戴婷婷

摘要：思考復(fù)習(xí)課上的困惑，提出發(fā)展邏輯推理能力需要知行合一.在完善知識結(jié)構(gòu)方面，提出建立下游命題系統(tǒng)和上游命題系統(tǒng)，提煉基本圖形;在形成解題策略上，提出把握圖形之間的關(guān)系，聚合發(fā)散性成果和反思解題過程.

關(guān)鍵字 邏輯推理;聯(lián)想;轉(zhuǎn)化

初中是發(fā)展邏輯推理能力的關(guān)鍵期，平面幾何是其發(fā)展的最佳載體.很多人愛好數(shù)學(xué)都是從學(xué)習(xí)平面幾何開始的.學(xué)生喜歡幾何圖形的豐富多變，同時又畏懼平面幾何的證明，表現(xiàn)為證明思路難以形成和容易想當(dāng)然，追根究底還是邏輯推理能力上的欠缺.因此，如何通過平面幾何有效發(fā)展邏輯推理能力值得數(shù)學(xué)教師深入思考與實(shí)踐.

1 復(fù)習(xí)課上的困惑

筆者曾在復(fù)習(xí)課中讓學(xué)生證明如下問題：

如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓分別交邊AC，BC于點(diǎn)D，E，連接BD.求證：點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).

此題來源于教材，原題如下：

如圖2，等腰三角形ABC的頂角∠BAC為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.求BD，DE和AE的度數(shù).

教學(xué)困惑 復(fù)習(xí)課上的證明題只是將原題的圖形換一個方向，結(jié)果很多學(xué)生就想不到證明思路.原題的圖形是等腰三角形的底邊朝下的標(biāo)準(zhǔn)形式，學(xué)生容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì).換方向后，學(xué)生失去了幾何直覺，會想到連結(jié)DE去證明BE=DE.如果學(xué)過圓內(nèi)接四邊形，學(xué)生容易證得∠CDE=∠ABC，進(jìn)而得到∠C=∠CDE，再得出∠BDE=∠DBE.但現(xiàn)在還沒教過，學(xué)生想連結(jié)DE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，但一直無法說明點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).為何在課堂上講過例題，總結(jié)過方法，在練習(xí)中仍想不出解題思路呢？為什么學(xué)生一直想著利用弦等推弧等，卻想不到圓周角等轉(zhuǎn)化成弧等？

教學(xué)思考 改變圖形的方向是一個不容忽視的變式，它足以讓學(xué)生蒙蔽于表象，想不起先前的解題經(jīng)驗(yàn).學(xué)生的思維方向較單一，往往利用已有的經(jīng)驗(yàn)去解題.原題在課堂上讓學(xué)生證明△CDE是等腰三角形，并且發(fā)現(xiàn)斜中點(diǎn)模型.因此，學(xué)生首先想到的是連結(jié)DE，但發(fā)現(xiàn)利用現(xiàn)有的知識不好證明.另外，對數(shù)學(xué)定理的掌握程度決定了學(xué)生優(yōu)先選擇的思維方向.學(xué)生對圓心角定理的逆定理比圓周角定理的推論掌握得好，并且弦的位置離弧的位置最近，所以先想到證明弦等.而且學(xué)生缺少解題策略，往往走入了死胡同還要一條路走到黑.因此，學(xué)生的邏輯推理能力亟待加強(qiáng)，不僅需要知識的儲備，方法經(jīng)驗(yàn)的積累，更需要策略上的指導(dǎo).

2 完善知識結(jié)構(gòu)

2.1 建立下游命題系統(tǒng)[1]

邏輯推理的一個重要方向是由因?qū)Ч从蓡栴}的條件推出相應(yīng)的結(jié)論.這就需要儲備與這個條件相關(guān)的定理，才能在解決問題時從知識儲存庫中提取定理，聯(lián)想對應(yīng)的結(jié)論.學(xué)生的知識往往較為零散，需要有意識地進(jìn)行梳理，可以借助思維導(dǎo)圖等工具總結(jié)一個條件所能推出的所有結(jié)論，這樣才能讓思維發(fā)散，形成多條解題路徑.

