陳 鑫，王 剛，*，葉正寅，吳曉軍

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000)

0 引 言

計算流體力學(xué)（CFD）在航空航天領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的發(fā)展?jié)摿凸こ虘?yīng)用價值，被廣泛地應(yīng)用于飛行器氣動布局設(shè)計、氣動性能評估和復(fù)雜流動模擬等方面[1-2]。CFD不確定度量化已經(jīng)成為當(dāng)前CFD發(fā)展的研究重點與難點。一方面，CFD數(shù)值方法中采用的模型及假設(shè)會對數(shù)值模擬結(jié)果產(chǎn)生影響，因此需要發(fā)展CFD不確定度量化方法，定量描述預(yù)測結(jié)果的不確定范圍，評估CFD結(jié)果的可信度。另一方面，確定性的CFD計算無法考慮飛行器工作環(huán)境的隨機變化對其性能的影響，不確定度量化方法能夠給出關(guān)注變量的不確定隨機解，從而支撐飛行器外形、結(jié)構(gòu)及飛行控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計。

不確定性的概念源自驗證與確認(rèn)工作。國外的專家學(xué)者很早就開展了CFD不確定度量化研究工作。1998年，美國航空航天協(xié)會（AIAA）在CFD驗證與確認(rèn)指南[3]中初步給出不確定性的定義。Oberkampf等[4]對不確定性的基礎(chǔ)理論進行了補充和完善。美國機械工程協(xié)會（ASME）[5-7]進行了大量驗證與確認(rèn)方面的工作，進一步意識到不確定度量化工作的重要性，制定并完善了驗證與確認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)。驗證與確認(rèn)工作的展開是為了檢驗計算模型是否真實反映物理模型。大多數(shù)CFD模擬所采用的數(shù)學(xué)模型都是確定性的，物性參數(shù)、幾何模型和邊界條件等也都是確定性的，并以尋求確定性解為目標(biāo)。然而現(xiàn)實的物理環(huán)境中存在著大量的不確定性因素，如果研究對象的性能參數(shù)對某些不確定性因素較為敏感，采用確定性方法將會帶來較大的風(fēng)險。不確定性CFD技術(shù)的發(fā)展為工業(yè)設(shè)計提供了新的思路。歐盟實施NODESIM-CFD[8]項目，旨在辨識不確定性來源，發(fā)展不確定度量化方法，對CFD典型算例進行不確定性模擬。NASA在《CFD2030愿景》報告[9]中將不確定度量化作為未來研究的重點之一。空客在歐洲流動、湍流和燃燒研究共同體（ERCOFTAC）2015研討會[10]中強調(diào)了CFD不確定度量化在工程實踐中的需求及挑戰(zhàn)，指出不確定度量化在飛行器設(shè)計各個環(huán)節(jié)發(fā)揮的重要作用。

隨著國內(nèi)對CFD驗證與確認(rèn)工作的逐漸重視，不確定度量化工作逐步展開。張涵信[11]等參照試驗不確定度估算的做法，提出了CFD不確定度估算方法，用計算數(shù)據(jù)有效位數(shù)可以達(dá)到真值的前n位來表示計算結(jié)果的準(zhǔn)確度。王瑞利等[12]結(jié)合爆轟流體力學(xué)多物理耦合的非線性偏微分方程和數(shù)值求解，介紹多物理耦合數(shù)學(xué)建模與模擬中的不確定度量化方法，開展大量的爆轟流體力學(xué)不確定度量化工作[13-14]。中國空氣動力研究與發(fā)展中心組織召開了第一屆航空CFD可信度研討會[15]，采用自主設(shè)計的單通道運輸機模型（CHN-T1）開展CFD驗證與確認(rèn)工作，評估國內(nèi)CFD當(dāng)前技術(shù)狀態(tài)，探索CFD進一步發(fā)展的研究方向，為不確定度量化提供了標(biāo)準(zhǔn)模型及數(shù)據(jù)庫。國家數(shù)值風(fēng)洞工程（NNW）設(shè)置不確定度量化研究專題，發(fā)展了一整套完整的參數(shù)不確定度量化方法[16]。

本文主要回顧國內(nèi)外已經(jīng)開展的諸多不確定度量化工作，總結(jié)不確定度量化工作的基本內(nèi)容和方法，并結(jié)合CFD系統(tǒng)包含的典型環(huán)節(jié)介紹不確定度量化方法在CFD領(lǐng)域中的應(yīng)用，最后給出進一步開展不確定度量化工作的思考與建議。

