賈寧 賓晟 孫更新

摘要：針對(duì)目前耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究方法僅限于單個(gè)關(guān)系的問題，根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建復(fù)合網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合多種關(guān)系研究了復(fù)合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效問題，考察在不同影響因素下，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系和加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。研究結(jié)果表明，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系和加載關(guān)系共同影響著網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的過程及規(guī)模，復(fù)合網(wǎng)絡(luò)中兩子網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響不同;加載關(guān)系強(qiáng)度占比越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。關(guān)系強(qiáng)度比例對(duì)網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模存在決定性影響。

關(guān)鍵詞：級(jí)聯(lián)失效，耦合網(wǎng)絡(luò)，多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，魯棒性

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-1037（2021）03-0028-10

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，系統(tǒng)科學(xué)[1-3]蓬勃發(fā)展，給人們帶來了巨大便利。由于網(wǎng)絡(luò)自身存在脆弱性，在蓄意攻擊和隨機(jī)失效的打擊下很容易發(fā)生級(jí)聯(lián)失效事故。例如2003年意大利全國大停電事故[4]，2008年中國南方電力網(wǎng)絡(luò)崩潰事故[5]和因擁堵造成的互聯(lián)網(wǎng)崩潰事故[6]等，研究發(fā)現(xiàn)這類事故都是由故障通過耦合關(guān)系在網(wǎng)絡(luò)之間反復(fù)傳播，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)大面積癱瘓，所以耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究對(duì)于維持網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定具有重要意義。Buldyrev等[7]以雙層一對(duì)一耦合的網(wǎng)絡(luò)為例，發(fā)現(xiàn)耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象不同于單個(gè)網(wǎng)絡(luò)，開啟了耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效研究的先河。目前耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究主要分為三類：基于兩側(cè)節(jié)點(diǎn)一對(duì)一耦合的網(wǎng)絡(luò)[7-19]、一對(duì)多和多對(duì)多耦合的網(wǎng)絡(luò)[20-25]。對(duì)于兩側(cè)節(jié)點(diǎn)一對(duì)一耦合的網(wǎng)絡(luò)，Chen等[8]研究了不同的耦合方式對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)異配耦合方式下網(wǎng)絡(luò)魯棒性最優(yōu);李甍娜等[9]研究了在負(fù)載作用下不同耦合方式的相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性，發(fā)現(xiàn)同配耦合方式下網(wǎng)絡(luò)魯棒性最強(qiáng);陳世明等[10]研究了不同耦合比例和耦合強(qiáng)度對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性影響，提出了構(gòu)建全局同質(zhì)化的耦合模式，有效改善了耦合網(wǎng)絡(luò)魯棒性;楊程成等[11]研究了耦合網(wǎng)絡(luò)在耦合關(guān)系變化下的魯棒性，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)之間度數(shù)相似的節(jié)點(diǎn)耦合概率越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越高;陳世明等[12]以一對(duì)一全耦合和部分耦合的網(wǎng)絡(luò)模型為例，分別提出了低相對(duì)介數(shù)內(nèi)加邊策略和低相對(duì)介數(shù)耦合加邊策略，顯著提升了耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。關(guān)于兩側(cè)節(jié)點(diǎn)一對(duì)多和多對(duì)多耦合的網(wǎng)絡(luò)，Shao等[20]提出了具有多個(gè)支持依賴關(guān)系的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，發(fā)現(xiàn)與一對(duì)一相互依存關(guān)系相比具有更高的魯棒性;Fu等[21]研究了耦合網(wǎng)絡(luò)中依賴關(guān)系的方向性、冗余性和依賴程度對(duì)魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)基于有向依賴的網(wǎng)絡(luò)魯棒性要低于無向依賴的網(wǎng)絡(luò)魯棒性。陳世明等[22]基于典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ?，建立了?duì)稱和非對(duì)稱的耦合網(wǎng)絡(luò)模型，研究了網(wǎng)絡(luò)魯棒性與耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)提高或減小耦合強(qiáng)度，網(wǎng)絡(luò)魯棒性不會(huì)單調(diào)地增強(qiáng)或下降。彭興釗等[23]，提出了耦合邊和內(nèi)部邊與初始負(fù)載相關(guān)聯(lián)的級(jí)聯(lián)失效模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)外部度和內(nèi)部度對(duì)負(fù)荷貢獻(xiàn)比達(dá)到一定值時(shí)， 網(wǎng)絡(luò)魯棒性最強(qiáng)。綜上所述，目前耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究都基于層次網(wǎng)絡(luò)模型，描述了多類個(gè)體及其層間的相互關(guān)系，僅能描述具有層次關(guān)系的對(duì)象問題，無法描述處于同一層次且彼此具有多種關(guān)系的個(gè)體，在現(xiàn)實(shí)中，系統(tǒng)的個(gè)體之間不只存在層次關(guān)系，而多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型可以描述不同類個(gè)體間的關(guān)系以及同類個(gè)體間的多種關(guān)系，基于該模型，結(jié)合多種關(guān)系提出了復(fù)合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究，重點(diǎn)考察在不同影響因素下，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系和加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。

