陳 江， 張賢勇， 莫智文

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 智能信息與量子信息研究所，四川 成都610066）

模糊集與粗糙集是2種基本的不確定性模型，兩者結(jié)合的模糊粗糙集與粗糙模糊集能夠系統(tǒng)探尋不確定性［1］，其中模糊粗糙集將經(jīng)典粗糙集中的等價(jià)關(guān)系推廣到模糊關(guān)系，成為一種強(qiáng)健的不確定性處理模型［2-4］，其深入拓展能夠更好獲取適用性與優(yōu)效性，相關(guān)構(gòu)建主要涉及“多粒度深化”與“雙論域推廣”.

多粒度深化技術(shù)聚焦一族等價(jià)關(guān)系，集成構(gòu)建概念的悲觀近似與樂觀近似，從而建立多種多粒度粗糙集模型［5-6］，具有拓展研究與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值［7-8］.此外，雙論域推廣是拓展經(jīng)典粗糙集的又一方向，雙論域粗糙集具有諸多研究［9-10］，并產(chǎn)生了雙論域模糊粗糙集［11-12］.在此基礎(chǔ)上，模糊粗糙集已經(jīng)拓展到多粒度模糊粗糙集［13-14］、雙論域模糊粗糙集［11-12］、雙論域多粒度模糊粗糙集［15-16］，而雙論域多粒度模糊粗糙集最終成為一類重要模型.

雙論域多粒度模糊粗糙集能夠有效處理多粒度與雙論域問題，具有研究意義.對(duì)此模型，文獻(xiàn)［16］研究雙論域上基于多粒度模糊概念的粗糙逼近問題；文獻(xiàn)［17］研究上下近似的包含條件，并給出一種標(biāo)準(zhǔn)化方法.上下近似關(guān)于并交運(yùn)算的系統(tǒng)性質(zhì)是近似逼近與邏輯融合的基礎(chǔ)，它們基本存在于經(jīng)典粗糙集模型，但尚未涉及到雙論域多粒度模糊粗糙集.本文主要探討雙論域多粒度模糊粗糙集近似的并交關(guān)系，并對(duì)比分析關(guān)于經(jīng)典粗糙集模型的異同性，從而揭示相關(guān)的擴(kuò)張?zhí)匦?

1 雙論域多粒度模糊粗糙集

這里簡(jiǎn)要回顧雙論域多粒度模糊粗糙集，為后續(xù)并交系統(tǒng)分析奠定基礎(chǔ).

定義1［18］論域U、V為2個(gè)非空有限集合，R={R1，R2，…，Rm}是從U到V的二元模糊關(guān)系簇，其中Rt∈F（U×V）（t=1，2，…，m）.有序三元組（U，V，R）稱為雙論域多粒度模糊近似空間.

其中，∧、∨分別為取小、取大運(yùn)算.

下面提供一個(gè)實(shí)例來說明雙論域多粒度模糊粗糙集，主要說明其中的悲觀、樂觀雙近似性質(zhì).

例1在醫(yī)療診斷中，設(shè)疾病集U=｛病毒性發(fā)熱，痢疾，傷寒｝=｛x1，x2，x3｝，癥狀集V=｛發(fā)燒，頭痛，胃痛｝=｛y1，y2，y3｝，Rt（t=1，2，3）∈F（U×V）是3個(gè)專家分別給出的U到V關(guān)系，其中

為病人對(duì)自己病情的描述.

令R=｛R1，R2，R3｝，則對(duì)于疾病x1、x2、x3，利用（1）式考慮悲觀情況，此時(shí)專家判斷病人A患有疾病x1的雙近似估計(jì)為

再考慮樂觀模型，利用（2）式可以進(jìn)行類似悲觀模型的計(jì)算方法，結(jié)果為

2 雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質(zhì)

雙論域多粒度模糊粗糙集的類似情形值得探討，本節(jié)分悲觀與樂觀2種情形來研究相關(guān)的雙近似并交系統(tǒng)性質(zhì).在雙論域多粒度模糊近似空間（U，V，R）中，下設(shè)模糊集A，B∈F（V）.

2.1 悲觀情況下的雙近似并交性質(zhì)

針對(duì)悲觀情況，性質(zhì)1～性質(zhì)4提供了雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質(zhì)，其與經(jīng)典粗糙集模型的結(jié)果（（3）式）完全一致，這表明了模型擴(kuò)張的正常性.