1 不確定度量化的基本內(nèi)容及方法

不確定度量化的目標(biāo)是定量地分析不確定因素對計算結(jié)果的影響。不確定度量化工作圍繞以下四個方面展開[5,17-18]：（1）識別。明確不確定性產(chǎn)生的來源。（2）表征。探究不確定性的表現(xiàn)形式，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)對其進行表征。（3）傳播與融合。采用不確定度量化方法研究不同種類不確定性變量在CFD系統(tǒng)中的傳播，并給出數(shù)值模擬結(jié)果的整體不確定度。（4）分析。分析變量的不確定性對于CFD系統(tǒng)的影響。

1.1 識別與表征

對不確定性來源的辨識是CFD不確定度量化的前提。Schaefer等[19]對數(shù)值模擬中的不確定性來源進行了歸納總結(jié)。CFD系統(tǒng)的不確定性主要產(chǎn)生于以下幾個方面：（1）模型形式的不確定性。例如，幾何建模過程中的簡化處理使得計算采用的幾何模型不能完全反應(yīng)真實的物理模型，從而影響最終的計算結(jié)果；采用不同的假設(shè)構(gòu)造湍流模型會對數(shù)值模擬結(jié)果有較大的影響。（2）模型參數(shù)的不確定性。例如湍流模型系數(shù)，湍流模型中的系數(shù)通常根據(jù)基礎(chǔ)流動標(biāo)定，改變參數(shù)設(shè)置將會對計算結(jié)果帶來影響。（3）數(shù)值求解方法的不確定性。采用不同的時間、空間離散方法以及數(shù)值格式將會對CFD計算結(jié)果有較大的影響。（4）輸入量的不確定性。風(fēng)洞試驗洞壁干擾等因素導(dǎo)致數(shù)值計算設(shè)置的來流邊界條件不能完全反應(yīng)真實情況，從而引入此類不確定性。（5）結(jié)果后處理的不確定性。流場分析需要采用插值、積分等方法對CFD計算結(jié)果進行后處理，從而導(dǎo)致此類不確定性。

用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)描述不確定變量是CFD不確定度量化工作的基礎(chǔ)。不確定性按照表現(xiàn)形式的不同可以分為隨機不確定性和認(rèn)知不確定性[20]。隨機不確定性是一類客觀存在的不確定性，無法消除。隨機不確定變量易于用概率表征，此類不確定性通常可以采用概率學(xué)的方法進行量化分析。認(rèn)知不確定性是一類主觀的不確定性，因為對問題的認(rèn)識不足而造成。認(rèn)知不確定變量通常難以給出具體的概率分布，此類不確定性通常采用非概率方法來進行量化和分析。

1.2 傳播與分析

不確定性的傳播與分析是CFD不確定度量化工作的重點。依據(jù)不確定性表現(xiàn)形式的不同，人們發(fā)展了多種不確定度量化方法。

1.2.1 隨機不確定度量化方法

隨機不確定度量化通常采用概率相關(guān)的方法。其中，基于抽樣的方法是最為簡單有效的。多種多樣的抽樣方法為此類不確定度量化方法提供了不同的研究思路。蒙特卡洛方法（MC）[21]是一種簡單通用的抽樣方法，通過構(gòu)造隨機過程并從已知的空間中進行抽樣，得到大量的抽樣結(jié)果，對抽樣結(jié)果進行計算分析從而獲取隨機變量的統(tǒng)計信息。

對于隨機變量 φ (θi)，其期望的計算公式為：

方差的計算公式為：

其誤差精度可表示為：

其中，λα與置信度α一一對應(yīng)，可以通過查表獲得。Maitre等[22]詳細(xì)研究了蒙特卡洛方法的收斂性，指出該方法的收斂速度階為，這里N為采樣點的個數(shù)。理論上當(dāng)樣本數(shù)量達(dá)到無窮大時，蒙特卡洛方法收斂到精確的隨機解，為高維問題的處理帶來便利，然而在處理低維問題時因為仍然需要大量的樣本，會造成分析效率的降低。

根據(jù)變量特點抽樣可以有效減少樣本點數(shù)量，從而提高抽樣方法的效率，典型的方法有：分層抽樣、拉丁超立方抽樣[23-26]等。上述加速算法能夠在一定程度上提高計算效率，但是并沒有改變抽樣方法本質(zhì)上對樣本數(shù)量的高需求，仍然需要進行大量的計算。為了進一步提高效率，科研工作者們開始將多項式混沌方法應(yīng)用于不確定度量化。

式中，ak(X,t)為確定性系數(shù)；Ψk(ξ)是具有隨機性質(zhì)的正交多項式；隨機變量 ξ服從特定的概率分布。近似表達(dá)式中，NPC為多項式的總數(shù)，它可以由以下公式來確定：

