張宇鹍 袁 驍

1(北京師范大學物理系 北京 100875) 2(北京師范大學高等量子研究中心 北京 100875) 3(北京大學前沿計算研究中心 北京 100080)

近期量子設(shè)備的特征限制了能夠操控的量子比特(qubit)數(shù)目，一般為幾個到幾十個量子比特，且存在一定的噪聲，因此稱之為有噪聲的中等尺寸量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)設(shè)備[1].由于能夠控制的量子比特數(shù)目有限，故一般無法使用量子糾錯碼將物理量子比特編碼為邏輯量子比特后進行計算：據(jù)估計，以合理的成功概率實現(xiàn)超越經(jīng)典計算機算力的Shor算法需要將幾千個物理量子比特編碼為1個邏輯量子比特[2].故而，對于NISQ設(shè)備我們需要考慮設(shè)計對其友好的算法，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計算法能夠成功實施的相應(yīng)技術(shù).一系列面向NISQ設(shè)備設(shè)計的算法已經(jīng)提出，其中最受矚目的為變分量子求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[3-5]和量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[6]，前者多用于量子模擬(quantum simulation)領(lǐng)域[7]，而后者主要面向計算機領(lǐng)域的組合優(yōu)化(combinatorial optimization)問題[8].與此同時，量子錯誤緩解(quantum error mitigation,QEM)技術(shù)[9]成為NISQ時代在量子設(shè)備上可靠地實施算法的必不可少的元素.

2019年和2020年，Google公司在量子計算領(lǐng)域取得了里程碑式的進展，分別在其Sycamore量子芯片上實現(xiàn)了量子霸權(quán)(quantum supremacy)實驗[10]和目前在量子計算機上實現(xiàn)的最大的量子模擬(quantum simulation)算法[11].對于后者，依賴于后處理(post-selection)和McWeen純化(McWeen purification)的量子錯誤緩解技術(shù)，研究人員們成功將保真度(fidelity)最低2%的計算結(jié)果還原到99%，足以體現(xiàn)量子錯誤緩解對于NISQ時代量子計算的重要性.

本文主要以面向VQE算法實施的量子模擬算法為背景，介紹相關(guān)的量子錯誤緩解技術(shù).

1 量子模擬和變分量子特征求解器簡介

量子力學是描述微觀世界的基礎(chǔ)理論.通過經(jīng)典計算機研究量子系統(tǒng)問題是物理、化學、材料等領(lǐng)域的重要研究方向之一.然而，隨著系統(tǒng)自由度的增加，經(jīng)典計算機所需要的計算資源在最一般的情況下呈指數(shù)級上升，稱之為“指數(shù)墻”(exponential wall)困難[12].

意識到這一困難，F(xiàn)eynman最早于1982年提出了量子模擬的概念：通過可控的、易獲得的量子系統(tǒng)來模擬難以獲得的目標量子系統(tǒng)[7].直覺上，利用量子系統(tǒng)本身自由度指數(shù)級增大的希爾伯特空間(Hilbert space)，我們可以在一定程度上解決指數(shù)墻困難.

在量子多體物理和量子化學領(lǐng)域中，系統(tǒng)在低能態(tài)表現(xiàn)出的特性是研究人員關(guān)心的問題之一.其中，最具代表性的即為原子或分子系統(tǒng)的電子結(jié)構(gòu)問題.電子結(jié)構(gòu)問題的研究目的為對特定哈密頓量(Hamiltonian)H描述的原子或分子系統(tǒng)，理解其在低能態(tài)下相互作用的電子在原子核產(chǎn)生的勢能下是怎樣分布的.系統(tǒng)的性質(zhì)由波函數(shù)(wave function)描述，電子結(jié)構(gòu)問題要求我們求解系統(tǒng)的基態(tài)(ground state)和低能激發(fā)態(tài)，并計算各個觀測量的大小，其中最為重要的觀測量為系統(tǒng)能量E.

Rayleigh-Ritz變分法給出了對量子基態(tài)求解的可行策略，其主要通過設(shè)定參數(shù)化的試探波函數(shù)(trial wave function)|ψ(θ)〉，又稱擬設(shè)(ansatz)，θ為其參數(shù).以能量E作為觀測量為例，系統(tǒng)基態(tài)能量E0滿足:

E0≤〈ψ(θ)|H|ψ(θ)〉.

