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        讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題

        2021-09-10 07:22:44劉璇

        劉璇

        摘? 要:以“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)”一課為例,在實(shí)際問(wèn)題情境中,引導(dǎo)學(xué)生利用波利亞的數(shù)學(xué)解題步驟分析問(wèn)題結(jié)構(gòu),抽象出一元二次方程模型. 得到方程的解后,通過(guò)實(shí)際意義的解釋最終解決問(wèn)題,并回顧、反思、總結(jié)解決問(wèn)題的一般步驟,以及建立方程模型解決問(wèn)題的思路. 通過(guò)這種教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想,提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

        關(guān)鍵詞:一元二次方程;實(shí)際問(wèn)題;模型思想

        方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用廣泛. 模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一. 把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決過(guò)程中,內(nèi)化為思考指南并作為思維的工具在實(shí)際問(wèn)題情境中自覺(jué)運(yùn)用,就是模型思想,它是學(xué)生需要具備的關(guān)鍵能力之一. 讓學(xué)生真正形成模型思想,需要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決中的數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)及其反思、總結(jié),讓學(xué)生總結(jié)、提煉分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一般步驟,積累解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展模型意識(shí),提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 利用波利亞的“怎樣解題表”中的思考步驟指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題,是一種可行的教學(xué)策略. 本文以“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)”一課為例,闡述如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題.

        一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

        1. 內(nèi)容

        本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(3)”.

        2. 內(nèi)容解析

        本節(jié)課沿用“引入—定義—解法—應(yīng)用”的方程內(nèi)容主線展開一元二次方程的教學(xué),其與已經(jīng)學(xué)習(xí)的一元一次方程、二元一次方程組、分式方程研究主線相同,因此采用與前面相同的研究方法——方程建模、化歸求解,體現(xiàn)知識(shí)安排的螺旋上升,以及內(nèi)在邏輯的一致性和思想方法的一致性.“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”的內(nèi)容注重建立一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題,而本課時(shí)強(qiáng)調(diào)在設(shè)計(jì)情境下解決實(shí)際問(wèn)題,屬于一元二次方程知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用. 因此,本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是:在方程和模型思想的指導(dǎo)下,建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題.

        二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

        1. 目標(biāo)

        本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下.

        (1)能在實(shí)際情境中建立一元二次方程模型解決問(wèn)題.

        (2)進(jìn)一步體會(huì)方程建模思想.

        (3)體會(huì)分析問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般步驟.

        2. 目標(biāo)解析

        達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志:能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程,得到方程的解后,通過(guò)實(shí)際意義的解釋最終解決問(wèn)題. 能系統(tǒng)分析數(shù)量關(guān)系,尋找相等的兩個(gè)量的決定要素,設(shè)未知數(shù),用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量,用等號(hào)連接相等的兩個(gè)量,最終列出一元二次方程.

        達(dá)成目標(biāo)(2)的標(biāo)志:學(xué)生能在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用方程思想,在解決問(wèn)題后對(duì)解題過(guò)程和方法進(jìn)行反思總結(jié),進(jìn)一步體會(huì)方程的應(yīng)用價(jià)值.

        達(dá)成目標(biāo)(3)的標(biāo)志:學(xué)生能通過(guò)問(wèn)題的解決和反思總結(jié),提煉出分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一般步驟,即“理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧”.

        三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

        學(xué)生之前對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決經(jīng)歷較少,不知道從哪里著手,朝哪個(gè)方向思考,這是學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 另外,雖然學(xué)生在小學(xué)階段接觸過(guò)“線段比”,但這個(gè)內(nèi)容在初中階段安排在“圖形的相似”中,此時(shí)學(xué)生還沒(méi)有形成對(duì)線段比含義的深刻理解,導(dǎo)致學(xué)生在分析等量關(guān)系時(shí)存在困難,而且找等量關(guān)系列方程一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 因此,本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是:在實(shí)際問(wèn)題情境中分析等量關(guān)系、列方程.

        用波利亞“怎樣解題表”中的步驟指導(dǎo)學(xué)生選擇解題方法,指導(dǎo)學(xué)生建立方程模型,這是幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的有效策略.