1 模型構(gòu)建

1.1 復(fù)合網(wǎng)模型

根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型[26]初始構(gòu)建的兩個(gè)向量復(fù)合網(wǎng)分別用ΣA=（GA，SA，MA）和ΣB=（GB，SB，MB）表示，其中GA=（VA，EA，RA，F(xiàn)A），GB=（VB，EB，RB，F(xiàn)B），GA和GB表示復(fù)合網(wǎng)A和B，VA和VB表示節(jié)點(diǎn)集合，EA和EB表示連邊集合，RA和RB表示復(fù)合網(wǎng)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)之間相互作用關(guān)系的集合，F(xiàn)A和FB表示連邊和關(guān)系的映射，其中，F(xiàn)A∶EA→RA，SA和SB表示復(fù)合網(wǎng)A和B的關(guān)系強(qiáng)度向量空間，MA和MB表示連邊和關(guān)系強(qiáng)度向量空間的映射，其中MA∶EA→SA。

1.2 耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型

本文以容量—負(fù)載模型及兩側(cè)節(jié)點(diǎn)一對(duì)一耦合的網(wǎng)絡(luò)為例，構(gòu)建典型的耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型。

首先構(gòu)建兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，分別記為網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B，節(jié)點(diǎn)總數(shù)分別為NA和NB，每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部連接定義為連接邊，網(wǎng)絡(luò)A與網(wǎng)絡(luò)B之間的節(jié)點(diǎn)連接定義為耦合邊，令網(wǎng)絡(luò)A和B之間的節(jié)點(diǎn)一對(duì)一隨機(jī)耦合且相互依賴。

節(jié)點(diǎn)度衡量了節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度，度大的節(jié)點(diǎn)往往承載大量的負(fù)載，節(jié)點(diǎn)vh的初始負(fù)載根據(jù)度函數(shù)來定義

其中，Lvh（0）表示節(jié)點(diǎn)vh的初始負(fù)載，kvh為節(jié)點(diǎn)的度，α，β（α，β1）是可調(diào)參數(shù)，控制初始負(fù)載的強(qiáng)度。

節(jié)點(diǎn)容量衡量了每個(gè)節(jié)點(diǎn)可承受負(fù)載的大小，節(jié)點(diǎn)容量越大，越不容易過載失效，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的能力越強(qiáng)。節(jié)點(diǎn)容量定義與初始負(fù)載呈正相關(guān)

其中，λ（λ>0）表示容限系數(shù)，λ越大節(jié)點(diǎn)容量越大，其抵御級(jí)聯(lián)失效的能力越強(qiáng)，但相應(yīng)的成本也越高。

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)A中節(jié)點(diǎn)遭受攻擊而失效后，其自身負(fù)載會(huì)根據(jù)一定的比例分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)vh為失效節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)vl為該節(jié)點(diǎn)的一個(gè)鄰居，本文以局部擇優(yōu)分配方式為例，令失效節(jié)點(diǎn)分配給鄰居節(jié)點(diǎn)的負(fù)載為

