趙丹慧

摘要：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，函數(shù)概念的教學(xué)由具體問題出發(fā)，通過實例進行抽象概括，并通過有效設(shè)問激發(fā)認(rèn)知沖突，引領(lǐng)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù). 在此過程中，體會從“變量說”到“對應(yīng)關(guān)系說”的必要性，感悟問題引領(lǐng)下，函數(shù)概念生成的自然合理性.

關(guān)鍵詞：問題引領(lǐng);函數(shù);函數(shù)的概念

本文就筆者開設(shè)的一節(jié)校內(nèi)公開課的一個片段進行實錄與反思，試圖通過常見的“問題引領(lǐng)”的課堂組織形式進行教學(xué)，讓函數(shù)這個抽象概念的生成來得更自然些。

一、課堂教學(xué)實錄

（一）實例分析，以問促思

實例1：某高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時. 這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為S=350t.

師：這個式子是什么？

生（眾）：正比例函數(shù)的解析式.

是：解析式中的t、S分別是什么量？

生（眾）：t是自變量，S是因變量.

問題1：既然它是函數(shù)的解析式，那么誰是誰的函數(shù)？為什么？

生1：S是t的函數(shù)，因為S隨著t的變化而變化.

師：很好！也就是說每取一個時間t，就有唯一確定的路程S與它對應(yīng).

師：這是個實際問題，運行時間t有范圍的限制嗎？

生（眾）：

師：用集合A1來表示這個范圍就是，則S的范圍用集合B1怎么表示？

生（眾）：

師：所以t的值是取自數(shù)集A1，S的值來自于數(shù)集B1.

問題2：能否將這種函數(shù)關(guān)系用集合的語言去描述呢？

生2：在數(shù)集A1中每取一個時間t，在數(shù)集B1中就有唯一確定的路程S與它對應(yīng).

師：非常好，我們還需強調(diào)對應(yīng)關(guān)系，可以這樣來描述：

對于數(shù)集A1中任一時刻t，按照對應(yīng)關(guān)系S=350t（即解析式），在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S與它對應(yīng)。

設(shè)計意圖：該實例給出的是解析式的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生容易理解. 所不同的是，該例所提供的函數(shù)并非“天然定義域”，而是現(xiàn)實需求限制自變量的取值范圍，這是一種初高中函數(shù)概念的銜接性問題驅(qū)動，問題1觸發(fā)學(xué)生對初中函數(shù)概念的總體印象，明確誰是誰的函數(shù);問題2讓學(xué)生關(guān)注到t的變化范圍，并嘗試用集合和對應(yīng)的語言來描述S和t的函數(shù)關(guān)系.

實例2：觀察某市某天的氣溫變化圖

師：時間和溫度是函數(shù)關(guān)系嗎？

生（部分）：不是，沒有解析式.

生（部分）：是吧，圖象也可以表示函數(shù).

問題3：請同學(xué)們先回顧一下初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念是什么？

字條展示初中函數(shù)的概念

師：我們再來根據(jù)初中的函數(shù)概念判斷一下t和T是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？若是，誰是誰的函數(shù)？

生3：是函數(shù)關(guān)系，因為在圖像上任取一個時間t，都有唯一確定的溫度T與它對應(yīng)，所以溫度是時間的函數(shù).

師：t的范圍是一個時間段，若把t的范圍記作集合A2，T的范圍記作集合B2，請大家類比實例1用集合與對應(yīng)的語言來描述這種函數(shù)關(guān)系.

生4：對于數(shù)集A2中任一時刻t，按照圖象，在數(shù)集B2中都有唯一確定的溫度T與它對應(yīng).

師：很好！看來除了解析式，函數(shù)也可以用圖象來表示.

設(shè)計意圖：實例2是圖像，學(xué)生熟悉的是解析式，以此產(chǎn)生認(rèn)知沖突，此時通過設(shè)置問題3，順勢引導(dǎo)生回顧初中的函數(shù)概念，以此來判斷T與t是否是函數(shù)關(guān)系，進一步體會圖像也能表達變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系。

實例3：這是我們班在“創(chuàng)生杯”八字繩比賽中3次跳繩的成績表.

