陳一凡 張根保,3 冉 琰 李宇龍 庾 輝

1.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶，400044 2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 3.重慶文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，重慶，402160

0 引言

可靠性分配是產(chǎn)品早期設(shè)計和開發(fā)階段的關(guān)鍵步驟之一,其目的是將產(chǎn)品整機(jī)的可靠性指標(biāo)分配給每個基本單元，以確保組成整機(jī)的各基本單元的可靠性滿足可靠性設(shè)計要求[1-3]。目前，傳統(tǒng)的可靠性分配方法主要側(cè)重于兩個方面：一是基于模糊理論的可靠性分配[4-5]；二是基于優(yōu)化算法的可靠性優(yōu)化設(shè)計[6-8]。雖然這些可靠性分配技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，但是，前者方法主要依賴專家評分，主觀性較強(qiáng)，而后者方法忽略了機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，此外，它們有一個共性問題，即它們都沿襲了電子產(chǎn)品的可靠性分配模式，因此，為了提高機(jī)械系統(tǒng)的可靠性，研究一種適用于機(jī)械系統(tǒng)的可靠性分配方法迫在眉睫。

近幾年來，國內(nèi)外學(xué)者對機(jī)械系統(tǒng)的可靠性分配工作進(jìn)行了相關(guān)研究。張強(qiáng)等[9]考慮機(jī)械系統(tǒng)分配中的多層影響因素，建立了兩層因素的可靠性分配模型。王昊等[10]提出一種考慮子系統(tǒng)故障相關(guān)性的多因素可靠性分配方法。張義民等[11]通過引入模糊數(shù)學(xué)理論，提出了一種基于用戶反饋的數(shù)控機(jī)床故障信息的可靠性模糊分配方法。張根保等[12]引入“任務(wù)”概念，提出了一種基于“任務(wù)”的數(shù)控機(jī)床模糊可靠性分配方法。YU等[13]提出了一種考慮失效影響和可靠性成本的綜合模糊分配方法，隨后，他們在目標(biāo)可行性(feasibility-of-objectives，F(xiàn)OO)方法的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮依賴因子的分配方法[14]。CHENG等[15]將模糊分配與最大熵有序加權(quán)平均(ME-OWA)方法相結(jié)合并將其應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床的子系統(tǒng)，提高了分配的靈活性。ZHANG等[16]提出了一種綜合考慮運(yùn)動機(jī)構(gòu)的組成和三類失效模式的可靠性分配方法，并成功將其應(yīng)用于飛機(jī)齒輪門鎖機(jī)構(gòu)。LIU等[6]為了找到全局最優(yōu)的可靠性指標(biāo)，提出了一種基于多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的可靠性分配建模求解方法。

然而，現(xiàn)階段機(jī)械系統(tǒng)的可靠性分配研究還存在以下關(guān)鍵問題需要進(jìn)一步解決：①現(xiàn)有的可靠性分配仍然按照“系統(tǒng)-部件-零件”的路徑分解，而實際的機(jī)械系統(tǒng)為由運(yùn)動單元組成的傳動鏈，傳統(tǒng)的自頂向下的分解會導(dǎo)致分配任務(wù)越來越繁瑣，分配效率較低[14,17]；②運(yùn)動單元的可靠性決定了整機(jī)系統(tǒng)的可靠性，在不確定性條件下，各運(yùn)動單元對系統(tǒng)可靠性的影響存在一定的差異，這一點在傳統(tǒng)的可靠性分配中并未體現(xiàn)。

針對以上問題，本文提出了一種基于元動作及其靈敏度的機(jī)械傳動系統(tǒng)可靠性分配方法。從運(yùn)動和傳動的角度，將機(jī)械系統(tǒng)分解為最基本的運(yùn)動單元(即元動作)，并將其作為可靠性分配的最小粒度，然后，考慮到處于傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同位置的元動作對整個系統(tǒng)可靠性的影響存在很大的差異，本文引入靈敏度指標(biāo)對其進(jìn)行不確定性量化。該方法能夠?qū)㈦y以定量評估的問題進(jìn)行量化，以靈敏度指標(biāo)作為可靠性分配的有力依據(jù)，從而為可靠性分配工作提供新的思路。

