金懷智，李新娥，王 睿，楊偉藝，顧 攀

(中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051)

0 引 言

微小位移測(cè)量經(jīng)過(guò)多年的研究取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，是精密測(cè)量技術(shù)的研究熱點(diǎn)之一[1]，測(cè)量方法有以下幾種：激光傳感器、LVDT傳感器、PSD位置敏感器件、電容位移傳感器等[1,2]。本文所測(cè)系統(tǒng)為三維容柵位移系統(tǒng)，主要特征是容柵傳感器電極呈柵極分布，具有測(cè)量精度高、運(yùn)行速度快、體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、總體功耗低等優(yōu)點(diǎn)，是狹小空間微小位移測(cè)量的理想儀器[3]。

最小二乘法(ordinary least square，OLS)是對(duì)未知參數(shù)估計(jì)的強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具，具有無(wú)偏性和有效性[4]。最小二乘法在解決目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解問(wèn)題時(shí)，會(huì)人為地忽略誤差方程系數(shù)矩陣中的隨機(jī)誤差，這種含有離群值的線性估計(jì)，結(jié)果會(huì)受到不良影響，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)論，因此需要一種穩(wěn)健回歸解決上述問(wèn)題。

對(duì)現(xiàn)有線性回歸模型進(jìn)行研究，提出使用M估計(jì)加權(quán)最小二乘法線性回歸分析三維容柵微小位移。通過(guò)理論推導(dǎo)確定基本模型，并對(duì)測(cè)量位移進(jìn)行正態(tài)性分析，確保模型為線性系統(tǒng)；采用Huber robust函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，具有較高的穩(wěn)健性和估計(jì)效率；使用皮爾遜相關(guān)系數(shù)分析法驗(yàn)證測(cè)量值和預(yù)測(cè)值的相關(guān)性。實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明，該算法在有離群值時(shí)具有良好的擬合效果，系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)更準(zhǔn)確、穩(wěn)定，對(duì)三維容柵微小位移系統(tǒng)的安裝調(diào)試具有顯著指導(dǎo)作用。

1 測(cè)試系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 傳感器設(shè)計(jì)

容柵傳感器由多條平板電容并聯(lián)，主要的工作部件為靜柵和動(dòng)?xùn)臶5]，如圖1所示。當(dāng)動(dòng)?xùn)藕雎赃吘壭?yīng)時(shí)，單塊柵極的初始電容和正對(duì)面積記為C0和S0，容柵傳感器的電容為

圖1 容柵結(jié)構(gòu)

(1)

式中：n為傳感器柵極條數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)，近似為8.854×10-12F/m，εr為板級(jí)間介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，ε為總體介電常數(shù)，S0為單條柵極極間相對(duì)面積，S為總極間相對(duì)面積。

1.2 信號(hào)采集單元

本設(shè)計(jì)共有3個(gè)通道，分別是通道1(動(dòng)?xùn)臱)、通道2(動(dòng)?xùn)臲)、通道3(動(dòng)?xùn)臵)，安裝在其中一個(gè)同心球外側(cè)，代表著XYZ這3個(gè)方向的位移，其共同的靜柵被安裝于另一個(gè)同心球內(nèi)側(cè)。

三維容柵微小位移測(cè)試系統(tǒng)信號(hào)采集單元原理框架如圖2所示。

圖2 采集單元原理框架

4個(gè)恒流源給容柵傳感器供電，使用電子開關(guān)開闔傳感器。由于容柵傳感器的電容變化量很微小(約為1 pF/0.05 mm)，電磁干擾，溫度變化引起的噪聲信號(hào)會(huì)在單路放大器輸入端產(chǎn)生共模干擾。采用差分放大電路可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題，達(dá)到放大差模信號(hào)、抑制共模信號(hào)的目的。

任一通道電容與電壓的關(guān)系

(2)

式(2)和式(1)聯(lián)立得

(3)

