頓繼安， 孫 芳， 劉 杰

(1.北京教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院， 北京 100044；2.中國人民大學(xué)附屬中學(xué)， 北京 100086；3.北京市第十四中學(xué)，北京 100055)

一、問題的提出

21世紀(jì)初我國頒布的《全日制義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》均提出，一些數(shù)學(xué)知識需要學(xué)生自主探索，這一要求一直延續(xù)至今，也得到了一線教師的認(rèn)同和積極實(shí)踐。當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂上的探究已不能用二元對立的“有”和“無”來界定，課堂間的差異主要表現(xiàn)在自主探究程度的不同，包括兩個既獨(dú)立又互相影響的方面：一是探究程度即所探究的問題的深度，二是學(xué)生在探究中的自主程度。一種比較普遍的現(xiàn)象是：教師設(shè)計了有挑戰(zhàn)性的探究任務(wù)，即較高探究程度的問題，但學(xué)生卻未能獲得合適的自主程度。

(一)數(shù)學(xué)探究活動自主度問題亟待關(guān)注

鄭毓信教授在課改早期就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂中“學(xué)生只能獲得‘大框架下的小自由’，教學(xué)往往未能給學(xué)生留下主動創(chuàng)造的自由空間。”[1]此后，高文君等的調(diào)查也得到了類似的結(jié)論:“引導(dǎo)式探究”是我國中學(xué)數(shù)學(xué)課堂采用的主要方式，即通過師問生答的形式，在教師的一步步引導(dǎo)下，師生一起對問題進(jìn)行分析、提出解決方法、實(shí)施方案，一起對解決的情況進(jìn)行評價和小結(jié)。該研究還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生希望有更高的探究水平、更多的自主空間。[2]曹一鳴等的實(shí)證研究也表明，盡管圍繞“解決數(shù)學(xué)問題”展開自主探究已經(jīng)成為當(dāng)前我國中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的普遍特點(diǎn)，但課堂中學(xué)生提出的問題數(shù)量少、認(rèn)知水平不高，而解決數(shù)學(xué)問題采用最廣泛的模式為“提出問題—(師生共同)討論解法”。這種模式滿足了大容量課堂中學(xué)生在短時間內(nèi)獲得知識的需求，但缺點(diǎn)在于要求學(xué)生與教師的步調(diào)一致，限制了學(xué)生的思維，其實(shí)質(zhì)仍然是學(xué)生未獲得與其自身水平相應(yīng)的自主程度。[3]

由于受時空限制，數(shù)學(xué)教學(xué)中一個完整的數(shù)學(xué)探究過程很難完全由學(xué)生獨(dú)立完成，教師控制探究過程是必要的。好的教學(xué)在于找到教師控制和學(xué)生自主間的平衡點(diǎn)，即為學(xué)生提供合適的“自主度”。所謂“自主度”，是指學(xué)生在探究活動中的自主程度，自主度越高意味著探究活動中學(xué)生的獨(dú)立思考越多，教師的控制和指導(dǎo)越少。自主度不適當(dāng)?shù)奶骄炕顒訒a(chǎn)生兩種極端表現(xiàn)：一是探究任務(wù)的挑戰(zhàn)性遠(yuǎn)大于學(xué)生自主完成的能力，在學(xué)生陷入困境時教師處理不當(dāng)就會帶來學(xué)習(xí)的低效。二是以教師之腦指揮學(xué)生之手的“偽探究”，這樣的探究過程表面很順利，甚至一些重要的結(jié)論也是學(xué)生說出的，但學(xué)生從事的只是機(jī)械操作性活動，他們對于一個復(fù)雜的問題如何轉(zhuǎn)化為若干個簡單問題而得以解決的機(jī)理不明就里，這樣的學(xué)習(xí)過程屬于“機(jī)械式發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，同樣需要在教學(xué)中避免。

(二)刻畫數(shù)學(xué)探究活動自主度的工具存在不足

已有關(guān)于探究度的研究，其實(shí)質(zhì)都是在探討自主度。最早的探究度研究始自20世紀(jì)中期的科學(xué)教育界，施瓦布于1962年首先將科學(xué)探究中提出問題、設(shè)計方案、得出結(jié)論三個環(huán)節(jié)為學(xué)生提供的自主探究水平進(jìn)行了刻畫。經(jīng)過幾十年的不斷發(fā)展，自主探究水平體系在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。[4-6]美國2000年版的《科學(xué)探究與國家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)》按照問題、證據(jù)、解釋、評價和發(fā)表五個基本特征設(shè)定了量化的探究度等級。[6]我國科學(xué)教育研究者借鑒國外的研究，提出了一些與我國科學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)特點(diǎn)更為吻合的框架。[7-8]