如例題中的條件“AB=AC”，會觸發(fā)我們聯(lián)想等腰三角形的所有性質(zhì)，由“等腰三角形的底角相等”推出∠ABC=∠C，由“等腰三角形三線合一”想到連結(jié)AE，得出高線，角平分線和中線.條件“以AB為直徑”讓人想到“直徑所對的角是直角”，得到∠ADB=90°，或連結(jié)AE得到∠AEB=90°.再結(jié)合剛才“等腰三角形三線合一”推出BE=CE，∠BAE=∠CAE.再由中間結(jié)論“∠BAE=∠CAE”聯(lián)想到“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，推出點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).只要審題時浮想聯(lián)翩，讀完已知條件的時候，發(fā)現(xiàn)結(jié)論早已證明完畢.

2.2 建立上游命題系統(tǒng)[1]

解題的另一個重要方向是執(zhí)果索因，即由問題的結(jié)論倒推需要先證明什么.這也需要有意識地對定理進(jìn)行梳理，借用思維導(dǎo)圖總結(jié)推出一個結(jié)論可以由哪些條件推得.這樣在實(shí)際解題的時候，就能把結(jié)論轉(zhuǎn)化為中間結(jié)論，不斷轉(zhuǎn)化，直到和已知聯(lián)系在一起.

如例題中的結(jié)論“點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)”，促使我們從知識儲備庫里提取結(jié)論是弧等的定理.（1）若想到垂徑定理，則需要先證明OE⊥BD，或OE平分BD.根據(jù)前面的推理得出的中間結(jié)論“∠ADB=90°”，則只需證明OE∥AD即可.要證明OE∥AD，聯(lián)想平行線的判定方法如“同位角相等，兩直線平行”，“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，三角形的中位線和平行四邊形的性質(zhì).再結(jié)合中間結(jié)論“∠ABC=∠C”，思考∠OEB與∠ABC的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由半徑相等構(gòu)造等腰三角形即可得出.（2）若想到“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，即可把結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明∠BAE=∠CAE.再結(jié)合“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)，就能形成解題路徑.（3）若聯(lián)想到圓心角定理的逆定理，則可把弧等轉(zhuǎn)化為證明BE=DE，或∠BOE=∠DOE.若要證明BE=DE，則需先證明∠C=∠CDE.由中間結(jié)論“∠C=∠ABC”，思考∠CDE與∠ABC的關(guān)系，聯(lián)想“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”即可證明.若要證明∠BOE=∠DOE，則需證明OE∥AD，連結(jié)OD，得出∠OAD=∠ADO.證明OE∥AD，還需先證明OE是中位線.由此發(fā)現(xiàn)，執(zhí)果索因如果結(jié)合已知條件推出的中間結(jié)論，會更容易形成解題路徑.

2.3 提煉基本圖形

基本圖形是心理學(xué)上的一種圖式.人的短時記憶只有7±2的容量，為了提高頭腦的工作效率，可以把定理或解題經(jīng)驗(yàn)濃縮成基本圖形來記憶.基本圖形包含了圖形的條件和結(jié)論，識別出基本圖形，便能直接從條件推導(dǎo)出結(jié)論，縮短了解題路徑的長度.

如例題的圖形中包含了等腰三角形三線合一模型如圖3，直徑所對的圓周角是直角模型如圖4，中位線模型如圖5，雙平模型如圖6，斜中點(diǎn)模型如圖7，圓內(nèi)接四邊形模型如圖8，等弧所對的圓周角相等模型如圖9，同弧所對的圓周角相等模型如圖10，等積法模型如圖11，公共角相似三角形模型如圖12，半徑相等構(gòu)等腰模型如圖13，垂徑定理模型如圖14.觀察出基本圖形，就容易將問題的條件轉(zhuǎn)化成中間結(jié)論，或?qū)⒆罱K結(jié)論轉(zhuǎn)化成中間結(jié)論.

3.1 把握圖形之間的關(guān)系

我們教師平時喜歡在解題方法上進(jìn)行引導(dǎo)，如啟發(fā)學(xué)生思考由條件聯(lián)想到什么？要證明結(jié)論得先證明什么？然而，學(xué)生遇到新問題時又常常無從下手.所以，學(xué)生更缺乏的是具體問題具體分析的能力，即讀圖的能力.復(fù)雜圖形總是由基本圖形組合而成，其中的元素常常具有雙重角色，讀懂了便容易在兩種角色之間互相轉(zhuǎn)化.

