耿勝遠(yuǎn)，張學(xué)勇

（1.安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽省建筑聲環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230601）

近場(chǎng)聲全息（Near-field Acoustic Holography，NAH）作為一種高效的聲源識(shí)別、定位和可視化技術(shù)，在噪聲控制、產(chǎn)品低噪聲設(shè)計(jì)等方面引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。目前，在汽車制造、機(jī)械故障診斷、潛艇、飛機(jī)和家電等行業(yè)，NAH 得到成功應(yīng)用。NAH 通過(guò)測(cè)量聲源近場(chǎng)全息面上的復(fù)聲壓或質(zhì)點(diǎn)振速，利用空間聲場(chǎng)變換算法，重建聲源表面或整個(gè)三維空間聲場(chǎng)。隨著研究的深入，各種NAH 變換算法被提出，如空間傅里葉變換法、邊界元法、Helmholtz 方程最小二乘法、統(tǒng)計(jì)最優(yōu)法和等效源法（Equivalent Source Method，ESM）等。其中ESM 具有強(qiáng)適應(yīng)性和數(shù)值計(jì)算優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)被普遍應(yīng)用于任意外形聲源定位與識(shí)別。

ESM 又稱波疊加法，其原理是通過(guò)在聲源內(nèi)部一定距離處分布一系列簡(jiǎn)單源，通過(guò)一系列簡(jiǎn)單源輻射的聲場(chǎng)疊加來(lái)替代原來(lái)的聲源聲場(chǎng)，ESM能夠處理具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)聲源聲場(chǎng)的重建問(wèn)題。然而，ESM 由于受到Nyquist 采樣定理的限制，為了克服這種測(cè)量缺陷，通常需將采樣間隔設(shè)置足夠小，采用較多的傳聲器進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，才能實(shí)現(xiàn)高分辨率的聲場(chǎng)重建，因而基于ESM 的近場(chǎng)聲全息技術(shù)測(cè)量成本較高。壓縮感知理論是一項(xiàng)新興的信號(hào)采樣理論，該理論由Donnho 和Candes等人提出，其將信號(hào)采樣和數(shù)據(jù)壓縮同步進(jìn)行，可使用遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)采樣定理需要的采樣點(diǎn)數(shù)，實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)高概率重建。

本文在傳統(tǒng)等效源NAH 基礎(chǔ)上引入壓縮感知理論，應(yīng)用正交匹配算法，降低釆樣成本，并完成聲場(chǎng)高精度重建和聲源識(shí)別。文章首先介紹等效源法和壓縮感知算法的原理，然后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，給出基于壓縮感知的等效源法NAH 與傳統(tǒng)的等效源法NAH 的聲場(chǎng)重建與聲源識(shí)別結(jié)果，驗(yàn)證了基于壓縮感知的等效源NAH 方法的可行性和有效性。

1 基于壓縮感知和等效源法的聲場(chǎng)重建及聲源識(shí)別

1.1 等效源法

等效源法的聲場(chǎng)重建思路是在聲源內(nèi)部或背離聲源表面放置一系列的等效源，用等效源強(qiáng)代替聲源所發(fā)出的聲場(chǎng)。如圖1，S為全息面，全息面上的采樣點(diǎn)數(shù)為m，S*為等效源面，離散的等效源數(shù)為n，m ≥n。則全息面測(cè)得的聲壓信號(hào)與等效源面源強(qiáng)的關(guān)系可描述為：

圖1 等效源點(diǎn)示意圖

其中G 為傳遞矩陣，Q 為等效源強(qiáng)。

式中，G（mn）表示全息面測(cè)點(diǎn)m 與第n 個(gè)等效源之間的傳遞函數(shù)，

從式（1）可知，通過(guò)全息面上的聲壓，可以計(jì)算出等效源的源強(qiáng)，進(jìn)而可以計(jì)算出聲場(chǎng)中任一位置處的聲壓。

1.2 基于正交匹配和等效源法的聲源識(shí)別

假設(shè)等效源強(qiáng)Q 在空間域具有稀疏性，按信號(hào)稀疏表示理論，n 個(gè)等效源強(qiáng)Q 向量可用一組基函數(shù)