式中：U為傳感器兩端模擬電壓，Q為直流源輸出電荷量。

本設(shè)計(jì)通過(guò)電子開關(guān)實(shí)現(xiàn)PWM波開關(guān)控制，當(dāng)動(dòng)?xùn)虐l(fā)生位移造成相對(duì)面積的改變所引起的電容值變化，可判斷微小位移的大小及方向。

1.3 傳感器安裝與布置

三維容柵傳感器微小位移測(cè)量系統(tǒng)是為了測(cè)量?jī)蓚€(gè)同心球的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)情況，容柵傳感器具有結(jié)構(gòu)輕薄的特點(diǎn)，可以便捷安裝在球體表面和內(nèi)側(cè)。

據(jù)文獻(xiàn)[2]中對(duì)二維容柵微小位移系統(tǒng)的研究，三維傳感器采取正交式安裝方法，以XY坐標(biāo)軸形成一個(gè)平面，再向上取一個(gè)與XY都正交的Z軸，形成三維坐標(biāo)系。容柵傳感器布置在兩個(gè)同心球體表面，由于球面具有較大曲率，故安裝傳感器時(shí)可將其等效為4塊平面容柵傳感器，其中一個(gè)球面內(nèi)側(cè)安裝一塊接收級(jí)(靜柵)，另一個(gè)球面外側(cè)安裝3塊相互正交的發(fā)射極(動(dòng)?xùn)?，每一組動(dòng)、靜柵測(cè)量一個(gè)方向的位移變化，如圖3(a)所示。

圖3 容刪安裝及改進(jìn)

實(shí)際安裝時(shí)，當(dāng)動(dòng)、靜柵均采用方形的容柵傳感器時(shí)，拿X通道分析，初始相對(duì)面積為Sx0，靜、動(dòng)?xùn)胚呴L(zhǎng)為L(zhǎng)，三通道位移分別為x、y、z，由于容柵傳感柵極間的d由同心球間距決定，分析時(shí)認(rèn)為d為定值，其電壓模型為

(4)

式(4)在模型分析時(shí)，X通道的電壓涉及兩個(gè)方向的位移，模型參數(shù)較為復(fù)雜，不適合在操作現(xiàn)場(chǎng)做參數(shù)估計(jì)。為了避免不同通道位移相互影響，使用3塊10 mm×10 mm的靜柵，與先前無(wú)異，成品字形排布；使用3塊5 mm×10 mm的動(dòng)?xùn)牛瑢挾瓤s小一半，當(dāng)Z方向發(fā)生位移時(shí)，X通道由于靜柵寬度大于動(dòng)?xùn)艑挾龋诹砍谭秶鷥?nèi)(0.3 mm～1 mm)Z方向的位移不對(duì)ΔSX產(chǎn)生影響，改進(jìn)后的安裝布置如圖3(b)所示。

2 參數(shù)估計(jì)算法

2.1 模型分析

3個(gè)通道相互獨(dú)立，對(duì)通道X做分析，根據(jù)式(4)可知其電壓位移模型為

(5)

其中，k=Q/ε,x、y、z為3個(gè)方向的位移量，Sx0、Sy0、Sz0為動(dòng)?xùn)排c靜柵的初始相對(duì)面積，L為靜柵邊長(zhǎng)。分別對(duì)三通道使用此位移模型，并做變形以適應(yīng)線性回歸系統(tǒng)

(6)

2.2 系統(tǒng)誤差分析

一般情況下，容柵傳感器的電場(chǎng)在柵極邊緣處不能均勻分布，產(chǎn)生邊緣效應(yīng)，是傳感器設(shè)計(jì)過(guò)程中必須要考慮的因素。邊緣效應(yīng)導(dǎo)致傳感器靈敏度下降和電容值非線性增加，實(shí)際電容值在理論電容值基礎(chǔ)上加上附加電容值，即：C實(shí)際=C理論+C邊緣。