其中，p為所采用的多項式混沌的階數(shù)，n為隨機變量的個數(shù)。參數(shù)的概率密度由要求解的實際問題決定，展開式中多項式Ψk(ξ)是關(guān)于權(quán)函數(shù)ω(ξ1(θ),ξ2(θ),···,ξn(θ))的正交多項式：

式中，δij為Kronecker函數(shù)。據(jù)此可以推出隨機變量的統(tǒng)計特性。

按照與求解器耦合方式的不同，多項式混沌方法可以分為嵌入式與非嵌入式兩種。嵌入式方法將流動變量展開為多項式混沌形式，在求解流體力學(xué)方程的同時可以直接得到變量的統(tǒng)計特性，計算量相對較小。Dinescu等[28]成功地將多項式混沌方法耦合到NUMECA的結(jié)構(gòu)求解器FINE?/Turbo以及非結(jié)構(gòu)求解器FINE?/Hexa中，并對NASA rotor37模型進行不確定度量化分析。然而嵌入式方法需要對求解器進行修改，大大增加了程序編寫的工作量，實用性受到很大的限制。

非嵌入式方法將求解器看成“黑箱”，以確定性解為基礎(chǔ)計算關(guān)注變量的統(tǒng)計特性。非嵌入式多項式混沌方法的核心是展開式系數(shù)的求解，其實現(xiàn)方式主要有兩種：譜投影方法以及線性回歸方法（又稱為配置點法或隨機響應(yīng)面法[29]）。譜投影法利用內(nèi)積對每個基函數(shù)的響應(yīng)進行投影，根據(jù)正交性計算展開式系數(shù)。線性回歸方法通過線性最小二乘擬合求解展開式系數(shù)。非嵌入式概率配置點法[30-31]結(jié)合了多項式混沌與配置點思想，利用概率分布函數(shù)的特性得到混沌多項式系數(shù)的近似值，可以進一步減少計算量，提高效率。當(dāng)隨機輸入變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，對應(yīng)的多項式系數(shù)可以通過Askey方法求得[32]。對于任意分布的不確定變量，相應(yīng)的正交多項式系數(shù)可以通過Gram-Schmidt方法求得[33]。

為了實現(xiàn)對多個不確定變量的綜合不確定度量化，需要將非嵌入式概率配置點方法擴展到多維。目前主要的思路是通過張量積實現(xiàn)多維求積，然而擴展到多維后其維度的增加將會導(dǎo)致配置點的數(shù)量呈幾何級數(shù)增長，從而引發(fā)“維度災(zāi)難”。稀疏網(wǎng)格[34]以及降階模型[35]的引入可以在一定程度上克服“維度災(zāi)難”的問題，提高非嵌入式概率配置點方法在不確定變量較多情況下的分析效率。

1.2.2 認(rèn)知不確定度量化方法

由于對輸入變量概率分布的認(rèn)識不足，很難用概率類方法對認(rèn)知不確定性進行量化分析。傳統(tǒng)的認(rèn)知不確定度量化方法有區(qū)間法[36]、模糊邏輯法[37]等。區(qū)間法將變量以區(qū)間的形式表達(dá)，區(qū)間包含變量所有可能的取值，經(jīng)過CFD計算后得到關(guān)注變量的不確定帶，該不確定度帶包含關(guān)注變量的所有取值。模糊邏輯法可以用來表達(dá)界限不清晰的定性知識與經(jīng)驗，采用隸屬函數(shù)描述模糊性，運用無窮連續(xù)值的模糊集合去研究模糊性對象。

1.2.3 混合不確定度量化方法

實際的物理問題十分復(fù)雜，既包含隨機不確定性，也包含認(rèn)知不確定性?；旌喜淮_定度量化方法針對兩種不確性來源分別進行處理，實現(xiàn)對復(fù)雜物理過程的不確定度量化?；旌喜淮_定度量化方法主要有兩種。

一種是嵌套迭代的方法：在外循環(huán)中處理認(rèn)知變量而在內(nèi)循環(huán)中處理隨機變量[38]。根據(jù)外層循環(huán)中對認(rèn)知不確定變量處理方式的不同可以分為區(qū)間值概率方法（IVP，也被稱為概率范圍分析PBA）、二階概率方法（SOP）以及DS證據(jù)理論（DSTE）。IVP方法[39]將不確定性變量轉(zhuǎn)化為區(qū)間的形式，通過嵌套迭代的方式得到關(guān)注變量的累積分布函數(shù)（CDF）或互補累計分布函數(shù)（CCDF）。SOP方法與IVP方法類似，也采用嵌套迭代的方式，有所不同的是，SOP方法[40]通過主觀概率分布描述不確定性變量。DSTE方法[41]證據(jù)理論以兩種互補的不確定性度量方式（信任測度和似然測度）描述不確定變量。在計算統(tǒng)計量時采用隨機展開法并且在計算上下界限時采用區(qū)間優(yōu)化算法將會大大提高上述三種方法的精度和效率[42]。