其中，Γvh表示節(jié)點(diǎn)vh鄰居節(jié)點(diǎn)的集合，△Lvhvl表示節(jié)點(diǎn)vh分配給節(jié)點(diǎn)vl的負(fù)載量。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)vl所接收的負(fù)載加上它的初始負(fù)載大于自身容量

節(jié)點(diǎn)vl失效，負(fù)荷進(jìn)一步重新分配，將負(fù)載重分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)vl接收到分配過來的負(fù)載后過載失效，其負(fù)載繼續(xù)分配給它的鄰居節(jié)點(diǎn)，故障在網(wǎng)絡(luò)A中傳播開來。節(jié)點(diǎn)失效后將失去全部耦合邊，由于網(wǎng)絡(luò)A與B相互依賴，如果網(wǎng)絡(luò)B中節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)A中的耦合節(jié)點(diǎn)全部故障，則節(jié)點(diǎn)失效，根據(jù)式（3）將自身負(fù)載傳遞給鄰居節(jié)點(diǎn)，如果鄰居節(jié)點(diǎn)過載失效，則故障從網(wǎng)絡(luò)A傳播到網(wǎng)絡(luò)B中，反過來，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)A中節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)B中的耦合節(jié)點(diǎn)全部失效時(shí)，節(jié)點(diǎn)故障，其自身負(fù)載傳遞給鄰居節(jié)點(diǎn)，故障從網(wǎng)絡(luò)B傳回網(wǎng)絡(luò)A中，該過程循環(huán)，當(dāng)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)沒有節(jié)點(diǎn)故障時(shí)，級(jí)聯(lián)失效過程結(jié)束，如圖2所示。

在圖2中，左側(cè)為網(wǎng)絡(luò)A的節(jié)點(diǎn)，右側(cè)為網(wǎng)絡(luò)B的節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)之間都存在連邊，網(wǎng)絡(luò)A和B的節(jié)點(diǎn)之間只存在一條耦合邊。圖2（a）在初始狀態(tài)下，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)定狀態(tài);圖2（b）網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)A4遭受攻擊，移除節(jié)點(diǎn)A4所有的連邊，網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)B4失去所有耦合邊后失效。將節(jié)點(diǎn)A4與B4的負(fù)荷沿著虛線以及根據(jù)式（3）的負(fù)荷分配規(guī)則分別分配到各自的鄰居節(jié)點(diǎn)中。圖2（c），假設(shè)只有節(jié)點(diǎn)B5過載失效，移除該節(jié)點(diǎn)的全部連邊，節(jié)點(diǎn)A5因失去節(jié)點(diǎn)B5的耦合邊而失效。圖2（d）所有節(jié)點(diǎn)均有耦合邊，且承受負(fù)荷均小于容量，級(jí)聯(lián)失效停止，耦合網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

1.3 復(fù)合網(wǎng)級(jí)聯(lián)失效建模

與基于層次網(wǎng)絡(luò)模型的級(jí)聯(lián)失效建模不同，復(fù)合網(wǎng)級(jí)聯(lián)失效建模不光要考慮不同類個(gè)體間的關(guān)系，還要考慮到同類個(gè)體間的多種關(guān)系。如果把節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系看作線路，則負(fù)載的傳輸會(huì)經(jīng)過不同的線路，其中，每條線路都存在流量限制，表示單位時(shí)間內(nèi)負(fù)載通過該線路的負(fù)載量，通常流量與連邊兩端節(jié)點(diǎn)的度呈正相關(guān)，設(shè)連邊vhvl關(guān)于關(guān)系ri的流量為

節(jié)點(diǎn)承載負(fù)荷的大小受網(wǎng)內(nèi)關(guān)系的影響，與流量呈正相關(guān)，由于存在加載關(guān)系的影響，只考慮網(wǎng)內(nèi)關(guān)系不合適。通常情況下，當(dāng)與節(jié)點(diǎn)帶有加載關(guān)系的連邊數(shù)量越多，且這些節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)內(nèi)關(guān)系度越大，節(jié)點(diǎn)承擔(dān)的負(fù)載越大，所以定義子網(wǎng)A內(nèi)節(jié)點(diǎn)vh的初始負(fù)載