        四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

        1. 創(chuàng)設(shè)情境,呈現(xiàn)問(wèn)題

        情境:每一本書都有精美的封面設(shè)計(jì). 探究:如圖1,要設(shè)計(jì)一本書的封面,封面長(zhǎng)27 cm、寬21 cm,正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,且上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)這個(gè)封面四周邊襯的寬度?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.)

        師生活動(dòng):教師介紹問(wèn)題的背景,引導(dǎo)學(xué)生初步閱讀問(wèn)題.

        【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)情境的意義與價(jià)值,激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣.

        2. 理解問(wèn)題

        問(wèn)題1:上述情境中,我們要解決什么問(wèn)題?有哪些約束條件?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀問(wèn)題明確目標(biāo)和約束條件.

        目標(biāo):給出設(shè)計(jì)方案,求出封面的左、右邊襯和上、下邊襯的寬.

        約束條件:封面是長(zhǎng)、寬分別為27 cm、21 cm的長(zhǎng)方形,中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是封面的長(zhǎng)減去上、下邊襯的寬度,中央長(zhǎng)方形的寬是封面的寬減去左、右邊襯的寬度,兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比相等,中央長(zhǎng)方形的面積是封面面積的四分之三.

        【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確問(wèn)題的目標(biāo)與約束條件,進(jìn)一步理解問(wèn)題.

        3. 制訂計(jì)劃

        問(wèn)題2:根據(jù)情境的目標(biāo)和約束條件,你準(zhǔn)備用什么方法解決問(wèn)題?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析問(wèn)題中的目標(biāo)與約束條件,明確問(wèn)題的結(jié)構(gòu),選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,?guī)劃解決問(wèn)題的思路.

        選擇方法:決定面積的要素是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,雖然長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬不是等量變化的,但是這種變化可以用“兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比例相同”這一約束條件來(lái)確定. 因此,可以設(shè)上、下邊襯或左、右邊襯中的一個(gè)為未知數(shù),或根據(jù)比例關(guān)系設(shè)未知數(shù),再根據(jù)中間長(zhǎng)方形的面積和封面的面積關(guān)系列方程解決問(wèn)題.

        規(guī)劃思路:教師引導(dǎo)學(xué)生回顧建立方程模型解決問(wèn)題的一般思路,如圖2所示.

        [實(shí)際問(wèn)題][方程問(wèn)題][實(shí)際問(wèn)題的解][方程的解] [設(shè)未知數(shù),列方程][解釋實(shí)際意義][解方程][圖2]

        【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)與約束條件之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu),并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê退悸分贫ń鉀Q問(wèn)題的計(jì)劃.

        4. 實(shí)施計(jì)劃

        問(wèn)題3:現(xiàn)在大家能獨(dú)立解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題了嗎?

        師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立解題,教師巡視并幫助思路受阻的學(xué)生.

        分析:因?yàn)榉饷骈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬比為27∶21 = 9∶7,所以中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比也是9∶7. 設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9a cm和7a cm,由此得到上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是[1227-9a ∶ 1221-7a=][9∶7.]

        學(xué)生列方程步驟如下.

        步驟1:合理設(shè)未知數(shù).

        設(shè)左、右邊襯的寬為7x cm,上、下邊襯的寬為9x cm,則中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為[27-18x cm]、寬為[21-14x cm].

        步驟2:根據(jù)等量關(guān)系列方程.

        列方程[27-18x21-14x=34×27×21].

        步驟3:解方程得到方程的解,解釋實(shí)際意義得到實(shí)際問(wèn)題的解.

        整理,得[16x2-48x+9=0]. 解出兩個(gè)根,舍去不符合題意的根,最后根據(jù)實(shí)際意義得到左、右邊襯的寬約為1.4 cm,上、下邊襯的寬約為1.8 cm.

        【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型表達(dá)和研究問(wèn)題.

        5. 回顧

        教師用如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)問(wèn)題解決的過(guò)程,積累分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

        問(wèn)題4:你還能列出不同的方程解決這個(gè)問(wèn)題嗎?

        問(wèn)題5:在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中你是怎樣想的?