高文君等將科學(xué)探究水平體系引入數(shù)學(xué)教育，確定了數(shù)學(xué)探究的四要素，即提出問題、分析與假設(shè)、實(shí)施方案、評價與結(jié)論，并根據(jù)各要素的實(shí)施主體將數(shù)學(xué)課堂探究分為控制式、引導(dǎo)式、開放式和自主式四個自低到高的水平。[5]這種劃分對于整體認(rèn)識數(shù)學(xué)課堂的探究表現(xiàn)有一定意義，但其缺點(diǎn)在于，將數(shù)學(xué)探究活動各環(huán)節(jié)中師生的參與情況都看成一致的，這與實(shí)際情況不符。例如，有的教師在分析問題時有較多的引導(dǎo)，但在實(shí)施環(huán)節(jié)則完全放手；有的教師在一些內(nèi)容學(xué)習(xí)的初期，會在分析問題的環(huán)節(jié)給學(xué)生較多自主空間，但為了讓學(xué)生規(guī)范書面表達(dá)，在實(shí)施環(huán)節(jié)即書寫解題步驟時則采用示范的方式。劉云等對教科書中設(shè)計的探究活動進(jìn)行了研究，以這些活動由學(xué)生自主開始的起點(diǎn)作為刻畫探究水平的依據(jù)，將探究活動分為問題起始型、證據(jù)起始型、結(jié)論起始型、論證起始型四個自高到低的水平。[9]這種劃分方式對教師理解和用好教科書并設(shè)計探究活動有指導(dǎo)意義，但難以刻畫動態(tài)課堂的情況。例如，為學(xué)生提供問題起始型探究任務(wù)未必意味著學(xué)生一定能夠自主提出有意義的探究問題，教師的指導(dǎo)程度會影響這一環(huán)節(jié)中學(xué)生獲得的實(shí)際自主性。

已有研究為數(shù)學(xué)探究自主度的刻畫提供了基礎(chǔ)，但對于解釋和指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐均存在明顯不足。本研究將構(gòu)建針對我國現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教育目標(biāo)和現(xiàn)實(shí)課堂互動環(huán)境下的自主探究度水平體系，教師據(jù)此可以拾階而上，提升數(shù)學(xué)課堂自主探究的水平。

二、數(shù)學(xué)探究活動自主度水平體系的構(gòu)建

(一)數(shù)學(xué)探究活動自主度體系的維度

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“數(shù)學(xué)家存在的理由就是解決問題”[10]，數(shù)學(xué)探究的中心環(huán)節(jié)是解決問題，而圍繞解決問題的過程還需要包括問題的發(fā)現(xiàn)與提出環(huán)節(jié)，以及解決問題后的整理、組織與反思環(huán)節(jié)。前一個環(huán)節(jié)容易理解，這里解釋后一個環(huán)節(jié)的意義。數(shù)學(xué)家高斯用建筑過程比喻數(shù)學(xué)家的組織與整理工作，他說：“一座大教堂在最后的腳手架拆除和挪走之前，還算不上是一座大教堂”[11]。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，解決問題的過程相當(dāng)于建筑大廈的過程，其間會有大量的歸納、分析、子問題的探討，也可能有一些偏離或者曲折，它們共同構(gòu)成解決問題的腳手架。這些腳手架可能會遮蔽問題的主要脈絡(luò)，影響人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞察，而隨后的整理、組織與反思工作就是刪繁就簡、削枝強(qiáng)干，探討如何通過盡量少且能夠反映本質(zhì)的知識表達(dá)思路，再建立知識間的邏輯關(guān)系，從而讓本質(zhì)得以更清晰地呈現(xiàn)，是數(shù)學(xué)探究過程必要和重要的一環(huán)。

發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題、解決問題后的組織整理與反思這三個環(huán)節(jié)在數(shù)學(xué)教育意義下的探究過程中的地位不同。其中，盡管“發(fā)現(xiàn)與提出問題”在當(dāng)今數(shù)學(xué)課程中得到了重視，但這種重視主要是相對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育意義的缺失而言的，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實(shí)中以“解決現(xiàn)成的問題”為主要內(nèi)容的探究活動無疑占比最大，因此，需要細(xì)化這類問題的探究過程。

