倪玉雙 蔣耀華 楊春俠

摘 要：基于貝葉斯理論推斷既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度，將現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度作為先驗(yàn)信息，同時(shí)利用塊體和砂漿回彈法檢測(cè)強(qiáng)度的推定值，按照《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50003—2011）中的砌體抗壓強(qiáng)度計(jì)算公式構(gòu)造似然函數(shù)，聯(lián)合先驗(yàn)信息和似然函數(shù)，推導(dǎo)既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的后驗(yàn)分布，研究結(jié)果表明：通過(guò)后驗(yàn)分布可得到綜合各種信息的既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的合理推斷值。且已建立的后驗(yàn)分布可作為下一次抗壓強(qiáng)度貝葉斯推斷的先驗(yàn)信息，可實(shí)現(xiàn)既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度值的動(dòng)態(tài)長(zhǎng)期觀測(cè)，為砌體結(jié)構(gòu)的定期維修和加固提供依據(jù)，為砌體結(jié)構(gòu)的可持續(xù)發(fā)展提供基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：既有建筑;砌體抗壓強(qiáng)度;貝葉斯推斷;先驗(yàn)信息;似然函數(shù);后驗(yàn)分布

中圖分類號(hào)：TU362 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-6717（2021）06-0082-06

Abstract： Based on Bayesian theory， the compressive strength of existing masonry structure was deduced.The compressive strength of masonry tested by the method of axial compression in situ was taken as a prior information. At the same time， the estimated value of strength of block and mortar detected by the rebound method was used to construct the likelihood function， according to the calculation formula of compressive strength of masonry in the "Code for Design of Masonry Structures" （GB 50003-2011）.Combining the prior information and the likelihood function， the posterior distribution of compressive strength of existing building masonry was derived.The research results show that the reasonable inferred values of compressive strength of existing masonry structures containing various information can be obtained through the posterior distribution. Moreover， the established posterior distribution can be used as the prior information for subsequent compressive strength Bayesian reference， which can realize the dynamic long-term observation of compressive strength of existing masonry structure.Furthermore，it provides a basis for the regular maintenance and reinforcement of existing masonry structure， and provides a foundation for the sustainable development of existing masonry structure.

Keywords： existing structure; compressive strength of masonry; Bayesian inference; prior information;likelihood function; posterior distribution

“可持續(xù)發(fā)展”越來(lái)越成為各類工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的主題，根據(jù)《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50153—2008），《建筑結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50068—2018）修訂中增加了“使結(jié)構(gòu)符合可持續(xù)發(fā)展的要求”。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)而言，可持續(xù)發(fā)展在社會(huì)方面的內(nèi)容就是要保證使用者的健康和舒適，保護(hù)建筑工程的文化價(jià)值[1]。

砌體結(jié)構(gòu)是一種重要的建筑結(jié)構(gòu)形式，在中國(guó)有大量的既有砌體結(jié)構(gòu)，包括大量的砌體古建筑，古建筑作為凝固的藝術(shù)，承載著大量而豐富的歷史信息，保護(hù)這些既有砌體結(jié)構(gòu)具有重要的意義。而這些既有砌體結(jié)構(gòu)在不同程度上需要定期的維修和加固，維修加固通常需要通過(guò)調(diào)查檢測(cè)、結(jié)構(gòu)試驗(yàn)獲得相關(guān)強(qiáng)度數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行分析，砌體的抗壓強(qiáng)度就是一個(gè)非常重要的強(qiáng)度指標(biāo)。對(duì)于既有建筑砌體的抗壓強(qiáng)度，目前主要有兩種方法進(jìn)行檢測(cè)：直接法和間接法。直接法是在現(xiàn)場(chǎng)直接檢測(cè)砌體的抗壓強(qiáng)度，原位軸壓法屬于直接法;間接法是通過(guò)檢測(cè)砌筑塊材和砂漿的強(qiáng)度來(lái)計(jì)算砌體的強(qiáng)度[2]。由于樣本離散性、量測(cè)誤差等不確定因素的影響，這兩種方法推定的強(qiáng)度值在某些情況下存在差異。同時(shí)，對(duì)于既有砌體結(jié)構(gòu)而言，不管是哪種方法，都受到現(xiàn)場(chǎng)條件的限制，可獲得的砌體抗壓強(qiáng)度實(shí)測(cè)樣本有限，特別是對(duì)于具有歷史保護(hù)價(jià)值的砌體結(jié)構(gòu)，一磚一瓦都彌足珍貴，應(yīng)該盡可能地利用已有信息，對(duì)強(qiáng)度進(jìn)行合理推斷。