C邊緣不是一個(gè)常量，其與柵極數(shù)量、柵極厚度、柵極間距均有關(guān)聯(lián)，且在傳感器信號(hào)動(dòng)態(tài)變化時(shí)尤為嚴(yán)重[6]。在加工工藝、成本制造等各方面因素影響下，盡可能減小極板間距和極板厚度、控制柵極對(duì)數(shù)并適當(dāng)增大初始電容C0，使邊緣效應(yīng)造成的影響最小[7]。

2.3 M估計(jì)線性回歸算法

2.3.1 M估計(jì)背景

M估計(jì)(maximum likelihood type estimation，M-Estimation)是一種迭代加權(quán)最小二乘法，屬于穩(wěn)健回歸的一種[8]，由Huber于1964年提出，也被稱為廣義最大似然估計(jì)，其原理是給每個(gè)樣本點(diǎn)不同的權(quán)重，偏差較大的樣本點(diǎn)權(quán)重小，偏差較小的樣本點(diǎn)權(quán)重大，異常點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)不會(huì)對(duì)擬合方程產(chǎn)生較大影響。

2.3.2 M估計(jì)運(yùn)算準(zhǔn)則

M估計(jì)的運(yùn)算方法有很多，而迭代加權(quán)法(iteratively reweighted least squares，IRLS)由于其算法類似于最小二乘法，易于編寫和移植，故而得到廣泛的應(yīng)用。

對(duì)于有i個(gè)影響因素的自變量矩陣X=[x1,x2,…,xi]，其與因變量Y的關(guān)系如下

Y=β1x1+β2x2+…+βixi+b

(7)

最小二乘法的殘差函數(shù)為

(8)

運(yùn)算準(zhǔn)則為

(9)

M估計(jì)采用迭代加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)，根據(jù)前一次回歸殘差確定各樣本權(quán)重，殘差函數(shù)被改寫為

(10)

則M估計(jì)的運(yùn)算準(zhǔn)則為

(11)

ρ為影響函數(shù),一般滿足以下條件[9]：

(1)ρ(r)≥0；

(2)ρ(0)=0；

(3)ρ(-r)=ρ(r)；

(4)If|ri|≥|rj|，thenρ(ri)≥ρ(rj)。

為了保證M估計(jì)的回歸系數(shù)通因變量的觀測(cè)單位無(wú)關(guān)，希望M估計(jì)結(jié)果具有尺度同變形，即滿足

(12)

為滿足上式條件，估計(jì)回歸系數(shù)β需將殘差ri標(biāo)準(zhǔn)化，除以某個(gè)尺度參數(shù)σ，得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差ri/σ。

M估計(jì)的運(yùn)算準(zhǔn)則即定義為如下

(13)

實(shí)際運(yùn)算中，Hampel于1974年提出以ri(β)觀察點(diǎn)的絕對(duì)離差中位數(shù)(median absolute deviation，MAD)，除以常數(shù)0.6745作為穩(wěn)健估計(jì)尺度σ[10]。

MAD是一種衡量數(shù)據(jù)離散分布的魯棒性測(cè)量方法，同時(shí)也可表示樣本的總體參數(shù)。對(duì)于單變量數(shù)據(jù)集M=[M1，M2，…Mn]，其MAD公式為

MAD=median(|Mi-median(M)|)

(14)

2.3.3 常用的影響函數(shù)

在穩(wěn)健估計(jì)中，有幾種常用的影響函數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)和權(quán)因子：

(1)最小二乘法

最小二乘法是一種特殊的M估計(jì)

Ψ(u)=u

(2)絕對(duì)和極小法(LAD估計(jì))

ρ(u)=|u|

Ψ(u)=sign(u)

LAD估計(jì)又稱L1估計(jì)，是Lp估計(jì)的一種，p值越小，β收斂到最小值需要的迭代次數(shù)越多，是一種較為準(zhǔn)確但收斂較慢的影響函數(shù)。

(3)Huber法

本文選用Huber loss[11,12]，降低了對(duì)離群點(diǎn)的懲罰程度，適合數(shù)據(jù)接近正態(tài)分布的情況，是一種具有良好魯棒性的影響函數(shù)。

