項(xiàng) 帆，王雨時(shí)，聞 泉，王光宇

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

剛體外彈道學(xué)在19世紀(jì)隨著線膛火炮和圓柱形旋轉(zhuǎn)彈丸的成功研制而誕生，屬于剛體動(dòng)力學(xué)，重點(diǎn)研究彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響[1-2]。我國從20世紀(jì)60年代開始研究彈丸的繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)[3]，包括彈丸的自轉(zhuǎn)和攻角變化規(guī)律，然而受限于計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)和氣動(dòng)力參數(shù)測(cè)試條件，無法給出剛體外彈道方程的數(shù)值解，只能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試其大致規(guī)律[4]。直到20世紀(jì)80年代，彈丸氣動(dòng)力參數(shù)測(cè)試方法成熟后[5]，剛體外彈道學(xué)模型才被應(yīng)用到彈丸的飛行分析中。通過對(duì)彈丸剛體外彈道方程的數(shù)值解算，可定量分析彈丸剛體彈道諸元，從而在全彈道上準(zhǔn)確判斷出彈丸飛行穩(wěn)定性。因此，剛體外彈道學(xué)是彈道諸元理論計(jì)算、外彈道設(shè)計(jì)、彈丸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方面的重要計(jì)算工具[6]。

目前，剛體外彈道學(xué)模型已日趨完善，其應(yīng)用范圍不再限于經(jīng)典的彈道計(jì)算，在彈丸飛行故障查找、射擊精度分析[7]、全彈實(shí)物仿真、大擾動(dòng)條件下控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[8]、彈丸飛行落點(diǎn)預(yù)報(bào)[9-10]等方面都有涉及。本文簡(jiǎn)要介紹無控彈丸剛體外彈道學(xué)發(fā)展過程，對(duì)比分析準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型和剛體外彈道學(xué)模型差異，詳細(xì)介紹旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸和尾翼穩(wěn)定彈丸的6自由度剛體運(yùn)動(dòng)方程，總結(jié)剛體外彈道學(xué)模型數(shù)值算法、氣動(dòng)力參數(shù)獲取方式以及應(yīng)用，試圖為剛體外彈道學(xué)在引信技術(shù)中的應(yīng)用特別是解決引信彈道炸問題提供參考。

1 剛體外彈道學(xué)發(fā)展概況

1.1 剛體外彈道學(xué)的特點(diǎn)和任務(wù)

無控彈丸外彈道學(xué)是研究無控彈丸在空氣中運(yùn)動(dòng)規(guī)律及總體性能的科學(xué)，研究對(duì)象包括槍彈、炮彈、航空炸彈和火箭彈等“彈丸”(或“彈頭”即飛行體)[11]，其最終目的是通過技術(shù)途徑輔助這些“彈丸”更好地命中目標(biāo)。目前，無控彈丸外彈道學(xué)在彈道計(jì)算、飛行穩(wěn)定性評(píng)估、起始擾動(dòng)分析、散布理論、總體優(yōu)化設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)技術(shù)及參數(shù)辨識(shí)等研究領(lǐng)域都有應(yīng)用[9]。

外彈道學(xué)可分為質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)和剛體外彈道學(xué)。質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)是在一定假設(shè)條件下，忽略對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)影響較小的一些力和全部力矩，把彈丸當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，研究其在重力、空氣阻力和火箭推力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)的使命在于研究在此簡(jiǎn)化條件下的彈道計(jì)算問題，分析影響彈道的因素，并初步分析形成散布和射擊誤差的原因[12]。

剛體外彈道學(xué)則是考慮彈丸所受的所有力和力矩，把彈丸當(dāng)作剛體研究其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)、圍繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)(亦稱角運(yùn)動(dòng))及其對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響。彈丸的真實(shí)運(yùn)動(dòng)為6自由度的剛體運(yùn)動(dòng)，因此很多文獻(xiàn)中也把剛體外彈道學(xué)模型稱作6自由度剛體外彈道學(xué)模型[12](簡(jiǎn)稱6D彈道模型)。一般認(rèn)為剛體外彈道學(xué)的主要使命在于解釋彈丸飛行中出現(xiàn)的各種復(fù)雜現(xiàn)象，研究彈丸穩(wěn)定飛行條件、形成散布的機(jī)理以及減小散布的途徑[13]，還可用于精確計(jì)算彈道[14]。

1.2 4D、5D彈道模型及其特點(diǎn)

在20世紀(jì)50年代人們就意識(shí)到在炮口處受到的擾動(dòng)會(huì)使彈丸在外彈道上受多種力和力矩作用[15-16]，然而限于理論和實(shí)驗(yàn)條件，無法計(jì)算所有力和力矩；因此早期外彈道學(xué)模型是經(jīng)過一定簡(jiǎn)化的，忽略了對(duì)彈丸飛行穩(wěn)定性和射擊精度影響較小的力和力矩。例如文獻(xiàn)[13]在研究彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，就忽略了馬格努斯力和馬格努斯力矩。

