趙媛媛 季潔

摘 要：針對(duì)國(guó)省干線(xiàn)公路采集的交通數(shù)據(jù)存在缺失值的情況，文章提出了基于拉格朗日插值法的缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法。首先，找出缺失數(shù)據(jù)所在位置以及所屬時(shí)間段;其次，采集該位置和該時(shí)間段的歷史平均交通數(shù)據(jù);再次，利用拉格朗日插值法對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ);最后，比較正常數(shù)據(jù)算出的插補(bǔ)值與真實(shí)數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)插補(bǔ)的結(jié)果。試驗(yàn)結(jié)果顯示，該方法簡(jiǎn)單、方便、易實(shí)現(xiàn)，可以完成對(duì)簡(jiǎn)單的公路數(shù)據(jù)缺失值的恢復(fù)，確保數(shù)據(jù)在交通控制、路網(wǎng)規(guī)劃等應(yīng)用中的可靠性。

關(guān)鍵詞：拉格朗日插值法;缺失值;交通數(shù)據(jù)

1? ? 研究背景

對(duì)國(guó)省干線(xiàn)的交通狀況進(jìn)行分析時(shí)，需要利用各種先進(jìn)的交通信息采集技術(shù)采集國(guó)省干線(xiàn)上的交通數(shù)據(jù)，并對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的處理和應(yīng)用，如集成、抽樣、壓縮、存儲(chǔ)、發(fā)布等[1]。這些數(shù)據(jù)中隱含的交通時(shí)空分布規(guī)律對(duì)有關(guān)部門(mén)在交通控制、路網(wǎng)規(guī)劃等方面有著較大的參考和利用價(jià)值[2]。

然而，由于交通采集設(shè)備故障、施工損壞、環(huán)境和氣象惡劣等因素的存在，會(huì)導(dǎo)致所采集到的交通數(shù)據(jù)有缺失的現(xiàn)象。數(shù)據(jù)缺失降低了數(shù)據(jù)的質(zhì)量，對(duì)利用數(shù)據(jù)進(jìn)行交通運(yùn)行狀況分析、交通控制、路網(wǎng)規(guī)劃等均會(huì)產(chǎn)生不利的影響。面對(duì)海量的交通數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)缺失不可避免，因此需要選擇合適的方法對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以此來(lái)保證數(shù)據(jù)的質(zhì)量，保證數(shù)據(jù)在交通控制、路網(wǎng)規(guī)劃等方面的可用性。

2? ? 現(xiàn)狀分析

目前，常用的缺失值處理方法大致有兩種：刪除和填充。（1）刪除數(shù)據(jù)即剔除存在缺失的一組數(shù)據(jù)，從而保證保留的數(shù)據(jù)是完整的。這種方法簡(jiǎn)單但需犧牲某些數(shù)據(jù)屬性，而各個(gè)數(shù)據(jù)間存在著一定的關(guān)聯(lián)，直接剔除可能會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果造成不利影響，數(shù)據(jù)刪除不常用于缺失值處理。（2）填充數(shù)據(jù)即選取合適的數(shù)據(jù)填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)，以保證數(shù)據(jù)集的完整性，利用數(shù)據(jù)填充的方法可以獲得較優(yōu)質(zhì)的數(shù)據(jù)分析結(jié)果。針對(duì)國(guó)省干線(xiàn)交通數(shù)據(jù)的缺失值，可以借助已采集的正確數(shù)據(jù)進(jìn)行異常數(shù)據(jù)的差值處理，因?yàn)槔窭嗜詹钪捣ㄓ兄?jiǎn)單、方便、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，所以將其用于國(guó)省干線(xiàn)簡(jiǎn)單缺失數(shù)據(jù)的恢復(fù)可以取得較理想的結(jié)果。

拉格朗日插值法廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理，取得了較好的效果。楊皓翔等[4]運(yùn)用拉格朗日插值法減少了邊坡位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差對(duì)新陳代謝模型預(yù)測(cè)精度的影響。丁閃閃等[7]運(yùn)用平均法和拉格朗日插值法對(duì)交通數(shù)據(jù)采集過(guò)程中的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，結(jié)果表明，拉格朗日插值法相較于傳統(tǒng)的平均法準(zhǔn)確性更高。陳飛等[8]提出了基于拉格朗日插值的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)射頻信號(hào)衰減的修正，在保證修正數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度的前提下既減少了修正的工作量又降低了系統(tǒng)后期維護(hù)的難度。秦利剛[9]將拉格朗日插值法運(yùn)用于頻譜分析中，不但克服了因頻率漂移造成數(shù)據(jù)點(diǎn)采樣不足的問(wèn)題，還克服了拉格朗日插值算法在頻譜分析中的應(yīng)用的泄漏問(wèn)題。蔡文等[9]利用改進(jìn)型的拉格朗日插值算法改善了視頻分割處理圖片失真的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)表明改善后的拉格朗日算法即重心拉格朗日算法具有明顯優(yōu)越性。綜上所述，拉格朗日插值法在各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理方面均取得了較好的效果，因此，選擇拉格朗日插值法恢復(fù)國(guó)省干線(xiàn)的缺失數(shù)據(jù)。

