李 萌 尚 云

1(中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 100190) 2(中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100049) 3(中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院國家數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)中心 北京 100190) 4(中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院管理決策與信息系統(tǒng)重點實驗室 北京 100190)

量子游走是經(jīng)典隨機游走在量子世界的對應(yīng)物，它描述了微觀世界中粒子的隨機演化過程.經(jīng)典隨機游走本身應(yīng)用十分廣泛，比如k-SAT問題[1]、圖像分割問題[2]、圖匹配算法[3-4]等.量子游走也有廣泛的用途：實現(xiàn)通用量子計算[5-8]；完成量子通訊協(xié)議[9-11]；制備糾纏量子態(tài)[12]等.另外，由于量子糾纏、量子干涉和量子非定域性，量子游走可以更快地搜索目標標記點，因此量子游走可以用來設(shè)計量子算法，像搜索標記點問題[13-16]、元素區(qū)分問題[17]、搜索三角形問題[18]等.當前基于量子游走的量子模擬或展示各種量子游走模型自身性質(zhì)的實驗已經(jīng)在許多不同的物理系統(tǒng)上進行了實施，比如光子[19]、離子阱[20]、超導(dǎo)處理器[21]等.量子游走包含離散時間量子游走[22]和連續(xù)時間量子游走[23]，這里我們主要研究離散時間量子游走.

量子游走可以定義在任意給定的圖上，其中一維圓是一種最為基礎(chǔ)且常見的圖，它可以作為實現(xiàn)大規(guī)模量子網(wǎng)絡(luò)的一個基本模塊.對于圓上的量子游走，許多學(xué)者也已經(jīng)進行了廣泛研究[24-26].

量子相干起源于量子疊加原理，它不僅可以描述量子信息處理的狀態(tài)演變過程，而且可以反映和解釋量子力學(xué)中的許多關(guān)鍵核心問題.因此，量子相干被應(yīng)用到量子計算和量子信息的許多方面，比如量子搜索算法[27]、量子密鑰分發(fā)[28]、量子計量學(xué)[29]等.量子相干的量化方式[30]有很多種，像基于相對熵的、基于skew信息的以及l(fā)1范數(shù)相干等.由于量子態(tài)的l1范數(shù)相干[31]形式簡單、便于計算，我們這里將采用l1范數(shù)相干.

由于兩硬幣量子游走模型近年來在量子通訊協(xié)議中的突出表現(xiàn)[9-12]，本文主要討論了在一維圓上兩硬幣量子游走過程中量子相干的動力學(xué)行為，并基于此考慮了其在完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移等量子通訊協(xié)議中的演變規(guī)律.

1 預(yù)備知識

量子游走是經(jīng)典隨機游走在量子世界的對應(yīng)物.由于硬幣已經(jīng)變成了系統(tǒng)的內(nèi)部自由度，游走者依據(jù)硬幣狀態(tài)來決定在給定的圖上如何行走，而硬幣的狀態(tài)是由硬幣算子來調(diào)節(jié)控制的.因此，整個演化是發(fā)生在位置空間和硬幣空間的復(fù)合希爾伯特空間上.我們將含有N個點的一維圓記作N-circle.下面，我們將主要討論在N-circle上的量子游走.

1.1 在圓上的兩硬幣量子游走模型

多硬幣量子游走是由Brun等人于2003年首次提出[32].我們這里主要考慮兩硬幣量子游走模型.對于兩硬幣游走模型，粒子是按順時針行走還是逆時針行走,是通過交替地使用2枚硬幣算子來決定的.也就是說，在奇數(shù)步，它由第1個硬幣操作C1決定;在偶數(shù)步，它由第2個硬幣操作C2決定.因此，N-circle上的兩硬幣量子游走在奇數(shù)步(翻轉(zhuǎn)第1枚硬幣的結(jié)果)的酉變換可以寫成:

在偶數(shù)步(翻轉(zhuǎn)第2枚硬幣的結(jié)果)的酉變換可以寫成:

其中,I2是2×2的單位矩陣，IN是N×N的單位矩陣.

