)體系統(tǒng)控制的基本問題之一，儼然受到眾多學(xué)者的關(guān)注［4-6］。

考慮到多個(gè)體系統(tǒng)在復(fù)雜場(chǎng)景下機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤或防碰撞的實(shí)際任務(wù)，滿足任務(wù)要求和適應(yīng)環(huán)境變化的編隊(duì)需要是時(shí)變的。多個(gè)體系統(tǒng)的時(shí)變特性主要體現(xiàn)在時(shí)變動(dòng)力學(xué)節(jié)點(diǎn)和時(shí)變的拓?fù)溥B接兩個(gè)方面。相較于定常系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)的研究更具挑戰(zhàn)性和難度。過去的幾年里，研究人員在時(shí)變系統(tǒng)協(xié)同控制的穩(wěn)定性方面做了大量的工作［7-9］。例如，文獻(xiàn)［7］中采用矩陣無窮乘積方法研究具有切換系統(tǒng)的時(shí)變連續(xù)線性多智能體同步問題。文獻(xiàn)［8］中為解決線性時(shí)變系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性問題，提出一種求解有限時(shí)間穩(wěn)定性問題的數(shù)值方法。文獻(xiàn)［9］中研究了線性時(shí)變系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和一致指數(shù)穩(wěn)定性的問題。文獻(xiàn)［10］中分析了非線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)將分析結(jié)果應(yīng)用于具有時(shí)變系數(shù)的時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中。文獻(xiàn)［11-12］中則假設(shè)鄰接矩陣中每個(gè)元素在一個(gè)周期內(nèi)的平均值大于一個(gè)預(yù)定義的正常數(shù)的條件，實(shí)現(xiàn)時(shí)變的多個(gè)體系統(tǒng)的一致性。顯然，這個(gè)條件某種程度上非常保守。當(dāng)考慮更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，需要更多的約束條件來確保系統(tǒng)同步。本文研究時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)，包括時(shí)變節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)特性和系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一致性。

為減少多個(gè)體系統(tǒng)信息傳輸?shù)某杀?、降低個(gè)體系統(tǒng)的通信負(fù)載，研究人員提出了很多新的控制方法。文獻(xiàn)［13］中設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)策略和自觸發(fā)策略的兩種算法來實(shí)現(xiàn)時(shí)變拓?fù)湎碌亩鄠€(gè)體系統(tǒng)的一致性；文獻(xiàn)［14］中則采用基于事件觸發(fā)控制方法，解決了固定和切換拓?fù)涞念I(lǐng)導(dǎo)跟隨多個(gè)體一致性問題；文獻(xiàn)［15］中針對(duì)資源受限的時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多個(gè)體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，設(shè)計(jì)多個(gè)體系統(tǒng)的編隊(duì)控制協(xié)議和分布式事件觸發(fā)機(jī)制，討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；文獻(xiàn)［16］中針對(duì)具有時(shí)變通信延遲的多個(gè)體系統(tǒng)，給出事件觸發(fā)條件并設(shè)計(jì)一致協(xié)議，解決系統(tǒng)的一致性問題。另一方面，脈沖控制作為一種離散的控制方法，具有降低通信和計(jì)算成本、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［17］中提出了一個(gè)新的脈沖時(shí)滯不等式，給出了具有無界時(shí)變時(shí)滯的脈沖系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的一些充分條件；文獻(xiàn)［18-19］中結(jié)合事件觸發(fā)的算法和脈沖控制研究了系統(tǒng)的一致性。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)［20］中利用分布式事件觸發(fā)脈沖控制方法研究了多個(gè)體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題，對(duì)比仿真得到，事件觸發(fā)脈沖控制比現(xiàn)有的許多基于事件的控制方法更加有效和簡(jiǎn)單；文獻(xiàn)［21］中基于事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議將多個(gè)體系統(tǒng)一致性結(jié)果推廣到系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)二分群一致性，而本文側(cè)重將線性系統(tǒng)拓展到時(shí)變線性系統(tǒng)和時(shí)變拓?fù)溥B接情形，基于脈沖式事件觸發(fā)控制協(xié)議討論多個(gè)體傳統(tǒng)一致性問題。