        問(wèn)題6:能說(shuō)說(shuō)你是怎樣列出方程的嗎?

        師生活動(dòng):首先,引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解題過(guò)程,檢驗(yàn)解一元二次方程的正確性,檢驗(yàn)方程的解與實(shí)際意義是否符合;其次,思考是否有不同的解決問(wèn)題的方法,進(jìn)而總結(jié)實(shí)際問(wèn)題情境下如何將方程模型作為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的工具,總結(jié)出解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路(理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧),以及建立方程模型解決問(wèn)題的一般思路(實(shí)際問(wèn)題—設(shè)未知數(shù)、列方程,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題—解方程,得到方程的解—解釋方程解的實(shí)際意義,得到實(shí)際問(wèn)題的解),讓學(xué)生體會(huì)到,在解決實(shí)際問(wèn)題中,往往需要將模型思想作為重要的工具嵌入到分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)中. 在這個(gè)過(guò)程中,要留給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生經(jīng)歷用不同方法解決問(wèn)題并進(jìn)行評(píng)價(jià)的過(guò)程.

        【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)反思總結(jié),提煉解決問(wèn)題的一般步驟,深化學(xué)生對(duì)模型思想的理解,為今后用模型思想解決問(wèn)題積累可遷移的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

        6. 遷移應(yīng)用

        對(duì)一幅畫進(jìn)行裝裱更能體現(xiàn)出協(xié)調(diào)美. 現(xiàn)要在一幅長(zhǎng)為120 cm、寬為60 cm畫的外周裝裱白色的邊襯. 如果邊襯的左、右寬是上、下寬的一半,且邊襯面積是原畫面積的四分之一,試給出設(shè)計(jì)方案(數(shù)據(jù)精確到0.1 cm),畫出設(shè)計(jì)草圖,并標(biāo)上數(shù)據(jù).

        要求學(xué)生獨(dú)立思考,求出邊襯的寬,并畫出設(shè)計(jì)草圖.

        【設(shè)計(jì)意圖】把提煉出來(lái)的解決問(wèn)題的步驟和建立方程模型的方法遷移應(yīng)用到相關(guān)聯(lián)的情境中.

        7. 課堂小結(jié)

        在小結(jié)時(shí),教師提出如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思回顧.

        (1)本節(jié)課我們解決了哪些問(wèn)題?

        (2)是按照怎樣的步驟解決這些問(wèn)題的?

        (3)解決問(wèn)題的過(guò)程中是怎樣建立方程模型的?

        五、教學(xué)反思

        運(yùn)用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題,能融合發(fā)展學(xué)生的模型思想,提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 在解決實(shí)際問(wèn)題情境的過(guò)程中,由于情境并非直接指向用方程來(lái)解決,所以需要分析情境,明確目標(biāo)和約束條件,在進(jìn)行問(wèn)題結(jié)構(gòu)和目標(biāo)導(dǎo)向分析后發(fā)現(xiàn)需要用方程刻畫問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,確定解決問(wèn)題的基本方向.

        那么,什么因素決定了要利用方程模型解決問(wèn)題?事實(shí)上,含有未知量的代數(shù)式之間有相等關(guān)系時(shí)適合用方程模型來(lái)解決問(wèn)題. 要知道問(wèn)題中是否有這種特征,需要在分析問(wèn)題的數(shù)量結(jié)構(gòu),明確構(gòu)成要素、決定要素(位置數(shù))、目標(biāo)要素的基礎(chǔ)上,從而確定是否選擇用方程模型解決問(wèn)題.

        在實(shí)際問(wèn)題解決的過(guò)程中,用波利亞“怎樣解題表”中的步驟引領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu),明確用方程模型解決問(wèn)題的方法,讓學(xué)生經(jīng)歷“理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧”的過(guò)程,在制定計(jì)劃的過(guò)程中嵌入方程模型解決問(wèn)題,在回顧階段總結(jié)、提煉步驟方法,并進(jìn)行遷移應(yīng)用,這是在用方程模型解決實(shí)際應(yīng)用教學(xué)中比較可行的教學(xué)策略.

        參考文獻(xiàn):

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