Ψ

=[

Ψ

，…，

Ψ

]與k個(gè)非零的分解系數(shù)s（k≤n）的線性組合表示：

式中，

Ψ

亦稱為信號(hào)Q 的稀疏基函數(shù)。由壓縮感知理論可知，長(zhǎng)度為m（m ≤n）的測(cè)量值p和待求的等效源強(qiáng)Q 可用下列矩陣表示：

式中為觀測(cè)矩陣，將式（5）代入式（6）可得：

其中H=

ΦΨ

記為傳感矩陣。（7）式中由于方程的個(gè)數(shù)m 小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)n，該方程是欠定的，因而無(wú)法重構(gòu)信號(hào)Q?？紤]s 是k 稀疏的，如果上式中的

Φ

與

Ψ

不相關(guān)，滿足有限等距 性 質(zhì)（Restricted Isometric Property，RIP）， 則可以利用信號(hào)稀疏分解算法，如正交匹配算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），基于（7）式先計(jì)算出分解系數(shù)s 再代入（5）式，進(jìn)而計(jì)算出等效源強(qiáng)Q。

OMP 主要思想是從傳感矩陣H 中選擇最相關(guān)的k 個(gè)原子，通過(guò)相關(guān)性計(jì)算傳感矩陣某一列與信號(hào)殘差的內(nèi)積，求解內(nèi)積的最大值，從而濾除相關(guān)性較小的原子，只記錄內(nèi)積值最大時(shí)對(duì)應(yīng)的原子。在經(jīng)過(guò)k 次迭代后就可以用這k 個(gè)原子的線性組合近似表達(dá)待稀疏分解信號(hào)p。分解系數(shù)s計(jì)算步驟如下：

輸入：感知矩陣H=

ΦΨ

，聲壓向量p，信號(hào)稀疏度k

①初始化殘差信號(hào)r=p，支撐集索引

Γ

=φ，迭代次數(shù)n=1；

⑥重復(fù)迭代：n=n+1，重復(fù)步驟2-5 直到滿足停止迭代條件n>k。

2 數(shù)值仿真

仿真實(shí)驗(yàn)裝置如圖2 所示，全息面為1 m×1 m的方形傳聲器陣列，沿x 軸、y 軸分別均勻劃分21×21 等間隔網(wǎng)格，即測(cè)點(diǎn)間距為0.05 m。源面和重建面尺寸均為1 m×1 m，并且沿

x

軸、y 軸亦均勻劃分21×21 網(wǎng)格。源面位于坐標(biāo)軸z=0 處，全息面與源面相距0.05 m，重建面與源面相距0.02 m。仿真中加入信噪比為20 dB 的高斯白噪聲。圖3是21×21 劃分網(wǎng)格及121 個(gè)隨機(jī)選擇的采樣點(diǎn)分布示意圖。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖3 21×21 網(wǎng)格，隨機(jī)采樣點(diǎn)（121 個(gè)）分布圖

定義采樣點(diǎn)聲壓重建誤差函數(shù)：

式中，p為聲壓重建值，p為聲壓理論值，i=1，2，3，…，N，N 為采樣點(diǎn)數(shù)目。

2.1 雙聲源

聲源設(shè)置為兩個(gè)單極子，坐標(biāo)位置分別在（0 m，0 m，0 m）和（0.15 m，0.15m，0 m）， 單 極子 聲 源 頻 率均 為1 500 Hz，仿 真結(jié) 果 見(jiàn) 圖4 和圖5。

