李遠(yuǎn)飛， 肖勝中， 郭連紅

（1.廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州511300； 2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科研處，廣東 廣州510507）

原始方程組的數(shù)學(xué)研究是由Lions等［1-4］首先發(fā)起的.首先需要關(guān)心的是這些方程組在數(shù)學(xué)上是否具有內(nèi)在的邏輯統(tǒng)一性，即適定性.2015年，Zelati等［5］考慮到由于空氣飽和以及凝結(jié)而引起的重要相變現(xiàn)象，對經(jīng)典大氣原始方程組進(jìn)行了修正，利用微分和變分不等式，提出了存在飽和蒸汽的大氣原始方程組.利用微分不等式技術(shù)，證明了擬強(qiáng)解和強(qiáng)解的整體存在性及唯一性.利用精細(xì)的能量估計(jì)，Guo等［6-7］得到了干大氣原始方程組光滑解的整體存在性以及濕大氣原始方程組的整體適定性問題.更多關(guān)于原始方程組適定性的結(jié)果，參見文獻(xiàn)［8-14］.文獻(xiàn)［15］陳述了大氣、海洋動力學(xué)中一些非線性偏微分方程在最近幾十年的發(fā)展演變.

近來，開始關(guān)注原始方程組的連續(xù)依賴性.文獻(xiàn)［16］考慮了柱形區(qū)域上帶振蕩隨機(jī)力的大尺度海洋三維原始方程組，證明了解對黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性.文獻(xiàn)［17］利用方程微分不等式技巧和能量估計(jì)的方法，證明了大尺度海洋、大氣動力學(xué)三維黏性原始方程的解連續(xù)地依賴于邊界參數(shù).這種研究的靈感來自于流體方程組的穩(wěn)定性研究.目前已經(jīng)出現(xiàn)了大量的成果，可見文獻(xiàn)［18-24］及其相關(guān)文獻(xiàn).本文研究文獻(xiàn)［5］提出的存在飽和蒸汽的大氣原始方程組

其中，Ω=M×（p0，p1）表示R3的一個柱形區(qū)域以及M表示平面區(qū)域R2上的一個有界光滑區(qū)域，v=（v1，v2）表示水平速度場，w表示風(fēng)的垂直速度，T表示溫度，q表示空氣中的比濕度，即單位質(zhì)量濕空氣中的水蒸氣質(zhì)量，Φ表示壓力，f是Coriolis參數(shù)，k是極點(diǎn)方向（從南到北）的單位矢量，ρ表示密度，p表示壓強(qiáng)，表示對p的偏導(dǎo)數(shù)，R＞0表示氣體常數(shù)，cp是比熱容，▽=（?x，?y）表示梯度算子，ST對應(yīng)于太陽的熱量和通過冷凝或蒸發(fā)增加或消除的熱量之和，Sq表示通過冷凝或蒸發(fā)添加或移除的水量.另外，由于考慮的方程是大氣黏性原始方程組，所以Av、AT和Aq表示

其中v0（x，y，p）、T0（x，y，p）、q0（x，y，p）是非負(fù)的連續(xù)函數(shù).

本文的主要目的是研究初邊值問題（1）～（10）對邊界參數(shù)的收斂性.與連續(xù)依賴性不同，本文所關(guān)注的收斂性是研究當(dāng)方程組的系數(shù)、邊界參數(shù)或已知函數(shù)趨近于零時對方程組帶來的影響.能得到方程組的連續(xù)依賴性并不意味著一定能得到方程組的收斂性，例如可以獲得方程組對黏度系數(shù)的連續(xù)依賴性，但是無法推出其收斂性.然而，對原始方程組的系數(shù)、參數(shù)等收斂性的研究目前還沒有相關(guān)結(jié)果.利用已知數(shù)據(jù)項(xiàng)來推導(dǎo)解的先驗(yàn)界，通過解的先驗(yàn)估計(jì)和能量估計(jì)來證明方程對邊界參數(shù)的收斂性.

1 準(zhǔn)備工作

2 先驗(yàn)界

證畢.

3 收斂性結(jié)果

本節(jié)來推導(dǎo)本文的主要定理，這個過程分如下幾步進(jìn)行.

此定理表明當(dāng)~a→0，~b→0時，（v，T，q）→（0，0，0）.這就表明方程（1）～（10）的解對邊界參數(shù)的收斂性.在定理1的基礎(chǔ)上，密度ρ對邊界參數(shù)的收斂性可以利用方程（6）得到.

4 小結(jié)

本文使用了能量估計(jì)的辦法，得到了原始方程組解對邊界參數(shù)的收斂性.本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)就是用一個新的視角去研究原始方程組以及如何推導(dǎo)解的先驗(yàn)界，這類研究目前還比較少.接下來，也可以繼續(xù)研究濕大氣原始方程組的收斂性，這類研究還可以向帶隨機(jī)力的原始方程組、海洋原始方程組、大氣原始方程組以及耦合了海洋和大氣的原始方程組甚至干大氣原始方程組展開，這將是下一步研究的一個重點(diǎn)方向.

致謝廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院校內(nèi)學(xué)術(shù)類科研項(xiàng)目（2019HSXS05）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.