如例題中的圖形是由圓和等腰三角形組合而成，點(diǎn)A，B既是等腰三角形的頂點(diǎn)，又是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)E既是底邊上的中點(diǎn)又是圓上一點(diǎn).線段AB既是等腰三角形的腰，又是圓的直徑，BD是圓上的一段弦又是等腰三角形腰上的一段高.∠A和∠ABC既是等腰三角形的內(nèi)角，又是圓周角.讀圖后，便容易將一個元素放入兩個背景圖形中考慮.如求線段BD的長就不僅考慮在等腰三角形中用等積法或勾股定理，也要考慮在圓中可以用垂徑定理求弦長.計算過程中易于在兩個不同背景圖形中切換，提高思維的流暢性.

3.2 聚合發(fā)散性成果

大多數(shù)學(xué)生都能從條件推出些中間結(jié)論，也都能從最終結(jié)論倒推出中間結(jié)論，卻少有人能真正打通解題路徑.這首先與學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)有關(guān)，不少學(xué)生思維路徑單一，沒有聯(lián)想到與條件相關(guān)的其他定理，思維方向比較偏就難以找到中間結(jié)論的聯(lián)系點(diǎn).所以，平時要讓學(xué)生把數(shù)學(xué)定理掌握扎實(shí)，養(yǎng)成浮想聯(lián)翩的習(xí)慣.要能以條件和結(jié)論為中心，發(fā)散地思考出相關(guān)的內(nèi)容.

其次，要根據(jù)解題方向聚合發(fā)散性成果.從結(jié)論出發(fā)往往更有目的性，要善于將結(jié)論不斷轉(zhuǎn)化，直到和中間結(jié)論接軌為止.在轉(zhuǎn)化時，要用思維自覺地監(jiān)控和控制自己的解題行為，在挑選策略或思維受阻時用元認(rèn)知提示語[2]提示：“這個思考方向能最終解決問題嗎？”“沿著哪條思路能達(dá)到解題目標(biāo)？”“要暫停，試試其他解題方向嗎？”“離最終解決問題還有多遠(yuǎn)？”“重新閱讀條件，是不是漏掉了哪個條件？”通過元認(rèn)知提示語不斷地調(diào)節(jié)思維的方向，最終到達(dá)目的地.

3.3 反思解題過程

摸索解題路徑的過程是一筆寶貴的財富，反思思維過程能得到很多數(shù)學(xué)直覺和解題策略上的經(jīng)驗(yàn).一是總結(jié)不同條件組合下，不同圖形之間最重要的聯(lián)系紐帶是什么，與之相關(guān)的定理有哪些.如例題是等腰三角形與圓的組合，等腰三角形三線合一的性質(zhì)就是思維的切入點(diǎn).二是證明一個結(jié)論往往有哪些解題路徑，把這個證明過程存入經(jīng)驗(yàn)儲備庫中，以后遇到類似的問題，就可以轉(zhuǎn)化來解決.如例題是證明弧等，下次除了想到弦等推弧等，也會想到圓周角相等推弧等.三是反思思維受阻時的做法，總結(jié)最佳的處理方式，完善解題策略.如例題中想證明BE=DE受阻時，若要堅持這個方向，要再認(rèn)真觀察圖形結(jié)構(gòu)，看看能否將問題轉(zhuǎn)化.實(shí)在無法解決時，不妨換一個方向思考，證明弧等除了先證明弦等外，還有沒有其他方法.

發(fā)展邏輯推理能力，不僅需要八方聯(lián)系的嚴(yán)密的知識結(jié)構(gòu)，同時還需要浮想聯(lián)翩和尋找正確路徑的解題策略.在“知”與“行”中不斷感悟，方能造就強(qiáng)大的邏輯推理能力.

參考文獻(xiàn)

[1]陳永明.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2014：33-37.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會思考[M].北京：科學(xué)出版社，2018：60-62.