綜上，針對(duì)時(shí)變拓?fù)溥B接環(huán)境下的時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)的一致性問題，本文提出了基于事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議。本文主要工作如下：1）使用脈沖控制和基于事件觸發(fā)控制方法，集兩者優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基于事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議，解決時(shí)變線性多個(gè)體系統(tǒng)的一致性問題，有效節(jié)約了系統(tǒng)信號(hào)傳輸和協(xié)議控制成本，控制方法也更加簡(jiǎn)單可操作；2）理論推導(dǎo)了時(shí)變拓?fù)湎碌臅r(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)一致的控制參數(shù)充分條件，且證明事件觸發(fā)脈沖時(shí)刻不存在芝諾現(xiàn)象。

1 預(yù)備知識(shí)及問題描述

1.1 代數(shù)圖論

設(shè)含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向圖G=(V，E，A)，頂點(diǎn)集表示為V={v1，v2，…，vN}，邊集表示為E?V×V。點(diǎn)i的鄰居集Ni={vj∈V|(vj，vi)∈E}。定義一個(gè)帶有權(quán)重的鄰接矩陣A=[aij]N×N，圖G中存在一條有向邊eij=(vi，vj)∈E，那么aij>0；否則，aij=0，定義aii=0。L=[lij]N×N為圖G的拉普拉斯矩陣，且lij=-aij，j≠i；lij=，j=i。當(dāng)系統(tǒng)拓?fù)涫菚r(shí)變的，分別用G(t)和L(t)表示其時(shí)變的連接拓?fù)浜屠绽咕仃?。本文有關(guān)符號(hào)表示如下：Rn表示n階實(shí)向量，Rn×n表示n×n階實(shí)數(shù)矩陣。對(duì)于向量x∈Rn、xT和‖x‖分別為其轉(zhuǎn)置和常用的歐幾里得范數(shù)。In是維數(shù)為n的單位矩陣，1N(0N)表示所有元素為1 或0 的N維列向量。Ν 為自然數(shù)集。符號(hào)diag{x1，x2，…，xn}表示對(duì)角元素為xi的對(duì)角矩陣。符號(hào)A?B表示矩陣A和B的Kronecker 積。λmax(P)和λmin(P)分別表示對(duì)稱矩陣P的最大和最小特征值。

1.2 模型描述

考慮一個(gè)含有N個(gè)個(gè)體的線性時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)，每個(gè)個(gè)體的時(shí)變動(dòng)態(tài)方程表示為：

其中：A(t) ∈Rn×n，B(t) ∈Rn×n表示連續(xù)的矩陣函數(shù)；xi∈Rn是個(gè)體i的位置向量；ui(t)為第i個(gè)個(gè)體的控制輸入?；谑录|發(fā)脈沖控制協(xié)議設(shè)計(jì)如下：

系統(tǒng)（1）結(jié)合事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議（2）也可表示為：

假設(shè)1 本文中所有的時(shí)變矩陣范數(shù)有界，即對(duì)任意時(shí)間t，存在正常數(shù)a、b，使得下式成立：

假設(shè)2 矩陣A、B是可穩(wěn)的，有正數(shù)c，存在一個(gè)解P>0使得下列里卡提不等式［22］成立：

下面給出證明需要的幾個(gè)重要引理。

引理1圖G包含有向生成樹，當(dāng)且僅當(dāng)G的拉普拉斯矩陣有唯一的零特征值，其他所有特征值都有正實(shí)部［23］。

引理2如果圖G是強(qiáng)連通的，則G的拉普拉斯矩陣L不可約，且L1N=0 成立，存在一個(gè)對(duì)應(yīng)于零特征值的左特征向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，使得ξTL=0且=1［24］。

引理3令w(t)在[t0，∞)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，w(t)