(1)

可以看到，系統(tǒng)的基態(tài)能量給出了該觀測量的下界，我們可以不斷調(diào)整、優(yōu)化擬設(shè)的參數(shù)使其逐漸逼近系統(tǒng)基態(tài)，從而獲得基態(tài)能量.

借助這一思想，VQE算法通過在量子計算機上制備試探波函數(shù)，通過測量獲得觀測量當前值，并使用經(jīng)典計算機優(yōu)化試探波函數(shù)參數(shù)實現(xiàn)對基態(tài)能量的求解.其優(yōu)勢在于利用量子計算機指數(shù)級增長的希爾伯特空間來表示波函數(shù)，經(jīng)典計算機的參與減少了對量子線路(quantum circuit)深度的要求.隨著量子線路深度的增加，隨機錯誤的數(shù)量和退相干(decoherence)效應(yīng)的影響會越來越明顯，故VQE算法保持較為淺層的量子線路深度的特性使其適合于在近期量子設(shè)備上實施.另外，VQE算法本身具有一定的對連續(xù)錯誤的緩解效果[4-5].當然，淺層量子線路的錯誤仍然會帶來計算的偏差，本文將接下來總結(jié)針對淺層量子線路的量子錯誤緩解方法.

2 量子錯誤緩解基本框架

(2)

其中，M為量子門的數(shù)量.當單個量子門的出錯概率小于一定的閾值(threshold)時，我們可以通過量子糾錯以及提升量子糾錯碼矩(distance)實現(xiàn)對錯誤的任意精度的緩解.

Fig.1 Schematic of quantum error mitigation[5]圖1 量子錯誤緩解示意圖[5]

3 量子錯誤緩解的主要方法

本節(jié)將具體介紹10類量子錯誤緩解方法以及各類方法相互結(jié)合的方法.根據(jù)對噪聲模型的依賴程度和錯誤緩解的不同方法，我們將這些方法歸為如表1所示的4種類型：弱噪聲模型、精確噪聲模型、機器學習噪聲模型、未假設(shè)噪聲形式模型.最后，我們將討論各個方法間的組合方法.

Table 1 Classification of Different Quantum Error Mitigation Methods表1 不同量子錯誤緩解方法分類

3.1 外推法

外推法(extrapolation)利用不同的物理錯誤率下運行相同的量子線路，從而通過不同錯誤率對應(yīng)的測量結(jié)果外推得到無錯誤情況下的觀測結(jié)果，如圖2所示:

Fig.2 Schematic of quantum error extrapolation [4]圖2 量子錯誤外推法示意圖[4]

1)Richardson外推法

(3)

(4)

其中，Zm為展開系數(shù)，〈Z〉(ε)為觀測量在錯誤率為ε情況下的期望值.

為了得到理想的測量數(shù)據(jù)〈Z〉(0)，我們通過實驗調(diào)節(jié)不同的ε大小獲得相應(yīng)的觀測結(jié)果〈Z〉(ε).通過實驗手段，我們可以增加物理錯誤率ε.我們選擇不同的噪聲放大比例λl，并要求1=λ0<λ1<…<λn，得到不同噪聲大小下的觀測期望值〈Z〉(λlε).然后，我們可以通過n階泰勒展開和Richardson外推法獲得對無噪聲情況的估計:

(5)

外推法的優(yōu)勢在于任何連續(xù)函數(shù)都可以被泰勒展開，故而，在保證能夠準確提升系統(tǒng)的物理錯誤率的情況下，該方法在理論上可以應(yīng)用于任何錯誤模型中.這是由于外推法沒有使用噪聲的具體形式做出特定的假設(shè)，故而，錯誤緩解后的測量結(jié)果的方差會急劇上升.特別地，可以得到〈Z〉est的方差為

(6)

值得注意的是，IBM演示了通過VQE求解LiH和H2分子基態(tài)能量的實驗[15].

2)指數(shù)外推法

上面1)討論的Richardson外推法通過假設(shè)存在一個有效的泰勒展開式，可以將測量結(jié)果展開為錯誤率的多項式函數(shù)，且可以忽略高階項的影響.實踐中，量子設(shè)備具有的特點是物理錯誤率ε小，但量子門數(shù)目M較大，這種情況下多項式展開會變得不精確.Endo等人[16]提出指數(shù)外推法(exponential extrapolation)，使用指數(shù)衰減函數(shù)來替代原來的多項式展開.

