劉應(yīng)平 喬志成

一年一度的中考數(shù)學(xué)壓軸題，既是命題者頭痛的“磨難”命制，更是考生心有余悸的“傷痛”.如何處理好命題人的出題心理和考生的答題心理，對(duì)中考?jí)狠S題的命題研究就是一件必不可少的實(shí)踐活動(dòng).本文以2021年山西省中考數(shù)學(xué)壓軸題為載體，回顧命題過程，暴露命題思維，展示命題藝術(shù)，思考命題導(dǎo)向和教學(xué)改革.

【命題思考】

1.命題設(shè)想

為了充分發(fā)揮中考?jí)狠S題的考查功能和選拔作用，命題組確定了“用廣度、深度、梯度來增加試題區(qū)分度和難度”的出題思路，以及突出考查學(xué)生核心素養(yǎng)水平的目標(biāo)為宗旨.通過布局點(diǎn)和線實(shí)現(xiàn)空間圖形與函數(shù)問題的結(jié)合;通過由靜到動(dòng)的探索過程拓展試題的深度;通過具有內(nèi)在聯(lián)系的問題串逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，鋪設(shè)合理的梯度;采用探究性題型達(dá)到思維路徑、解題方法的開放性.于是形成如下出題方案：

（1）布局點(diǎn)和線等基本元素，形成常見的幾何圖形，有利于考查學(xué)生的幾何直觀能力.另外，兼顧運(yùn)算量，避免繁難計(jì)算造成的解題思維障礙.

（2）先設(shè)置關(guān)于定點(diǎn)、定線的問題，引導(dǎo)學(xué)生建了立方程模型解決問題，再圍繞動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線設(shè)置問題以探索萬變中的“不變量"或“不變關(guān)系"，并利用函數(shù)模型分析解決.

（3）關(guān)注問題串的層次，強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化對(duì)學(xué)生抽象、邏輯推理的考查.

2.搭建框架

命題組決定選取2018年山西省中考數(shù)學(xué)試卷第23題作為題源，圍繞考點(diǎn)進(jìn)行改編.不改變開口方向的情況下，適當(dāng)改變拋物線解析式的表達(dá)式，同樣將它與x軸、y軸交點(diǎn)作為基礎(chǔ)條件，確定直線AC、BC的函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)算量低，拋物線的形狀寬窄適度.這三點(diǎn)與原點(diǎn)結(jié)合形成了常見的直角三角形，可以考查學(xué)生的運(yùn)算能力.接下來選擇拋物線和直線搭配，讓問題更豐滿.可是讓直線運(yùn)動(dòng)還是讓拋物線運(yùn)動(dòng)呢？命題組經(jīng)歷幾番討論，選取兩者交點(diǎn)“兩定兩動(dòng)”的模型.

3.琢磨完善

動(dòng)態(tài)問題對(duì)學(xué)生的思維是極富挑戰(zhàn)性的，怎樣為學(xué)生放置指示思維方向的路標(biāo)成為命題思考的焦點(diǎn)，命題者從山西省近幾年的考情分析入手，著重如下三方面考慮，一是改變動(dòng)點(diǎn)P的位置，由第四象限轉(zhuǎn)入第三象限，轉(zhuǎn)換角度以調(diào)整思路;二是存在性問題，山西五年分別考了線段中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、等腰三角形、全等三角形、平行四邊形等數(shù)學(xué)模型，確定考查特殊四邊形模型為命題的思考方向，即選擇“菱形存在性”.那么怎樣設(shè)置命制這類考題呢？需要命題組弄清楚“菱形存在性”問題的本質(zhì)是等腰三角形的存在性.這類菱形存在性問題，首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)菱形的性質(zhì)，又只是教材上關(guān)于菱形的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，還要把菱形與等腰三角形聯(lián)系起來，思考菱形的對(duì)角線將菱形分成的三角形都為等腰三角形這一性質(zhì)，這樣就可以把菱形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題，而探究等腰三角形們存在，往往是已知兩個(gè)定點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)待定，這時(shí)需要以兩個(gè)定點(diǎn)的連線段為邊、對(duì)角線分別討論，確定第三個(gè)頂點(diǎn)的不同位置;在此基礎(chǔ)上再研究菱形的第四個(gè)頂點(diǎn)的位置.等學(xué)生都熟練掌握了菱形的存在性問題如何探求之后，再把原問題中的無關(guān)線條、圖形通過刪減和重新畫圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)排除干擾，開展目標(biāo)解析，逐個(gè)突破，攻克這類問題;三是結(jié)合命題設(shè)想尋找運(yùn)動(dòng)過程中的不變量.由于拋物線的解析式確定，頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸的表達(dá)式以及△ABC的圖形也被唯一確定，這些都成為題目的不變量.于是命題組抓住△ABC的面積是定值這一條件，緊緊圍繞過點(diǎn)P作BC的平行線l運(yùn)動(dòng)過程中，得到的動(dòng)態(tài)△DMN，若其面積與△ABC的面積相等時(shí)，則線段DM之長(zhǎng)為多少.這樣，命題組集體逐小題共同審核，從試題的表述到試題的格式再到試題的解答等逐一審核，確保無誤.使本試題進(jìn)一步得到完善，變得更為科學(xué)規(guī)范.