此外，剛體外彈道學(xué)模型的初始參數(shù)和未知量比較多，其解算速度非常慢，無法滿足實(shí)時(shí)性要求。通過適當(dāng)減少對(duì)結(jié)果影響不大的未知量個(gè)數(shù)，可大幅度提升計(jì)算效率，這樣簡(jiǎn)化后的剛體外彈道學(xué)模型稱為準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型。按假設(shè)條件和氣動(dòng)力參數(shù)的不同，準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型分為4自由度外彈道學(xué)模型(簡(jiǎn)稱4D彈道模型)和5自由度外彈道學(xué)模型(簡(jiǎn)稱5D彈道模型)。

1.2.14D彈道模型

4D彈道模型由3自由度質(zhì)點(diǎn)彈道模型改進(jìn)而來，在其基礎(chǔ)上增加了一個(gè)彈丸自轉(zhuǎn)方程(即彈丸繞過質(zhì)心的彈軸角運(yùn)動(dòng)方程)，從而在彈丸落點(diǎn)的側(cè)偏中包含了因彈丸自轉(zhuǎn)形成的偏流[17-18]。4D彈道模型中考慮了誘導(dǎo)阻力、升力、馬格努斯力、極阻尼力矩和馬格努斯力矩，并用動(dòng)力平衡角(或者角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)解)來代替攻角。4D彈道模型的作用是為了精確計(jì)算彈丸動(dòng)力平衡角，并同時(shí)快速解算外彈道方程，其積分步長(zhǎng)可達(dá)到1 s甚至數(shù)秒，且當(dāng)全彈道上最大攻角較小時(shí)(2°～5°)，其解算結(jié)果較為接近6自由度剛體外彈道模型結(jié)果[19]。

4自由度旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸的彈道計(jì)算，是Lieske最早(1966年)提出修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型，給出了平衡攻角方程[20]。應(yīng)用該理論開發(fā)的4自由度外彈道計(jì)算軟件(LOB和LOBS)大幅度改善了射擊精度，目前在射表編制、炮兵火控系統(tǒng)中應(yīng)用較為廣泛[5]。

1.2.25D外彈道學(xué)模型

在較大射高的情況下，空氣密度的影響使得彈重引起的攻角運(yùn)動(dòng)幅值增大，4D彈道模型在射程、偏流的計(jì)算結(jié)果上與6D彈道模型相差在1%以上[24]。因此需要在4D彈道模型和6D彈道模型之間找出一個(gè)折衷模型，既能改善4D彈道模型的結(jié)果又比6D彈道模型解算顯著加快，由此推動(dòng)了5D彈道模型的研究。

5D彈道模型又稱為降6D彈道模型。在6D彈道模型中，彈軸運(yùn)動(dòng)可分為進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)。進(jìn)動(dòng)屬于慢圓運(yùn)動(dòng)，章動(dòng)屬于快圓運(yùn)動(dòng)。5D彈道模型在計(jì)算旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的彈道時(shí)忽略了攻角運(yùn)動(dòng)中的快圓運(yùn)動(dòng)。對(duì)于無控彈丸而言，在外彈道上不會(huì)受到額外的擾動(dòng)，此時(shí)攻角中的慢圓運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于快圓運(yùn)動(dòng)，因而快圓運(yùn)動(dòng)對(duì)彈道的影響幾乎完全可以忽略，反映在彈道方程上就是假設(shè)6D外彈道方程中的角加速度在彈軸坐標(biāo)系y軸和z軸上投影為零[21]。

1.2.34D、5D彈道模型優(yōu)點(diǎn)

相比于6D剛體外彈道學(xué)模型，準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型與質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型的差異在于外彈道方程的解算速度和精度。射高較小的情況下，在射角不是很大(小于65°)時(shí)，4D彈道模型、5D彈道模型和6D彈道模型的落點(diǎn)諸元幾乎一致，而質(zhì)點(diǎn)彈道方程則相差很大。當(dāng)射高較大且射角也很大(大于65°)時(shí)，4D彈道模型相比于5D彈道模型和6D彈道模型會(huì)產(chǎn)生一定偏差[22]。

在計(jì)算速度上，質(zhì)點(diǎn)彈道模型最快，6D彈道模型最慢。若以2自由度外彈道學(xué)模型(后面簡(jiǎn)稱2D彈道模型)為標(biāo)準(zhǔn)，則6D彈道模型解算時(shí)間是2D彈道模型的數(shù)百倍，5D彈道模型是2D彈道模型的幾十倍，4D彈道模型解算時(shí)間是2D彈道模型的2～3倍[23]。