貝葉斯方法正是一種可以充分利用各種信息的有效方法，利用貝葉斯理論可賦予先驗(yàn)信息和似然函數(shù)中的樣本信息合理的權(quán)重，使得推斷結(jié)果更為全面合理。更為重要的是基于貝葉斯理論的強(qiáng)度推斷結(jié)果具有可持續(xù)性，已有的后驗(yàn)分布可以作為下一次強(qiáng)度推斷的先驗(yàn)信息，作為下一次進(jìn)行貝葉斯推斷的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，對(duì)于需要保護(hù)的砌體古建筑而言，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的長(zhǎng)期觀測(cè)，具有非常重要的工程價(jià)值和社會(huì)意義。目前，貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論在英美等西方發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)稱為當(dāng)前兩大統(tǒng)計(jì)學(xué)派之一，并在實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，貝葉斯理論也被學(xué)者們應(yīng)用到巖土工程[3-5]和結(jié)構(gòu)工程[6-10]等領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的不確定性分析，但在砌體結(jié)構(gòu)中進(jìn)行強(qiáng)度推斷方面的研究不多，彭斌，汪瀾涯[11-12]等基于貝葉斯方法對(duì)砌體抗壓強(qiáng)度進(jìn)行過(guò)推定，但是實(shí)現(xiàn)過(guò)程較為復(fù)雜。筆者用簡(jiǎn)單可行且力學(xué)概念清晰的方法實(shí)現(xiàn)既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷。

1 貝葉斯定理

貝葉斯學(xué)派的最基本的觀點(diǎn)是：任一個(gè)未知量θ都可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)該用一個(gè)概率分布去描述θ的未知狀況。這個(gè)概率分布是在抽樣前就有的有關(guān)θ的先驗(yàn)信息的概率陳述，被稱為先驗(yàn)分布。

貝葉斯方法就是將關(guān)于未知參數(shù)的先驗(yàn)信息與樣本信息進(jìn)行綜合，再根據(jù)貝葉斯定理，得出后驗(yàn)信息去推斷未知參數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的貝葉斯公式可用式（1）表示[13]。

式中：π（θ|x）為后驗(yàn)密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的分布稱為后驗(yàn)分布，它綜合了有關(guān)參數(shù)θ的先驗(yàn)信息和抽樣信息。π（θ）是參數(shù)θ的先驗(yàn)密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的分布為先驗(yàn)分布。L（x|θ）為似然函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，先驗(yàn)分布反映了人們?cè)诔闃忧皩?duì)參數(shù)θ的認(rèn)識(shí)，后驗(yàn)分布反映了人們?cè)诔闃雍髮?duì)參數(shù)θ的認(rèn)識(shí)，它實(shí)際上是通過(guò)抽樣信息對(duì)參數(shù)θ的先驗(yàn)信息進(jìn)行調(diào)整，因此，基于后驗(yàn)分布對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷更加有效，也更加合理。也可以把式（1）寫(xiě)成式（2）。

其中：∝表示“正比于”，兩邊只差一個(gè)不依賴于θ的常數(shù)因子，式（2）右端雖不是正常的密度函數(shù)，但它是后驗(yàn)分布π（θ|x）的核，在某些時(shí)候可以用來(lái)簡(jiǎn)化后驗(yàn)分布的計(jì)算。