通過以上三方面的考慮，針對(duì)學(xué)生的差異性，從搭建破題階梯思考，有效設(shè)置了三個(gè)小問題，其中第（1）問針對(duì)全體學(xué)生提出考查較低要求的數(shù)學(xué)抽象和運(yùn)算能力，只要積極思考動(dòng)筆，90%的學(xué)生都可獲得該分值;第二問的兩小題是為學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生提供的考試路標(biāo)，即讓學(xué)生會(huì)處理動(dòng)手和動(dòng)腦之間的關(guān)系，通過作圖構(gòu)造幾何模型，來考查學(xué)生動(dòng)手操作圖形的能力，通過分類討論的思想方法，考查學(xué)生思維的周密性，通過建構(gòu)方程模型，有意向?qū)W生滲透“動(dòng)中有靜、靜中有動(dòng)”對(duì)立的辯證思想.總之，本考題將“方程—函數(shù)—幾何—?jiǎng)狱c(diǎn)（線）”相結(jié)合，綜合創(chuàng)新命題，全面考查學(xué)生核心素養(yǎng).

【答題分析】

從學(xué)生答題心理分析：由于題中給出不帶參數(shù)的二次函數(shù)解析式，降低了試題的難度，學(xué)生很容易從圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，獲得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣直線AC、BC的函數(shù)表達(dá)式就一目了然;對(duì)于第（2）兩小題，一方面考生必須明白它屬于"兩定十兩動(dòng)”菱形模型的存在性問題.解答時(shí)，應(yīng)著眼于虛擬一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圍成一個(gè)三角形，過三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條線兩兩相交，就可以確定菱形的第四個(gè)頂點(diǎn)，但是題中明確告知過動(dòng)點(diǎn)D的動(dòng)直線l∥BC，所以第四個(gè)頂點(diǎn)不外乎與動(dòng)直線l∥BD或l∥CD的情況下獲取的;另一方面考生能通過對(duì)稱軸方程和兩直線方程與已知圖形面積相等條件確定M、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過兩點(diǎn)間的距離公式或勾股定理求得線段DM之長(zhǎng).這不但有效地考查了數(shù)形丶方程、函數(shù)、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想提煉數(shù)學(xué)模型的能力，而且考查了學(xué)生綜合分析丶判斷、解決問題的能力.

【命題導(dǎo)向】

1.核心素養(yǎng)的考查

經(jīng)過數(shù)次的反思與修改，圍繞學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，形成了這樣一道壓軸題.從中筆者感悟到省命題組所展示的中考?jí)狠S題通過探究能更好地凸顯對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，而且這樣的探究性題目最好采用“選擇基本圖形，研究變化規(guī)律，適度調(diào)整條件，探究設(shè)問方向”的方法，通過不斷嘗試，形成試題，體現(xiàn)了以下三點(diǎn)要義：

“選擇基本背景.”選擇一個(gè)具有良好數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的背景，改變適當(dāng)?shù)膱D形條件，就可以創(chuàng)造出一個(gè)新的試題.在二次函數(shù)、一次函數(shù)的組合背景中，分別選擇三角形、特殊四邊形作為研究角度進(jìn)行嘗試，在嘗試中發(fā)現(xiàn)拋物線對(duì)稱軸的研究?jī)r(jià)值，將動(dòng)直線與對(duì)稱軸的存在性聯(lián)系起來，增加題目分析過程的復(fù)雜性，從而給出全新的形式，加大考查探究與發(fā)現(xiàn)能力的力度.

