劉加霞　孫海燕

摘 要 單位化是問題解決的策略，也是重要數(shù)學(xué)思想。其核心是“確定‘誰(shuí)是單位”并通過“操作單位”解決問題。單位化思想貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)始終，但對(duì)除法學(xué)習(xí)的價(jià)值被忽視。包含除的本質(zhì)就是單位化，即數(shù)出“被除數(shù)里有多少個(gè)除數(shù)”，同樣地等分除也蘊(yùn)含單位化思想。二者是除法的基本模型，不可顧此失彼。除法意義教學(xué)要設(shè)計(jì)“較復(fù)雜的平均分情境”，對(duì)比分析等分除與包含除的異同，將包含除運(yùn)用到分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)與分?jǐn)?shù)除法中。

關(guān)鍵詞 單位化思想 等分除 包含除

一般地，人們?cè)趩栴}解決時(shí)，為了規(guī)范地、統(tǒng)一地度量某類對(duì)象，需要約定統(tǒng)一的量度標(biāo)準(zhǔn)以便于表達(dá)、交流與運(yùn)用。在比較或度量某些事物時(shí)，往往設(shè)定一個(gè)或多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量作為度量單元（即單位或單位體系），有意識(shí)地用“單位”來(lái)量化研究對(duì)象，旨在簡(jiǎn)化問題解決的思維過程，這種解決問題的思維策略稱之為“單位化思想”。單位化思想就是用統(tǒng)一的“單位（單位體系）”刻畫概念、闡明思維過程，強(qiáng)化對(duì)概念的理解與應(yīng)用，使思維過程變得清晰有序[1]。

單位化思想貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)的始終。但在除法學(xué)習(xí)中未得到足夠重視，尤其當(dāng)下教材、教學(xué)中淡化了“包含除”，不重視包含除也導(dǎo)致分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算理較難理解[2]。

一、單位化思想對(duì)學(xué)習(xí)自然數(shù)除法的價(jià)值分析

除法建立在平均分基礎(chǔ)上，從平均分的過程來(lái)看有兩個(gè)不同模型，通常稱為“等分除”與“包含除”。包含除中的單位化思想較為明顯，等分除中好像不明顯，但實(shí)際上“平均分”過程中的每一步（例如2個(gè)一份地分）都是按照“標(biāo)準(zhǔn)”分配，所以，單位化思想在這兩種除法中都具有重要價(jià)值。

1.除法意義的兩個(gè)模型相互依存

乘法的基本模型是“每份數(shù)×分?jǐn)?shù)=積”，進(jìn)一步抽象為“因數(shù)×因數(shù)=積”，對(duì)應(yīng)不同的現(xiàn)實(shí)模型。作為乘法的逆運(yùn)算，除法被定義為“已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算”，所以相應(yīng)的除法有兩種模型：一種是已知總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)，例如：求15里面有幾個(gè)5，這是“包含除”，對(duì)應(yīng)的除法算式是15÷5=3，單位化思想最為明顯。但當(dāng)下各個(gè)教材中忽視了包含除[2]，也忽視了單位化思想在理解除法含義、計(jì)算以及算理方面的作用。除法另一種模型是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)。例如：把15平均分成5份，求每份是多少，這是“等分除”，對(duì)應(yīng)的除法算式也是15÷5=3。這兩種不同的意義是通過一個(gè)平均分物的數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的，它們地位相等而且都與“份”“單位”密切相關(guān)，因此，從“單位”的角度認(rèn)識(shí)除法意義有重要價(jià)值。