如果我們總共走t步，那么相應(yīng)的酉算子可以表示為(k=1,2,…):

經(jīng)過t步量子游走之后，游走者的量子態(tài)可以寫為

其中振幅fx,c1,c2(t)滿足：

1.2 在圓上的兩糾纏硬幣量子游走模型

對于單硬幣量子游走最直接的一種推廣就是對硬幣空間進行高維推廣，另外可以結(jié)合量子糾纏這一典型的量子資源來擴展量子游走的演化并發(fā)掘它的非經(jīng)典性.兩糾纏硬幣量子游走模型于2005年首次被提出[33],并在后來得到在數(shù)值[34-35]和理論[36-37]等方面的更深入研究.

區(qū)別于1.1節(jié)所介紹的兩硬幣量子游走模型，該模型中的2枚硬幣在每一步游走時均會作用而非輪流交替作用，另外游走者每一步游走均有3種類型的移動，向前、向后和保持不動.具體地，在N-circle上的一步兩糾纏硬幣量子游走的酉變換可以寫成:

1.3 量子游走的l1范數(shù)相干

量子相干可以衡量量子態(tài)具有的量子關(guān)聯(lián)，并可以刻畫其更具一般意義的性質(zhì)，甚至反過來也能夠啟發(fā)更豐富的物理意義.量子相干的度量有很多種，鑒于l1范數(shù)相干形式的簡便性，我們主要考慮在量子游走中的l1范數(shù)相干.

對于給定的密度算子ρ，它的l1范數(shù)相干[31]定義為

從而，對于經(jīng)過t步量子游走之后的量子態(tài)|ψ(t)〉，它相應(yīng)的密度矩陣ρt，即|ψ(t)〉〈ψ(t)|為

根據(jù)l1范數(shù)相干的定義，我們可以直接知道:經(jīng)過t步量子游走之后的量子態(tài)|ψ(t)〉在整個空間的量子相干和在位置子空間的量子相干分別為

下面我們將主要依據(jù)這2個公式對兩硬幣量子游走和其實現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移這一過程進行量子相干的相關(guān)分析.

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將給出主要結(jié)果，即初始量子態(tài)和不同的硬幣算子的選擇對在一維圓上兩硬幣量子游走過程中量子相干的影響，并基于此來考慮它在完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移這一量子通訊協(xié)議中的演變規(guī)律.

2.1 硬幣算子為Hadamard算子的相干性定理

對于在N-circle上的兩硬幣量子游走，我們選取2個硬幣算子均為無偏的Hadamard算子H，即C1=H且C2=H.我們發(fā)現(xiàn)對于初態(tài)，只要位置空間的量子態(tài)是均衡疊加態(tài)(硬幣狀態(tài)可以是任意的)，整個量子相干演化就極其有規(guī)律，具體如下：

2)經(jīng)過t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在整個空間的量子相干為(k=0,1,…):

(1)

3)經(jīng)過t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在位置子空間的量子相干為N-1.

證明.根據(jù)兩硬幣量子游走模型知，對于量子初態(tài)

經(jīng)過4步量子游走該量子態(tài)會依次演化為

由以上具體的演化過程，我們可以直接發(fā)現(xiàn)量子游走是具有周期性的且周期是4.

根據(jù)量子相干的定義，通過計算可知量子游走之后的量子態(tài)在整個空間的量子相干依次為

結(jié)合周期性可知，該定理的結(jié)論(2)成立.

量子游走之后的量子態(tài)在位置空間的量子相干為

結(jié)合周期性可知，經(jīng)過t步量子游走之后的量子態(tài)|φ(t)〉在位置子空間的量子相干為N-1.

證畢.

注1.定理1中初態(tài)的選擇只要求位置子空間上是均衡疊加態(tài)，而對兩硬幣態(tài)并沒有任何限制，可以是可分態(tài)也可以是糾纏態(tài).即兩硬幣量子態(tài)的選取對于量子游走演化的周期和概率分布并沒有影響.其中，由于均衡疊加狀態(tài)本身體現(xiàn)的無偏性，在量子游走搜索問題中它經(jīng)常被選為量子游走的初態(tài).特別地，當量子游走的初態(tài)為全空間的均衡疊加態(tài)，即

其中k=0,1,…,在位置子空間的量子相干為N-1.