2 砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷

2.1 似然函數(shù)

《建筑結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50068—2018）明確規(guī)定材料強(qiáng)度的概率分布宜采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，因此，砌體抗壓強(qiáng)度、塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度概率模型均用對(duì)數(shù)正態(tài)分布表示。因?yàn)槠鲶w抗壓強(qiáng)度與塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度有關(guān)，若有塊體強(qiáng)度和砂漿強(qiáng)度的觀測(cè)值，可利用砌體抗壓強(qiáng)度與二者的關(guān)系建立砌體抗壓強(qiáng)度的似然函數(shù)。

《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50003—2011）[14]采用式（3）來(lái)計(jì)算砌體抗壓強(qiáng)度平均值。

式中：fm為砌體抗壓強(qiáng)度平均值;f1為塊體的強(qiáng)度等級(jí)值或平均值;f2為砂漿抗壓強(qiáng)度平均值;α為與塊體高度有關(guān)的參數(shù);k1為反映塊體種類的參數(shù);k2為采用低強(qiáng)度等級(jí)砂漿時(shí)的修正系數(shù)。α、k1和k2的取值規(guī)定見(jiàn)《砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50003—2011）。為構(gòu)造砌體抗壓強(qiáng)度平均值fm的似然函數(shù)，對(duì)式（3）兩邊取對(duì)數(shù)[12]，得到式（4）。

2.2 后驗(yàn)分布

以上砌體抗壓強(qiáng)度樣本的似然函數(shù)為正態(tài)分布，為了便于推導(dǎo)強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布，利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換，用另一正態(tài)分布N（μ，τ2）作為均值θ的先驗(yàn)分布，利用先驗(yàn)信息可確定μ和τ2的取值。

先驗(yàn)分布和似然函數(shù)都確定后，即可由式（2）得出砌體抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布，如式（9）所示。

從μ1的計(jì)算公式可以看出，后驗(yàn)均值是在先驗(yàn)均值與似然函數(shù)中的樣本均值間采取折中方案，有了砌體抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布后，即可綜合先驗(yàn)信息和樣本信息對(duì)強(qiáng)度均值進(jìn)行更好的推斷，由上式可知，要定量計(jì)算出后驗(yàn)分布，還需要對(duì)塊體和砂漿的概率密度模型進(jìn)行推定。

3 塊體和砂漿強(qiáng)度概率密度模型推定

3.1 塊體強(qiáng)度f(wàn)1的概率密度模型

3.1.1 參數(shù)的最大似然估計(jì)

依據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50068—2018）的規(guī)定，取塊體強(qiáng)度f(wàn)1服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則F1=ln f1服從正態(tài)分布，記為F1～N（θF1，σ2F1），可用式（10）表示。

3.1.2 參數(shù)估計(jì)值的偏差分析

求得參數(shù)的估計(jì)值以后，利用無(wú)偏性準(zhǔn)則來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，則稱此估計(jì)量為被估計(jì)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，即具有無(wú)偏性。下面即對(duì)塊體強(qiáng)度分布的均值和方差的極大似然估計(jì)值的偏差進(jìn)行分析。

由式（15）可知，F(xiàn)1ML是均值的無(wú)偏估計(jì)量。

由式（16）可知，最大似然估計(jì)值σ^2F1ML是方差的有偏估計(jì)量，故要推導(dǎo)另一估計(jì)值。因?yàn)橛惺剑?7）成立，故樣本方差可以用來(lái)作為總體方差的估計(jì)值。

故塊體強(qiáng)度分布模型F1～N（θF1，σ2F1）中的均值和方差的估計(jì)值為

只要有一組塊體強(qiáng)度的觀測(cè)值，就可以按式（18）的均值和方差的估計(jì)值確定其分布。

3.2 砂漿強(qiáng)度f(wàn)2的概率密度模型

砂漿強(qiáng)度f(wàn)2的概率密度模型推導(dǎo)方法同塊體強(qiáng)度f(wàn)1，即對(duì)F2～N（θF2，σ2F2），有式（19）成立。