波利亞將數(shù)學(xué)解題過程分為四個階段：理解題目、擬訂方案、實(shí)施方案、回顧與反思，這一理論被廣泛認(rèn)可，有“探索法小詞典”之稱。[12]這四個階段實(shí)質(zhì)就是指向“解決現(xiàn)成問題”的探究活動的環(huán)節(jié)，而其中的“回顧與反思”即為前述“解決問題后的整理、組織與反思”。面對現(xiàn)成的問題，“理解題目”是重要的一環(huán)，一些教師遇到新穎而有挑戰(zhàn)性的問題時會先充分解讀題目，這樣做幫助學(xué)生掃清了障礙，但也剝奪了學(xué)生自主將新問題、新概念與自己熟悉的問題和概念建立聯(lián)系的機(jī)會。因此，需要將之單獨(dú)作為始于現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題的探究活動的一個環(huán)節(jié)，以提醒教師考慮將這一環(huán)節(jié)的工作留給學(xué)生自主完成。擬訂方案與實(shí)施方案是對分析與解決問題活動的分解，前者旨在形成解決問題的思路，后者是解決問題方案的實(shí)施、得到結(jié)果。

據(jù)此，本研究從教學(xué)的角度確定了數(shù)學(xué)探究活動的三個階段：發(fā)現(xiàn)與提出問題，分析與解決問題，解決問題后的整理、組織與反思。其中第二個階段包括解決問題思路的形成、解決問題方案的實(shí)施兩個基本環(huán)節(jié)，一些始于現(xiàn)成問題的探究活動則需要增加“理解題目”這一環(huán)。

(二)數(shù)學(xué)探究活動自主度水平的劃分

學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動每個環(huán)節(jié)的自主度水平的高低可以分為四級，最低等級記為I級，教學(xué)中表現(xiàn)為學(xué)生完全沒有自主性，即教學(xué)過程完全由教師控制；最高等級則表現(xiàn)為完全由學(xué)生自主完成探究，記為IV級；II、III級介于I級和IV級之間。按照教師對學(xué)生指導(dǎo)和幫助程度的大小區(qū)分，師生在各個環(huán)節(jié)各個等級中的表現(xiàn)如表1所示。

表1 數(shù)學(xué)探究活動中學(xué)生自主度水平等級體系

表1描述了數(shù)學(xué)探究活動中各個維度學(xué)生獲得的自主程度的幾種典型情況，而真實(shí)的課堂中許多活動為學(xué)生提供的自主程度會處于某兩個水平之間。需要特別說明的是，在純粹通過教師講授和演示為途徑的教學(xué)過程中，學(xué)生的自主探究度為最低等級。這種教學(xué)方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必要的，好的講授對學(xué)生系統(tǒng)、深刻地理解數(shù)學(xué)有時候是其他教學(xué)方法不能替代的，但是講授法的好壞有自身的標(biāo)準(zhǔn)，對此本研究不做探討。本研究主要是探討指向數(shù)學(xué)活動為學(xué)生提供的自主性程度的情況，旨在為數(shù)學(xué)探究活動的優(yōu)化提供依據(jù)。

三、數(shù)學(xué)探究活動自主度水平體系的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)探究活動的自主度水平體系對探究的各個維度做了等級的劃分，提供了一個基于學(xué)生自主探究的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計或改進(jìn)的框架，教師可以根據(jù)學(xué)生、教學(xué)目標(biāo)以及自己所能夠駕馭課堂的實(shí)際情況，組織適合的探究活動，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。

(一)整體把握并恰當(dāng)選擇探究環(huán)節(jié)

完整探究過程的每個環(huán)節(jié)都讓學(xué)生自主完成既不現(xiàn)實(shí)也無必要，有意義而務(wù)實(shí)的選擇是確定一些重要的環(huán)節(jié)組織學(xué)生探究。數(shù)學(xué)探究活動自主度水平體系的構(gòu)建考慮了我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，可以幫助教師在整體把握數(shù)學(xué)探究活動的基礎(chǔ)上作出決策：選擇哪些環(huán)節(jié)留給學(xué)生自主探究，以更好地發(fā)揮教學(xué)內(nèi)容的教育價值。

以近年中高考中經(jīng)常以“壓軸題”形象出現(xiàn)的新定義問題為例。一些教師在處理這類題目時，先對題目中給出的新概念進(jìn)行充分解讀，然后再讓學(xué)生解決問題，這相當(dāng)于在“理解題目”環(huán)節(jié)給學(xué)生較低的自主性。這種做法并不恰當(dāng)，因?yàn)檫@類題目考查的內(nèi)容之一就是學(xué)生獨(dú)立理解新概念的能力，教師需要幫助學(xué)生學(xué)會借助題目中簡單的判斷題形成對抽象概念的直觀感性認(rèn)識，進(jìn)而將簡單的特殊例子推廣到一般情況。而教師在這一環(huán)節(jié)的高度控制未能考慮這類題目對于培養(yǎng)學(xué)生這類能力的機(jī)會，導(dǎo)致學(xué)生在考試中表現(xiàn)出“不能理解題目中各問之間的邏輯關(guān)系”，“缺少主動推廣的意識，導(dǎo)致后續(xù)解答困難”[13]。為此，教師需要在“理解題意”環(huán)節(jié)提升學(xué)生的自主性，通過了解學(xué)生自主理解題意中遇到的困難，幫助學(xué)生形成理解新概念的策略。