引理4函數(shù)g(t)在[t0，∞)上是一個(gè)一致指數(shù)穩(wěn)定函數(shù)，若給定正常數(shù)d1、d2，存在時(shí)間序列和常數(shù)T>0，對(duì)?t≥t0使得式（5）～（6）成立［9］。

定 義1 對(duì)于任意初始條件xi(0) ∈Rn，i∈I={1，2，…，N}，若各個(gè)體的狀態(tài)滿足條件：則多個(gè)體系統(tǒng)（1）實(shí)現(xiàn)一致性。

定義2設(shè)時(shí)變連接拓?fù)鋱DG(tk)，與其對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣L(tk)，若滿足以下條件［26］：

2 一致性協(xié)議分析

序列{tk}按時(shí)間順序排列，通常來說，不是所有的個(gè)體在tk時(shí)都有脈沖輸入，在tk時(shí)刻，至多有不超過N個(gè)個(gè)體被觸發(fā)。即有i(1 ≤i≤N)個(gè)個(gè)體在tk刻觸發(fā)，則可設(shè)觸發(fā)矩陣σ(k)=，也 就 是qN=[q，q，…，q]T，(q=0，1)，‖σ(k)‖1=i。

基于事件觸發(fā)控制的脈沖策略，多個(gè)體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)（3）的矩陣形式為：下一次事件觸發(fā)將不會(huì)觸發(fā)，直到觸發(fā)函數(shù)式（4）變?yōu)?，其中e(tk)=0，結(jié)合式（12）可得：

定理2時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)（1），設(shè)圖G(tk)平均一致連通，基于事件觸發(fā)脈沖控制器（2）的觸發(fā)時(shí)刻由式（4）決定，若存在連續(xù)且有界的函數(shù)λ(t)，λ(t)是一致指數(shù)穩(wěn)定函數(shù)，一個(gè)可微矩陣函數(shù)P：[0，∞) →Sn+，P(t)=IN-1?p(t)，存在常數(shù)p1和p2，0 0，d2>0 使得式（13）、（15）成立：

其中：k=1，2，…。則系統(tǒng)（1）實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)一致性。

證明 為證明系統(tǒng)穩(wěn)定，對(duì)任意t∈(tk，tk+1]，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)得：

其中：μ(Tj(t0，t))為Tj(t0，t)的勒貝格測(cè)度集。φ1(t)有界結(jié)論當(dāng)t→∞時(shí)，?1(t) →0，定理1即得證。證畢。

在式（7）中，考慮非時(shí)變系統(tǒng)情形，即A(t)=A，L(t)=L，B(t)為單位矩陣I。式（7）中模型改寫為不是時(shí)變的事件觸發(fā)脈沖控制多個(gè)體系統(tǒng)模型：

可以直接得出下述類似文獻(xiàn)［20］中的推論。

推論1 考慮多個(gè)體系統(tǒng)（22）的連接拓?fù)鋱D連通，在事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議下，若存在正定矩陣P，常數(shù)α>0，k∈Ν+滿足：

其中：φ(t0，t)是R+上的連續(xù)函數(shù)。則當(dāng)=-∞成立，系統(tǒng)（22）實(shí)現(xiàn)全局漸近收斂。存在常數(shù)c>0，t≥t0，使φ(t0，t) ≤-c(t-t0)，則系統(tǒng)（22）實(shí)現(xiàn)指數(shù)收斂。其中脈沖強(qiáng)度的范圍滿足：

根據(jù)上述的討論，事件觸發(fā)函數(shù)式（4）替換成：

上述觸發(fā)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是避免了智能體之間的持續(xù)通信。在該觸發(fā)條件下，下一觸發(fā)時(shí)刻tk+1可以通過該智能體在tk上的鄰點(diǎn)信息預(yù)測(cè)。

定理3非時(shí)變的多個(gè)體系統(tǒng)（22），假設(shè)連接矩陣拓?fù)鋱D連通，基于事件觸發(fā)的脈沖控制器（2）的脈沖觸發(fā)時(shí)刻由式（25）決定，則系統(tǒng)（22）可實(shí)現(xiàn)指數(shù)一致性收斂，且不存在芝諾行為。