塊體和砂漿強(qiáng)度的概率模型確定以后，按式（8）可確定抗壓強(qiáng)度的似然函數(shù)，按現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度確定先驗(yàn)分布，則對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)分布即可按式（9）確定。后驗(yàn)分布確定后既可以得到砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷值，下面用一具體算例說(shuō)明整個(gè)實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

4 算例

以國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司東塘二辦公樓結(jié)構(gòu)現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)結(jié)果對(duì)砌體抗壓強(qiáng)度進(jìn)行貝葉斯推斷。根據(jù)《砌體工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50315—2011）[15]的規(guī)定采用回彈法檢測(cè)磚與砂漿抗壓強(qiáng)度，現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)如圖1所示，采用現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法檢測(cè)砌體抗壓強(qiáng)度，現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)如圖2所示。

4.1 砌體抗壓強(qiáng)度平均值

將整幢建筑的承重墻體劃分為1個(gè)檢測(cè)單元，從1層到6層的墻體共選擇10個(gè)測(cè)區(qū)，每個(gè)測(cè)區(qū)中選擇10個(gè)測(cè)位進(jìn)行磚的回彈測(cè)試，將回彈測(cè)試值按《砌體結(jié)構(gòu)工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50315—2011）中的數(shù)據(jù)分析要求換算為磚抗壓強(qiáng)度平均值，見(jiàn)表1中f1，在磚塊回彈測(cè)試的相同測(cè)區(qū)內(nèi)同樣選擇10個(gè)測(cè)位進(jìn)行砂漿的回彈測(cè)試，并根據(jù)回彈值和碳化深度值按《砌體結(jié)構(gòu)工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50315—2011）中的數(shù)據(jù)分析要求換算為砂漿抗壓強(qiáng)度平均值，見(jiàn)表1中f2，在磚和砂漿強(qiáng)度的10個(gè)測(cè)區(qū)中選擇3個(gè)部位將承重墻體開(kāi)槽后進(jìn)行原位軸壓法測(cè)試，并將槽間砌體抗壓強(qiáng)度換算為標(biāo)準(zhǔn)砌體抗壓強(qiáng)度，見(jiàn)表1中fm。

由表1中數(shù)據(jù)及式（18）可得F1～N（θF1，σ2F1）=1.85，

2F1=0.016，由表1中數(shù)據(jù)及式（19）可得

F2～N（θF2，σ2F2）=0.21，2F2=0.002 7，將現(xiàn)場(chǎng)原位軸壓法檢測(cè)結(jié)果作為先驗(yàn)信息，可得μ=0.97，τ2=0.000 2，即抗壓強(qiáng)度均值的先驗(yàn)分布為N（μ，τ2）～N（0.97，0.000 2）。

最后，聯(lián)合先驗(yàn)分布和似然函數(shù)，由式（9）可得，抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布為N（μ1，τ21）～N（0.95，0.000 16），將抗壓強(qiáng)度均值的先驗(yàn)分布、似然函數(shù)和后驗(yàn)分布繪制在圖3中，由圖3可知，后驗(yàn)分布是先驗(yàn)分布與似然函數(shù)的折中。

利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換關(guān)系可知，通過(guò)抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布可得砌體抗壓強(qiáng)度平均值的貝葉斯推斷值為2.58 MPa，而由檢測(cè)結(jié)果可知，現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.64 MPa，將表1中的塊體強(qiáng)度平均值f1和砂漿強(qiáng)度平均值f2代入式（3）可計(jì)算出砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.42 MPa?？梢?jiàn)，利用貝葉斯理論推斷的砌體抗壓強(qiáng)度平均值介于現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試結(jié)果和利用塊體和砂漿強(qiáng)度檢測(cè)值計(jì)算的結(jié)果之間，能夠?qū)煞N方法的信息按照一定的權(quán)重比進(jìn)行綜合。

