安靖婕 張露妍 趙品彰 / 江蘇省計(jì)量科學(xué)研究院

0 引言

在電磁相關(guān)的科學(xué)或工程研究領(lǐng)域，亥姆霍茲線圈是一種常見(jiàn)的儀器設(shè)備，能夠產(chǎn)生可計(jì)算的靜態(tài)或者交流磁場(chǎng)，應(yīng)用于地磁場(chǎng)的測(cè)量及補(bǔ)償[1]、電磁場(chǎng)的模擬[2]、弱磁場(chǎng)測(cè)量?jī)x器的校準(zhǔn)[3][4][5][6][11]、電磁兼容抗擾度試驗(yàn)[7]等方面。文獻(xiàn)[8][9]表明，在亥姆霍茲線圈中心附近的一定空間內(nèi)，磁場(chǎng)均勻，這種特性對(duì)于弱磁儀器的校準(zhǔn)和電磁兼容抗擾度試驗(yàn)非常重要。

亥姆霍茲線圈中心軸向磁場(chǎng)的精確計(jì)算是應(yīng)用的基礎(chǔ)。以圓形亥姆霍茲線圈為例，文獻(xiàn)[3][4][10]分析了影響中心軸向磁場(chǎng)測(cè)量準(zhǔn)確度的各個(gè)因素，包括線圈機(jī)械尺寸（半徑、間距）誤差、饋入電流的量值誤差、導(dǎo)線匝數(shù)誤差、頻率上限等。在計(jì)算中心軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度和分析誤差時(shí)，將線圈視作圓形電流環(huán)，橫截面積相對(duì)線圈直徑近似為零，可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；實(shí)際上，當(dāng)線圈匝數(shù)較多且電流較大時(shí)，橫截面積會(huì)影響中心軸向磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果，尤其在應(yīng)用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生校準(zhǔn)用的精密標(biāo)準(zhǔn)磁場(chǎng)時(shí)，這一影響更應(yīng)被重視，本文將對(duì)此展開(kāi)論述。

1 圓形電流環(huán)軸線上的軸向磁場(chǎng)

如圖1所示，假設(shè)有一個(gè)圓形電流環(huán)，環(huán)的橫截面積遠(yuǎn)小于相對(duì)環(huán)半徑，以它的中心為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系，x軸穿過(guò)原點(diǎn)并與圓環(huán)平面垂直，則在x軸上靠近原點(diǎn)的某一點(diǎn)P(xP,0,0)沿x軸方向的磁場(chǎng)強(qiáng)度Hx(xP,0,0)可用式（1）計(jì)算：

圖1 圓形電流環(huán)示意圖

式中：Hx(xP,0,0) —— 磁場(chǎng)強(qiáng)度，A/m；

r—— 圓環(huán)的半徑，m；

xP——P點(diǎn)的x軸坐標(biāo)值，m；

I—— 導(dǎo)體中的電流值，A

2 亥姆霍茲線圈的中心軸向磁場(chǎng)

如圖2所示，圓形亥姆霍茲線圈由一對(duì)線圈平行共軸放置而成，兩個(gè)線圈的匝數(shù)分別為N1和N2，半徑分別為r1和r2，兩個(gè)線圈之間的間距為d，導(dǎo)線中的電流為I，且方向相同。根據(jù)亥姆霍茲線圈的定義，應(yīng)滿足N1=N2=N，r1=r2=r，d=r?，F(xiàn)在以亥姆霍茲線圈的中心為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系，x軸穿過(guò)原點(diǎn)并與線圈平面垂直。假如不考慮線圈的橫截面積，將其視為電流環(huán)，參考式（1），亥姆霍茲線圈在靠近原點(diǎn)的x軸上一點(diǎn)P(xP,0,0)沿x軸方向產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

圖2 亥姆霍茲線圈示意圖

則在原點(diǎn)沿x軸方向產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度HC可通過(guò)式（3）計(jì)算，式（3）被稱為經(jīng)典公式：

當(dāng)線圈匝數(shù)較多時(shí)，無(wú)法忽視橫截面積對(duì)中心軸向磁場(chǎng)數(shù)值的影響。用xOy平面將線圈切開(kāi)，得到圖3所示的橫截面，稱之為非零橫截面。將此橫截面近似為矩形，假設(shè)其x軸方向的邊長(zhǎng)為2b（寬度），y軸方向的邊長(zhǎng)為2a（厚度）。在線圈繞制過(guò)程中，多匝導(dǎo)線之間存在間隙（如圖4所示），在繞制足夠緊密的條件下，導(dǎo)線間隙很小，甚至可以被忽略，則橫截面內(nèi)的等效平均電流密度

圖3 非零橫截面

圖4 橫截面示意圖

圖3中，在第一象限的橫截面內(nèi)找到一點(diǎn)A（xA,yA），則在第二象限的橫截面內(nèi)可以找到一點(diǎn)B（xA-d,yA），AB與x軸平行且A與B之間的距離為d；在第三象限的橫截面內(nèi)可以找到一點(diǎn)C（xA-d,-yA），B與C相關(guān)于x軸對(duì)稱；在第四象限的橫截面內(nèi)可以找到一點(diǎn)D（xA,-yA），D與A相關(guān)于x軸對(duì)稱。如果將A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)視為線圈橫截面微元，則四個(gè)微元構(gòu)成了以x軸為中軸線的亥姆霍茲子線圈橫截面，而子線圈的中心點(diǎn)在原點(diǎn)附近沿x軸移動(dòng)。

基于該思路，將亥姆霍茲線圈橫截面分割成圖5所示的微單元網(wǎng)格，第一象限的橫截面內(nèi)的每一個(gè)電流微元λe·dxdy，在另外三個(gè)象限的橫截面內(nèi)總能找到對(duì)應(yīng)的微元，與之組成亥姆霍茲子線圈橫截面；眾多子線圈在原點(diǎn)附近沿x軸方向的磁場(chǎng)強(qiáng)度之和，即為非零橫截面亥姆霍茲線圈中心的真實(shí)磁場(chǎng)強(qiáng)度HC，基于式（2）得到：

圖5 橫截面網(wǎng)格圖

假如應(yīng)用式（3）計(jì)算亥姆霍茲線圈中心軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度，相對(duì)誤差為

當(dāng)橫截面相對(duì)線圈半徑的尺寸，即a/r與b/r的值在0.05～0.25間變化時(shí)，根據(jù)式（6），可以計(jì)算得到不同的相對(duì)誤差值，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖6所示。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，假如忽略亥姆霍茲線圈的橫截面積應(yīng)用式（3），橫截面厚度（2a）引起的誤差要大于橫截面寬度（2b），當(dāng)a/r=0.05，b/r=0.25時(shí)，誤差為0.1%；而當(dāng)b/r=0.05，a/r=0.25時(shí)，誤差可達(dá)0.5%。

圖6 橫截面尺寸對(duì)中心磁場(chǎng)的影響

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了橫截面尺寸對(duì)于圓形亥姆霍茲線圈中心軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度的影響。由此得出結(jié)論：當(dāng)線圈匝數(shù)一定時(shí)，應(yīng)盡可能增大橫截面寬度，減小橫截面厚度，應(yīng)用經(jīng)典公式計(jì)算亥姆霍茲線圈中心的軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，誤差才能得到有效控制。下一步工作的設(shè)想是研制一組實(shí)物線圈對(duì)理論研究結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，難點(diǎn)在于機(jī)械加工精度的把控，以及找到一款準(zhǔn)確度高、體積小的商用磁場(chǎng)探頭。