節(jié)點(diǎn)容量的大小受節(jié)點(diǎn)間多種關(guān)系的影響，初始負(fù)載的定義通過流量描述了關(guān)系對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響，所以節(jié)點(diǎn)容量仍與初始負(fù)載相關(guān)聯(lián)，故采用式（2）定義。相關(guān)文獻(xiàn)的負(fù)載重分配策略普遍使用局域擇優(yōu)重分配，由于該方法不能識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，很容易導(dǎo)致橋節(jié)點(diǎn)失效，產(chǎn)生更嚴(yán)重的損壞，所以本文提出根據(jù)節(jié)點(diǎn)重要性來分配負(fù)載，節(jié)點(diǎn)越重要，分配的負(fù)載越少，反之越多，首先定義連邊vhvl關(guān)于關(guān)系ri的重要性

其中，privhvl表示由連邊vhvl根據(jù)關(guān)系ri組成的三角形數(shù)量。

如果要判斷節(jié)點(diǎn)vh關(guān)于關(guān)系ri重要性，不僅要考慮連邊的重要程度，也要考慮節(jié)點(diǎn)vl對(duì)連邊vhvl的重要程度，定義erivhvl（vl）

假設(shè)子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)vh因遭受攻擊而失效，設(shè)節(jié)點(diǎn)vl為其在子網(wǎng)A中的一個(gè)鄰居，則失效節(jié)點(diǎn)分配給節(jié)點(diǎn)vl的負(fù)載

則節(jié)點(diǎn)故障，其自身負(fù)載根據(jù)上述方式分配給它的鄰居節(jié)點(diǎn)，故障在子網(wǎng)A中傳播開來。如果向量復(fù)合網(wǎng)中只存在子網(wǎng)絡(luò)A和B，且加載關(guān)系為子網(wǎng)絡(luò)B單向依賴于A，則當(dāng)子網(wǎng)B中節(jié)點(diǎn)在子網(wǎng)A中與加載關(guān)系相連的節(jié)點(diǎn)全部故障時(shí)，則該節(jié)點(diǎn)失效，同理，其自身負(fù)載根據(jù)式（9）傳遞給它的鄰居節(jié)點(diǎn)，故障從子網(wǎng)A傳播到子網(wǎng)B中，直到子網(wǎng)B中沒有節(jié)點(diǎn)失效為止，該過程如圖3所示。

子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)A5遭受攻擊而失效，其自身負(fù)載根據(jù)網(wǎng)內(nèi)關(guān)系分配給它的鄰居節(jié)點(diǎn)，同時(shí)斷開與該節(jié)點(diǎn)相連的帶有加載關(guān)系的連邊，子網(wǎng)B中節(jié)點(diǎn)B4因失去全部帶有加載關(guān)系的連邊而失效，其自身負(fù)載根據(jù)網(wǎng)內(nèi)關(guān)系分配給它的鄰居節(jié)點(diǎn)。

綜上所述，可以看出一個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障的原因：網(wǎng)內(nèi)關(guān)系導(dǎo)致的傳播故障以及加載關(guān)系導(dǎo)致的故障。

為了更好的描述整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，本文對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)定義一個(gè)過載函數(shù)值Gk，相當(dāng)于對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)動(dòng)態(tài)權(quán)重，表示節(jié)點(diǎn)過載的難度，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有‘正?！汀А瘍煞N狀態(tài)，1表示所有節(jié)點(diǎn)處于正常狀態(tài)，0表示節(jié)點(diǎn)處于失效狀態(tài)，所以節(jié)點(diǎn)v的過載函數(shù)設(shè)為

即不用移除節(jié)點(diǎn)就能顯示整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)。

初始僅僅攻擊子網(wǎng)A中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在級(jí)聯(lián)失效結(jié)束后計(jì)算CFv（這里的CFv表示為由節(jié)點(diǎn)v所導(dǎo)致的失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量），顯然，0≤CFv≤N-1，為了量化整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，攻擊子網(wǎng)絡(luò)A中全部節(jié)點(diǎn)，再將失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行歸一化處理