文獻(xiàn)[24]以155 mm口徑低阻遠(yuǎn)程底排彈為例，在初速795 m/s、射角72°、最大攻角28°、計(jì)算機(jī)為IBM/PC XT條件下，對(duì)比4D彈道模型、5D彈道模型和6D彈道模型的解算結(jié)果，見表1。

表1 不同彈道模型對(duì)155 mm口徑低阻遠(yuǎn)程底排彈計(jì)算結(jié)果

由表1可以看出，4D彈道模型計(jì)算速度最快，但是在偏流上與6D彈道模型誤差較大，而5D彈道模型在4D彈道模型和6D彈道模型之間做了很好的折中，在精度上與6D彈道模型相比誤差小于1%，在時(shí)間上僅是4D彈道模型的5～6倍。

1.3 剛體外彈道學(xué)模型

1.3.1基本假設(shè)

6D彈道模型考慮了彈丸外形尺寸。對(duì)于常規(guī)火炮彈丸，其射擊距離和飛行高度有限，可忽略地球曲率的影響，也可不考慮高度對(duì)彈丸重力的影響[25]。一般有如下基本假設(shè)：

1) 氣象條件為標(biāo)準(zhǔn)氣象條件；

2) 地表面是平面，重力加速度恒定，方向垂直向下；

3) 忽略地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科氏慣性力；

4) 不考慮氣動(dòng)燒蝕[26]；

5) 彈丸質(zhì)量分布均勻[27]；

6) 彈丸是軸對(duì)稱體，即關(guān)于縱軸對(duì)稱。

1.3.2基本坐標(biāo)系

剛體外彈道學(xué)重點(diǎn)研究彈丸繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，然而其彈軸擺動(dòng)規(guī)律和自轉(zhuǎn)規(guī)律不易在地面坐標(biāo)系中體現(xiàn)，因此需要建立其他坐標(biāo)系。在以往的外彈道文獻(xiàn)中，對(duì)彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律是在速度坐標(biāo)系、彈軸坐標(biāo)系、彈體坐標(biāo)系和第二彈軸坐標(biāo)系中進(jìn)行分析的。彈軸坐標(biāo)系和速度坐標(biāo)系由基準(zhǔn)坐標(biāo)系兩次旋轉(zhuǎn)而來，如圖1和圖2所示。彈體坐標(biāo)系由彈軸坐標(biāo)系繞彈軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)自轉(zhuǎn)角得到，第二彈軸坐標(biāo)系由速度坐標(biāo)系兩次旋轉(zhuǎn)得到。

圖1 速度坐標(biāo)系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.1 The relationship between the speed coordinate system and the reference coordinate system

圖2 彈軸坐標(biāo)系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.2 The relationship between the bullet axis coordinate system and the reference coordinate system

彈丸6D外彈道學(xué)模型各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3所示。

圖3 彈丸6D外彈道學(xué)模型各坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.3 Transformation relationship between coordinate systems of projectile 6D exterior ballistics model

1.3.3旋轉(zhuǎn)彈剛體外彈道學(xué)模型

彈丸在外彈道上受到的力包括阻力、升力、重力和馬格努斯力。其中，阻力方向與彈丸速度方向相反，升力垂直于速度方向向上，馬格努斯力垂直于攻角平面。彈丸受到的力矩包括馬格努斯力矩、極阻尼力矩、赤道阻尼力矩和翻轉(zhuǎn)力矩。其中，馬格努斯力矩垂直于彈軸，極阻尼力矩方向與轉(zhuǎn)速方向相反，赤道阻尼力矩與擺動(dòng)角速度方向相反，翻轉(zhuǎn)力矩垂直于彈軸向上，用于保持彈丸平衡。圖4為彈丸在外彈道上所受到的各種力和力矩[28-33]。其中Rx為阻力、Ry為升力，v為來流速度，xc為彈丸質(zhì)心，xp為彈丸壓力中心，δ為攻角，My為馬格努斯力矩、Mxz為極阻尼力矩、Mz為翻轉(zhuǎn)力矩、Mzz為赤道阻尼力矩。由彈丸運(yùn)動(dòng)和外彈道受力情況即可列出旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸的外彈道剛體運(yùn)動(dòng)方程。

圖4 旋轉(zhuǎn)彈丸在外彈道上所受的力和力矩Fig.4 The force and moment of the rotating projectile on the outer trajectory

1.3.4尾翼彈剛體外彈道學(xué)模型

低速旋轉(zhuǎn)的尾翼穩(wěn)定彈在飛行過程中所受的力及力矩有：重力、升力、阻力、馬格努斯力、穩(wěn)定力矩、赤道阻尼力矩、馬格努斯力矩以及尾翼穩(wěn)定彈所特有的尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩。尾翼穩(wěn)定彈丸在飛行過程中，基本不發(fā)生自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或者只有較低的轉(zhuǎn)速，因此，在標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下其彈道彎曲是彈軸偏離速度方向的唯一根源[32]。

