劉璐璐，劉愛榮

(廣州大學，廣州大學-淡江大學工程結(jié)構(gòu)災害與控制聯(lián)合研究中心，廣州 510006)

拱因其良好的受力性能，在工程領域中得到廣泛應用，但其受力以受壓為主，易失穩(wěn)，所以深入研究其穩(wěn)定性很有必要。對于拱的彎扭失穩(wěn)問題，雖然已有許多學者開展過相應研究，但主要針對雙軸對稱截面拱在各種荷載作用下的失穩(wěn)問題，如在考慮剪切變形影響下，Lu等[1]研究了在熱環(huán)境中受到任意徑向集中力作用的圓弧拱的彎扭失穩(wěn)。Lu等[2]和Liu等[3]分別得到了面外鉸接和固接圓弧拱在局部區(qū)域徑向均布荷載作用下的彎扭失穩(wěn)臨界荷載。在未考慮剪切變形影響下，Liu等[4]和Pi等[5-6]分別研究了在不同邊界條件下圓弧拱在拱頂集中力作用下的彎扭失穩(wěn)問題，推導了彎扭失穩(wěn)臨界荷載的表達式。Dou等[7]、Brandford等[8]和Yang等[9]求解了圓弧拱在端彎矩和均勻受壓下的彎扭失穩(wěn)問題。Geng等[10]根據(jù)有限元分析結(jié)果，提出了考慮時間效應的鋼管混凝土拱彎扭失穩(wěn)極限荷載的設計方程。Bouras等[11]研究了鋼管混凝土拱在機械和熱荷載作用下的彎扭失穩(wěn)行為。

但是在實際工程中，拱的截面形式不一定都是理想的雙軸對稱截面，單軸對稱工字型和箱型截面也很常見。近年來，隨著各種新型材料的不斷涌現(xiàn)，關于功能梯度拱[12-14]，多孔材料拱[15-16]，復合材料拱[17-18]的面內(nèi)失穩(wěn)研究不在少數(shù)，但是關于其面外彎扭失穩(wěn)的研究卻幾乎沒有。其中一個原因就是由于這些新型材料拱的截面很大部分都是單軸對稱截面，導致了研究其彎扭失穩(wěn)難度的增加。這也說明了均質(zhì)材料單軸對稱截面拱彎扭失穩(wěn)的理論還不夠完善，不能為新型材料拱的彎扭失穩(wěn)研究提供一定的參考價值。所以研究均質(zhì)材料單軸對稱截面拱的彎扭失穩(wěn)勢在必行。

單軸對稱截面拱彎扭失穩(wěn)研究的難點在于截面形心和剪切中心位置的不同，而拱發(fā)生彎扭失穩(wěn)時，截面將圍繞剪切中心發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，所以需要建立以剪切中心為原點的坐標系來推導應變函數(shù)的表達式，這將使得求解難度增加。目前只有少數(shù)學者研究了單軸對稱截面拱的彎扭失穩(wěn)問題。Trahair等[19]推導了軸應變和剪切應變的非線性應變-位移關系, 得到了單軸對稱工字形截面圓弧拱在均布荷載和端彎矩作用下的彎扭失穩(wěn)閉合解。Ryu等[20]在考慮面內(nèi)高階變形和初始曲率的影響下，得到了單軸對稱工字形截面拱在端彎矩作用下的彎扭失穩(wěn)理論解。許強等[21]研究了單軸對稱工字形截面拱在均布徑向荷載和端彎矩下的彎扭失穩(wěn)，得到了臨界荷載的理論解。楊永華等[22]根據(jù)變分原理得到了任意截面曲梁的平衡微分方程，給出了單軸對稱截面圓弧拱在徑向均布荷載和端彎矩作用下的彎扭失穩(wěn)臨界荷載解析解。竇超等[23]采用受力平衡法推導了單軸對稱截面均勻受壓兩端鉸接圓弧拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載解。劉璐璐等[24]、Liu等[25]采用能量法和Ritz法又得到了單軸對稱截面圓弧拱在拱頂集中力作用下的彎扭失穩(wěn)臨界荷載。

上述研究的荷載作用形式僅為端彎矩，均布徑向荷載和拱頂徑向集中力，并未考慮其他普遍存在的荷載作用形式。在實際工程中，拱可能在某一區(qū)域受到徑向均布荷載。Lu等[1-2]的研究表明剪切變形對淺拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載影響較為明顯。為此，在考慮剪切變形的影響下，首次研究了在局部區(qū)域徑向均布荷載作用下單軸對稱工字型截面圓弧拱的彎扭失穩(wěn)問題,得到了其彎扭失穩(wěn)臨界荷載。

1 單軸對稱截面的應變函數(shù)

研究單軸對稱截面拱的彎扭失穩(wěn)，首先要求出準確的應變函數(shù)表達式。單軸對稱工字型截面及其坐標系統(tǒng)如圖1所示。圖1中，d為截面高度，w1為截面下翼緣寬度，w2為截面上翼緣寬度，t1為截面下翼緣厚度，t2為截面上翼緣厚度，tw為腹板寬度，osxsys為以截面剪切中心os為原點的坐標軸系統(tǒng)，ocxy是以截面形心為原點的坐標軸系統(tǒng)。截面上任意一點以剪切中心為原點的坐標(xs,ys)與以形心為原點的坐標(x,y)的關系為