在不需要開放探究活動的地方開放探究同樣不妥。例如，一些超越學(xué)生思維能力的探究活動并無意義。以“勾股定理”為例。由于課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“探索勾股定理”的要求，教師一般會在此組織探究活動。然而，有的教師設(shè)計了“發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊關(guān)系”自主探究活動，但由于這一發(fā)現(xiàn)挑戰(zhàn)巨大，教師又不得不高度控制探究過程：給學(xué)生一些特定的直角三角形，請學(xué)生測量三條邊的長后，觀察三邊及三邊平方的關(guān)系。學(xué)生在這樣的活動中自主度很低：當(dāng)直角三角形三條邊的平方被分別測算出來后，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一關(guān)系也就很容易被看出來。可以說，從探討三條邊的關(guān)系到探討三條邊的平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化并非學(xué)生思維的產(chǎn)物，而是“像從一頂帽子里抓出一只兔子的戲法一樣令人感到意外”[14]。與其將探究重點(diǎn)放在這一環(huán)節(jié)，不如在“勾股定理的證明思路形成”環(huán)節(jié)為學(xué)生提供更多的自主性。

(二)優(yōu)化探究任務(wù)

明確了重點(diǎn)探究環(huán)節(jié)后，教師可根據(jù)表1中自主度水平等級的描述設(shè)計適當(dāng)?shù)幕顒?，讓自主探究真?shí)發(fā)生。

仍以“勾股定理”教學(xué)為例。在“勾股定理的證明思路形成”這一環(huán)節(jié)，有的教師在教學(xué)中直接為學(xué)生提供了四個全等的直角三角形紙片，讓學(xué)生動手拼正方形。當(dāng)學(xué)生拼接出如圖1所示的各種情形，教師讓學(xué)生將大正方形的面積用直角三角形的邊表示，通過化簡就證明了勾股定理。

圖1

圖2

但是，為什么選擇四個直角三角形拼接、為什么用直角三角形的邊表示正方形的面積等關(guān)鍵問題，并非學(xué)生自主獲得，學(xué)生的操作之手是由教師的思維控制的。這種教學(xué)就是典型的“機(jī)械式探究”或者說是“偽探究”。

可以改進(jìn)這個環(huán)節(jié)的自主度水平：從探究度IV級的活動開始，嘗試“讓學(xué)生獨(dú)立地分析問題、形成解決問題的思路”。實(shí)踐研究表明，在證明勾股定理的任務(wù)明確后，如果教師不規(guī)定學(xué)生必須借助現(xiàn)成的直角三角形紙片，在水平IV上開展自主探究的學(xué)生的方法和思路更為開放和多樣：有學(xué)生選擇用兩個直角三角形，通過構(gòu)造圖2所示的圖形而得到勾股定理；圖1所示的方法也由學(xué)生自主建立了與已有知識的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系：“看到平方和就想到了完全平方和，于是就畫出了這個圖〔圖1(1)〕”，“我從c2想到構(gòu)造正方形，就得到了這個圖〔圖1(2)〕，然后看到里面的小正方形中還有一個(a-b)2，一整理就得到了勾股定理”[15]。

(三)漸進(jìn)式調(diào)整探究活動的自主度

設(shè)計了自主度高的活動，未必意味著學(xué)生一定能夠自主探究成功，教師需要根據(jù)學(xué)生的具體表現(xiàn)做出響應(yīng)。有的教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到困難，就直接給出答案或生硬地將學(xué)生往既定的思路引導(dǎo)，但是成功的思路與學(xué)生已有探索的關(guān)系未得到揭示，學(xué)生即使明白了教師所講的，也會困頓于“我為什么想不到”“我的想法到底有什么問題”。這樣的教學(xué)過程并未幫助學(xué)生突破真正的難點(diǎn)，會使得教師的教與學(xué)生的學(xué)“擦肩而過”[16]。