另一種混合不確定度量化方法是P-box方法[43-45]。P-box方法通過上下界的方式給出變量的CDF，按照上下界計算方式的不同通?？梢苑譃閰?shù)化P-box和非參數(shù)化P-box。參數(shù)化P-box可以由一組參數(shù)位于同一區(qū)間的分布函數(shù)表示，而非參數(shù)化P-box由CDF的包絡(luò)線產(chǎn)生。

以上內(nèi)容介紹了不確定度量化工作涉及的基本內(nèi)容以及不同表現(xiàn)形式不確定變量的量化分析方法。下面將根據(jù)CFD計算中的不確定性來源介紹不確定度量化方法在CFD計算中的應(yīng)用情況。

2 計算網(wǎng)格的不確定度量化

網(wǎng)格的拓?fù)潢P(guān)系、黏性網(wǎng)格的第一層高度、增長率以及網(wǎng)格的空間分布等因素決定了網(wǎng)格的質(zhì)量，也影響了CFD計算的收斂以及數(shù)值模擬的最終結(jié)果。開展計算網(wǎng)格的不確定度量化工作對于CFD可信度評估具有重要意義。

Richardson外推方法[46-47]可以估算離散誤差，研究人員將其應(yīng)用于CFD網(wǎng)格的不確定度量化。如圖1所示，Celik等[48]在Richardson外推方法的基礎(chǔ)上提出了網(wǎng)格收斂性指標(biāo)（GCI），并以此研究了網(wǎng)格數(shù)量對二維后臺階流動計算結(jié)果的影響，結(jié)果表明，在速度接近0時軸向速度對網(wǎng)格的敏感度最大。趙訓(xùn)友等[49]對現(xiàn)有的GCI離散不確定度估算法進行了改進，用加權(quán)平均的數(shù)值解代替細(xì)網(wǎng)格數(shù)值解來估算離散誤差及不確定度，使得結(jié)果具有更高的置信度。Schaefer等[50]研究了網(wǎng)格以及湍流模型系數(shù)的不確定性對于RAE2822翼型氣動特性的影響。按照網(wǎng)格的疏密分布、第一層網(wǎng)格高度以及拓?fù)潢P(guān)系的不同，Schaefer等生成了6套計算網(wǎng)格，并采用非嵌入式多項式混沌方法對SA、Wilcoxk-ω以及SST湍流模型系數(shù)的不確定度進行量化分析，并通過sobol靈敏度分析了各個湍流模型系數(shù)對于總不確定性的貢獻。結(jié)果表明，少部分的湍流模型系數(shù)對CFD數(shù)值模擬結(jié)果有較大影響，例如SA模型中的σ和κ等。該研究為湍流建模以及后續(xù)的三維構(gòu)型不確定度量化工作打下了基礎(chǔ)。

圖1 二維后臺階流動軸向速度分布[48]Fig.1 Wall-normal profiles of axial velocities for a twodimensional backward-facing-step laminar flow simulated by different grids[48]

3 幾何外形的不確定度量化

由于制造公差的存在以及對真實模型的簡化處理，用于計算的幾何模型與真實情況不可避免地存在著一些誤差，從而引入幾何外形的不確定性。對幾何外形的不確定度量化對于飛行器氣動設(shè)計有著重要的意義。

Loeven等[51]為了減少不確定性因素的數(shù)量，采用參數(shù)化方法對NACA 4系列翼型進行建模，并利用概率配置點法研究了翼型的最大彎度、最大彎度位置以及厚度等關(guān)鍵設(shè)計變量的不確定性對翼型氣動特性的影響。圖2給出了NACA5412翼型最大彎度、最大彎度位置以及厚度等不確定性因素影響下的升力系數(shù)不確定帶。對于升力系數(shù)而言，最大彎度帶來的不確定性最大，大迎角下厚度帶來的不確定性較大。Parussini等[52]將張量展開混沌配置法與虛擬域方法結(jié)合，對幾種基本流動問題的幾何不確定性進行量化分析。Liu等[53]采用梯度增強的徑向基函數(shù)方法（GERBF）、多項式混沌方法等研究了RAE2822翼型幾何隨機擾動對跨聲速條件下氣動特性的影響，研究表明，梯度增強的降階模型方法較之直接積分方法效率更高。Liu等[54]采用非嵌入式概率配置點方法考察了風(fēng)速的不確定性對風(fēng)力機氣動特性的影響，探究了不確定性在流場中的傳播，實現(xiàn)了不確定CFD技術(shù)對傳統(tǒng)驗證與確認(rèn)工作的補充。Trojak等[55]研究了非均勻網(wǎng)格對多維通量重構(gòu)的影響，歸納總結(jié)了波角和網(wǎng)格變形對通量重構(gòu)的影響規(guī)律。Liu等[56]等基于RBF插值對翼型進行參數(shù)化，通過Kriging響應(yīng)面法建立翼型流場的代理模型，并采用蒙特卡洛方法研究了壓敏材料厚度分布不確定性對自然層流機翼氣動力的影響。

