李保坤， 程新華， 韓迎鴿

(安徽理工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南232001)

隨著微納米加工技術(shù)的不斷發(fā)展，工件制造日趨微型化和精密化，各種微電子機(jī)械系統(tǒng)(micro electro mechanical system， MEMS)器件相繼出現(xiàn)，這些微工件制造成本低廉，同時具有集成化和多功能化等優(yōu)點(diǎn)，制造產(chǎn)品被廣泛應(yīng)用于航空航天、精密機(jī)械、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1-3]。在MEMS器件的制造過程中，需要測量這些微工件的表面幾何參數(shù)，然而傳統(tǒng)精密測量儀器的測量精度僅有微米級，難以實(shí)現(xiàn)納米級別的分辨率，亟需研究具有優(yōu)良性能的微納坐標(biāo)測量機(jī)以保證工件表面質(zhì)量[4-6]。測頭是測量機(jī)的核心部件[7]，其性能是否優(yōu)良直接決定測量機(jī)的整體性能優(yōu)劣，因此，國內(nèi)外許多研究機(jī)構(gòu)相繼開始研究新型微納測頭。

剛度是微納測頭的重要屬性，目前多數(shù)接觸式測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度不可調(diào)。若微納測頭剛度過大，在測量時極易劃傷工件表面；若測頭剛度過小，容易造成測頭動態(tài)響應(yīng)性能差、諧振頻率低和誤觸發(fā)等。因此，研究具有變剛度性能的約束支撐機(jī)構(gòu)以適應(yīng)測量過程和被測工件的改變，對優(yōu)化測頭的測量力、穩(wěn)健性、工藝性、測量精度和動態(tài)特性等具有重要意義[8-9]。

鑒于測頭約束支撐機(jī)構(gòu)剛度固定的諸多不利影響，Bonello等[10]提出通過改變約束梁的有效長度改變測頭的支撐剛度。文獻(xiàn)[11-13]基于應(yīng)力剛化原理，通過對支撐梁約束端施加軸向載荷來改變約束支撐梁的橫向剛度。Kim等[14]提出通過施加額外載荷放大載荷作用位移來調(diào)節(jié)剛度。Alblalaihid等[15]通過施加預(yù)應(yīng)力的方式提出一種基于三根梁約束支撐的變剛度微納測頭，但未能給出精確的理論剛度模型。

本文利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構(gòu)造出一種三角梁結(jié)構(gòu)型式的變剛度微納測頭。在測量過程中，通過控制壓電驅(qū)動力大小進(jìn)而改變測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的整體剛度，以滿足不同的測量過程和測量對象。當(dāng)測頭接觸被測工件時，要求測頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較小的剛度，避免劃傷被測工件表面，此時壓電疊堆驅(qū)動器輸出壓電驅(qū)動力減小，約束支撐機(jī)構(gòu)整體剛度減小，即將壓電疊堆器輸出力通過柔順機(jī)構(gòu)傳遞至約束支撐梁末端，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的橫向剛度隨支撐梁軸向壓力增大而減小，因此測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的整體剛度減小。當(dāng)測頭趨近或遠(yuǎn)離被測工件時，要求測頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較大的剛度避免誤觸發(fā)，此時壓電疊堆驅(qū)動器停止輸出壓電驅(qū)動力，測頭恢復(fù)初始剛度。因此，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)可通過控制壓電驅(qū)動力大小完成變剛度過程。應(yīng)用最小勢能原理建立測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度模型，利用有限元分析工具驗(yàn)證了理論剛度模型的正確性和該類型測頭約束支撐機(jī)構(gòu)變剛度調(diào)節(jié)的可行性。

1 變剛度約束微納測頭構(gòu)造

壓電驅(qū)動三角梁結(jié)構(gòu)變剛度微納測頭整體構(gòu)型如圖1所示，其由測球、測桿、中心體、約束支撐梁、H型柔性機(jī)構(gòu)、壓電疊堆驅(qū)動器和柔性鉸鏈等部分組成。