1 可靠性分配模型的建立

針對傳統(tǒng)的機(jī)械傳動系統(tǒng)可靠性分配的不足，本文提出一種基于元動作及其靈敏度的機(jī)械傳動系統(tǒng)可靠性分配方法，其分配框架如圖1所示。首先，采用“功能-運(yùn)動-動作(function-motion-action，F(xiàn)MA)”的分解方法[17-19]對機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行分解得到元動作集合，并將其作為分配的最小粒度;然后，利用拉丁超立方體抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)方法計算低階逼近(low-rank approximations，LRA)元模型的系數(shù)，并通過后處理LRA的系數(shù)求解各元動作在傳動鏈中的靈敏度；最后，基于獲得的元動作靈敏度計算結(jié)果識別出系統(tǒng)的關(guān)鍵元動作，并將傳動系統(tǒng)的整機(jī)可靠性指標(biāo)分配到各元動作。雖然基于LRA的Sobol’方法在其他領(lǐng)域已有相關(guān)研究[20]，但是將其應(yīng)用于可靠性分配領(lǐng)域還未見相關(guān)報道。

圖1 可靠性分配框架Fig.1 The reliability allocation framework

1.1 基于FMA方法的機(jī)械系統(tǒng)分解

注：不帶箭頭的實線連接表示組成關(guān)系；帶有箭頭的實線連接表示映射關(guān)系；帶有箭頭的虛線連接表示傳動關(guān)系圖2 FMA分解示意圖Fig.2 Diagram of FMA decomposition

功能分解是將產(chǎn)品功能分解為相應(yīng)的子系統(tǒng)或部件的運(yùn)動。傳統(tǒng)的功能分解方法[21-22]的最后節(jié)點處是針對零件而言的，如果分解對象為復(fù)雜的大型機(jī)電產(chǎn)品，則不利于產(chǎn)品的性能分析。FMA方法是從運(yùn)動的角度將產(chǎn)品功能分解到最基本的運(yùn)動單元，即元動作,FMA分解過程如圖2所示。從圖2中可以看出，元動作層實際上是由一條傳動鏈組成的，只要確保各元動作能夠正常運(yùn)行，那么就能實現(xiàn)產(chǎn)品所需的功能，這與可靠性分配的目的是一致的。因此，功能分解的目的是明確各元動作的詳細(xì)可靠性輸入值，以進(jìn)一步合理設(shè)計各元動作。

由于數(shù)控機(jī)床是一個串聯(lián)結(jié)構(gòu)，各功能的正常輸出取決于所有元動作的正常工作，因此，可以將它們視為一個串聯(lián)系統(tǒng)。根據(jù)可靠性理論，元動作的可靠性與系統(tǒng)的可靠性關(guān)系表示為

(1)

式中，Ri為元動作Ai的可靠度；RS為傳動系統(tǒng)的可靠度；n為元動作數(shù)目。

隨著時間的推移，系統(tǒng)可靠性呈單調(diào)遞減趨勢，這可以理解為系統(tǒng)中某個或多個元動作出現(xiàn)退化，而在這個退化過程中存在不確定性因素，如應(yīng)力、磨損和員工的操作方式等，這些不確定性因素造成元動作的性能處于一個區(qū)間范圍，因此，每個元動作可以看成是系統(tǒng)的一個隨機(jī)變量，則式(1)可以等效為

Y=f(X1,X2,…,Xn)

(2)

將式(1)轉(zhuǎn)換成式(2)的目的是為了后續(xù)分析每個隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)對函數(shù)Y的靈敏度，即元動作對系統(tǒng)可靠性的影響程度。

1.2 基于LRA的全局靈敏度分析方法

1.2.1全局靈敏度分析

全局靈敏度分析(global sensitivity analysis，GSA)定義為響應(yīng)模型中輸入變量的不確定性對模型輸出響應(yīng)的不確定性的貢獻(xiàn)程度。Sobol’方法[23]是工程實際應(yīng)用中最廣泛的GSA方法之一，它可以分析單一輸入變量作用或多個輸入變量之間相互作用對系統(tǒng)輸出的影響。

為不失一般性，設(shè)函數(shù)f(X)在單位超立方體Ω(n)中，且輸入為n維，則Ω(n)可以表示為

Ω(n)={X|0≤Xi≤1;i=1,2,…,n}

(3)

Sobol’法的關(guān)鍵步驟是將函數(shù)f(X)進(jìn)行分解,即

(4)

其中，f0為常數(shù)，fi是Xi的函數(shù)，fij是Xi和Xj的函數(shù)，其余各項對其所包含的每一個因素的積分為0，即

(5)