考慮Markov隨機錯誤，形式為

(7)

(8)

(9)

對于量子線路中錯誤率ε較小、量子門M數(shù)量較多的情況，若二者滿足Mε=O(1)的關(guān)系，則二項式分布αj可以通過Poisson分布近似獲得:

(10)

噪聲信道可以展開為

(11)

其中，展開系數(shù)e-M ε使得其隨著Mε指數(shù)衰減.進一步，通過對該展開實施一階近似，我們考慮在ε和λε(λ>1)兩個噪聲率下的測量結(jié)果〈M〉(ε)和〈M〉(λε)，可以得到對于無噪聲情況的近似：

(12)

錯誤緩解的額外開銷為

(13)

指數(shù)外推法僅在觀測量對錯誤率的展開式上進行了改變，故依然可以使用3.2節(jié)中提出的最小二乘法進行近似.Endo等人[16]和Giurgica-Tiron等人[17]分別通過數(shù)值模擬證明了指數(shù)展開相較于Richardson展開的優(yōu)勢.并通過IBM超導(dǎo)量子計算機就哈密頓量模擬進行了演示[18].

3.2 最小二乘擬合法

當被給定在不同錯誤率情況下的測量值時，我們可以使用最小二乘法(least square fitting)[19]估計無錯誤情況下的測量結(jié)果.與第3.1節(jié)所討論外推法類似，考慮不同錯誤率大小ε1,ε2,…,εm，外推法中使用的n階泰勒展開可以近似為一個線性方程:

Dz≈k,

(14)

其中，

(15)

z=(〈Z〉(0),Z1,…,Zn)T，
k=(〈Z〉(ε1),〈Z〉(ε2),…,〈Z〉(εn))T.

錯誤率的數(shù)量m可以隨著展開的階數(shù)變化.式(14)的解可以通過最小化獲得:

(16)

當m=n時，式(16)給出的結(jié)果與Richardson展開一致.

實踐中，最小二乘法可以對不同的噪聲影響分配不同的系數(shù).假設(shè)存在另一個噪聲系數(shù)κ，我們可以獲得觀測量期望值的展開〈Z〉(ε,κ)，將其展開為

〈Z〉(ε,κ)=〈Z〉(0)+Z10ε+Z01κ+
Z11εκ+Z20ε2+Z02κ2+….

(17)

假設(shè)我們將式(17)展開截斷到二階，可以得到線性方程的各項為

(18)

及

(19)

則我們可以通過式(14)獲得對〈Z〉(0)的估計.該方法通過Rigetti的八量子比特設(shè)備演示[19].

3.3 量子子空間展開

量子子空間展開(quantum subspace expansion,QSE)法由McClean等人[20]最先提出.假設(shè)已經(jīng)獲得關(guān)于某系統(tǒng)哈密頓量H基態(tài)的近似|ψref〉，將該量子態(tài)作為參考，我們用一組算符可以構(gòu)造一個線性子空間展開這一參考態(tài).具體而言，我們可以定義泡利算符集合{G?I,X,Y,Z?M}及以該集合展開的子空間:

(20)

其中，ci，cj為展開系數(shù)，我們在展開后的子空間中求解能量的最小值以獲得對噪聲緩解的結(jié)果:

(21)

其中c=(ci).

如圖3所示，給定有噪聲的基態(tài)，我們可以通過子空間的擴展面來找到真實的基態(tài).子空間展開的最優(yōu)解可以通過以下泛化特征值問題求解得到:

Fig.3 Schematic of quantum subspace expansion圖3 量子子空間展開法示意圖

(22)

3.4 對稱性驗證

當系統(tǒng)遵循一定的物理對稱性時，我們可以通過設(shè)計滿足這種對稱性的波函數(shù)擬設(shè)來縮小參數(shù)搜索的范圍.例如，對于遵循粒子數(shù)和自旋守恒的系統(tǒng)，考慮設(shè)計由使得系統(tǒng)的總粒子數(shù)和自旋守恒的幺正變換構(gòu)成的波函數(shù)擬設(shè)，則可以選擇幺正偶合簇(unitary coupled-cluster)[21]方法，或者特定的硬件高效擬設(shè)(hardware-efficient ansatz)[22].相應(yīng)地，我們可以通過對稱性檢驗(symmetry verification)[23-24]的方式來檢驗輸出波函數(shù)是否仍然具備這種對稱性.理想的量子算法實施會保持量子態(tài)的對稱性，但是由有噪聲的量子線路制備得到的量子態(tài)可能會破壞這種對稱性.因為對稱性僅在錯誤出現(xiàn)的情況下才會被破壞，故對稱性驗證方法的工作原理為丟掉對稱性被破壞的測量結(jié)果.