Huber提出一種加權(quán)函數(shù)[11-13]

|u|≤c

|u|≥c

Ψ(u)=u

|u|≤c

=c·sign(u)

|u|≥c

其中，c是常數(shù)，通常默認(rèn)為1.345，為Huber的尺度參數(shù)。Huber算法可以看作將最小二乘法和LAD法相結(jié)合。當(dāng)殘差絕對(duì)值較小處，使用最小二乘法；殘差絕對(duì)值大處使用LAD。這種估值方法既能提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，也有較高的估值效率。

Huber函數(shù)在不同尺度下的function如圖4所示。

圖4 Huber function 原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)圖像

2.3.4 M估計(jì)具體算法

對(duì)殘差函數(shù)的表達(dá)形式預(yù)處理：

(1)式(10)中目標(biāo)函數(shù)ρ(ri)對(duì)β求偏導(dǎo)得

(2)對(duì)線性方程組向量化得XTWe=0

(3)將Y=Xβ+e代入得XTWXβ=XTWY

(4)得β=(XTWX)-1XTWY

具體算法步驟為：

(1)建立U=xβ+b的線性方程組，根據(jù)OLS求出初始?xì)埐頴0；

(2)標(biāo)準(zhǔn)化殘差得到zi，由wi=φ(zi)/zi作為樣本的初始權(quán)重；

(3)又由β=(XTWX)-1XTWY求出新的β(i)以求得新的殘差代替β(i-1)；

(4)返回(2)進(jìn)行迭代依次計(jì)算β(i)，給定殘差迭代閾值ξ，當(dāng)|β(k+1)-β(k)|<ξ，此時(shí)滿足收斂條件，βM=β(k+1)。

2.3.5 M估計(jì)對(duì)測(cè)試系統(tǒng)的作用

在本系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，M估計(jì)主要作用是在系統(tǒng)標(biāo)定完成后，實(shí)際測(cè)試時(shí)預(yù)測(cè)系統(tǒng)參數(shù)。微小位移系統(tǒng)安裝時(shí)，由于同心球內(nèi)空間狹小，一旦安裝完成很難調(diào)整容柵傳感器柵極相對(duì)位置，M估計(jì)可以及時(shí)比較測(cè)量值和預(yù)測(cè)值的殘差，對(duì)系統(tǒng)的安裝調(diào)試具有顯著意義。

2.3.6 皮爾遜相關(guān)性分析

為了分析OLS和M估計(jì)的擬合優(yōu)度，采用卡爾皮爾遜提出的皮爾遜相關(guān)系數(shù)法(Person correlation coefficient)，又稱皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)，是一種準(zhǔn)確度量?jī)蓚€(gè)變量之間關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法[14]。

一般情況下，皮爾遜相關(guān)具有如下約束條件：

(1)兩個(gè)變量間有線性關(guān)系；

(2)變量為連續(xù)變量；

(3)變量均近似符合正態(tài)分布，且二元分布也符合正態(tài)分布；

(4)兩個(gè)變量均為獨(dú)立變量。

對(duì)于兩組變量X，Y，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到若干組數(shù)據(jù)對(duì)，記為(xi，yi)(i=1，2，…，n)，樣本的總體相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(15)

估算樣本的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差，則皮爾遜相關(guān)系數(shù)表達(dá)式為

(16)

表1 皮爾遜相關(guān)系數(shù)的關(guān)聯(lián)程度

樣本相關(guān)系數(shù)是通過(guò)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，其值受到樣本的隨機(jī)性、數(shù)量等影響。因此需要對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)做顯著性檢驗(yàn)，即求P-value。Z檢驗(yàn)一般用于大樣本均值差異性檢驗(yàn)的方法，不太適合本測(cè)試。T分布檢驗(yàn)是一種小樣本分布檢驗(yàn)，較為適合本測(cè)試，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量t，構(gòu)造方式如下

(17)

