張歡，劉立漢

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331

反散射問(wèn)題是數(shù)學(xué)物理中一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，其主要是利用聲波或電磁波的散射數(shù)據(jù)來(lái)確定未知散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。反散射問(wèn)題的研究成果已在聲納雷達(dá)探測(cè)、地球物理探測(cè)、醫(yī)學(xué)成像、生命科學(xué)、遙感技術(shù)等其他學(xué)科的研究領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。在現(xiàn)有的研究中，更多的是考慮入射波和散射波都在散射體的外部，稱(chēng)之為外部反散射問(wèn)題（見(jiàn)文獻(xiàn)［1］），但是正如文獻(xiàn)［2-3］中所述，為了解決一些實(shí)際問(wèn)題，內(nèi)部反散射問(wèn)題也逐漸得到關(guān)注，相比于外部反散射問(wèn)題，其入射波和散射波都在散射體的內(nèi)部，且散射波在散射體內(nèi)部會(huì)不斷地進(jìn)行反射，所以?xún)?nèi)部反散射問(wèn)題更為復(fù)雜。而內(nèi)部反散射問(wèn)題是一個(gè)非線性不適定問(wèn)題，為了解決其在求解過(guò)程中的困難，目前已有一些解決方法，對(duì)于不可穿透散射體，文獻(xiàn)［3］通過(guò)線性采樣法反演在Dirichlet 邊界條件下的散射體的位置和形狀；文獻(xiàn)［4］考慮在Maxwell 方程及其Dirichlet 邊界條件下，利用同樣的方法反演散射體的位置及其形狀；文獻(xiàn)［5］將線性采樣法延拓到阻尼邊界條件的情況，通過(guò)該方法反演散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)；文獻(xiàn)［6］利用交互間隙法來(lái)重構(gòu)阻抗邊界條件下散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)；文獻(xiàn)［7］將表示邊界值問(wèn)題的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的非線性積分方程組，并通過(guò)正則的Newton迭代法求解這個(gè)非線性積分方程組，從而解得散射體的未知邊界；文獻(xiàn)［8］則將線性采樣法進(jìn)一步延拓到混合邊界條件下來(lái)重構(gòu)散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。對(duì)于可穿透散射體，文獻(xiàn)［9］利用線性采樣法進(jìn)行數(shù)值反演傳輸邊界條件下散射體的位置及其形狀；文獻(xiàn)［10-11］分別通過(guò)分解法和正則的Newton迭代法求解了同樣的反散射問(wèn)題。對(duì)于更一般的混合邊界條件，文獻(xiàn)［12］基于外部傳輸特征值問(wèn)題的譜性質(zhì)分析，證明了可穿透散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)可由腔體內(nèi)部多個(gè)點(diǎn)源的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)唯一確定，再利用線性采樣法的想法，構(gòu)造適應(yīng)于點(diǎn)源的奇異性的指示函數(shù)，進(jìn)而重構(gòu)散射體的位置、形狀及其物理性質(zhì)。

本文考慮采用由Kress 和Kirsch 提出的分裂法來(lái)求解Neumann 邊界的內(nèi)部反散射問(wèn)題，這個(gè)方法最初是為了解決外部反散射問(wèn)題。針對(duì)內(nèi)部反散射問(wèn)題的非線性和不適定性，分裂法將其原問(wèn)題的這兩大難點(diǎn)拆分成兩步來(lái)解決［2，13］，首先通過(guò)測(cè)量的數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造散射場(chǎng)從而解決原問(wèn)題的不適定性，然后由邊界條件，利用入射波及散射場(chǎng)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，從而達(dá)到解決非線性的目的。

1 反散射問(wèn)題

設(shè)D是R2中的一個(gè)單連通區(qū)域，D的邊界?D具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，波數(shù)k> 0，z為散射體D內(nèi)部的一點(diǎn)。正散射問(wèn)題是找到散射場(chǎng)us，使得

故矛盾，定理得證。

2 分裂法

假設(shè)散射體內(nèi)部的曲線C上有一個(gè)點(diǎn)源z，對(duì)?x∈C，其散射場(chǎng)為us(x，z)，記為usC. 假設(shè)Γ 是D外部的一條曲線，定義如下算子

其中

定理2 假設(shè)k2> 0 不是-Δ 在Γ 或C內(nèi)部的Neumann 特征值，則S是緊算子且是單射，此外，S在L2(C)上有稠密值域。

證明 首先證明緊性，因?yàn)長(zhǎng)2(Γ)為有界集，且L2(C)是有限維的賦范空間，而有限維的賦范空間的任意有界序列都包含一個(gè)收斂序列，所以L2(C)是相對(duì)緊集，故算子S是緊的。

然后證明S是單射的，設(shè)

3 數(shù)值例子

本節(jié)通過(guò)2個(gè)數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證分裂法的可行性和有效性。以下是分裂法求解反散射問(wèn)題的邊界的3個(gè)步驟。

第一個(gè)例子，考慮重構(gòu)一個(gè)邊界為心形線的散射體，結(jié)果見(jiàn)圖1。第二個(gè)例子，考慮重構(gòu)一個(gè)邊界為正六邊形的散射體，結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖1 重構(gòu)邊界為心形線Fig.1 Reconstruct a boundary of cardioid