注2.事實上，關(guān)于在一維N-circle上單硬幣量子游走的量子相干演化[38]，若硬幣算子選為Hadamard算子且初態(tài)為均衡疊加量子態(tài)時，整個演化過程也是具有周期性的且周期為2，位置空間的量子相干一直恒為N-1.結(jié)合注1的分析，我們可知對于在圓上的量子游走，只要使用Hadamard算子為硬幣算子且選取全空間的均衡疊加態(tài)為初態(tài)，那么整個演化過程就會具有周期性，這并不依賴于硬幣的個數(shù)；但是周期會依賴于硬幣個數(shù)，即在一維圓上的k硬幣量子游走的周期為2k.

2.2 含參coin的量子相干性

在2.1節(jié)，我們討論了當2個硬幣算子均為固定的Hadamard陣時，兩硬幣子空間的初態(tài)的任意選擇在演化過程中對量子相干的影響.這里，我們假定量子初態(tài)為均衡疊加態(tài)

可以發(fā)現(xiàn)該演化過程是十分有規(guī)律的.我們記：

其中

且

T為轉(zhuǎn)置符號，另記

|e1〉=(a,c)T，|e2〉=(b,d)T，|g〉=(1,1)T，
|f1〉=(m,s)T，|f2〉=(n,t)T，

并規(guī)定(a,c)T°(b,d)T=ab+cd，不難通過數(shù)學(xué)歸納法得知(k=1,2,…)：

|p2k-1〉?|q2k-1〉=(|e1〉°|p2k-2〉，|e2〉°
|p2k-2〉)T?|q2k-2〉|p2k〉?|q2k〉=
|p2k-1〉?(|f1〉°|q2k-1〉，|f2〉°|q2k-1)T.

根據(jù)1.3節(jié)給出的量子相干公式，可以計算出該演化過程中時刻t全空間和位置子空間的量子相干分別為

從而，時刻t全空間和位置子空間的量子相干分別為

此時量子相干僅依賴于2個硬幣算子的行和，且呈正相關(guān)的關(guān)系.此外，全空間的量子相干和位置子空間的量子相干這二者的比值固定，嚴格取決于一維圓的頂點個數(shù).

2.3 完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)議中的量子相干

量子游走可以用來實現(xiàn)量子通訊，比如完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移，即將量子態(tài)從一點轉(zhuǎn)移至另一點且保真度為1.文獻[39]提出了用單硬幣量子游走模型實現(xiàn)在含偶數(shù)個點的一維圓上將量子態(tài)從一點完美傳輸?shù)綄c的通訊協(xié)議.基于此，我們利用兩硬幣量子游走模型在任意N-circle上可完美傳輸量子態(tài)至圓上的任意位置[10]，這大大改善了文獻[39]中完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)議的局限性.下面我們來分析這2種方案里狀態(tài)完美轉(zhuǎn)移過程中量子相干的變化.假定要傳輸?shù)牧孔討B(tài)為α|0〉+β|1〉，其中復(fù)數(shù)α和β滿足|α|2+|β|2=1.

文獻[10]提出的在N-circle上完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方案所用的硬幣算子依賴于步數(shù)，其中至多有2步會用到Pauli陣X，其余步數(shù)均選取單位陣I為硬幣算子.由1.3節(jié)中量子相干的式(1)可知，用來實現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的t步量子游走內(nèi)，全空間的量子相干一直恒為2|αβ|，在位置空間的量子相干為0.