其中，CFv=FA+FB，F(xiàn)A表示級(jí)聯(lián)失效結(jié)束后子網(wǎng)A失效節(jié)點(diǎn)總和，F(xiàn)B表示子網(wǎng)B失效節(jié)點(diǎn)總和，S為移除子網(wǎng)A中所有節(jié)點(diǎn)導(dǎo)致的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)失效節(jié)點(diǎn)總和的歸一化處理值，即網(wǎng)絡(luò)損壞規(guī)模。S越大網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的能力越弱，S越小網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的能力越強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。

2 仿真分析

在實(shí)驗(yàn)中，首先構(gòu)建復(fù)合網(wǎng)絡(luò)A和B，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系分別設(shè)為r1和r2，以復(fù)合網(wǎng)A為基底網(wǎng)，在加載關(guān)系r3下，將復(fù)合網(wǎng)A加載到B中，其加載關(guān)系為子網(wǎng)絡(luò)B單向依賴于A，構(gòu)建新的向量復(fù)合網(wǎng)，以該網(wǎng)絡(luò)為例，攻擊子網(wǎng)絡(luò)A中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，將失效節(jié)點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行歸一化處理得出S值，如式（13），通過調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的容忍系數(shù)λ和選取不同的關(guān)系強(qiáng)度比例參數(shù)sf1：sf2：sf3來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，重點(diǎn)考察在不同影響因素下，關(guān)系強(qiáng)度對(duì)復(fù)合網(wǎng)的影響，本文根據(jù)上述建立的級(jí)聯(lián)失效模型，考慮過載失效和加載關(guān)系失效兩種模式，制定了模擬復(fù)合網(wǎng)級(jí)聯(lián)失效過程的算法：

a）攻擊子網(wǎng)A中的節(jié)點(diǎn)v使其失效，將該節(jié)點(diǎn)的過載函數(shù)值記為“0”，并找出與v相連的鄰居節(jié)點(diǎn);

b）對(duì)節(jié)點(diǎn)v和其鄰居節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷進(jìn)行重分配，有節(jié)點(diǎn)過載則將其過載函數(shù)記為“0”;

c）找出子網(wǎng)A中的失效節(jié)點(diǎn);

d）找出其中一個(gè)失效節(jié)點(diǎn)的全部鄰居節(jié)點(diǎn)，對(duì)失效節(jié)點(diǎn)和其鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行負(fù)載重分配，其中，過載函數(shù)值為“0”的節(jié)點(diǎn)不再接受外來負(fù)荷，有節(jié)點(diǎn)過載則將其記為“0”;

e）重復(fù)步驟c）～d），直到?jīng)]有節(jié)點(diǎn)失效;

f）計(jì)算整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)目記為FA;

g）找出子網(wǎng)B中與子網(wǎng)A有加載關(guān)系連接的節(jié)點(diǎn)，如果該節(jié)點(diǎn)在子網(wǎng)A中帶有加載關(guān)系相連的節(jié)點(diǎn)全部失效，則將其過載函數(shù)記為“0”;

h）找出子網(wǎng)B中的失效節(jié)點(diǎn);

i）對(duì)子網(wǎng)B中的一個(gè)失效節(jié)點(diǎn)及其鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行負(fù)載重分配，其中，過載函數(shù)值為“0”的節(jié)點(diǎn)不再接受外來負(fù)荷，節(jié)點(diǎn)失效后將其記為“0”;

j）重復(fù)步驟h）～i），直到?jīng)]有節(jié)點(diǎn)失效;

k）計(jì)算整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點(diǎn)的數(shù)目記為FB;

l）重復(fù)步驟a）～k），直到完成對(duì)子網(wǎng)A中每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行一次攻擊，計(jì)算復(fù)合網(wǎng)的故障規(guī)模S。