1≤k≤s

由于函數(shù)分解中的所有項之間都為正交，且式(4)的分解存在唯一性，那么所有展開式的和都可以通過積分以遞歸的方式計算得到，即

(6)

式中,fi表示Xi單獨變化對Y的影響(稱為Xi的主效應(yīng))；fij表示除了i、j各自變化的影響之外，Xi和Xj同時變化對Y的影響；E(·)為期望算子。

對于f2(X)可積函數(shù)，可以對函數(shù)分解進(jìn)行平方和積分，進(jìn)而得到f(X)的總方差，即

(7)

式(7)等式左邊為Y的方差，右邊為方差項。根據(jù)Xi的集合分解式，方差表達(dá)式的分解表示為

(8)

(9)

式中，X～i為去除Xi之外的所有變量的集合，即X～i={X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xn}。

因此，一階Sobol’指標(biāo)(first-order Sobol’indices，F(xiàn)SI)和總Sobol’指標(biāo)(total Sobol’indices，TSI)分別表示為

(10)

(11)

FSI反映了單一輸入變量Xi的不確定性對輸出變量的影響，Si越大，說明該輸入變量對系統(tǒng)輸出的影響越顯著。

TSI用于評估單一輸入變量及其與其他輸入變量的相互作用對系統(tǒng)輸出的共同影響。如果輸入變量間相互獨立，則FSI值總是小于TSI值；若兩者相差較大，則說明輸入變量間的相互作用對系統(tǒng)輸出的影響更顯著。

通常，計算Sobol’法指標(biāo)的常用方法有兩種，即基于蒙特卡羅(Monte Carlo，MC)方法和基于元模型方法。相對來說，元模型(即替代模型)比MC方法計算效率更高，因為它是用統(tǒng)計上的等價模型來代替復(fù)雜模型的。常用的元模型有多項式混沌展開(polynomial chaos expansion，PCE)和LRA，鑒于LRA比PCE的計算結(jié)果誤差更小[24]，本文提出一種基于LRA的靈敏度后處理方法，該方法具有計算效率高、耗時短等優(yōu)勢。

1.2.2基于LRA的全局靈敏度指標(biāo)計算方法

LRA是元模型中處理高維模型的一種有效方法，其目的是用少量的秩一張量的和來逼近模型的輸出響應(yīng)值，并利用多元基的張量積形式減少未知系數(shù)的數(shù)目。因此，Sobol’靈敏度指標(biāo)可以通過后處理LRA的系數(shù)來計算得到[20]，多項式基的LRA元模型可以表示為

(12)

因此，基于LRA的Sobol’方法的計算分別取決于以下FSI和TSI的表達(dá)式：

(13)

(14)

由于式(13)、式(14)都涉及均值和方差，因此，將模型Y代入LRA元模型中，然后基于LRA系數(shù)計算出這些值，則模型輸出的均值和方差分別近似為

(15)

(16)

Si表達(dá)式中的E[E(Y|Xi)2]可以近似為

(17)

STi表達(dá)式中的E[E(Y|X～i)2]可以近似表示為

(18)

對于更高階指標(biāo)的表達(dá)式也可以根據(jù)LRA系數(shù)獲得。通過利用多項式基的張量積形式可以將未知系數(shù)的數(shù)量減少一個數(shù)量級，進(jìn)而使用相對較少的秩數(shù)以足夠的精度逼近響應(yīng)值。因此，基于LRA的Sobol’方法能夠快速計算出靈敏度指標(biāo)。

1.3 元動作與傳動系統(tǒng)的可靠性映射關(guān)系分析

為了使整個傳動系統(tǒng)可靠性保持相對穩(wěn)定，應(yīng)該降低元動作對系統(tǒng)可靠性的靈敏度。以靈敏度指標(biāo)作為分配權(quán)重，將具有較高靈敏度的元動作分配以更高的可靠性。因此，元動作與傳動系統(tǒng)可靠性的映射關(guān)系表示為

(19)

式中，S′i為元動作的相對權(quán)重，記為ωi。

然后，將ωi取反(即1-ωi)，且對其進(jìn)行歸一化處理，從而得到元動作的最終分配權(quán)重ω′為

(20)

最后，各元動作分配得到的可靠度為

(21)