2.除法運(yùn)算背后的“單位化”思想

（1）“包含除”更能體現(xiàn)單位化思想。乘法來(lái)源于加法，“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”用乘法更為便捷，除法是乘法的逆運(yùn)算，它的本質(zhì)就是減去若干個(gè)相同數(shù)。這說(shuō)明“包含除”對(duì)理解除法的意義以及借助單位化思想理解整數(shù)除法含義、算法算理等都有舉足輕重作用。皮亞杰認(rèn)為測(cè)量單位的概念包含任意地再分一個(gè)連續(xù)的整體（被測(cè)物體）。這與“包含除”表達(dá)的意義不謀而合。這也是為什么基于乘除法之間的關(guān)系理解除法含義時(shí)，比起“把一個(gè)整體平均分成若干個(gè)相同的部分”，學(xué)生更容易想到除法就是“不停的減去相同的部分”，這樣的理解更接近測(cè)量的本質(zhì)也就是除法的本質(zhì)，為此能夠深入理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比的性質(zhì)與除法商不變的性質(zhì)等都是單位及其個(gè)數(shù)之間的辯證關(guān)系。因此，學(xué)習(xí)除法的意義時(shí)首先應(yīng)該從“包含除”模型來(lái)理解，也更凸顯出單位化思想的作用。

（2）“平均分”時(shí)“幾個(gè)幾個(gè)地分”仍然是單位化思想?！捌骄帧睍r(shí)“幾個(gè)幾個(gè)地分”仍然是單位化思想，只不過這時(shí)的“單位”需要不斷地調(diào)整，沒有“分完”之前的每一次“平均分”都可以說(shuō)是“包含除”。例如，36塊糖，平均分給3個(gè)人，每人分得幾塊？在平均分時(shí)如果直接“12個(gè)、12個(gè)”地分，這就是包含除;如果“1個(gè)、1個(gè)地”分給3人，繼續(xù)分幾次后，發(fā)現(xiàn)“分的速度”太慢，調(diào)整為“3個(gè)、3個(gè)”地分，可以說(shuō)每一次“平均分”都有單位化思想，尤其不斷調(diào)整“每次分幾個(gè)”的過程，即是確定“合適單位”的過程。平均分的思考過程更復(fù)雜，其中的“單位”需要靈活調(diào)整，最終找到那個(gè)合適的“單位（每份數(shù)）”。這個(gè)調(diào)整“單位”的過程是學(xué)生深入理解平均分進(jìn)而理解除法意義的過程，不可忽視。

遺憾的是，很多時(shí)候由于數(shù)量太少，學(xué)生要么一眼就能看出每份有幾個(gè)，要么借助已有的乘法口訣的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不需要“平均分”的過程，直接就能確定這個(gè)“單位”，可以說(shuō)沒有“思維的投入”。如何設(shè)計(jì)活動(dòng)才能讓學(xué)生經(jīng)歷平均分的過程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的“單位化”思想，進(jìn)而理解除法的意義呢？下面給出一些教學(xué)建議。

二、單位化思想助力除法意義學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

1.“初步認(rèn)識(shí)”除法時(shí)要兼顧除法的“等分除、包含除”模型

不同版本的教材編排常用的情境是“平均分物”。以人教版教材為例，在二年級(jí)下冊(cè)表內(nèi)除法單元，安排了3個(gè)例題教學(xué)“平均分”，作為學(xué)習(xí)除法的開始，例1建立“平均分”的概念，例2探討“平均分”的方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“等分”;例3繼續(xù)探討“平均分”的方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“包含”。教材這樣編排，加強(qiáng)了“分”的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生充分參與“平均分”的實(shí)踐活動(dòng)，形成平均分的表象，既為學(xué)生認(rèn)識(shí)“除法”積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，又使學(xué)生對(duì)“除法”產(chǎn)生了親切感。

在張奠宙教授的文章中曾呈現(xiàn)一組關(guān)于不同版本教材在編排主問題時(shí)，涉及“等分除”的情況遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于“包含除”，張教授指出教材“虧待”了包含除[3]。也就是說(shuō)教材在編排上雖然讓學(xué)生充分經(jīng)歷平均分的過程，建立“平均分”的概念，但無(wú)論在內(nèi)容編排順序還是內(nèi)容的數(shù)量上仍然存在著厚“等分除”薄“包含除”的現(xiàn)象，這就使得教師教學(xué)時(shí)重視“等分除”，也忽視“包含除”。然而，忽視“包含除”后患無(wú)窮[2]，具體有以下表現(xiàn)。