圖2 NACA5412翼型升力系數(shù)不確定帶[51]Fig.2 The uncertainty bounds of lift coefficient for NACA5412 airfoil[51]

4 來流條件的不確定度量化

CFD流場求解過程涵蓋了湍流模型、離散方法和數(shù)值格式等核心要素。這些模型代表了對物理問題的近似，然而不同的方法依據(jù)不同的假設(shè)，其近似的程度也有所不同，對這些要素的不確定性進行量化分析是CFD計算和可信度評估的核心環(huán)節(jié)。目前在流場計算這一層級的工作主要集中在湍流模型以及來流邊界條件這兩個方面。

Xiu等[57]提出了廣義多項式混沌方法（GPC），理論證明了不同的概率分布存在不同的最優(yōu)多項式混沌與之對應(yīng)，多項式展開可以按照指數(shù)收斂，并用此方法研究了不可壓槽道流動和方柱繞流的不確定度量化問題。Loeven等[58]發(fā)展了用拉格朗日插值多項式（LIP）構(gòu)造隨機變量的非嵌入式概率配置點法，可以在保證計算精度一定的情況下減小確定性計算的數(shù)量，并且將該方法應(yīng)用于NACA0012翼型的不確定性分析中。Mariotti等[59]運用概率配置點法對二維矩形柱體的來流不確定性進行了研究，考察了入射角、來流縱向湍流強度以及湍流積分尺度的不確定性對其空氣動力學(xué)特性的影響。Avdonin等[60]采用多項式混沌展開方法研究了預(yù)混合層流火焰?zhèn)鬟f函數(shù)的工況不確定性，考察了入口速度、燃燒器板溫度和等效比等因素的影響。研究表明，非嵌入式多項式混沌方法能夠高效地處理熱聲學(xué)不確定性問題，不確定變量概率分布函數(shù)的方差對結(jié)果的影響較大。

如圖3所示，Zhu等[61]采用概率配置點方法考察了來流條件不確定性對NASA0714翼型跨聲速抖振狀態(tài)氣動特性的影響。研究表明，激波運動區(qū)域?qū)τ趤砹鳁l件十分敏感。劉智益等[62]采用非嵌入式概率配置點法研究了轉(zhuǎn)子葉頂間隙尺寸不確定性對某軸流壓氣機流量、效率、壓比以及馬赫數(shù)變化量的影響。鄔曉敬等[63]采用非嵌入式概率配置點法研究了迎角及馬赫數(shù)不確定性對NACA0012翼型跨聲速條件下氣動特性的影響。王言金等[64]采用非嵌入式多項式混沌方法考察了不可壓圓柱繞流的不確定性問題。鄧小兵等[65]通過在自由來流中引入隨機脈動的方式開展了復(fù)雜構(gòu)型細(xì)長體飛行器大迎角橫側(cè)向氣動力不確定性的數(shù)值模擬研究。研究表明，大迎角氣動力出現(xiàn)不確定性的原因是頭部分離渦的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性。徐林程等[66]發(fā)展了基于自動微分方法的不確定度量化方法，研究了來流參數(shù)不確定性對風(fēng)洞試驗結(jié)果精確度的影響。結(jié)果顯示，在亞聲速來流條件下，迎角是影響風(fēng)洞試驗精度的主要因素；在跨聲速來流條件下，影響風(fēng)洞試驗精度的主要因素轉(zhuǎn)變?yōu)轳R赫數(shù)。

圖3 NASA SC(2)-0714翼型表面壓力系數(shù)及脈動壓力系數(shù)不確定帶[61]Fig.3 The mean and root-means-square of the pressure coefficient with uncertainty bounds[61]