文獻[39]使用單硬幣量子游走來實現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移，該模型的量子相干演化在文獻[38]中已經(jīng)有所探討.文獻[39]具體是從硬幣算子的角度出發(fā)研究了2種情況，其中任意二階酉算子可以寫為

在位置空間的量子相干為

根據(jù)以上情形的量子相干對比分析，我們可以看出在利用量子游走來實現(xiàn)完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過程中，硬幣算子的選取是會直接影響到量子相干的.具體來說，如果硬幣算子是對角或反對角形式的，即將一個基態(tài)映射到另一個基態(tài)上去的(計算基)，那么量子相干在演化過程中會保持不變，恒為定值.否則，若硬幣算子將一個基態(tài)映射到一些基態(tài)的疊加態(tài)上(計算基)，比如無偏的Hadamard算子等，此時量子相干在量子游走過程中不會保持不變，而是會依賴于量子游走的步數(shù)，隨時間變化而變化.

3 模型等價性及在隱形傳輸上的應(yīng)用

對于由2枚硬幣控制的量子游走，我們在1.1節(jié)和1.2節(jié)分別介紹了2種模型.這里不考慮初態(tài)的選取，二者最主要的區(qū)別就是硬幣算子的作用方式.模型1是通過2枚硬幣交替作用，每一步僅有一枚硬幣算子在起作用，經(jīng)過這枚硬幣的翻轉(zhuǎn)作用后游走者依據(jù)硬幣的當前狀態(tài)進行移動(向前或向后移動一個單位)；模型2是2枚硬幣在每一步游走中均起作用，基于此，游走者向前移動、向后移動一個單位或者保持不動.在本節(jié)中，我們將說明這2種模型在一定意義下是等價的，并給出量子相干的比較和具體的應(yīng)用來詳細說明這一點.

對于兩硬幣量子游走，在奇數(shù)步和偶數(shù)步量子游走的酉算子分別是U1和U2，因此每2步量子游走對應(yīng)的演化為

即每2步量子游走，2枚硬幣均起作用，且游走者依據(jù)經(jīng)硬幣翻轉(zhuǎn)操作之后的量子態(tài)向前、向后移動2個單位或者保持不動.而對于兩糾纏硬幣量子游走具體形式已在1.2節(jié)由酉算子V給出，可以直接看出，每2步兩硬幣量子游走相當于一步兩糾纏硬幣量子游走，差別僅僅是在游走者發(fā)生移動的前提下二者相差一個單位.在這個意義下，從量子游走酉算子的角度來看，這2個模型是等價的.

下面，我們從量子相干的角度與注1中的結(jié)果進行對比來說明2種模型就上面指出的不同之處所造成的影響.同樣地，當量子游走的初態(tài)為全空間的均衡疊加態(tài)時，即

在兩糾纏硬幣量子游走下(C1=C2=H)，量子態(tài)演化依次為

我們接下來通過量子游走實現(xiàn)隱形狀態(tài)傳輸[9]這一應(yīng)用來說明二者的這種等價性.我們以在4-circle上對單量子比特隱形傳輸為例.在該協(xié)議中，量子初態(tài)為|φ(0)〉=|0〉(a|0〉+b|1〉)|0〉，經(jīng)過2步量子游走，分別選取C1=I和C2=H，量子態(tài)演化為

事實上，基于2種量子游走模型的等價性，對于同樣的初態(tài)，利用兩糾纏硬幣量子游走模型同樣可以實現(xiàn)隱形狀態(tài)傳輸.具體如下：選取硬幣算子為C=C1?C2=I?H，只需一步量子游走(V)，就可以得到量子態(tài)：

4 結(jié) 論

量子游走是經(jīng)典隨機游走的量子對應(yīng)物，由于它在量子計算領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，其本身的性質(zhì)研究也備受關(guān)注.本文針對一維圓上的兩硬幣量子游走的量子相干進行了分析.我們具體地討論了初始量子態(tài)和硬幣算子的選取對量子相干的影響，以及它在量子通訊協(xié)議——完美狀態(tài)轉(zhuǎn)移——中的演變.另外，我們也探討了2種兩硬幣量子游走模型之間的等價性，并基于此闡述了其在量子隱形傳輸中的作用.我們這里僅探討了量子游走過程中量子相干性質(zhì)的變化如何受影響，反之，量子相干的變化如何影響量子游走的各種性質(zhì)是未來值得探索的問題.進一步，它在量子計算或量子密碼中的作用也值得探索[40].