具體而言，對稱性檢驗量子線路輸出態(tài)是否遵循特定對稱性的方式為對該對稱性實施奇偶校驗，注意到該校驗方式在量子糾錯碼中常常使用，但這里我們不糾正錯誤，而是去掉有瑕疵的結(jié)果.我們可以通過泡利群(Pauli group)N來理解奇偶驗證.泡利群N中所有元素由所有長度為N的泡利矩陣X,Y和Z，及單位矩陣I構(gòu)成的直積態(tài)組成，群元的第i個元素代表作用到第i個量子比特的操作.注意到，N中任意群元都有±1兩個特征值，并分別表示該群元檢測量的奇偶性，若為偶數(shù)則為1，若為奇數(shù)則為-1.特定群元可以用于對系統(tǒng)相應(yīng)對稱性進行奇偶校驗，而理想波函數(shù)應(yīng)為相應(yīng)對稱性算符的本征態(tài).例如，考慮對于理想波函數(shù)|ψ〉的粒子數(shù)奇偶性算符其應(yīng)滿足:

(23)

Fig.4 Schematic of verify circuit[5]圖4 檢測線路示意圖[5]

(24)

(25)

參考量子糾錯中應(yīng)用最為廣泛的穩(wěn)定子編碼(stabilizer code)，McClean等人[26]設(shè)計了對應(yīng)的經(jīng)典后處理版本，相較于穩(wěn)定子編碼需要對穩(wěn)定子群(stabilizer)中各生成元(generator)實施對應(yīng)的奇偶校驗線路，該方法可以在完全忽略這些線路實施的情況下檢測錯誤.另外，我們可以以概率的形式實施量子糾錯碼中具備的各個對稱性投影，使得量子態(tài)回歸到碼字(codeword)空間.相應(yīng)的后處理解碼器(decoder)通過數(shù)值實現(xiàn)了對5個量子比特量子化學模擬的糾錯并獲得了50%的有效糾錯閾值(threshold).

3.5 測量錯誤緩解

測量錯誤緩解(measurement error mitigation)[27-29]用于減少測量過程中的錯誤.假設(shè)理想測量過程由一組正算符值測量(positive-operator valued measure,POVM)構(gòu)成{Fi}.對于系統(tǒng)狀態(tài)ρ，獲得第i個測量結(jié)果的概率為Pi=tr(Fiρ).將理想概率分布表示為Pideal=(P1,P2,…,PM-1,PM)T，其中，M為正算符值測量的數(shù)量.當測量中存在錯誤時，測量錯誤將理想概率分布轉(zhuǎn)換為

Pnoisy=F·Pideal,

(26)

其中，F(xiàn)為轉(zhuǎn)換矩陣.例如，我們可以考慮對單量子比特的投影測量結(jié)果P=(P0,P0)，錯位測量錯誤可以描述為

(27)

其中，ε和η分別為量子比特狀態(tài)0和1的發(fā)生翻轉(zhuǎn)的錯誤概率.

實踐中，對變換矩陣的估計可以通過量子探測器態(tài)層析(quantum detector tomography)實現(xiàn).當我們不考慮探測器對不同量子比特存在串擾錯誤(crosstalk error)時，對整體變換矩陣的估計可以表示為各個部分變換矩陣估計的直積態(tài).我們可以通式(28)獲得對無錯誤情況的估計:

(28)

然而，由于量子錯誤的存在，如相干錯誤，我們獲得的轉(zhuǎn)換矩陣中可能會出現(xiàn)非物理概率.為了避免這一問題，我們可以采用優(yōu)化方法:

(29)

該方法用于IBM 5量子比特設(shè)備上[27-28].近期，測量錯誤緩解技術(shù)被延伸到測量階段存在量子比特間的關(guān)聯(lián)錯誤的情況，并在IBM 20量子比特計算機上演示[30].