5 湍流模型的不確定度量化

以湍流模式理論為基礎(chǔ)建立的湍流模擬方法是目前CFD最常使用的計算湍流的手段，在精度和效率方面取得較好的平衡，滿足絕大多數(shù)的工程需求。湍流模式理論以雷諾平均運動方程與隨機脈動運動方程為基礎(chǔ)，通過一系列的假設(shè)，建立描述湍流脈動量的封閉方程。在進行雷諾平均的過程中，將會進行多個層次的假設(shè)，引入潛在誤差，從而限制模擬結(jié)果的可信度。

Duraisamy等[67]將RANS湍流模型中的不確定性來源歸納為以下四個方面：系綜平均導(dǎo)致的不確定性、雷諾應(yīng)力函數(shù)和運算表達(dá)的不確定性、模型中函數(shù)形式的不確定性以及模型系數(shù)的不確定性。圖4中以雷諾應(yīng)力輸運模型和線性渦黏模型為例，標(biāo)注出湍流模型中可能存在的不確定性來源。

圖4 不同類別的湍流模型以及其中的不確定性來源[67]Fig.4 A sketch of uncertainties introdued by turbulence models[67]

Xiao等[68]對RANS模擬中湍流模型的不確定度量化方法進行了歸納和總結(jié)。根據(jù)二階對稱張量有三個不變量：跡、平方以及立方跡。進而可以利用雷諾偏應(yīng)力張量和主應(yīng)力的物理含義分析出雷諾偏應(yīng)力的約束條件，即Lumley曲邊三角形[69]。如圖5所示，Banerjee等[70]用線性關(guān)系式的方式建立了雷諾偏應(yīng)力張量特征值和坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而將Lumley曲邊三角形這一限制條件轉(zhuǎn)換到重心坐標(biāo)系統(tǒng)下的直邊三角形。Emory等[71-72]在雷諾應(yīng)力張量中引入物理約束并對雷諾應(yīng)力進行攝動，從而對湍流模型的不確定性進行量化。該方法建立在雷諾應(yīng)力特征值分解的基礎(chǔ)之上，著重考慮了對特征值的限制，忽視了對湍動能以及特征向量的約束。Iaccarino等[73]探究了給定約束條件下雷諾應(yīng)力的變化范圍，對已有考慮特征值約束的方法進行了補充。采用極限狀態(tài)的特征值給出湍動能的最大值和最小值，通過五次RANS計算就能得到流動演化過程中特征空間的攝動范圍，從而給出CFD計算結(jié)果的不確定度帶。Iaccarino等采用該方法研究了湍流射流模擬中湍流模型不確定性對流動的影響。

圖5 雷諾偏應(yīng)力張量不變量圖[70]Fig.5 Reynolds stress ellipsoids, in the eigenspace[70]

如圖6所示，Mishra等[74]同時考慮了對特征值及特征向量的約束，以攝動法雷諾應(yīng)力橢球極值狀態(tài)的形式形象地闡釋了該方法的物理含義。如圖7所示，Mishra等將這種方法應(yīng)用于MD30P30N多段翼型，得到該翼型在湍流模型渦黏假設(shè)不確定條件下的壓力系數(shù)及摩擦力系數(shù)不確定帶。

圖6 攝動法雷諾應(yīng)力橢球極值狀態(tài)可視化顯示[74]Fig.6 Schematic visualization of the extremal states as Reynolds stress ellipsoids in the eigenspace perturbation methodology [74]

圖7 MD30P30N多段翼型采用雷諾應(yīng)力攝動法表面壓力系數(shù)及摩擦力系數(shù)不確定帶Fig.7 The mean and root-mean-square of (a) pressure and (b)friction coefficients on MD30P30N with uncertainty bounds

作為對基于特征值分解的物理方法的替代，Xiao等[75]給出了雷諾應(yīng)力不確定性的概率描述。將雷諾應(yīng)力用一個半正定的隨機矩陣來表示，期望為RANS模型的雷諾應(yīng)力，并且定義了雷諾應(yīng)力張量的最大熵分布，通過對其采樣來表征雷諾應(yīng)力的不確定性。隨機矩陣法和基于特征值分解的方法類似，無論是對雷諾應(yīng)力張量進行攝動還是對雷諾應(yīng)力張量的分布進行抽樣都能保證其可實現(xiàn)性。Wang等[76]采用隨機矩陣法研究了特征值和特征向量的不確定性空間，并且通過定義在隨機矩陣上的最大熵分布，說明了他們之間存在的關(guān)聯(lián)性。與特征值分解方法相比，這種方法不能從物理的角度對極限狀態(tài)做出明確的解釋。這兩種方法都側(cè)重于單點的雷諾應(yīng)力誤差帶研究，忽視了雷諾應(yīng)力隨空間變化導(dǎo)致的不確定性。Edeling等[77]提出了“回歸渦黏模型”，對雷諾應(yīng)力張量進行攝動，采用該方法對亞聲速射流進行數(shù)值模擬，分析了湍流模型不確定性的影響。