這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是符合自由度為t-2的T分布。其中n為樣本的數(shù)量，r是皮爾遜相關(guān)系數(shù)ρX,Y。

定義原假設(shè)H0為r等于0，即不存在線性相關(guān)性，通過(guò)T分布表得出滿足拒絕H0的顯著性水平α，顯著性檢驗(yàn)是“小概率事件實(shí)際不可能原理”，α越接近于0，越說(shuō)明原假設(shè)不成立，數(shù)據(jù)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試和數(shù)據(jù)分析

3.1 正態(tài)性分析

線性回歸參數(shù)估計(jì)要求被測(cè)數(shù)據(jù)集滿足或近似滿足正態(tài)分布?？紤]到測(cè)試數(shù)據(jù)正可能不具有良好正態(tài)性，有以下幾種處理手段：

(1)若方差正比于均值，進(jìn)行平方根轉(zhuǎn)換；

(2)若標(biāo)準(zhǔn)差正比于均值，進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換；

(3)還可以采用Yeo-Johnson或Box-Cox變換，這是針對(duì)隨機(jī)變量正態(tài)性較差時(shí)做的數(shù)據(jù)預(yù)處理。當(dāng)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)偏離原始數(shù)據(jù)的性質(zhì)時(shí)，可認(rèn)為該數(shù)據(jù)不適用正態(tài)性校驗(yàn)方法，轉(zhuǎn)而采用非參數(shù)檢驗(yàn)方法如秩和檢驗(yàn)、中位數(shù)評(píng)分檢驗(yàn)等。

位移數(shù)據(jù)由系統(tǒng)模型搭建完成后采樣得到，利用SPSS Statistics數(shù)據(jù)分析軟件對(duì)3個(gè)通道所得數(shù)據(jù)使用直方圖和P-P圖兩種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行正態(tài)性分析[15]，驗(yàn)證結(jié)果如圖5所示，可知XYZ三通道采樣數(shù)據(jù)具有較良好的正態(tài)性。

圖5 三通道正態(tài)性校驗(yàn)

3.2 數(shù)據(jù)標(biāo)定與分析

圖6為此系統(tǒng)的標(biāo)定裝置，其作用是：①檢測(cè)容柵傳感器性能參數(shù)是否符合預(yù)定標(biāo)準(zhǔn)以及理論模型是否正確；②提供一個(gè)標(biāo)定值(認(rèn)定是真值)。

圖6 標(biāo)定測(cè)試裝置

測(cè)試時(shí)，通過(guò)調(diào)節(jié)標(biāo)定平臺(tái)上的千分尺旋鈕精確控制動(dòng)?xùn)藕挽o柵之間的距離，此裝置最小分辨率為0.01 mm，雖精度沒(méi)有達(dá)到0.001 mm，但可估讀到0.001 mm，滿足電路調(diào)試和數(shù)據(jù)標(biāo)定0.05 mm步長(zhǎng)的要求。

選定0.3 mm～0.95 mm為標(biāo)定距離范圍，0.05 mm為步長(zhǎng)，由于電壓倒數(shù)只是統(tǒng)計(jì)學(xué)上方便計(jì)算的操作，無(wú)實(shí)際的物理意義，也沒(méi)有對(duì)應(yīng)的物理單位，所以還是使用電壓?jiǎn)挝籚，得到如表2所示的關(guān)系表。

表2 標(biāo)定距離和采集電壓倒數(shù)

對(duì)標(biāo)定距離x和采集電壓的倒數(shù)1/UX使用Matlab軟件做OLS和M估計(jì)線性回歸參數(shù)估計(jì)，標(biāo)定了14組數(shù)據(jù)，其擬合效果如圖7所示。

據(jù)圖7可知，擬合直線對(duì)于偏差過(guò)大的離散點(diǎn)敏感性降低，避免了標(biāo)定過(guò)程中因操作失誤等因素造成系統(tǒng)擬合直線偏移。