用自主度水平等級的遞進(jìn)性解釋，教與學(xué)“擦肩而過”源于教師將一個自主度為IV級的活動直接降為I級或II級，相當(dāng)于簡單判定學(xué)生為“會或不會”，對應(yīng)的教學(xué)策略則為“會則自己完成，不會則聽教師告之”。但實(shí)際上，學(xué)生更有可能處于“有些想法，也有些進(jìn)展，也有些困難”的狀態(tài)，因此，教師需要漸進(jìn)式調(diào)整自主度，即將探究活動的自主度從IV級降為III級。對應(yīng)的教學(xué)對策是：讓學(xué)生展示出自己的思考過程，用啟發(fā)法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。啟發(fā)法與自主探究、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)緊密相關(guān)，該方法的使用以學(xué)生展示、了解自己的思維過程為組成部分，而展示的過程也是推動學(xué)生發(fā)展的過程，如布魯納所說：“‘發(fā)現(xiàn)教學(xué)’所包含的，與其說是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)‘那里發(fā)生’的事情的過程，不如說是他們發(fā)現(xiàn)他們自己頭腦里的想法的過程”[17]。當(dāng)學(xué)生隱藏在頭腦中的想法被展示出來、成為明確的可以分析的對象時，突破難點(diǎn)的新思路就可能產(chǎn)生了。

例如，一位教師設(shè)計了基于學(xué)生自主探究而得到一元二次方程的解法的方案，首先讓學(xué)生自主解決如下四個一元二次方程：

(1)x2-4=0 (2)4x2+3x=0

(3)x2-4x-12=0 (4)5x2+3x-2=0

前兩個方程學(xué)生普遍很順利地解決了，但許多學(xué)生在后兩個方程的解決過程中遇到了困難。其中方程(3)的典型做法是先將之變形為x2-4x=12，再變?yōu)閤(x-4)=12，就陷入了困難。教師與一位學(xué)生通過4個問題開展了對話：

師(問題1)：你是怎么想到這樣做的？

生：我解第二個方程4x2+3x=0時，將等號左邊分解得到x(4x+3)=0，就解出來了，這道題我覺得12移到等號右邊后，左邊也能分解，但是發(fā)現(xiàn)做不下去了。

師(問題2)：為什么做不下去了？

生：不知道12分成兩個數(shù)相乘。

師(問題3)：為什么第二個題一分解就可以做了呢？這道題哪里不同呢？

生：第二題右邊的0可以分成0乘以任何一個數(shù)。

師(問題4)：那你思考下因式分解的方法可以解什么樣的方程？對這道題有何啟發(fā)？

生：右邊也得為0，哦，這道題不應(yīng)該移項(xiàng)，直接分解就可以了。

這里的4個問題讓教師了解到學(xué)生想法的同時，也對學(xué)生進(jìn)行了啟發(fā)，使他們覺察到了自己想法的來源、經(jīng)驗(yàn)的意義、新問題與經(jīng)驗(yàn)的差距，并找到了新的、成功的方法。

四、結(jié) 語

探究并非數(shù)學(xué)教學(xué)中唯一的方式，有時候也不是最佳的方式，判斷教學(xué)好壞的主要標(biāo)準(zhǔn)在于是否引發(fā)了有意義的學(xué)習(xí)，即建立新知識和已有知識間的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。正如奧蘇伯爾指出：“無論是接受學(xué)習(xí)還是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，都有可能是機(jī)械的，也都有可能是有意義的。如果教師講授教學(xué)得法，并非一定會導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)；同樣，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也并不一定是保證學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的靈丹妙藥?！盵18]如果教師給了學(xué)生探究的機(jī)會，卻采取高度控制的方式，學(xué)生將只能做一些低級思維含量的操作性活動；而自主度適當(dāng)?shù)幕顒訒寣W(xué)生更為主動地調(diào)動頭腦中的知識和經(jīng)驗(yàn)，建立知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)，涵育核心素養(yǎng)。

好的數(shù)學(xué)探究除了與自主度有關(guān)外，還與所探究問題的深度與廣度有關(guān)，本文并未專門討論如何設(shè)計好的數(shù)學(xué)探究問題。然而，從教學(xué)實(shí)踐看，探究空間狹小主要表現(xiàn)為教師引導(dǎo)和控制過多,而教師的引導(dǎo)通常是通過將一個復(fù)雜而有挑戰(zhàn)性的問題分解、轉(zhuǎn)化為若干簡單而容易解答的問題進(jìn)行。這些簡單問題學(xué)生解答起來毫不費(fèi)力，但至關(guān)重要的“分解和轉(zhuǎn)化”活動卻并未給學(xué)生自主性。因此，自主性與問題的設(shè)計緊密相關(guān)，本研究建構(gòu)的自主度水平體系亦可作為審視探究問題設(shè)計是否合理的參考。