2 案例分析

數(shù)控機(jī)床作為復(fù)雜機(jī)電產(chǎn)品的經(jīng)典類型之一，在制造業(yè)加工領(lǐng)域扮演著重要的角色，例如汽車、航空工業(yè)和船舶工業(yè)等。特別是早期的產(chǎn)品設(shè)計，將整機(jī)或系統(tǒng)的可靠性目標(biāo)值合理地分配給各運(yùn)動單元是非常關(guān)鍵的，合理的可靠性分配能提高產(chǎn)品的質(zhì)量，并進(jìn)一步提高產(chǎn)品的生產(chǎn)效率。鑒于數(shù)控轉(zhuǎn)臺是加工中心的一個關(guān)鍵功能部件[17,25]，本文將其作為實際應(yīng)用案例來驗證提出方法的可行性和有效性，數(shù)控轉(zhuǎn)臺的結(jié)構(gòu)示意圖請掃描本文首頁二維碼查看。根據(jù)產(chǎn)品可靠性要求，數(shù)控轉(zhuǎn)臺的分度回轉(zhuǎn)運(yùn)動可靠度RS=0.89。

根據(jù)數(shù)控轉(zhuǎn)臺運(yùn)動特性，利用FMA分解方法將數(shù)控轉(zhuǎn)臺的分度運(yùn)動分解為6個元動作[26]，共組成4條傳動鏈，如圖3所示。

圖3 數(shù)控轉(zhuǎn)臺FMA分解Fig.3 FMA decomposition of CNC turntable

運(yùn)用Sobol’法計算全局靈敏度時，需要先給定參數(shù)的變化區(qū)間及概率分布函數(shù)。數(shù)控機(jī)床常見的可靠性指標(biāo)主要有可靠度、失效率和平均故障間隔時間(mean time between failure，MTBF)，它們之間往往是同一概念的不同表達(dá)形式。為了便于分析，這里使用MTBF作為統(tǒng)計的指標(biāo)。分析現(xiàn)有少量的數(shù)控轉(zhuǎn)臺元動作的故障數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)元動作的分布類型服從均勻分布。由文獻(xiàn)[27]可知，在不確定性因素條件下，如果隨機(jī)變量的分布不是特別明確，使用均勻分布計算得到的靈敏度結(jié)果不會發(fā)生顯著性影響。此外，均勻分布能夠避免工程實際工程中數(shù)據(jù)量少、無法確定分布的問題，只需要確定各元動作MTBF的最小值和最大值便可進(jìn)行靈敏度分析。因此，本文選擇均勻分布作為元動作的假設(shè)分布類型。具體取值情況如表1所示。

表1 數(shù)控轉(zhuǎn)臺的元動作分布和取值情況Tab.1 Distribution and value of the meta-actions of the CNC turntable

本文利用UQLab軟件[28]建立了基于LRA的Sobol’法的元動作靈敏度模型，其概率輸入模型由6個獨立的隨機(jī)變量組成。利用LHS方法對元模型進(jìn)行隨機(jī)抽樣，并基于200個樣本的實驗設(shè)計創(chuàng)建數(shù)控轉(zhuǎn)臺可靠性模型的LRA元模型。通過LRA系數(shù)快速求解元動作的FSI值和TSI值，并計算出總靈敏度貢獻(xiàn)率(TSR)。各元動作對系統(tǒng)可靠性的靈敏度結(jié)果如表2所示。

表2 元動作對數(shù)控轉(zhuǎn)臺可靠性靈敏度結(jié)果Tab.2 Reliability sensitivity results of meta-actions to the CNC turntable

由表2可知，靈敏度大小排序依次為SA4、SA1、SA5、SA2、SA3、SA6，其中A4對數(shù)控轉(zhuǎn)臺的可靠性影響起決定性作用，即是數(shù)控轉(zhuǎn)臺可靠性的薄弱環(huán)節(jié)。其原因可解釋為：由圖3可知，數(shù)控轉(zhuǎn)臺由4條傳動鏈組成，其中M342是最長的傳動鏈，即由三級元動作組成，從而增大了不確定性因素的影響，這正是在復(fù)雜機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計中縮短傳動鏈的主要原因之一。另外，A4位于傳動鏈M342的末端，則上游元動作的性能穩(wěn)定性輸出會對下游造成某種程度的影響[18]，而A4的性能穩(wěn)定性又直接決定M342是否能夠完成指定的運(yùn)動。因此，為了提高數(shù)控轉(zhuǎn)臺的可靠性，將A4分配更高的可靠性是有必要的。A1、A4、A5的靈敏度指標(biāo)為正，且TSR明顯比較大，這表明它們的影響很大程度上會降低數(shù)控轉(zhuǎn)臺的可靠性，在設(shè)計環(huán)節(jié)必須采取適當(dāng)措施提高其可靠性。另外，可以觀察到各個元動作的TSI值與FSI值的差值小于0.1，這說明元動作之間存在較弱的相互作用。為了簡化計算過程，這里不考慮相互作用。