圖7 X通道電壓倒數(shù)與位移關(guān)系

使用此算法分別得到3個(gè)通道M估計(jì)預(yù)測(cè)線性回歸方程為

(18)

模型搭建完成后，在標(biāo)定平臺(tái)上對(duì)系統(tǒng)標(biāo)定，驗(yàn)證測(cè)試距離與標(biāo)定距離的相對(duì)誤差，同時(shí)對(duì)比OLS預(yù)測(cè)距離和M估計(jì)預(yù)測(cè)距離相較于測(cè)試距離的相對(duì)殘差，分析兩種算法的優(yōu)劣。

表3、表4、表5為標(biāo)定平臺(tái)三通道測(cè)量數(shù)據(jù)，Z通道在測(cè)量0.40 mm這一組數(shù)據(jù)時(shí)，出現(xiàn)了明顯的離群值，經(jīng)檢查，認(rèn)為是標(biāo)定時(shí)出現(xiàn)誤觸導(dǎo)致裝置的偏移，容柵傳感器相對(duì)面積發(fā)生變化造成測(cè)量的不準(zhǔn)確，經(jīng)重新多次測(cè)量得數(shù)據(jù)為0.398 mm。三通道相對(duì)誤差符合預(yù)期值，相對(duì)誤差均小于3%。分別計(jì)算兩種算法相較測(cè)試距離的相對(duì)殘差：(測(cè)量值-預(yù)測(cè)值)/測(cè)量值×100%，在(0.30 mm,0.40 mm)，雖然OLS預(yù)測(cè)距離比M估計(jì)距離和實(shí)測(cè)距離都要更接近標(biāo)定距離，但算法預(yù)測(cè)主要作用是校準(zhǔn)傳感器，而不是預(yù)測(cè)真值，評(píng)價(jià)其擬合優(yōu)度指標(biāo)是相對(duì)殘差，且在(0.40 mm，0.60 mm)，OLS預(yù)測(cè)距離逐漸偏離真值，綜合三通道算法預(yù)測(cè)表現(xiàn)，M估計(jì)總體優(yōu)于OLS，具有良好的擬合效果和魯棒性。

將表3、表4、表5中OLS與M估計(jì)預(yù)測(cè)結(jié)果分別進(jìn)行皮爾遜相關(guān)性分析，匯總結(jié)果見(jiàn)表6。

表3 X通道測(cè)試距離、預(yù)測(cè)距離相對(duì)殘差

表4 Y通道測(cè)試距離、預(yù)測(cè)距離相對(duì)殘差

表5 Z通道測(cè)試距離、預(yù)測(cè)距離相對(duì)殘差

表6 相關(guān)性和顯著性分析

由表6可知，經(jīng)皮爾遜相關(guān)性分析，兩種算法預(yù)測(cè)值均與測(cè)量值顯著線性正相關(guān)且M估計(jì)相關(guān)性和顯著性均優(yōu)于OLS。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)三維容柵微小位移測(cè)試系統(tǒng)，根據(jù)先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，使用直方圖和P-P圖法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)做正態(tài)性檢驗(yàn)，確保模型為線性系統(tǒng)；提出了使用M估計(jì)的方法，克服了普通最小二乘法對(duì)離群點(diǎn)的敏感性，避免了因操作不當(dāng)對(duì)系統(tǒng)擬合產(chǎn)生不利影響。皮爾遜相關(guān)性分析驗(yàn)證了M估計(jì)預(yù)測(cè)值與測(cè)量值具有相關(guān)性和顯著性。經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，該算法提高了預(yù)測(cè)模型的可靠性，可應(yīng)用于同心球內(nèi)狹小空間的三維容柵微小位移系統(tǒng)安裝校準(zhǔn)。

不足之處為該模型將傳感器視為平板電容，所以只能建立在較大曲率半徑的同心球上以求計(jì)算時(shí)可以忽略傳感器的曲率。對(duì)較小球體的微小位移測(cè)量仍需改進(jìn)模型，使其適應(yīng)更多的球體系統(tǒng)。