4.2 砌體抗壓強(qiáng)度推定值

按《砌體結(jié)構(gòu)工程現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50315—2011）中關(guān)于強(qiáng)度推定的要求，計(jì)算砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值，先按公式（15.0.3-1）～ （15.0.3-3）求得每一檢測(cè)單元的砌體抗壓強(qiáng)度平均值x-、強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差s和變異系數(shù)δ，然后結(jié)合測(cè)區(qū)數(shù)是否大于等于6個(gè)來(lái)選用公式（15.0.8-1）或（15.0.8-3）進(jìn)行推定。

原位軸壓法測(cè)得的砌體抗壓強(qiáng)度平均值為2.64 MPa，但原位軸壓法的測(cè)區(qū)為3個(gè)，小于6，故按式（15.0.8-3）確定砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值，即取測(cè)區(qū)砌體抗壓強(qiáng)度的最小值2.61 MPa。

通過(guò)塊體和砂漿的強(qiáng)度得到的砌體抗壓強(qiáng)度平均值x-=2.42 MPa，同一檢測(cè)單元按10個(gè)測(cè)區(qū)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差s=0.23，變異系數(shù)δ=0.09，又測(cè)區(qū)大于6，故按式（15.0.8-1）確定砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值為2.01 MPa。

通過(guò)貝葉斯推斷的砌體抗壓強(qiáng)度的平均值x-=2.58 MPa，其中的2.58為將抗壓強(qiáng)度均值的后驗(yàn)分布N（μ1，τ21）～N（0.95，0.000 16）中的均值進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換而得，同理，可以利用后驗(yàn)分布中的均值μ1=0.95 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.000 16=0.013，變異系數(shù)δ=0.013，聯(lián)合式（15.0.3-1）～ （15.0.3-3）及（15.0.8-1）計(jì)算得出貝葉斯推斷的砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值的對(duì)數(shù)值為0.92 MPa，轉(zhuǎn)換后得貝葉斯推定的砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為2.51 MPa。

由此可知，對(duì)于砌體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的推定值，原位軸壓法測(cè)試值推定的為2.61 MPa，利用塊體和砂漿的回彈檢測(cè)值推定得到的為2.01 MPa，貝葉斯方法計(jì)算得到的為2.51 MPa，仍然介于兩者之間，進(jìn)一步說(shuō)明利用貝葉斯方法可以將直接法和間接法獲得的砌體強(qiáng)度信息相結(jié)合，從而降低推定結(jié)果的不確定性。

5 結(jié)論

1）既有建筑砌體抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷可以將現(xiàn)場(chǎng)原位測(cè)試的砌體抗壓強(qiáng)度值和通過(guò)塊體和砂漿強(qiáng)度推定的計(jì)算值以一定的權(quán)重相結(jié)合，若似然函數(shù)中樣本均值的方差偏小，則其在后驗(yàn)均值中的權(quán)重就大，反之，所占的權(quán)重就小，即貝葉斯推斷的后驗(yàn)分布是在先驗(yàn)分布與似然函數(shù)間采取的折中方案，使得最后的結(jié)果充分考慮各種信息，更為全面合理。

2）既有砌體結(jié)構(gòu)抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷結(jié)果具有可持續(xù)性，已有的后驗(yàn)分布可以作為下一次強(qiáng)度推斷的先驗(yàn)信息，在實(shí)際工程中可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度的動(dòng)態(tài)長(zhǎng)期觀測(cè)。

3）既有砌體結(jié)構(gòu)抗壓強(qiáng)度的貝葉斯推斷中的思路和方法可推廣到其他強(qiáng)度指標(biāo)，對(duì)檢測(cè)、結(jié)構(gòu)試驗(yàn)獲得的相關(guān)強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作為砌體結(jié)構(gòu)定期維修和加固的依據(jù)，降低推定結(jié)果的不確定性，有利于客觀分析和決策，為最大程度地實(shí)現(xiàn)砌體結(jié)構(gòu)的可持續(xù)發(fā)展提供基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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（編輯 胡玲）