2.2 樂觀情況下的雙近似并交性質(zhì)上面提供了悲觀情況下的雙近似并交性質(zhì)，下面轉(zhuǎn)向?qū)ΨQ的樂觀情況，得出更一般的子集關(guān)系或超集關(guān)系.相關(guān)證明可以類似進(jìn)行，下面采用近似算子的單調(diào)性這一新策略.

引理1若A′?A″，則

證明由（2）式有

引理1表明樂觀上下近似算子均具有關(guān)于集合包含的單調(diào)性.由此，可以直接得到下述樂觀上下近似的并交性質(zhì)，其中涉及到基本關(guān)系：A∩B?A?A∪B，A∩B?B?A∪B.

針對(duì)樂觀情況，性質(zhì)5～性質(zhì)8提供了雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質(zhì).對(duì)比經(jīng)典粗糙集模型的結(jié)果（（3）式），性質(zhì)5、性質(zhì)8呈現(xiàn)微觀差異性，性質(zhì)6、性質(zhì)7具有完全一致性，這表明了模型擴(kuò)張的特異性.

分析悲觀與樂觀上下近似算子的運(yùn)算機(jī)制（參見（1）（2）式），悲觀上下近似算子對(duì)粒度的集成運(yùn)算與對(duì)論域V中單元的集成運(yùn)算一致，而樂觀上下近似算子相反.同時(shí)結(jié)合∨、∧運(yùn)算性質(zhì)中的分配律與結(jié)合律，對(duì)比經(jīng)典粗糙集模型的結(jié)果，悲觀上下近似算子并交運(yùn)算的相等關(guān)系得以保持，而樂觀上下近似算子并交運(yùn)算的相等關(guān)系不再成立.下面主要分析差異性來源.具體地，在樂觀情況中，對(duì)?x∈U，有

等號(hào)不成立，故性質(zhì)5只能得到包含關(guān)系的一般結(jié)論.

等號(hào)不成立，故性質(zhì)8只能得到子集關(guān)系的一般結(jié)論.

通過上述分析，樂觀上下近似算子對(duì)于粒度的集成運(yùn)算和對(duì)論域中單元集成運(yùn)算的不一致性，是導(dǎo)致不同于經(jīng)典粗糙集結(jié)果的原因，也是導(dǎo)致悲觀近似算子與樂觀近似算子性質(zhì)的差異性的原因.樂觀近似算子性質(zhì)（主要是性質(zhì)5、性質(zhì)8）具有拓展性而非保持性，在多粒度環(huán)境下，能否一定達(dá)到保持條件或者在什么條件下可以達(dá)到保持條件成為一個(gè)問題.考慮到多粒度具有向單粒度的退化性，下面通過條件m=1自然得到一種基本的等號(hào)保持性關(guān)系.

3 實(shí)例分析

本節(jié)提供實(shí)例分析，具體說明雙論域多粒度模糊粗糙集的并交關(guān)系，即上述性質(zhì)1～性質(zhì)8.

例2這里采用例1的數(shù)據(jù)與結(jié)果，其中A的雙論域多粒度模糊粗糙集雙近似如下：

從而性質(zhì)5～8的并交關(guān)系成立.

4 結(jié)束語

對(duì)比經(jīng)典粗糙集的近似并交性質(zhì)，本文研究了雙論域多粒度模糊粗糙集的近似并交性質(zhì)并給予實(shí)例驗(yàn)證，得到了后者在模型擴(kuò)張時(shí)產(chǎn)生的系統(tǒng)性與特異性.根據(jù)性質(zhì)1～性質(zhì)8，在雙論域多粒度模糊粗糙集的樂觀情況下，并的上下近似總是包含上下近似的并；而交的上下近似總是包含于上下近似的交，性質(zhì)5、性質(zhì)8與經(jīng)典模型的傳統(tǒng)相等結(jié)果（（3）式）有所差異，其他結(jié)果則是完全一致的.進(jìn)而，模型滿足什么條件時(shí)，性質(zhì)5、性質(zhì)8可能達(dá)到等號(hào)（即樂觀近似算子具有對(duì)比經(jīng)典情況的保持性）成為一個(gè)問題.考慮到經(jīng)典粗糙集具有關(guān)于平凡集、子集、并交補(bǔ)運(yùn)算、冪作用的系統(tǒng)性質(zhì)，因而雙論域多粒度模糊粗糙集也值得進(jìn)行類似的系統(tǒng)研究.對(duì)此，文獻(xiàn)［17］討論了子集關(guān)系，本文討論了并交關(guān)系，剩余的情形還需要深入研究.