一是影響學(xué)生對(duì)除法概念理解的深度。從除法的意義來(lái)看，等分和包含是同一個(gè)情境中兩類互相依存的除法問題，是除法含義的兩個(gè)方面，忽略包含除就忽略了“把除數(shù)作為‘測(cè)量單位在分被除數(shù)”的這層含義，就不能說(shuō)學(xué)生對(duì)除法意義實(shí)現(xiàn)了真正的理解。

二是限制學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的全面理解。五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義，與三年級(jí)學(xué)習(xí)“平均分物產(chǎn)生分?jǐn)?shù)”相比，知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)在于感悟“測(cè)量產(chǎn)生分?jǐn)?shù)”，也就是要回答一個(gè)小于單位“1”的量怎么表示，由此可以引出分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）。與包含除密切相關(guān)的情形是：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多少”。例如人教版教材在“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”開頭，呈現(xiàn)了幾個(gè)人用等距離打了結(jié)的繩子測(cè)量一個(gè)箱子的邊長(zhǎng)，提出問題：剩下的繩子不足一節(jié)，怎么記？這時(shí)如果一節(jié)繩子恰好是三個(gè)尾部之長(zhǎng)，那么尾部長(zhǎng)度就可以表示為? ;如果一節(jié)繩子包含三個(gè)“半截尾部”，那么尾部長(zhǎng)度占一節(jié)的? [4]。這是從“單位”的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義的契機(jī)，為了全面理解分?jǐn)?shù)概念，需要包含除的模型。

三是無(wú)法理解分?jǐn)?shù)除法的算理。分?jǐn)?shù)除法要依據(jù)顛倒相乘的規(guī)則進(jìn)行，說(shuō)明起來(lái)相當(dāng)困難。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)用等分除模型比較容易理解，但是一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)使用等分除模型則不大合適，[5]如4÷? ，不能說(shuō)把4個(gè)物體平均分成? 份，但是可以問4里面包含著多少個(gè)? ，如果沒有包含除，其算理很難被學(xué)生理解。借助“份”導(dǎo)出算理，這是單位化思想在發(fā)揮作用。

四是阻礙學(xué)生問題解決的思路。由于問題解決中涉及的大部分?jǐn)?shù)量關(guān)系都存在兩個(gè)平等的因數(shù)相乘，如：速度×?xí)r間=路程、單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)等等，不能平等對(duì)待兩種“平均分”也就不能應(yīng)對(duì)問題解決中對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，造成解題失敗。

因此，基于教材的編排，教師要努力調(diào)整認(rèn)知，以期設(shè)計(jì)不偏不倚的除法情境，真正讓學(xué)生在概念建立初期就能平等對(duì)待這對(duì)“孿生兄弟”。

2.基于學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，突出單位化思想

教學(xué)中常常會(huì)遇到這樣的情況：當(dāng)問題情境“把15個(gè)橘子平均分成5份，每份是幾個(gè)” 呈現(xiàn)后，學(xué)生通常不會(huì)按照老師的希望通過動(dòng)手操作，經(jīng)歷分的過程，去體會(huì)平均分，而是利用口訣得到了結(jié)果，盡管老師把要分的15個(gè)橘子刻意凌亂的擺在黑板上，不想讓學(xué)生數(shù)出總數(shù)，學(xué)生仍然會(huì)直奔結(jié)果。這樣忽略分的過程與方法，學(xué)生無(wú)法體會(huì)平均分的含義，更談不上對(duì)除法意義的理解?？梢钥紤]從以下幾個(gè)方面做出努力。