3.6 N階可表示性

N階可表示性(N-representability)由Rubin等人[31]引入量子錯誤緩解領(lǐng)域.考慮N電子系統(tǒng)，其哈密頓量H為

(30)

(31)

其中，D1和D2分別為系統(tǒng)的單電子和兩電子約化密度矩陣(reduced density matrix,RDM)，分別記作1-RDM和2-RDM.實驗上，我們可以高效測量得到體系的2-RDM，并約化得到1-RDM.由于具有實際的物理意義，要求2-RDM不但滿足約化密度矩陣自身的性質(zhì)，如厄米性、交換反對稱性、跡為N×(N-1)等，還需加入額外限制條件保證其為N電子密度矩陣約化而來，這些條件稱為N階可表示性(N-representability)條件.由于得到全部條件被證明是QMA-complete問題，理論上無法獲得，故一般考慮近似、必要非充分條件，如2階正定條件(2-positive conditions)，其形式為

(32)

(33)

(34)

3.7 準概率模型

Fig.5 Schematic of probabilistic error cancel圖5 概率錯誤抵消示意圖

(35)

(36)

得到其逆過程形式為

(37)

(38)

當測量量子態(tài)時，相應(yīng)符號及常數(shù)τ作用于測量結(jié)果.重復(fù)多次后，我們可以獲得理論上理想的測量結(jié)果.

(39)

Fig.6 Schematic of the quasi-probability method[4]圖6 準概率方法示意圖[4]

(40)

3.8 個體錯誤減少

個體錯誤減少(individual error reduction)[33]將量子糾錯用于單個量子比特錯誤檢測，并使用經(jīng)典后處理來緩解錯誤.假設(shè)每一個量子門受到物理噪聲的作用形式由Lindblad主方程給出:

(41)

(42)

(43)

從而，個體錯誤減少的定義為

(44)

(45)

注意到，個體錯誤減少將錯誤壓制到一階，我們可以在此基礎(chǔ)上與其他量子錯誤緩解方法結(jié)合獲得更好的效果.由于使用量子糾錯，該方法相較于其他量子錯誤緩解算法會帶來額外的硬件和算力開銷.

3.9 基于機器學習的量子錯誤緩解算法

1)Clifford數(shù)據(jù)回歸(Clifford data regression)

注意到使用經(jīng)典計算機模擬一般量子線路的困難性，Czarnik等人[34]提出使用Clifford線路作為訓練數(shù)據(jù)的來源.理由是Clifford量子線路可以被經(jīng)典計算機高效模擬，從而保證了訓練過程的高效性.一旦學習完成，我們可以使用訓練好的模型預(yù)測任意給定的噪聲結(jié)果對應(yīng)的理想觀測結(jié)果.理想情況下，不論我們給定的量子線路的形式如何，機器學習算法在訓練過程中能夠?qū)W習到有噪聲觀測量到理想觀測量的映射模式，這一映射模式隱含了對系統(tǒng)噪聲模式的學習.故而，我們可以在測試階段將訓練得到的模型用于任意具備相同噪聲模式的數(shù)據(jù)，由于機器學習算法的泛化性質(zhì)，可以保證在預(yù)測階段模型獲得合理的表現(xiàn).

(46)

Clifford數(shù)據(jù)回歸模型已經(jīng)在IBMQ16量子比特計算機和64量子比特經(jīng)典計算機上進行演示[34].由于機器學習算法具有強大的模式學習能力，這類算法具備高度的靈活性和通用性，可以應(yīng)用于各類噪聲模型和實驗數(shù)據(jù)中，且可以同時用于Markov和關(guān)聯(lián)錯誤.這使得面相特定量子設(shè)備的錯誤緩解成為可能.

2)基于學習的準概率方法(learning-based quasi-probability method)

(47)

(48)

這里，為了保證訓練過程的效率，我們的訓練集選擇使用Clifford群生成量子線路.可以看到與1)Clifford數(shù)據(jù)回歸的學習方法類似，由于機器學習算法的泛化性，算法可以學習到噪聲的模式.故在測試環(huán)節(jié)中，我們可以將訓練好的模型用于任意存在非關(guān)聯(lián)錯誤的非Clifford單量子比特門中.