圖1 微納測頭結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of micro-nano probe

微納測頭變剛度原理如圖2所示，當(dāng)需要減小約束機(jī)構(gòu)的支撐剛度時，壓電驅(qū)動器輸出驅(qū)動力。圖2中：Ai及Bi(i=1， 2，...，6)處為柔性鉸鏈，易知鉸鏈兩端受力為一對平衡力；由偽剛體模型[16]可知，壓電驅(qū)動器在驅(qū)動過程中，可將AiBi段視為二力桿，壓電驅(qū)動力將沿AiBi連線的方向并通過H型梁作用于約束支撐梁末端，并始終沿支撐梁軸線方向，使得在3個相同壓電驅(qū)動力作用下，中心體受約束支撐梁作用力均勻。此時，在軸向力的擠壓下，約束支撐梁橫向剛度減小，進(jìn)而減小整個約束支撐機(jī)構(gòu)的支撐剛度。若壓電驅(qū)動器停止輸出驅(qū)動力，約束支撐梁及整體支撐機(jī)構(gòu)的剛度恢復(fù)初始狀態(tài)。因此，測頭在使用過程中可通過控制壓電驅(qū)動器輸出作用力大小實(shí)現(xiàn)約束支撐機(jī)構(gòu)的變剛度過程。

圖2 微納測頭變剛度原理Fig.2 Variable stiffness theory of micro-nano probe

測球選用紅寶石，測桿選用碳化鎢，中心體選用鈦合金，約束支撐梁選用鈹青銅，柔性鉸鏈選擇彈簧鋼作為結(jié)構(gòu)材料。微納測頭材料屬性[17-18]如表1所示。

表1 微納測頭材料屬性Table 1 Material property of the micro-nano probe

測頭的測量工作過程見圖3，主要分為3個階段[19]：(1)測頭快速趨近工件；(2)測頭與工件相接觸，完成工件表面位置信號的采集；(3)測量完成，測頭與工件相互分離，測頭恢復(fù)初始位置。

(a) 測頭趨近

(b) 觸碰工作

(c) 測頭遠(yuǎn)離

基于上述測頭的測量工作過程：當(dāng)測頭快速趨近工件時，為保證測頭系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免測頭因慣性力產(chǎn)生誤觸發(fā)，提高測頭的動態(tài)響應(yīng)特性，此時無壓電驅(qū)動力，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較高的剛度[20]；當(dāng)測頭與工件接觸時，由于工件尺寸較小，為避免測頭對工件表面造成劃傷或者破壞，壓電驅(qū)動器輸出作用力，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有較低的剛度；當(dāng)測頭完成測量工作離開工件表面時，為克服工件之間的范德華力[21]，此時壓電驅(qū)動器停止輸出作用力，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)需要具有較高的剛度。

2 微納測頭理論剛度模型

測頭約束支撐機(jī)構(gòu)(即懸掛機(jī)構(gòu))的剛度大小計算方法主要有數(shù)值解法和理論建模法。其中，數(shù)值解法的相關(guān)計算方法也較為成熟，例如，利用有限元方法，根據(jù)支撐機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料特性，可精確得到其支撐剛度。然而，數(shù)值解法難以得到支撐機(jī)構(gòu)的剛度計算解析表達(dá)式，使得在實(shí)際使用過程中，由于測量過程及測量對象的改變，較難以實(shí)時預(yù)測壓電驅(qū)動力大小并對支撐機(jī)構(gòu)的剛度大小進(jìn)行實(shí)時控制。理論建模法則通過相關(guān)數(shù)學(xué)及物理模型構(gòu)建約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度解析表達(dá)式，可對約束支撐機(jī)構(gòu)的剛度值隨壓電驅(qū)動力大小改變情況進(jìn)行實(shí)時預(yù)測，從而對約束支撐機(jī)構(gòu)的變剛度控制提供可能。

根據(jù)上述測量原理，微納測頭的剛度主要由測頭約束支撐機(jī)構(gòu)整體剛度決定，因此需要構(gòu)建該類型微納測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論剛度模型，為實(shí)現(xiàn)其變剛度控制奠定理論基礎(chǔ)。由于約束支撐梁長度遠(yuǎn)大于梁厚度，即為細(xì)長梁，可忽略剪切變形影響，故可基于歐拉-伯努利梁模型對其剛度進(jìn)行建模[22]。假設(shè)約束支撐梁變形在線彈性變形范圍內(nèi)，利用最小勢能原理進(jìn)行求解。

2.1 垂直剛度建模

微納測頭約束支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖4所示。為便于分析，建立全局固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與中心體中心層圓心初始位置重合，x軸正向沿中心體其中一根連接軸的軸向方向，z軸正向豎直向下，y軸方向由右手法則確定。其中：中心體幾何中心到約束梁中心線距離為wi，中心體寬度為wd；約束支撐梁長度為l，寬度為wb，厚度(z向)為tb；測桿末端至坐標(biāo)系原點(diǎn)距離為ls。