根據(jù)式(19)～式(21)計算出各元動作的可靠度，如表3所示。

表3 元動作可靠性映射結(jié)果Tab.3 Result of reliability mapping of meta-actions

此外，以MC方法模擬計算結(jié)果作為基準(zhǔn)檢驗LRA元模型計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和收斂性。圖4給出了3個元動作的FSI值和TSI值隨MC方法采樣次數(shù)增加的收斂過程，可以發(fā)現(xiàn)采樣規(guī)模N=100 000時MC方法的計算結(jié)果具有較高的準(zhǔn)確性。

(a)FSI收斂過程

在上述實例基礎(chǔ)上，本文將提出的方法與MC方法和PCE方法作對比分析，仿真結(jié)果如圖5所示。由仿真結(jié)果可知，基于LRA的Sobol’法的靈敏度結(jié)果與其他兩種方法的結(jié)果基本是一致的，這說明抽樣規(guī)模取200時滿足收斂條件。由圖5可知，基于MC的Sobol’方法的樣本規(guī)模為100 000，而本文提出的方法在較少的抽樣規(guī)模(N=200)條件下保證了計算結(jié)果的精度，且計算效率更高。

(a)FSI計算結(jié)果

由上述分析結(jié)果可知，A4、A1和A5是數(shù)控轉(zhuǎn)臺的關(guān)鍵元動作，根據(jù)“木桶效應(yīng)”，為了提高數(shù)控轉(zhuǎn)臺的可靠性，應(yīng)盡可能使靈敏度較大的元動作的可靠性不發(fā)生顯著變化。因此，提高它們的MTBF，即A4的平均故障間隔時間tMTBFA4=[658,1363]、tMTBFA1=[837,1821]和tMTBFA5=[889,1682]，然后再次對它們的可靠性靈敏度進(jìn)行分析，其結(jié)果如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后元動作的靈敏度結(jié)果Fig.6 Sensitivity results of meta-actions before and after optimization

由圖6可以看出，優(yōu)化后A4的靈敏度明顯比優(yōu)化前下降了，A1和A5優(yōu)化前后的靈敏度差異不大。此外，為了檢驗優(yōu)化效果，以靈敏度標(biāo)準(zhǔn)差作為波動程度的評價標(biāo)準(zhǔn)，通過計算得到優(yōu)化前后的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.160和0.096，這就說明優(yōu)化后的整體靈敏度對系統(tǒng)的影響要小于優(yōu)化前整體靈敏度對系統(tǒng)的影響。

3 結(jié)語

本文利用Sobol’方法分析了元動作對整個傳動系統(tǒng)可靠性的影響程度，利用“功能-運(yùn)動-動作”(FMA)分解得到的元動作作為機(jī)械傳動系統(tǒng)可靠性分配的最小粒度，這有利于減小可靠性分配的工作量，提高分配效率。同時，以元動作對系統(tǒng)的輸出影響作為分配的依據(jù)，避免了影響較小的單元分配較高的可靠性設(shè)計值，從而使得系統(tǒng)可靠性達(dá)到最優(yōu)?；诘碗A逼近(LRA)的Sobol’方法在較少樣本條件下能夠準(zhǔn)確得到元動作對系統(tǒng)可靠性的不確定性輸出響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，為提高數(shù)控轉(zhuǎn)臺的運(yùn)行穩(wěn)定性，對關(guān)鍵元動作的可靠性進(jìn)行了優(yōu)化，從而為可靠性設(shè)計工作提供了指導(dǎo)。

本文從元動作的角度建立了可靠性分配模型，在今后的研究中，為了獲取組成機(jī)械系統(tǒng)所有零件的可靠性設(shè)計值，組成元動作的其他零件(如支撐件、緊固件和傳動件等)的可靠性設(shè)計值也有待進(jìn)一步研究。