圖4（a）、圖5（a）給出的是傳統(tǒng)等效源方法和本文所提壓縮感知的等效源法在441 個(gè)采樣點(diǎn)下的聲場(chǎng)重建圖像，傳統(tǒng)的等效源法的圖像主瓣較大，而基于壓縮感知的圖像主瓣相對(duì)較小，重建圖像的分辨率較高。與理論上的重建面聲壓相比，傳統(tǒng)的等效源法和基于壓縮感知的等效源法的誤差分別是26.79%和0.92%，基于壓縮感知的等效源算法誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的等效源法。圖4（b）、圖5（b）分別給出的是將采樣點(diǎn)數(shù)隨機(jī)減少至121 個(gè)，傳統(tǒng)等效源方法和壓縮感知的等效源法的聲場(chǎng)重建圖像，可以看出采用本文所提方法重建的聲場(chǎng)在測(cè)點(diǎn)數(shù)減少了320 個(gè)情況下，圖像仍然清晰，聲壓重建誤差僅為2.24%，而采用傳統(tǒng)等效源方法聲場(chǎng)重建圖像邊緣輪廓不規(guī)則，分辨率明顯降低，聲壓重建誤差高達(dá)45.21%。因而，對(duì)少量數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)，壓縮感知稀疏采樣等效源法較傳統(tǒng)等效源方法優(yōu)勢(shì)明顯，聲場(chǎng)重建精度高。

圖4 傳統(tǒng)等效源法的聲場(chǎng)重建圖

圖5 壓縮感知的等效源法聲場(chǎng)重建圖

2.2 六個(gè)單極子聲源

為了測(cè)試不同頻率下兩種方法對(duì)采用少量數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)情形下的聲源識(shí)別與定位效果，現(xiàn)對(duì)六個(gè)單極子聲源進(jìn)行仿真。六個(gè)單極子聲源的坐標(biāo)依次是（0.25 m，0 m，0 m），（-0.25 m，0 m，0 m），（0.1 m，0.2 m，0 m），（-0.1 m，0.2 m，0 m），（0.1 m，-0.2 m，0 m），（-0.1 m，-0.2 m，0 m），聲源頻率分別設(shè)置為500 Hz、1000 Hz 和2000 Hz，隨機(jī)選擇采樣點(diǎn)數(shù)均為121 個(gè)。

圖6（a）、圖7（a）和圖8（a）為基于壓縮感知的等效源法的聲源識(shí)別圖，圖6（b）、圖7（b）和圖8（b）為基于傳統(tǒng)的等效源法的聲源識(shí)別圖，在500 Hz 時(shí)，壓縮感知算法僅能識(shí)別4 個(gè)聲源的位置，且圖像存在較多噪點(diǎn)；基于傳統(tǒng)的等效源算法僅能從圖像峰值識(shí)別出3 個(gè)聲源的位置，圖像的分辨率很差。在1 000 Hz 時(shí)，傳統(tǒng)的等效源法聲源無(wú)法區(qū)分開(kāi)來(lái)，僅能識(shí)別單個(gè)聲源，相比之下，基于壓縮感知的等效源法能識(shí)別出六個(gè)聲源，僅左上角的聲源位置識(shí)別存在偏差。在2 000 Hz 時(shí)，傳統(tǒng)的等效源法能從圖像的峰值處識(shí)別出六個(gè)聲源，但圖像的主瓣較大，且圖像存在多噪點(diǎn)，圖像的分辨率較差。而基于壓縮感知算法的等效源法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出聲源的位置，雖然圖像存在輕微噪點(diǎn)，但較傳統(tǒng)的等效源法圖像的分辨率很高。

圖6 500 HZ 下兩種方法的聲源識(shí)別圖

圖7 1000 Hz 下兩種方法的聲源識(shí)別圖

圖8 2000 Hz 下兩種方法的聲源識(shí)別圖

3 結(jié)語(yǔ)

在傳統(tǒng)的等效源法的基礎(chǔ)上，本文提出一種基于壓縮感知等效源法的NAH 聲場(chǎng)重建算法。設(shè)置兩個(gè)單極子聲源，在相同的頻率和不同采樣點(diǎn)下，通過(guò)仿真結(jié)果表明，該方法較傳統(tǒng)等效源法具有更高的聲場(chǎng)重建精度。設(shè)置六個(gè)單極子聲源在不同頻率下進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，壓縮感知等效源方法重建圖像分辨率高，聲源識(shí)別位置精確。在后期研究工作中，將通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證應(yīng)用基于壓縮感知等效源NAH 方法的可行性和有效性。