圖4 微納測頭約束支撐機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.4 Structure parameters of supporting mechanism of the micro-nano probe

圖5 單根約束支撐梁及測頭受z軸向測量力力學(xué)分析Fig.5 Force analysis of one supporting beam and the probe applied by z-directional force

選取C1-C2段約束支撐梁進(jìn)行受力分析并進(jìn)行剛度建模，由于結(jié)構(gòu)對稱性，其他約束支撐梁應(yīng)具有相同的垂直剛度(z軸向剛度)。建立如圖5所示的局部坐標(biāo)系，當(dāng)微納測頭受到垂直方向(z軸向)測量力Fmz作用時，每根約束支撐梁受相同的z軸向測量分力Fz，即Fmz=6Fz。約束支撐梁與柔順機(jī)構(gòu)和中心體之間的連接均可分別視為對支撐梁的固定約束。

約束支撐梁的變剛度過程主要發(fā)生彎曲變形和軸向擠壓變形，因此建立約束支撐梁彎曲試函數(shù)[23]，如式(1)所示。

w(x)=a1x2+a2x3

(1)

式中：a1、a2為待定系數(shù)，其值可根據(jù)約束支撐梁邊界條件和總勢能泛函求得。

應(yīng)用最小勢能原理，梁的位移邊界條件為

(2)

計算邊界條件得：

(3)

約束支撐梁的總勢能泛函為

Fzw(l)-Mw′(l)

(4)

式中：E為約束支撐梁彈性模量；M為中心體對約束支撐梁作用彎矩；P為支撐梁約束端所受軸向壓力；I為截面慣性矩，其大小如式(5)所示。

(5)

聯(lián)立式(1)～(5)得：

(6)

(7)

2.2 橫向剛度建模

微納測頭橫向受力如圖6所示，每根約束支撐梁兩端均為固定約束。當(dāng)微納測頭受到橫向測量力作用時，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)主要發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，設(shè)測頭彎曲角度和扭轉(zhuǎn)角度分別為θ和α。測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的橫向剛度Ky可由柔性梁彎曲變形對測頭及中心體造成的轉(zhuǎn)動剛度(簡稱彎曲剛度，記為Kb，下同)和柔性梁扭轉(zhuǎn)變形對測頭及中心體造成的轉(zhuǎn)動剛度(簡稱扭轉(zhuǎn)剛度，記為Kt，下同)相加得到，即有：

Ky=Kb+Kt

(8)

圖6 微納測頭橫向受力圖Fig.6 Lateral force diagram of the micro-nano probe

2.2.1 彎曲剛度計算

微納測頭橫向彎矩示意如圖7所示。由于結(jié)構(gòu)對稱性，以發(fā)生彎曲變形的C3-C4段約束支撐梁為例，計算約束支撐梁對中心體的彎矩，如圖8所示。

圖7 微納測頭橫向彎矩示意圖Fig.7 Lateral moment diagram of the micro-nano probe

圖8 約束支撐梁在橫向測量力作用下的彎曲變形圖Fig.8 Bending deformation diagram when the supporting beam is applied by the lateral force

由于測頭受橫向測量力時，約束支撐梁均為細(xì)長梁，且梁受載荷情況與邊界條件一致，由式(7)得到單根梁受軸壓和彎矩作用下的剛度Kbe如式(9)所示。

(9)

約束支撐機(jī)構(gòu)彎矩平衡示意圖如圖9所示，其中Fbi(i=1， 2， 3)為約束支撐梁對中心體的反饋力。

圖9 約束支撐機(jī)構(gòu)彎矩平衡示意圖Fig.9 Moment balance diagram of the supporting mechanism

對于C1-C2段約束支撐梁，C1處撓度為

(10)

C1所受彎矩M1

(11)

對于C3-C4段約束支撐梁，C3處力臂為

(12)

C3處的撓度為

(13)

C3所受彎矩為

(14)

對于C5-C6段約束支撐梁，C5處力臂為

(15)

C5處的撓度為

(16)

C5所受彎矩為

Kbetanθ

(17)

由于約束梁所受彎矩M1、M2、M3將作用于中心體上，得到中心體力矩平衡方程如式(18)所示。

Fmyls=2M1+2M2+2M3

(18)

測頭位移與偏轉(zhuǎn)角存在如式(19)所示的三角函數(shù)關(guān)系，由于測頭受橫向載荷時偏轉(zhuǎn)角較小，故tanθ≈θ。

dy=lstanθ≈lsθ

(19)