問題4：成績y與次數(shù)x是函數(shù)關(guān)系嗎？誰是誰的函數(shù)？

生（眾）：y是x的函數(shù).

師：若把x的范圍記作集合A3，y的范圍記作集合B3，那我們一起用集合與對應(yīng)的語言來描述這種函數(shù)關(guān)系就是：

（師生共同活動）對于數(shù)集A3中任意一個跳繩次數(shù)x，按照表格，在數(shù)集B3中都有唯一確定的跳繩成績y與它對應(yīng)。

設(shè)計意圖：實例3是讓學(xué)生又一次產(chǎn)生認(rèn)知沖突的舉措，對教材的實例進行適當(dāng)處理，選擇貼近生活的例子，既增強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，又一步步深入認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)，促進教學(xué)目標(biāo)的達成.

（二）觀察歸納，形成概念

問題5：觀察上述3個實例有什么共同特征？

生5：

（1）都有兩個數(shù)集A、B;

（2）都有一種對應(yīng)關(guān)系;

（3）對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)，在數(shù)集B中都有唯一確定的一個數(shù)與它對應(yīng).

師：非常棒！大家已經(jīng)基本認(rèn)識函數(shù)的概念了. 這里的對應(yīng)關(guān)系，除了解析式、圖象和表格外，還有其他形式，如Venn圖等，為了方便，我們引進符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系.

把這三個共同點歸納起來給出課本上函數(shù)的概念.

設(shè)計意圖：在初中已有函數(shù)認(rèn)識基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納三個實例的共同特征，體會數(shù)學(xué)抽象過程，概括出函數(shù)的本質(zhì)，從而突破難點，突出“用集合與對應(yīng)的語言建立函數(shù)的概念”這一教學(xué)重點.

二、基于教學(xué)片段的思考

本節(jié)課應(yīng)立足學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)進行設(shè)計，在初中的學(xué)習(xí)中已初步滲透“對應(yīng)說”，但更“深入人心”的是“變量說”. 鑒于本節(jié)課內(nèi)容抽象的特點，筆者做了以下的策略性引導(dǎo)：

（一）順著學(xué)生的思維走，不急于對舊知刨根問底.

先承認(rèn)學(xué)生已經(jīng)理解“變量說”（其實絕大部分學(xué)生頭腦中的函數(shù)只有解析式），從而在實例1中直接追問“誰是誰的函數(shù)”，而沒有急于提問“初中函數(shù)的概念是什么”，等學(xué)生在實例2的函數(shù)關(guān)系中碰壁之后，再問“初中函數(shù)的概念是什么”，這一設(shè)計看似拖沓，實則適逢其時.

（二）通過問題引領(lǐng)，讓概念的形成更加自然.

在每個實例中都問“兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系嗎？”“誰是誰的函數(shù)？”“變量的變化范圍是什么？”“如何用集合與對應(yīng)的語言來描述這種函數(shù)關(guān)系？”“對應(yīng)關(guān)系是什么？”等，這樣的提問并非重復(fù)多余，而是起到了關(guān)鍵的輔助作用，這一切都是為學(xué)生能夠正確自然形成函數(shù)的語義表征服務(wù)的.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞和腳手架，是數(shù)學(xué)的基本單位[2]，一個數(shù)學(xué)概念的建立一般會經(jīng)過由特殊到一般，由具體到抽象的過程，這個過程有時既困難又漫長. 這就需要教師在教學(xué)設(shè)計過程中合理選材，精心設(shè)問，在數(shù)學(xué)現(xiàn)象中提煉數(shù)學(xué)問題，以“問題”為主線，必要時要在原問題的關(guān)聯(lián)處進行追問，要及時而不急于求成，問在學(xué)生的“認(rèn)知障礙”處和“思維節(jié)點”處，從而形成有效的師生對話，讓概念的定義自然、理解自然.

參考文獻：

[1]李強.高中新教材中函數(shù)概念教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報，2007（05）：33-35.

[2]方均斌.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與案例分析[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.3.

溫州市職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 浙江 溫州 325000