湍流模型中的模型參數(shù)通常是通過一些基本流動進行校準(zhǔn)的（例如，均勻各向同性湍流、平板流動、槽道流動等）。然而這些參數(shù)并不是普適的，需要根據(jù)流動的特性進行調(diào)整，例如，Pope[78]以及Eisfeld[79]列舉了幾種典型自由剪切流的最優(yōu)參數(shù)（平板射流、圓形射流以及尾流等）。在復(fù)雜湍流流動的數(shù)值模擬中，如果模型參數(shù)仍然采用基本流動的默認(rèn)值，會引入不確定性。采用經(jīng)典的不確定度量化方法可以簡單地考察湍流模型中系數(shù)的選擇對于仿真結(jié)果的影響。這些方法基本都依賴于對湍流模型中相關(guān)系數(shù)的描述。Dunn等[80]采用拉丁超立方抽樣方法研究了k-ε模型系數(shù)不確定性對二維后臺階流動的影響。研究表明，模型系數(shù)對再附點附近回流區(qū)的流向速度以及自由剪切層湍流強度影響較大。Platteeuw等[81]采用概率配置點法研究了帶有壁函數(shù)的k-ε模型系數(shù)不確定性對平板流動的影響。研究表明，壁函數(shù)參數(shù)的波動對平板流動有著顯著的影響。

6 混合不確定度量化

CFD系統(tǒng)非常復(fù)雜，涉及到大量的不確定性因素，將這些因素割裂分析將會忽略他們之間的聯(lián)系，需要對CFD系統(tǒng)進行整體不確定度量化?；旌喜淮_定度量化方法被廣泛地應(yīng)用于CFD整體不確定度量化中。Shah等[82]將DS證據(jù)理論與非嵌入式概率配置點方法結(jié)合，研究了迎角、來流馬赫數(shù)以及SA模型系數(shù)等不確定性因素對RAE2822翼型跨聲速條件下氣動特性的影響。高超聲速再入流動模擬中存在著大量的不確定性因素，采用傳統(tǒng)方法計算量過大，針對這種情況，West等[83]發(fā)展了多步不確定度量化方法。多步不確定度量化方法首先采用局部敏感性分析對不確定性變量降維，最終采用改進的非嵌入式概率配置點方法進行不確定度量化。Quagliarella等[84]將五種基于元模型的蒙特卡洛方法、多級蒙特卡洛方法以及非嵌入式概率配置點法分別應(yīng)用于NACA2412翼型的不確定度量化中，研究了來流馬赫數(shù)以及幾何外形不確定性對其氣動特性的影響。

Duque等[85]開發(fā)了“Spectre”平臺，該平臺能夠根據(jù)用戶的自定義進行網(wǎng)格以及來流參數(shù)（馬赫數(shù)、迎角、雷諾數(shù)等）的不確定度量化，實現(xiàn)CFD整體不確定度量化的商業(yè)化。圖8、圖9展示了利用該平臺對NACA0012翼型進行不確定度量化獲取的升力系數(shù)及表面壓力系數(shù)的統(tǒng)計信息。該平臺能夠根據(jù)用戶需求給出關(guān)注變量的統(tǒng)計信息以及整體不確定度。Schaefer等[86]采用了SOP方法實現(xiàn)了對網(wǎng)格、來流參數(shù)以及SA湍流模型系數(shù)的整體不確定度量化，并成功應(yīng)用于NASA高升力CRM構(gòu)型，驗證了集成不確定度量化方法在工程應(yīng)用上的可行性。Wignall等[87]結(jié)合數(shù)據(jù)融合和降階模型技術(shù)研究了模型以及風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化的不確定性對火箭氣動載荷的影響。

圖8 NACA0012翼型升力系數(shù)累積密度分布函數(shù)[86]Fig.8 The cumulative probability distribution of lift coefficient for NACA0012[86]

圖9 NACA0012翼型表面壓力系數(shù)不確定帶[85]Fig.9 The total UQ of pressure coefficient for NACA0012[85]

7 不確定性因素的敏感性分析

對不確定度量化結(jié)果的分析也是不確定性研究中不可或缺的內(nèi)容。一旦明確了CFD數(shù)值模擬中的各種不確定性來源和表現(xiàn)形式，并且對這些不確定性在CFD系統(tǒng)中的傳遞進行了量化，研究各類不確定性因素對總不確定性的貢獻就顯得尤為關(guān)鍵。敏感性分析常常被用來研究不確定性因素對CFD計算結(jié)果的影響大小。目前對敏感性分析的研究主要集中在提升效率和精度上。