聯(lián)立式(11)、(14)、(17)、(18)及(19)得到彎曲剛度Kb，如式(20)所示。

(20)

2.2.2 扭轉(zhuǎn)剛度計算

圖7中C3-C4段約束支撐梁受扭轉(zhuǎn)作用發(fā)生變形如圖10所示。

如圖10(a)所示，設(shè)約束支撐梁繞局部坐標(biāo)系x2y2z2中x2軸的扭轉(zhuǎn)力矩為T，沿x2軸的軸向壓力為P。這里選取前兩項(xiàng)三角級數(shù)作為轉(zhuǎn)角函數(shù)的試函數(shù)，如式(2)所示。

(a) 扭轉(zhuǎn)變形

(b) 軸向微元變形

(c) 扭切截面變形

(21)

式中：c1、c3為待定系數(shù)。

根據(jù)最小勢能原理，約束支撐梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)邊界條件[24]為

(22)

根據(jù)圖10(b)、(c)得到約束梁的微元位移函數(shù)為

w(x)=θ(x)y

(23)

約束支撐梁在軸向壓力和扭轉(zhuǎn)力矩作用下的總勢能泛函為

Tθ(l)

(24)

式中：G為剪切模量；J為矩形截面慣性矩。

由最小勢能原理可知，任意滿足位移邊界條件的試函數(shù)中，如果試函數(shù)范圍內(nèi)沒有精確的包含真實(shí)位移函數(shù)，那么在加權(quán)殘值最小的條件下，對平衡方程和力的邊界條件求得最佳逼近試函數(shù)的一組解，使得總勢能泛函為最小值。因此，對約束支撐梁總勢能泛函取極小值，將式(21)～(23)代入式(24)，令

(25)

由式(21)～(25)得

(26)

根據(jù)式(21)和(26)得到單根約束支撐梁繞自身軸心線的扭轉(zhuǎn)剛度Ket，如式(27)所示。

(27)

測頭與支撐梁扭矩平衡示意如圖11所示。

圖11 測頭與支撐梁扭矩平衡示意圖Fig.11 Torsion balance diagram of the probe and supporting mechanism

對于C3-C4段梁Q處的相對x軸轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)半徑為

(28)

Q處相對x軸轉(zhuǎn)動的撓度為

(29)

對于C3-C4段梁R處相對x軸轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)半徑為

(30)

R處相對x軸轉(zhuǎn)動的撓度為

(31)

由于C3-C4段約束支撐梁受扭轉(zhuǎn)作用，該梁與中心體連接的末端Q處與R處相對x軸轉(zhuǎn)動的撓度差為

(32)

C3-C4段梁扭轉(zhuǎn)角α為

(33)

由于測頭受橫向載荷時偏轉(zhuǎn)角較小，故偏角sinα≈α， tanθ≈θ，因此式(33)變?yōu)?/p>

(34)

受扭轉(zhuǎn)和軸壓作用的C3-C4段梁的扭矩T=αKet， 即有

(35)

由于結(jié)構(gòu)對稱性，根據(jù)中心體力矩平衡方程可得

Fmyls=4Tcos 30°

(36)

聯(lián)立式(19)、(35)、(36)得到扭轉(zhuǎn)剛度Kt如式(37)所示。

(37)

令Kz=Ky，得測頭剛度各向同性時所需的壓電驅(qū)動力Piso為

(38)

而

P=Piso

(39)

將式(39)代入式(7)，即可求得各向同性剛度的大小。當(dāng)壓電驅(qū)動器輸出作用力如式(38)所示，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)處于剛度各向同性狀態(tài)，有利于減小測量的不確定度[25]。

3 數(shù)值舉證與仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

三角梁微納測頭尺寸參數(shù)如表2所示，為分析上述剛度模型的正確性，利用有限元工具加以驗(yàn)證。

表2 微納測頭結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structure parameters of micro-nano probe mm

根據(jù)表2所示的微納測頭結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的仿真模型并進(jìn)行有限元仿真，在支撐梁末端分別施加固定約束，對測球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測量力，微納測頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖12和13所示。

圖12 當(dāng)P=0 N和z軸向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.12 The displacement of the probe when P=0 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖13 當(dāng)P=0 N和橫向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.13 The displacement of the probe when P=0 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖12和13可知，當(dāng)微納測頭不受壓電驅(qū)動力作用時，即P=0 N時，測頭的初始垂直剛度和橫向剛度分別為8.734 8和5.172 2 mN/μm。