圖1 單軸對稱工字型截面及其坐標系

xs=x，ys=y-y0

(1)

式(1)中：y0為截面剪切中心在坐標系統(tǒng)ocxy中的坐標。

基于Lu等[1]的推導步驟，考慮剪切變形的影響，以截面剪切中心為坐標原點，經(jīng)過坐標變換，得到單軸對稱截面的應變函數(shù)表達式(s方向為沿拱軸的方向)為

εxx=εyy=γxy=0

(2)

(3)

(4)

(5)

?y；(·)′=d(·)/dφ，其中φ為拱的角坐標。

2 失穩(wěn)前拱平面內(nèi)內(nèi)力的推導

拱的彎扭失穩(wěn)受力如圖2所示。圖2中，L、R、2Θ、φ分別為拱的跨徑、半徑、圓心角和角坐標，q為局部區(qū)域荷載，c為加載段角度，其取值范圍為[-Θ,Θ]。

圖2 拱的彎扭失穩(wěn)

為研究拱的彎扭失穩(wěn)，首先需要求解其失穩(wěn)前的內(nèi)力解析解?？紤]剪切變形的影響，拱失穩(wěn)前平面內(nèi)的能量方程可表示為

(6)

式(6)中：A為截面面積；εss0為拱失穩(wěn)前的軸向應變；γsy0為拱失穩(wěn)前的剪切應變；μy為剪切修正系數(shù)；δ為變分符號；E、G分別為彈性模量和剪切模量；對稱階躍函數(shù)H1(φ,c)取值為

(7)

(8)

(9)

將式(8)、式(9)代入式(6)得

(10)

式(10)中：軸力N、彎矩M、剪力Vy的定義分別為

(11)

(12)

Vy=-μyGA?y=-μyGA(v+w-ψy)

(13)

式中：Ix為截面關于x軸的慣性矩。

對式(10)進行分部積分，得

M′+N′R=0

(14)

M″-NR+qR2H1(φ,c)=0

(15)

VyR+M′=0

(16)

聯(lián)立求解式(14)～式(16)，可得失穩(wěn)前內(nèi)力的表達式為

(17)

(18)

(19)

式中：β為剪切常數(shù)；反對稱階躍函數(shù)H2(φ,c)取值如下。

(20)

(21)

式(21)中：v0為泊松比。

求解式(17)～式(19)，并結(jié)合拱面內(nèi)鉸接的邊界條件：

(22)

當φ=±Θ即可求得失穩(wěn)前面內(nèi)內(nèi)力表達式[式(17)～式(19)]中的常數(shù)F1、F2、F3,可分別表示為

ccosccosΘ)-2sinccosΘ[3R2+(1+

(23)

(24)

F3=qR2sinc

(25)

3 拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載

當拱在外部荷載作用下產(chǎn)生的內(nèi)力達到某一臨界值時，拱將發(fā)生彎扭失穩(wěn)。發(fā)生失穩(wěn)時，拱的面內(nèi)內(nèi)力和變形將不會發(fā)生改變，所以此時其能量方程可表示為

(26)

式(26)中εss1、γsy1、γsx1分別為拱失穩(wěn)時ss(拱軸)方向的軸向應變、sy方向的剪切應變、sx方向的剪切應變, 可由應變函數(shù)式(3)～式(5)化簡得到；σss0為拱失穩(wěn)前的軸向應力，τsy0為拱失穩(wěn)前的剪切應力。

將應力和應變的表達式代入式(26)可得

(27)

式(27)中：Iy為截面關于y軸的慣性矩；Iw為截面的翹曲慣性矩；J為截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩；βx為單軸對稱參數(shù)，其表達式為

(28)

且

(29)

(30)

(31)

(32)

因此，截面面外截面轉(zhuǎn)角表達式為

(33)

(34)

式(34)中：系數(shù)g11、g12、g13的表達式分別為

(35)

(36)

(37)

式中：Ny、Mys、Ns分別定義為

(38)

(39)

(40)

式(40)中：S為拱的弧長。

參數(shù)a和b的表達式分別為

(41)

系數(shù)z1、z2、z3表達式分別為

(42)

(43)

(44)

根據(jù)能量原理，拱的彎扭失穩(wěn)平衡要求其總能量應為極小值，所以將拱面外的總能量方程分別對ψx1和θ1求偏導，可得到一組方程組，將其寫成矩陣形式，可表示為

(45)

式(45)有解時，其系數(shù)矩陣的行列式應該等于0，因為g11、g12、g13是荷載q的函數(shù)，所以即可得到拱發(fā)生彎扭失穩(wěn)時與臨界荷載qcr有關的方程，可表示為

(46)

式(46)中：

(47)

(48)

B3=(a2-1)2

(49)