3? ? 方法原理

3.1? 算法原理

拉格朗日插值法基本原理：在插值點(diǎn)的附近選取若干合適的節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的插值函數(shù)y=p（x），要求構(gòu)造的插值函數(shù)穿過(guò)選取的節(jié)點(diǎn)。在所選數(shù)據(jù)區(qū)間用插值函數(shù)作為原來(lái)函數(shù)f（x）的值，使得f（xi）=p（xi），i=1，2，3，…，n成立。由此可見(jiàn)，插值法的實(shí)質(zhì)是根據(jù)已知的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)或線(xiàn)圖上某些已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)既簡(jiǎn)單又能夠保證精度的插值函數(shù)p（x），并利用該插值函數(shù)快速獲取原函數(shù)在對(duì)應(yīng)位置的數(shù)據(jù)，這種利用若干節(jié)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)的方法稱(chēng)為拉格朗日插值法[3]。

對(duì)于原函數(shù)f（x）分別有給定的n+1個(gè)取值點(diǎn)，分別為（x0，y0），（x1，y1）， … ，（xn，yn），其中，x對(duì)應(yīng)自變量的位置，y為原函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的取值。解設(shè)任意兩個(gè)不同的xj都互不相同，以下拉格朗日差值法填補(bǔ)缺失值的步驟。

第一步：求已知n+1個(gè)點(diǎn)對(duì)的拉格朗日基本多項(xiàng)式lj（x）（或稱(chēng)插值基函數(shù)）。其表達(dá)式為：

拉格朗日基本多項(xiàng)式lj（x）的特點(diǎn)是在xj上取值為1，在其他的點(diǎn)xi（i ≠j）上取值為0。

第二步：求已知n+1個(gè)點(diǎn)對(duì)的拉格朗日差值多項(xiàng)式L（x）。其表達(dá)式為：

第三步：將缺失的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入插值多項(xiàng)式得到缺失值的近似值L（x），完成缺失數(shù)據(jù)的填補(bǔ)任務(wù)。

3.2? 算法流程

面對(duì)海量的交通數(shù)據(jù)，利用拉格朗日插值法進(jìn)行缺失值填補(bǔ)需要借助于計(jì)算機(jī)，其具體算法流程如圖1所示。

3.3? 拉格朗日插值法在國(guó)省干線(xiàn)缺失值中的使用

在面對(duì)公路的交通數(shù)據(jù)缺失時(shí)，拉格朗日插值法的具體使用步驟如下：

第一步，確定缺失數(shù)據(jù)所在的位置（路段）以及缺失情況。

第二步，確定缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間段。

第三步，根據(jù)缺失數(shù)據(jù)的特征，采集缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的指定時(shí)間段（點(diǎn)）和路段的歷史（平均）交通數(shù)據(jù)。

第四步，利用拉格朗日插值法填補(bǔ)缺失值，先構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式，對(duì)指定數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。其中，指定路段、時(shí)間段（點(diǎn)）作為自變量xi，歷史（平均）交通數(shù)據(jù)作為因變量即插值函數(shù)值f（xi）。

第五步，驗(yàn)證插值效果：取正常數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，對(duì)測(cè)試集采用相同的方法進(jìn)行插值，結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)試集的插值進(jìn)行誤差檢測(cè)，評(píng)價(jià)插值效果。選取均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）以及平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。誤差越小，插值效果越好，反之亦然。以下為各評(píng)價(jià)指標(biāo)的含義。

均方誤差MSE（Mean Square Error）：

均方根誤差RMSE（Root Mean Square Error）：

平均絕對(duì)百分比誤差MAPE（Mean Absolute Percentage Error）：

其中，yi表示真實(shí)值，表示預(yù)測(cè)值，n表示樣本容量。

4? ? 實(shí)例分析

為驗(yàn)證拉格朗日插值法對(duì)缺失值修復(fù)的效果，從完整無(wú)缺失的路段中隨機(jī)選取部分值作為缺失數(shù)據(jù)，采用拉格朗日插值法進(jìn)行數(shù)據(jù)恢復(fù)，并對(duì)所得結(jié)果與實(shí)際值進(jìn)行比較。

本文選取了南京G235東壩下行段全月數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說(shuō)明，將每日中午12時(shí)的小客車(chē)速度作為缺失值，利用其余時(shí)段速度的已知值對(duì)該值進(jìn)行修復(fù)，得到的結(jié)果如圖2—3所示，總體誤差指標(biāo)如表1所示。

結(jié)果表明，拉格朗日插值結(jié)果與真實(shí)值的均方誤差在可接受范圍內(nèi)，平均絕對(duì)百分比誤差小，拉格朗日插值法在缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)工作中效果較好。

5? ? 結(jié)語(yǔ)

文章基于拉格朗日插值法對(duì)國(guó)省干線(xiàn)的交通數(shù)據(jù)缺失值進(jìn)行填補(bǔ)，并結(jié)合具體實(shí)例驗(yàn)證了拉格朗日插值法對(duì)于缺失值填補(bǔ)的有效性。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的缺失值，拉格朗日插值法簡(jiǎn)單、方便、易實(shí)現(xiàn)，且拉格朗日插值法公式的結(jié)構(gòu)整齊緊密，為理論研究提供了便利。利用拉格朗日插值法填充國(guó)省干線(xiàn)交通數(shù)據(jù)的缺失值，可以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，也確保了數(shù)據(jù)在交通控制、路網(wǎng)規(guī)劃等應(yīng)用中的可靠性。

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（編輯 姚 鑫）