如圖10所示，Schaefer等[88]采用非嵌入式概率配置點方法研究了SA湍流模型系數(shù)不確定性對NASA CRM構(gòu)型氣動特性的影響，借助sobol靈敏度指標(biāo)分析了SA模型各個系數(shù)的不確定度在總體不確定度中所占的比重。研究表明，SA湍流模型中系數(shù)σ和κ對于跨聲速近壁面流動的影響最大。肖思男等[89]對基于概率描述的不確定性結(jié)構(gòu)全局靈敏度分析方法進行了概述。傳統(tǒng)靈敏度指標(biāo)分析方法在輸入變量很多時效率較低且準(zhǔn)確性得不到保證。針對這種情況，Storlie等[90]提出了一種基于元模型和引導(dǎo)置信區(qū)間的敏感性分析方法，在提高敏感性分析效率的同時也保證了方法的準(zhǔn)確性。Saltelli等[91]采用基于方差的敏感性分析方法對模型的全局輸出進行了敏感度的考察。Sudret等[92]引入廣義多項式混沌展開方法構(gòu)建降階模型，實現(xiàn)高效的全局敏感性分析。與基于蒙特卡洛方法的敏感性分析方法相比，該方法可以應(yīng)用于不確定變量很多的情況，并且大大提高計算效率。Duvigneau等[93]采用連續(xù)靈敏度方程方法（CSEM）實現(xiàn)了對翼型形狀參數(shù)的快速不確定度量化。Fiorini等[94]推導(dǎo)了管道流問題的敏感性方程，利用敏感性方程方法給出入口速度不確定條件下管道內(nèi)流動變量的不確定帶。將定常流動模擬結(jié)果與蒙特卡洛方法進行了對比，驗證了該方法的準(zhǔn)確性。針對非定常流動模擬敏感性隨時間增加的情況，對敏感性導(dǎo)數(shù)進行濾波，依據(jù)濾波后的敏感性導(dǎo)數(shù)計算出流動變量的不確定帶。

圖10 NASA CRM模型表面壓力系數(shù)結(jié)果圖[88]Fig.10 Pressure coefficient for the NASA CRM configuration[88]

8 CFD不確定度量化工作的總結(jié)與展望

隨著CFD技術(shù)在工程實踐中的廣泛應(yīng)用以及對CFD算法認(rèn)識的不斷加深，CFD不確定度量化已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點，國內(nèi)外針對CFD系統(tǒng)各個關(guān)鍵環(huán)節(jié)開展了大量的不確定度量化工作。CFD不確定度量化首先需要辨識不確定性因素的來源，按照形式的不同選擇恰當(dāng)?shù)姆椒疾觳淮_定性在CFD計算過程中的傳播，最終根據(jù)結(jié)果的統(tǒng)計特性分析不確定性因素對于CFD系統(tǒng)的影響。

目前針對幾何外形、來流條件、湍流模型等因素的不確定度量化方法已經(jīng)較為成熟，然而針對數(shù)值格式的不確定度量化工作開展較少，對計算網(wǎng)格的不確定度量化也僅僅是針對網(wǎng)格量這一因素。發(fā)展對這些不確定性因素的量化分析方法對于完善CFD系統(tǒng)的不確定度量化體系有著重要的作用。

CFD系統(tǒng)中存在大量的不確定性因素，為了探究不確定性來源之間的關(guān)聯(lián)性，從而更好地指導(dǎo)CFD方法的工程應(yīng)用，需要對CFD系統(tǒng)進行全局不確定度量化分析。然而，隨著待考察變量的增加，不確定度量化的計算量急劇增加，為了實現(xiàn)對物理問題的快速不確定度量化，需要進一步提升不確定度量化方法的效率。

當(dāng)前不確定度量化工作大多針對簡單構(gòu)型以及一些較為簡單的流動問題。隨著CFD數(shù)值模擬對象的逐漸復(fù)雜化，需要擴展不確定度量化的應(yīng)用范圍，對更為復(fù)雜的構(gòu)型以及流動進行不確定度量化。

現(xiàn)代飛行器需要面臨復(fù)雜的飛行環(huán)境，其性能參數(shù)對某些不確定性因素非常敏感，確定性CFD計算已經(jīng)不足以滿足工程實際的需求，利用不確定性CFD技術(shù)進行飛行器外形、結(jié)構(gòu)及飛行控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計已經(jīng)成為未來不斷探索的研究方向。