“設(shè)置考查問題.”試題的問題設(shè)置應(yīng)該呈現(xiàn)問題研究的過程.在最后一問確定后，應(yīng)該設(shè)置研究這一問題的思維臺(tái)階或知識(shí)鋪墊，使試題呈現(xiàn)出問題解決的研究過程，即試題問題的設(shè)問呈現(xiàn)循序漸進(jìn)的爬坡感，讓不同水平的學(xué)生充分展示自己不同的探究深度.如直線AC、BC的函數(shù)表達(dá)式的求解，為第（2）提供研究的基礎(chǔ).第（2）①問的求解，一方面關(guān)注BD、DC的研究，另一方面解決過程中，需要利用線段的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解決，也為最后一問利用基本圖形中蘊(yùn)含的基本結(jié)論轉(zhuǎn)化為方程解決提供了解題思路，以利于學(xué)生展示自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面所取得的成就.

“體現(xiàn)教學(xué)導(dǎo)向.”選擇學(xué)生熟悉的圖形來立意綜合題，以菱形、拋物線對(duì)稱軸的判斷為載體，將一次函數(shù)與二元一次方程組、二次函數(shù)與一元二次方程、三角形與勾股定理丶平行四邊形與菱形、面積與方程、點(diǎn)的位置與坐標(biāo)等核心知識(shí)，通過圖形變化聯(lián)系在一起，借助分類討論、建構(gòu)方程等形式，很好地實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的整合，突出考查了學(xué)生分析問題及解決問題的思維過程，從而發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向功能，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注核心知識(shí)，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式、教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)活動(dòng)中重視自主探究，在觀圖、識(shí)圖、用圖及推理計(jì)算中建立教學(xué)活動(dòng)的過程，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的形成教學(xué).

2.命制目標(biāo)的達(dá)成

命制中考試題能體現(xiàn)命題者的學(xué)科智慧和專業(yè)素養(yǎng)，更能體現(xiàn)命題者的人文關(guān)懷和工匠精神.特別是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提岀之后，怎樣讓學(xué)生用數(shù)學(xué)方法研究世界，用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界成為數(shù)學(xué)教師研究的新命題.本考題命制過程中，“緊扣基礎(chǔ)、拓展廣度、調(diào)節(jié)深度、考查適度”的理念貫穿始終.初中階段研究坐標(biāo)系中問題往往以“點(diǎn)”為依托，通過幾個(gè)特殊位置的點(diǎn)搭建線和形是初中生研究坐標(biāo)系問題的基礎(chǔ)所在.同時(shí)，我們還關(guān)注了兩個(gè)方面：一是知識(shí)的廣度，方程、一次函數(shù)丶二次函數(shù)三角形、平行四邊形、菱形、方程模型、函數(shù)建模等;二是數(shù)學(xué)模型、轉(zhuǎn)換與化歸，特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、分類討論、類比等思想方法，三是初高中知識(shí)銜接的拓展，一條明線是引入?yún)?shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題，一條暗線是直線束問題.調(diào)節(jié)深度、考查適度與我們常說的難度是兩回事.如考題中的第（2）問的運(yùn)算數(shù)據(jù)就非常簡(jiǎn)潔，重點(diǎn)考查學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，而不是考查運(yùn)算能力.因此，就要降低運(yùn)算的難度，使得考查更加適度合理.

【總結(jié)評(píng)價(jià)】 中考數(shù)學(xué)壓軸題的命制方法很多，本文只探討其通常性、一般性的命題方法.縱觀近年來出現(xiàn)的中考數(shù)學(xué)壓軸題，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、思考辨別能力及運(yùn)用知識(shí)和方法解決問題的能力.總之，壓軸題的命制對(duì)命題者的要求越來越高，需要命題者以獨(dú)特的視角看每一個(gè)數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)素材，“別出心裁”地命制出與時(shí)俱進(jìn)的好題;還應(yīng)繼承傳統(tǒng)，深入研討經(jīng)典考題的命題思路及解法，深入挖掘經(jīng)典題型的隱形關(guān)系，使“老題”發(fā)出“新方法”，長(zhǎng)出“新知識(shí)”，永久保持活力，實(shí)現(xiàn)壓軸題命制的新突破.

作者簡(jiǎn)介 劉應(yīng)平（1964—），男，山西柳林人，正高級(jí)教師，山西省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，呂梁市優(yōu)秀專家.發(fā)表論文百余篇，其中被中國人大資料中心《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載15篇.

喬志成（1978—），男，山西離石區(qū)人，中學(xué)數(shù)學(xué)二級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.基于確定性下的尺規(guī)作圖伊犁州2019—2021年度教育科研規(guī)劃項(xiàng)目立項(xiàng)課題——初中學(xué)生利用數(shù)學(xué)作業(yè)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的教學(xué)研究（YLJYKT2019-095）.