2.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響

在網(wǎng)絡(luò)中，如果每個(gè)子網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，在節(jié)點(diǎn)間關(guān)系強(qiáng)度作用下，網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的故障現(xiàn)象不同于以往的研究，由于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)傾向于WS小世界網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，因此為了探究在網(wǎng)內(nèi)關(guān)系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下，關(guān)系強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的影響，本文根據(jù)上述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞謩e進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

首先，構(gòu)建節(jié)點(diǎn)總數(shù)為200，子網(wǎng)絡(luò)A和B平均度為2的復(fù)合網(wǎng)，令兩子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)之間隨機(jī)建立加載關(guān)系，加載關(guān)系平均度為2，設(shè)參數(shù)α=β=1。S代表魯棒性測(cè)度，如式（13），λ表示節(jié)點(diǎn)的容忍系數(shù)，如式（2），當(dāng)關(guān)系強(qiáng)度比例參數(shù)取不同值時(shí)，得出的S-λ曲線如圖4所示。

在圖4（a）中，隨著網(wǎng)內(nèi)關(guān)系r1，r2關(guān)系強(qiáng)度占比的縮小，網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨之增強(qiáng);反之，二者關(guān)系強(qiáng)度占比增大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)魯棒性下降;其中，關(guān)系r1對(duì)網(wǎng)絡(luò)作用明顯，當(dāng)關(guān)系強(qiáng)度占比足夠小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)魯棒性最強(qiáng)。在圖4（b）中，調(diào)節(jié)網(wǎng)內(nèi)關(guān)系r1，r2強(qiáng)度占比，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模變化微小，說明在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為BA-BA的網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。在圖4（c）中，減小網(wǎng)內(nèi)關(guān)系r1強(qiáng)度占比，網(wǎng)絡(luò)魯棒性明顯增強(qiáng);而關(guān)系強(qiáng)度比為1∶1∶1、1∶0.1∶1、1∶10∶1的曲線相互重合，關(guān)系r2對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。說明在WS-BA的網(wǎng)絡(luò)中，除加載關(guān)系外，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模受提供依賴關(guān)系的子網(wǎng)影響。在圖4（d）中，增大網(wǎng)內(nèi)關(guān)系r2強(qiáng)度占比，網(wǎng)絡(luò)魯棒性明顯增強(qiáng);而增大和減小關(guān)系r1的強(qiáng)度占比，其曲線和關(guān)系強(qiáng)度比例為1∶1∶1的曲線重合。說明在BA-WS的網(wǎng)絡(luò)中，除加載關(guān)系外，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模受被提供依賴關(guān)系的子網(wǎng)影響。

2.2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響

上述實(shí)驗(yàn)主要探究了網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響，與此同時(shí)，子網(wǎng)之間存在加載關(guān)系，加載關(guān)系強(qiáng)度越強(qiáng)，節(jié)點(diǎn)受其它子網(wǎng)的影響越大，網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的故障現(xiàn)象會(huì)有所不同。因此為了探究在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下，加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的影響，本文根據(jù)WS，BA的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以不同的組合分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

首先，構(gòu)建節(jié)點(diǎn)總數(shù)為200，子網(wǎng)絡(luò)A和B平均度為2的復(fù)合網(wǎng)，令兩子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)之間隨機(jī)建立加載關(guān)系，加載關(guān)系平均度為2，設(shè)參數(shù)α=β=1，當(dāng)加載關(guān)系強(qiáng)度占比取不同值時(shí)，得出的S-λ曲線如圖5所示。

在圖5（a），（c），（d）中，隨著加載關(guān)系r3強(qiáng)度占比的增大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨之增強(qiáng)，說明加載關(guān)系有利于網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提高;在，5（b）中，增大加載關(guān)系強(qiáng)度占比，網(wǎng)絡(luò)變化微小，說明在BA-BA的網(wǎng)絡(luò)中，加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。因此在現(xiàn)實(shí)中，為了提高網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的能力，要盡可能地增強(qiáng)子網(wǎng)間的影響力。

2.3 網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度不同條件下網(wǎng)內(nèi)關(guān)系和加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響