注意到隨著線路中量子門個數(shù)的增加，恢復(fù)操作構(gòu)成的空間大小可能會呈現(xiàn)指數(shù)級上升.這種情況下，一種方法是采用截斷方法，另一種為變分優(yōu)化方法.前者通過泡利旋轉(zhuǎn)(Pauli twirling)[13]將錯誤轉(zhuǎn)化為有錯誤的泡利量子門，并截斷該空間的大小到與量子線路大小呈多項式關(guān)系.后者則通過蒙特卡洛采樣得到損失函數(shù)并通過變分法優(yōu)化該損失函數(shù).實踐中，我們可以使用不完美的量子門組態(tài)層析作為優(yōu)化的初始點.

3.10 隨機錯誤緩解

相較于離散的數(shù)字量子模擬，當前量子計算領(lǐng)域沒有系統(tǒng)的方法對模擬量子模擬(analog quantum simulation)實施量子糾錯[36].而隨機錯誤緩解為連續(xù)的模擬量子模擬提供了壓制錯誤的方法，可以實現(xiàn)有效應(yīng)用.

考慮，假設(shè)系統(tǒng)的動力學演化過程由Lindblad主方程給出:

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

注意到，對于模擬量子模擬，持續(xù)地實施式(53)恢復(fù)操作會帶來過高的開銷.每一個小時間段δt內(nèi)所實施的恢復(fù)操作接近全等算符.這里，我們可以使用蒙特卡洛方法在整個過程中隨機地加入強恢復(fù)操作，類似于隨機薛定諤方程.

3.11 量子錯誤緩解方法的組合

在3.8節(jié)的討論中，我們已經(jīng)提及不同量子錯誤緩解方法間的結(jié)合可以彌補特定方法的缺陷.這里，我們就3種不同的方法結(jié)合[37]進行討論.

1)對稱性驗證與外推法結(jié)合

對稱性驗證方法無法識別能夠保持系統(tǒng)對稱性的錯誤，這些錯誤與對稱性檢測算符相互對易，稱之為對易錯誤(commuting error)，而其他錯誤稱之為反對易錯誤(anti-commuting error).而與對稱性檢測算法反對易的錯誤經(jīng)過偶數(shù)次的出現(xiàn)與積累，其也會與檢測算符相互對易.為了增加算法的錯誤緩解能力，一種方法是將其與外推法結(jié)合.假設(shè)對觀測量Z在錯誤率為ε下對稱性檢測后得到的觀測期望值為〈Z〉sym(ε)，使用外推法可以進一步緩解對稱性檢測后仍然存在的與檢測算符對易的錯誤:

(54)

這里采用線性外推法.數(shù)值上，該方法被McArdle等人[23]驗證.并且，Cai[38]討論了該方法在Hubbard VQE算法中的應(yīng)用.

2)準概率方法與外推法結(jié)合

我們也可以使用準概率方法與外推法結(jié)合[38].這種情況下，我們不使用準概率方法來緩解所有類型的錯誤，而是在不改變噪聲信道形式的情況下實現(xiàn)對噪聲率的壓制.從而，我們可以獲得在不同噪聲大小的測量期望值，并使用外推法獲得理想測量期望值.相較于一般的外推法，我們不需要在量子設(shè)備上通過實驗手段獲得不同噪聲率情況下的測量值，且由于可以降低而非增加噪聲率，我們可以獲得更低的估計誤差.代價是引入準概率方法會產(chǎn)生更高的采樣需要.發(fā)現(xiàn)這2種方法的結(jié)合可以用于緩解連續(xù)過程的物理和模型估計誤差[37].

3)準概率與對稱性驗證方法結(jié)合

本節(jié)1)討論到對稱性驗證方法無法檢測到與對稱性檢測算符對易的錯誤.通過引入準概率方法，我們可以通過改變噪聲信道的形式，從而改變錯誤與對稱性檢驗算符的對易性，實現(xiàn)更好的效果.在實施準概率方法的過程中，額外加入的量子門可能會與對稱性檢驗算符反對易，故而，我們需要相應(yīng)改變結(jié)果的對稱性.準概率方法用于緩解線路中的反對易錯誤.在此之后，若線路中剩下的反對易錯誤為奇數(shù)個，則會被對稱性驗證方法檢驗并糾正；若存在偶數(shù)個，則無法檢測.

使用ν代表系統(tǒng)經(jīng)過準概率方法作用后剩余的錯誤數(shù)量，而后通過式(11)可以獲得這種情況下系統(tǒng)觀測量的期望值為

(55)

其中，〈Z〉k為觀測量在量子線路中存在k個錯誤情況下的期望值.