推論2 連續(xù)兩個(gè)觸發(fā)事件之間的時(shí)間間隔會(huì)隨著觸發(fā)函數(shù)（25）中的參數(shù)β、η增加而增加。

證明 由觸發(fā)函數(shù)（25），若誤差ei(t)超過閾值上界，可得

假設(shè)不成立。即得參數(shù)β、η增加，連續(xù)兩個(gè)事件之間的時(shí)間間隔也將增大。證畢。

3 數(shù)值仿真

例1 考慮多輪式移動(dòng)機(jī)器人的位置跟蹤問題［27］，每個(gè)個(gè)體的線性時(shí)變模型表達(dá)式如下：

其中：i=1，2，…，5?？刂戚斎氚词剑?）定義計(jì)算，初始狀態(tài)在[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]?R5中隨機(jī)選取，令脈沖強(qiáng)度γ=0.7，β=0.01、r=η=0.01，控制參數(shù)驗(yàn)證滿足定理3 條件，A=，其中：a、b、e和d為時(shí)變標(biāo)量；個(gè)體的三個(gè)狀態(tài)分量分別表示位置、速度和執(zhí)行器的狀態(tài)；a表示驅(qū)動(dòng)器的速度；b和e表示增益。如果d>0，執(zhí)行器受速度影響，系統(tǒng)內(nèi)部形成反饋回路。參數(shù){a，b，d，e}為{0.8× sin(t)，1+0.1× cos(t)，0，0.8× cos(t)} 。

其中K=1。則圖G(tk)平均一致連通的，可得

函數(shù)λ(t)的演化如圖1所示，其中λ(t)不總是負(fù)值。

圖1 λ(t)的演化圖Fig.1 Evolution of λ(t)

驗(yàn)證滿足定理2條件，式（26）中狀態(tài)分量軌跡圖如圖2所示，圖3 反映了系統(tǒng)的整體一致誤差e(t)=很快趨于0，基于事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議最終實(shí)現(xiàn)狀態(tài)一致。

圖2 式（26）中時(shí)變拓?fù)湎碌亩噍喪揭苿?dòng)機(jī)器人的狀態(tài)xi(t)(i=1，2，3)軌跡Fig.2 Trajectories of state xi(t)(i=1，2，3)of multi-wheeled mobile robots under time-varying topology in formula（26）

圖3 式（26）中個(gè)體的誤差演化Fig.3 Error evolution of agent in formula（26）

圖4 展示了系統(tǒng)的脈沖事件觸發(fā)事件序列，隨著時(shí)間變化，始終有觸發(fā)時(shí)間間隔且沒有芝諾行為。

圖4 系統(tǒng)在10 s內(nèi)的觸發(fā)時(shí)間序列Fig.4 System triggered time sequence in 10 s

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，離散形式的分布式事件觸發(fā)脈沖控制，對(duì)于時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)，同樣可以有效降低系統(tǒng)的通信成本。從符合定理?xiàng)l件仿真實(shí)例誤差圖可見，可以很快達(dá)到一致狀態(tài)。

4 結(jié)語

本文研究了具有時(shí)變特性和基于事件觸發(fā)脈沖控制的多個(gè)體系統(tǒng)的一致性問題，系統(tǒng)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)是動(dòng)態(tài)線性時(shí)變的，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也是時(shí)變的。使用離散形式的控制協(xié)議，可充分降低系統(tǒng)的通信成本。在系統(tǒng)拓?fù)淦骄恢逻B通的假設(shè)下，理論證明了時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)一致性轉(zhuǎn)化為多個(gè)線性時(shí)變事件觸發(fā)脈沖控制系統(tǒng)的同時(shí)穩(wěn)定性問題，給出了事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議下具有時(shí)變特性的多個(gè)體系統(tǒng)一致性存在的充分條件，且不存在芝諾行為，數(shù)值仿真驗(yàn)證所給理論結(jié)果的有效性。下一步將研究基于間歇控制的時(shí)變多個(gè)體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性等問題。