網(wǎng)絡(luò)平均度越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。復(fù)合網(wǎng)是由多個(gè)子網(wǎng)絡(luò)復(fù)合而成的，如果每個(gè)子網(wǎng)的網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度不同，在關(guān)系強(qiáng)度作用下，網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象會(huì)出現(xiàn)不同的性質(zhì)，因此為了進(jìn)一步研究，在兩個(gè)平均度取不同值的子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

首先，構(gòu)建拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為WS的子網(wǎng)絡(luò)A和B，子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)都為200的復(fù)合網(wǎng)，參數(shù)α，β為1，令兩子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)之間隨機(jī)建立加載關(guān)系，加載關(guān)系平均度為2，子網(wǎng)的網(wǎng)內(nèi)平均度分別設(shè)為2，4，6，根據(jù)不同的組合，當(dāng)關(guān)系強(qiáng)度比例參數(shù)取不同值時(shí)，得出的S-λ曲線如圖6所示。

可知，無論網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度取何值，加載關(guān)系強(qiáng)度占比越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。在圖6（a）和（b）中，關(guān)系r1強(qiáng)度占比越小，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng);關(guān)系r2強(qiáng)度占比為0.1和10的曲線幾乎重合，說明子網(wǎng)B網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度大于子網(wǎng)A時(shí)，關(guān)系r2對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。在圖6（c）和（d）中，關(guān)系r2強(qiáng)度占比越小，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng);關(guān)系r1的曲線相重合，說明子網(wǎng)B網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度小于子網(wǎng)A時(shí)，關(guān)系r1對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。

下層子網(wǎng)平均度大于上層子網(wǎng)時(shí)，上層子網(wǎng)關(guān)系強(qiáng)度占比越小網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)，下層子網(wǎng)的網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。反之，下層子網(wǎng)關(guān)系強(qiáng)度占比越小網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)，上層子網(wǎng)的網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。

2.4 加載關(guān)系平均度不同條件下網(wǎng)內(nèi)關(guān)系和加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響

與耦合網(wǎng)絡(luò)不同，復(fù)合網(wǎng)絡(luò)中存在多種關(guān)系，節(jié)點(diǎn)間存在關(guān)系強(qiáng)度，上述實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明了關(guān)系強(qiáng)度比例參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性有著決定性影響。為了探究在加載關(guān)系平均度不同條件下關(guān)系強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響，進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。首先，構(gòu)建節(jié)點(diǎn)總數(shù)為200，子網(wǎng)絡(luò)A和B的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為WS的復(fù)合網(wǎng)，參數(shù)α，β為1，兩子網(wǎng)的網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度都設(shè)為2，加載關(guān)系平均度分別為2，4，6，8，當(dāng)關(guān)系強(qiáng)度比例參數(shù)取不同值時(shí)，得出的S-λ曲線如圖7所示。

加載關(guān)系平均度越大，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系r2和加載關(guān)系r3的曲線越相近，當(dāng)加載關(guān)系平均度為8時(shí)，曲線最終重合，說明二者對(duì)網(wǎng)絡(luò)的作用效果一致;除此之外，隨著加載關(guān)系平均度的增大，加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提高程度隨之減小，可以推斷出加載關(guān)系強(qiáng)度足夠大時(shí)，加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)沒有影響。

3 結(jié)論

針對(duì)目前耦合網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的研究?jī)H限于單個(gè)關(guān)系的問題，根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型建立了復(fù)合網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)多種關(guān)系和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣鞯南嗷ビ绊戇M(jìn)行了綜合研究。研究表明：網(wǎng)絡(luò)中兩子網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響不同;加載關(guān)系強(qiáng)度越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)，但隨著加載關(guān)系平均度的增大，加載關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響力隨之減小;網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度比例不同，網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響不同。因此為了有效保護(hù)現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，當(dāng)遭到蓄意攻擊和隨機(jī)故障時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮節(jié)點(diǎn)間存在的多種關(guān)系類型，采取不同的方案，以達(dá)到最大程度降低損壞的目的。今后將兩子網(wǎng)之間的加載關(guān)系從單向支持改為雙向依賴，來進(jìn)一步研究。

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