劉璇

摘? 要：以“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（3）”一課為例，在實(shí)際問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生利用波利亞的數(shù)學(xué)解題步驟分析問(wèn)題結(jié)構(gòu)，抽象出一元二次方程模型. 得到方程的解后，通過(guò)實(shí)際意義的解釋最終解決問(wèn)題，并回顧、反思、總結(jié)解決問(wèn)題的一般步驟，以及建立方程模型解決問(wèn)題的思路. 通過(guò)這種教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：一元二次方程;實(shí)際問(wèn)題;模型思想

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用廣泛. 模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一. 把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決過(guò)程中，內(nèi)化為思考指南并作為思維的工具在實(shí)際問(wèn)題情境中自覺(jué)運(yùn)用，就是模型思想，它是學(xué)生需要具備的關(guān)鍵能力之一. 讓學(xué)生真正形成模型思想，需要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決中的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)及其反思、總結(jié)，讓學(xué)生總結(jié)、提煉分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一般步驟，積累解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展模型意識(shí)，提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 利用波利亞的“怎樣解題表”中的思考步驟指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，是一種可行的教學(xué)策略. 本文以“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（3）”一課為例，闡述如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立方程模型解決實(shí)際問(wèn)題.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（3）”.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課沿用“引入—定義—解法—應(yīng)用”的方程內(nèi)容主線展開一元二次方程的教學(xué)，其與已經(jīng)學(xué)習(xí)的一元一次方程、二元一次方程組、分式方程研究主線相同，因此采用與前面相同的研究方法——方程建模、化歸求解，體現(xiàn)知識(shí)安排的螺旋上升，以及內(nèi)在邏輯的一致性和思想方法的一致性.“實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”的內(nèi)容注重建立一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，而本課時(shí)強(qiáng)調(diào)在設(shè)計(jì)情境下解決實(shí)際問(wèn)題，屬于一元二次方程知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用. 因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：在方程和模型思想的指導(dǎo)下，建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下.

（1）能在實(shí)際情境中建立一元二次方程模型解決問(wèn)題.

（2）進(jìn)一步體會(huì)方程建模思想.

（3）體會(huì)分析問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般步驟.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，得到方程的解后，通過(guò)實(shí)際意義的解釋最終解決問(wèn)題. 能系統(tǒng)分析數(shù)量關(guān)系，尋找相等的兩個(gè)量的決定要素，設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量，用等號(hào)連接相等的兩個(gè)量，最終列出一元二次方程.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用方程思想，在解決問(wèn)題后對(duì)解題過(guò)程和方法進(jìn)行反思總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)方程的應(yīng)用價(jià)值.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生能通過(guò)問(wèn)題的解決和反思總結(jié)，提煉出分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一般步驟，即“理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧”.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生之前對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決經(jīng)歷較少，不知道從哪里著手，朝哪個(gè)方向思考，這是學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 另外，雖然學(xué)生在小學(xué)階段接觸過(guò)“線段比”，但這個(gè)內(nèi)容在初中階段安排在“圖形的相似”中，此時(shí)學(xué)生還沒(méi)有形成對(duì)線段比含義的深刻理解，導(dǎo)致學(xué)生在分析等量關(guān)系時(shí)存在困難，而且找等量關(guān)系列方程一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 因此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：在實(shí)際問(wèn)題情境中分析等量關(guān)系、列方程.

用波利亞“怎樣解題表”中的步驟指導(dǎo)學(xué)生選擇解題方法，指導(dǎo)學(xué)生建立方程模型，這是幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的有效策略.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)問(wèn)題

情境：每一本書都有精美的封面設(shè)計(jì). 探究：如圖1，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27 cm、寬21 cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，且上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)這個(gè)封面四周邊襯的寬度？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.）

師生活動(dòng)：教師介紹問(wèn)題的背景，引導(dǎo)學(xué)生初步閱讀問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)情境的意義與價(jià)值，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣.

2. 理解問(wèn)題

問(wèn)題1：上述情境中，我們要解決什么問(wèn)題？有哪些約束條件？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀問(wèn)題明確目標(biāo)和約束條件.

目標(biāo)：給出設(shè)計(jì)方案，求出封面的左、右邊襯和上、下邊襯的寬.

約束條件：封面是長(zhǎng)、寬分別為27 cm、21 cm的長(zhǎng)方形，中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是封面的長(zhǎng)減去上、下邊襯的寬度，中央長(zhǎng)方形的寬是封面的寬減去左、右邊襯的寬度，兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比相等，中央長(zhǎng)方形的面積是封面面積的四分之三.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確問(wèn)題的目標(biāo)與約束條件，進(jìn)一步理解問(wèn)題.

3. 制訂計(jì)劃

問(wèn)題2：根據(jù)情境的目標(biāo)和約束條件，你準(zhǔn)備用什么方法解決問(wèn)題？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析問(wèn)題中的目標(biāo)與約束條件，明確問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?guī)劃解決問(wèn)題的思路.

選擇方法：決定面積的要素是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，雖然長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬不是等量變化的，但是這種變化可以用“兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比例相同”這一約束條件來(lái)確定. 因此，可以設(shè)上、下邊襯或左、右邊襯中的一個(gè)為未知數(shù)，或根據(jù)比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)中間長(zhǎng)方形的面積和封面的面積關(guān)系列方程解決問(wèn)題.

規(guī)劃思路：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧建立方程模型解決問(wèn)題的一般思路，如圖2所示.