4 數(shù)值分析與討論

進行參數(shù)分析時，選取單軸對稱工字型截面的尺寸為：w1=0.080 m,w2=0.120 m,d=0.240 m,t1=t2=0.008 m,tw=0.005 m和βx=0.117 5 m，彈性模量和泊松比分別為E=200 GPa，ν0=0.3。

圖3、圖4分別給出了不同局部參數(shù)c/Θ和圓心角2Θ對拱頂無量綱軸力Nc/Q(作用在拱段上的荷載Q=2cqR，Nc為拱頂軸力)和彎矩4Mc/QL(其中，L為拱的跨徑，Mc為彎矩)的影響, 長細比S/rx=90。從圖3可以看出，拱頂軸力的曲線隨圓心角的增大，呈先急劇上升后逐漸下降的趨勢。由圖4可知，拱頂彎矩的曲線隨圓心角的增大，呈先急劇下降后緩慢上升的趨勢。圖3、圖4表明拱頂軸力和彎矩都隨局部參數(shù)c/Θ的增大而減小。

圖3 軸力曲線

圖4 彎矩曲線

如圖5所示，在考慮和不考慮剪切變形的影響下繪制出了無量綱彎扭失穩(wěn)臨界荷載qcrR/Ny隨圓心角2Θ變化曲線。圖5中，局部參數(shù)c/Θ=0.5，長細比S/rx分別為8、10、15。從圖5可以看出，彎扭失穩(wěn)臨界荷載整體上隨圓心角的增大呈下降趨勢，且在S/rx和2Θ較小(淺拱)時，考慮剪切變形的彎扭失穩(wěn)臨界荷載小于不考慮剪切變形的臨界荷載。

圖5 剪切變形對臨界荷載的影響

如圖6所示，為了研究單軸對稱參數(shù)βx對彎扭失穩(wěn)臨界荷載的影響，繪制出兩種不同截面的臨界荷載qcrR/Ny隨圓心角2Θ變化曲線。從圖6可以看出，截面βx=0.117 5 m的臨界荷載大于截面

圖6 單軸對稱參數(shù)對臨界荷載的影響

βx=-0.117 5 m的臨界荷載，即當截面的較寬翼緣位于拱的頂部時，其彎扭失穩(wěn)臨界荷載會增大。

圖7給出了不同長細比(S/rx=60、90、120)情況下，qcrR/Ny隨2Θ變化的曲線。從圖7可以看出，彎扭失穩(wěn)臨界荷載值隨長細比的增大而減小。

圖7 長細比對臨界荷載的影響

圖8給出了不同局部參數(shù)(c/Θ=0.1、0.25、0.5、0.75、1)情況下，qcrR/Ny隨2Θ變化的曲線。從圖8可以看出，彎扭失穩(wěn)臨界荷載值隨局部參數(shù)c/Θ的增大而減小。

圖8 局部參數(shù)對臨界荷載的影響

5 有限元驗證

為了驗證所得的彎扭失穩(wěn)臨界荷載理論解，采用ANSYS有限元軟件建立單軸對稱工字型截面兩端鉸接圓弧拱在局部區(qū)域徑向均布荷載作用下的模型。選用的單元為Beam188梁單元，因為此單元考慮了剪切變形。然后分別對該模型進行靜力分析和特征值屈曲分析，即可得到失穩(wěn)前的內(nèi)力和彎扭失穩(wěn)臨界荷載。

如圖9所示，分別給出了拱頂無量綱軸力和彎矩的理論解與ANSYS有限元結(jié)果的對比。由圖9可知理論解與有限元結(jié)果吻合良好，說明得到的失穩(wěn)前內(nèi)力表達式是正確的。

圖9 內(nèi)力理論解與有限元結(jié)果的對比

圖10為無量綱彎扭失穩(wěn)臨界荷載qcrR/Ny理論解與ANSYS有限元結(jié)果的對比。由圖10可知，彎扭失穩(wěn)臨界荷載的理論解與有限元結(jié)果吻合較好，說明所推導的彎扭失穩(wěn)臨界荷載理論解是正確的。

圖10 臨界荷載理論解與有限元結(jié)果的對比

6 結(jié)論

考慮剪切變形的影響下，對局部區(qū)域徑向均布荷載作用下的單軸對稱工字型截面圓弧拱進行了平面內(nèi)失穩(wěn)前分析，求得了失穩(wěn)前平面內(nèi)的內(nèi)力。再根據(jù)勢能駐值原理求得了拱彎扭失穩(wěn)臨界荷載理論解，并用ANSYS軟件對理論解進行了驗證。得出如下結(jié)論。

(1)單軸對稱參數(shù)為正值時的彎扭失穩(wěn)臨界荷載大于其為負值時的臨界荷載, 即當截面的較寬翼緣位于拱的頂部時，拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載值會增大。

(2)剪切變形對淺拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載有一定影響，考慮剪切變形的臨界荷載小于不考慮剪切變形的臨界荷載。

(3)局部參數(shù)c/Θ對拱的彎扭失穩(wěn)臨界荷載影響明顯，且彎扭失穩(wěn)臨界荷載隨著局部參數(shù)的增大而減小。