（1）通過操作活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生多種感官參與，經(jīng)歷平均分的過程。如何讓學(xué)生主動(dòng)探索平均分的方法、理解平均分的概念呢？數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的思維是在活動(dòng)中發(fā)生的，并隨著活動(dòng)的深入得到發(fā)展。針對(duì)學(xué)生用口訣尋找結(jié)果而并不采用平均分的方法這一情況，我們?cè)O(shè)計(jì)分撲克牌的游戲，引發(fā)學(xué)生動(dòng)手分的需要，體會(huì)分的必要性，從而自覺的經(jīng)歷分的過程。下面是教學(xué)片斷：

教師拿出一摞數(shù)好的撲克牌（不向?qū)W生說(shuō)明數(shù)量）。

師：誰(shuí)能把它們平均分給4名同學(xué)？

生1接過撲克牌，學(xué)生馬上要數(shù)有多少?gòu)垞淇伺啤?/p>

教師（制止）：如果不知道撲克牌的數(shù)量你能想辦法完成這個(gè)任務(wù)嗎？

生1略作思索后，開始一張一張的“發(fā)牌”，發(fā)了一輪以后，發(fā)現(xiàn)自己手中還有很多撲克牌，于是第二輪他“大膽的”開始每人分兩張，第三輪他更大膽的每人3張，但是到最后發(fā)現(xiàn)牌不夠了，于是他不好意思的，把剛剛每人發(fā)的3張要了回來(lái)，重新按每人兩張發(fā)放，結(jié)果正好分完。

……

像這樣經(jīng)過逐步的嘗試與調(diào)整，分的活動(dòng)從不合適到正好分完，經(jīng)歷了1份——也就是“單位”從最初的假設(shè)到明確的過程，“單位”逐漸清晰的過程也是幫助學(xué)生從“單位”的角度獲得對(duì)除法意義本質(zhì)的深入理解。

（2）基于對(duì)比突出除法兩個(gè)模型之間的區(qū)別和聯(lián)系，全面理解除法意義。在前述“等分”操作活動(dòng)的基礎(chǔ)上，再呈現(xiàn)“包含”的分物情形?？梢栽偬峁┮恍淇伺疲咳朔?張，可以分給幾個(gè)人，這時(shí)又該如何分呢？有了前面分物的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很自然地會(huì)對(duì)比兩次“平均分”的過程不同，進(jìn)而感悟兩種操作的區(qū)別和聯(lián)系。

在對(duì)比之后，師生得出兩次分的區(qū)別是：當(dāng)我們心里知道要分給幾個(gè)人，就一張一張地或者幾張幾張地分給這幾人，分完才知道每人有幾張;當(dāng)我們知道一人有幾張，我們就一份一份地把它們分走，分完就知道有幾人了。

第二個(gè)平均分的活動(dòng)是有標(biāo)準(zhǔn)的，知道一份是多少，就是知道“單位”，能分出幾個(gè)“單位”，就能分給幾個(gè)人。兩次分的聯(lián)系是：每份分得同樣多，這里的“每份”就是作為“單位”存在的，學(xué)生通過對(duì)兩次分物活動(dòng)的對(duì)比反思，對(duì)“等分”和“包含”有了直觀而且對(duì)等的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生全面理解除法的意義奠定了基礎(chǔ)。

其實(shí)，在學(xué)生后續(xù)的除法學(xué)習(xí)中，單位化思想會(huì)始終貫穿其中，無(wú)論是深化對(duì)除法意義的理解，還是理解除法的算理算法，亦或是解決問題我們都能從中發(fā)現(xiàn)“單位”的存在和價(jià)值。以單位化思想為統(tǒng)領(lǐng)，可以幫助學(xué)生打通并加深對(duì)除法的認(rèn)識(shí)，甚至還可以將分?jǐn)?shù)、比、倍等核心內(nèi)容與除法更緊密的聯(lián)系在一起。

參考文獻(xiàn)

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[5] 張奠宙.“分?jǐn)?shù)”教材里一個(gè)沒有解決的問題——談分?jǐn)?shù)與包含除的關(guān)系[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版：數(shù)學(xué)，2014（Z2）：4-5.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]