通過3.1節(jié)2)中對指數(shù)外推法的討論，可知觀測量遵從指數(shù)衰減曲線:

〈Z〉(ν)=〈Z〉(0)e-Γdν,

(56)

假定〈Z〉(ν)與理想情況測量值〈Z〉(0)滿足:

〈Z〉k=〈Z〉(0)(1-Γd)k,

(57)

其中，0≤Γd≤1.可知在實施對稱性驗證方法后，量子線路中僅可能存在偶數(shù)個非對易錯誤，給定下列觀測結(jié)果:

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4 量子錯誤緩解技術(shù)未來發(fā)展方向

以測量錯誤減少和準概率方法等為代表的錯誤緩解技術(shù)，面向特定的量子信道，通過嚴格推導(dǎo)可以達到對錯誤形成有保證的緩解效果.然而，實踐過程中，一方面，這類方法依賴錯誤的形式，故需要實施具有高開銷的態(tài)和信道層析技術(shù)；另一方面，真實設(shè)備中錯誤的來源多種多樣，很難通過嚴格的推導(dǎo)實現(xiàn)對所有類型錯誤的緩解.而類似于外推法等方法，沒有利用錯誤本身的信息，導(dǎo)致達到理想精度的錯誤緩解效果一般需要高度的計算資源.機器學習算法為這種兩難的困境提出了一大出路.理由是機器學習算法具有強大的模式識別的能力[39]，能夠從訓練數(shù)據(jù)中學習到系統(tǒng)噪聲對理想測量期望值的改變模式，故使得機器學習算法在這一方面具有更高的靈活性：既可以用于各類特定形式的量子信道中，也可以對實驗數(shù)據(jù)進行處理.故而，未來在量子錯誤緩解領(lǐng)域更多機器學習算法的進入值得期待.并且，機器學習算法的開銷主要集中于訓練階段，當完成訓練后可以使用訓練好的模型低成本地推斷各類情況下的錯誤緩解結(jié)果.

除此以外，利用計算任務(wù)本身特性的錯誤緩解算法展現(xiàn)出具有優(yōu)勢的表現(xiàn)，如3.6節(jié)的N階可表示性[31].在近期量子計算任務(wù)中，量子模擬求解化學、物理體系的基態(tài)及動力學過程等成為最受矚目的分支之一，值得期待的是未來更多面向特定物理、化學體系的錯誤緩解算法的提出.這有賴于在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理、量子多體物理和量子化學領(lǐng)域?qū)w系的知識積累，利用相應(yīng)的認識和見解，可以獲得理想結(jié)果所存在的子空間，從而對量子態(tài)施加除了對稱性驗證以外更為具體的限制以約束結(jié)果到相應(yīng)子空間.可以預(yù)見，對物理、化學體系信息的更充分利用可以帶來更加穩(wěn)定的結(jié)果表現(xiàn)以及在算法開銷上的優(yōu)勢.

5 結(jié)束語

我們通過量子模擬，引入和介紹了量子錯誤緩解技術(shù)的重要性：在NISQ時代，通過插入特定量子門到量子線路中和經(jīng)典后處理，量子錯誤緩解保證了即便存在噪聲，較淺量子線路也可以有效實施.并且，量子錯誤緩解方法可以延伸到連續(xù)的量子過程中，為實施定量的模擬量子計算提出了一定的可能性.故而，錯誤緩解方法成為發(fā)揮近期量子計算機能力的必不可少的元素.

本文還對量子錯誤緩解的未來可能發(fā)展方向進行了討論.我們認為量子錯誤緩解的發(fā)展具有巨大的潛力.由于實驗上可以控制的量子比特數(shù)目，量子錯誤緩解將作為量子糾錯的過度技術(shù)而存在，且為各類量子算法的實施提供保障.特別地，IBM等行業(yè)巨頭在提供量子計算機云服務(wù)的同時，都考慮使用相應(yīng)量子錯誤緩解技術(shù)作為實施算法的必要選項.注意到，機器學習算法在與量子糾錯方法的結(jié)合中經(jīng)歷了相對較長時間、多種形式的發(fā)展，包括受限玻爾茲曼機、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和強化學習等[40-42].而目前，量子錯誤緩解技術(shù)在此領(lǐng)域仍存在大量未探索方向.