[實(shí)際問(wèn)題][方程問(wèn)題][實(shí)際問(wèn)題的解][方程的解] [設(shè)未知數(shù)，列方程][解釋實(shí)際意義][解方程][圖2]

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)與約束條件之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê退悸分贫ń鉀Q問(wèn)題的計(jì)劃.

4. 實(shí)施計(jì)劃

問(wèn)題3：現(xiàn)在大家能獨(dú)立解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題了嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解題，教師巡視并幫助思路受阻的學(xué)生.

分析：因?yàn)榉饷骈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬比為27∶21 = 9∶7，所以中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比也是9∶7. 設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9a cm和7a cm，由此得到上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是[1227-9a ∶ 1221-7a=][9∶7.]

學(xué)生列方程步驟如下.

步驟1：合理設(shè)未知數(shù).

設(shè)左、右邊襯的寬為7x cm，上、下邊襯的寬為9x cm，則中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為[27-18x cm]、寬為[21-14x cm].

步驟2：根據(jù)等量關(guān)系列方程.

列方程[27-18x21-14x=34×27×21].

步驟3：解方程得到方程的解，解釋實(shí)際意義得到實(shí)際問(wèn)題的解.

整理，得[16x2-48x+9=0]. 解出兩個(gè)根，舍去不符合題意的根，最后根據(jù)實(shí)際意義得到左、右邊襯的寬約為1.4 cm，上、下邊襯的寬約為1.8 cm.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型表達(dá)和研究問(wèn)題.

5. 回顧

教師用如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)問(wèn)題解決的過(guò)程，積累分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

問(wèn)題4：你還能列出不同的方程解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

問(wèn)題5：在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中你是怎樣想的？

問(wèn)題6：能說(shuō)說(shuō)你是怎樣列出方程的嗎？

師生活動(dòng)：首先，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解題過(guò)程，檢驗(yàn)解一元二次方程的正確性，檢驗(yàn)方程的解與實(shí)際意義是否符合;其次，思考是否有不同的解決問(wèn)題的方法，進(jìn)而總結(jié)實(shí)際問(wèn)題情境下如何將方程模型作為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的工具，總結(jié)出解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路（理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧），以及建立方程模型解決問(wèn)題的一般思路（實(shí)際問(wèn)題—設(shè)未知數(shù)、列方程，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題—解方程，得到方程的解—解釋方程解的實(shí)際意義，得到實(shí)際問(wèn)題的解），讓學(xué)生體會(huì)到，在解決實(shí)際問(wèn)題中，往往需要將模型思想作為重要的工具嵌入到分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)中. 在這個(gè)過(guò)程中，要留給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同方法解決問(wèn)題并進(jìn)行評(píng)價(jià)的過(guò)程.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)反思總結(jié)，提煉解決問(wèn)題的一般步驟，深化學(xué)生對(duì)模型思想的理解，為今后用模型思想解決問(wèn)題積累可遷移的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

6. 遷移應(yīng)用

對(duì)一幅畫進(jìn)行裝裱更能體現(xiàn)出協(xié)調(diào)美. 現(xiàn)要在一幅長(zhǎng)為120 cm、寬為60 cm畫的外周裝裱白色的邊襯. 如果邊襯的左、右寬是上、下寬的一半，且邊襯面積是原畫面積的四分之一，試給出設(shè)計(jì)方案（數(shù)據(jù)精確到0.1 cm），畫出設(shè)計(jì)草圖，并標(biāo)上數(shù)據(jù).

要求學(xué)生獨(dú)立思考，求出邊襯的寬，并畫出設(shè)計(jì)草圖.

【設(shè)計(jì)意圖】把提煉出來(lái)的解決問(wèn)題的步驟和建立方程模型的方法遷移應(yīng)用到相關(guān)聯(lián)的情境中.

7. 課堂小結(jié)

在小結(jié)時(shí)，教師提出如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思回顧.

（1）本節(jié)課我們解決了哪些問(wèn)題？

（2）是按照怎樣的步驟解決這些問(wèn)題的？

（3）解決問(wèn)題的過(guò)程中是怎樣建立方程模型的？

五、教學(xué)反思

運(yùn)用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題，能融合發(fā)展學(xué)生的模型思想，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 在解決實(shí)際問(wèn)題情境的過(guò)程中，由于情境并非直接指向用方程來(lái)解決，所以需要分析情境，明確目標(biāo)和約束條件，在進(jìn)行問(wèn)題結(jié)構(gòu)和目標(biāo)導(dǎo)向分析后發(fā)現(xiàn)需要用方程刻畫問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，確定解決問(wèn)題的基本方向.

那么，什么因素決定了要利用方程模型解決問(wèn)題？事實(shí)上，含有未知量的代數(shù)式之間有相等關(guān)系時(shí)適合用方程模型來(lái)解決問(wèn)題. 要知道問(wèn)題中是否有這種特征，需要在分析問(wèn)題的數(shù)量結(jié)構(gòu)，明確構(gòu)成要素、決定要素（位置數(shù)）、目標(biāo)要素的基礎(chǔ)上，從而確定是否選擇用方程模型解決問(wèn)題.

在實(shí)際問(wèn)題解決的過(guò)程中，用波利亞“怎樣解題表”中的步驟引領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，明確用方程模型解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“理解問(wèn)題—制定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧”的過(guò)程，在制定計(jì)劃的過(guò)程中嵌入方程模型解決問(wèn)題，在回顧階段總結(jié)、提煉步驟方法，并進(jìn)行遷移應(yīng)用，這是在用方程模型解決實(shí)際應(yīng)用教學(xué)中比較可行的教學(xué)策略.

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