由于壓電驅(qū)動力對應(yīng)于支撐梁約束端所受不同軸向壓力，利用式(7)、(8)和有限元工具分別獲得測頭約束支撐機(jī)構(gòu)在支撐梁約束端所受不同軸向壓力情況下的垂直剛度、橫向剛度的理論值和仿真值，如圖14所示。

圖14 測頭剛度隨支撐梁約束端受軸向壓力的變化Fig.14 Probe stiffness variation versus the force applied on the restrained end of the supporting beam

由圖14可知，當(dāng)壓電驅(qū)動力的范圍為0≤P≤Piso時，測頭剛度隨著支撐梁約束端所受軸向壓力的增大而減小，測頭支撐剛度與支撐梁約束端所受軸向壓力呈線性關(guān)系，支撐梁約束端所受軸向壓力越大，約束支撐剛度越小，而壓電驅(qū)動力通過柔順機(jī)構(gòu)傳遞至支撐梁約束端，直接影響約束端所受軸向壓力大小，故可通過控制壓電輸出力來控制測頭的約束支撐剛度。當(dāng)Piso≤P≤Pcry(臨界載荷)時，此時測頭極易在任意微小擾動下發(fā)生彎曲失穩(wěn)，因此，對測頭施加的壓電驅(qū)動力應(yīng)當(dāng)小于Pcry，其值可通過令式(7)或(8)為0求得。

采用平均相對誤差公式計算測頭約束支撐剛度的理論值和仿真值的平均相對誤差，如式(40)所示。

(40)

式中：S為平均相對誤差；Xj為仿真值；Yj為理論值；n為取值點(diǎn)數(shù)。

由式(7)、(8)分別計算得到垂直剛度Kz與橫向剛度Ky，結(jié)合仿真結(jié)果，利用式(40)分別計算兩種剛度的理論值和仿真值之間的平均相對誤差分別為4.40%和5.41%。

將表2微納測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(7)或(8)計算得到約束支撐機(jī)構(gòu)發(fā)生屈曲時所需的壓電驅(qū)動力Pcry的理論值為3.16 N，而約束支撐機(jī)構(gòu)剛度各向同性時所需的理論壓電驅(qū)動力值Piso為3.05 N。因此，對約束梁施加3.05 N的壓電驅(qū)動力使得測頭約束支撐機(jī)構(gòu)達(dá)到剛度各向同性，不會發(fā)生約束梁失效及屈曲的現(xiàn)象。

根據(jù)有限元分析工具得到測頭剛度各向同性時所需的壓電驅(qū)動力Piso的仿真值為2.98 N。因此，測頭達(dá)到剛度各向同性時所需壓電驅(qū)動力Piso的理論值與仿真值相對誤差為2.3%。在約束梁末端分別施加P=2.98 N的壓電驅(qū)動力，對測球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測量力，微納測頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖15和16所示。

圖15 當(dāng)P=2.98 N和z軸向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.15 The displacement of the probe when P=2.98 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖16 當(dāng)P=2.98 N和橫向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.16 The displacement of the probe when P=2.98 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖15和16可知，當(dāng)施加P=2.98 N的壓電驅(qū)動力時，對比測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的初始剛度可知，測頭具有顯著的變剛度效果，且測頭約束支撐機(jī)構(gòu)具有各向同性剛度，測頭的垂直剛度為0.299 9 mN/μm，測頭的橫向剛度為0.301 8 mN/μm。根據(jù)式(7)和(38)，當(dāng)施加P=3.05 N的壓電驅(qū)動力時，測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論各向同性剛度值為0.294 9 mN/μm。由此表明，測頭理論剛度和仿真結(jié)果較為符合，構(gòu)建的測頭剛度模型是正確的，為該類型的變剛度控制奠定了前期理論基礎(chǔ)。

4 結(jié) 論

(1) 利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構(gòu)造了一種新型對稱結(jié)構(gòu)的三角梁變剛度約束微納測頭。

(2) 構(gòu)建測頭中心體力矩平衡方程，基于最小勢能原理得到測頭約束支撐機(jī)構(gòu)的理論剛度模型，基于該模型進(jìn)一步得到了微納測頭具有各向同性剛度時所需的壓電驅(qū)動力大小。

(3) 給定約束支撐機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，應(yīng)用有限元仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了理論剛度模型的正確性，得到了約束梁發(fā)生失效時的臨界屈曲載荷，對研制出該類型測頭的樣機(jī)并開展變剛度控制試驗(yàn)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。