另外，如果彈丸低速旋轉(zhuǎn)，則攻角的變化將不止是在平面內(nèi)擺動(dòng)，而是擺動(dòng)和進(jìn)動(dòng)的綜合運(yùn)動(dòng)。但經(jīng)計(jì)算分析[34]，由于尾翼形成的控制力對(duì)彈丸的控制為末端控制，其進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)非常小，故可以將其近似為平面內(nèi)的擺動(dòng)。

尾翼穩(wěn)定彈剛體外彈道學(xué)模型通常有如下基本假設(shè)[35]：

1) 彈丸在縱向平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，z坐標(biāo)(側(cè)偏)為零；

2) 彈丸發(fā)射時(shí)，擾動(dòng)導(dǎo)致產(chǎn)生的初始攻角很小，在解算中假設(shè)為一小值。飛行中，穩(wěn)定力矩和赤道阻尼力矩將使攻角作衰減的正弦振蕩，直至穩(wěn)定。在忽略攻角的振蕩對(duì)速度矢量影響的前提下，所建立的攻角擺動(dòng)方程與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程之間沒有直接聯(lián)系；

3) 彈丸不滾轉(zhuǎn)，攻角只在所在平面內(nèi)擺動(dòng)，因而在模型中，只建立攻角所在平面內(nèi)的方程，不需要分析其他分量。

在以上假設(shè)基礎(chǔ)上可得尾翼穩(wěn)定彈丸剛體外彈學(xué)道模型[36-37]。考慮到馬格努斯力在合力中所占比例很小，而科氏慣性力僅對(duì)射程較遠(yuǎn)的彈丸才值得考慮，故尾翼穩(wěn)定彈丸剛體外彈學(xué)道模型忽略了馬格努斯力和科式慣性力[38-39]。

尾翼彈6D彈道模型應(yīng)用很廣：文獻(xiàn)[40]用來分析尾翼穩(wěn)定脫殼穿甲彈彈托的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)比了不同攻角、側(cè)滑角條件下彈托的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡，揭示了彈托在分離過程中對(duì)彈丸的作用過程；文獻(xiàn)[41]在分析地對(duì)地戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈再入速度時(shí)，應(yīng)用6D彈道模型研究了尾翼子彈速度衰減規(guī)律，對(duì)比了不同初始彈道傾角、不同尾翼尺寸的子彈以及無尾翼子彈速度隨高度變化規(guī)律；文獻(xiàn)[42]在分析微型擾流片的控制機(jī)理和控制效果時(shí)，以尾翼彈為研究對(duì)象建立了考慮微型擾流片引起的力和力矩的6D彈道模型，解算并對(duì)比了不同初速、不同時(shí)刻打開擾流片時(shí)彈丸側(cè)偏隨距離變化規(guī)律。

1.4 剛體外彈道學(xué)模型求解

1.4.1剛體外彈道學(xué)模型解算初始條件

質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型只需要極少的初始參量(包括彈徑、阻力系數(shù)、彈重、初速、射角)就可以得出彈丸的質(zhì)心外彈道運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而剛體外彈道學(xué)模型需要參量較多，分為三類：彈丸剛體模型參量、發(fā)射初始條件和彈丸氣動(dòng)力系數(shù)。

彈丸剛體模型參量包括：彈徑、彈長(zhǎng)、彈重、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心距彈底距離。發(fā)射初始條件包括：初速、炮口轉(zhuǎn)速、射角、重力加速度、火炮纏度、初始章動(dòng)角。外彈道氣動(dòng)力系數(shù)包括：零攻角阻力系數(shù)和存在一定攻角時(shí)的升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、赤道阻尼力矩系數(shù)。

1.4.2剛體外彈道學(xué)模型解算數(shù)值方法

常微分方程組的數(shù)值解法有：歐拉法、龍格-庫塔法、阿當(dāng)姆斯-預(yù)報(bào)矯正法和吉爾法等。歐拉法在計(jì)算機(jī)未發(fā)明之前應(yīng)用較多，但不易滿足精度要求；阿當(dāng)姆斯-預(yù)報(bào)矯正法需要知道前三個(gè)函數(shù)值才能計(jì)算下一個(gè)函數(shù)值，因此在計(jì)算之前需要用其他方法(如龍格-庫塔法)解出前三個(gè)函數(shù)值。用阿當(dāng)姆斯-預(yù)報(bào)矯正法解算時(shí)只需要計(jì)算微分方程組右端函數(shù)值，能大幅度提升求解速度，但是不便于改變積分步長(zhǎng)。對(duì)于剛性較嚴(yán)重的變系數(shù)、非線性、需變維以及初始值分段加入的常微分方程組的數(shù)值求解，可采用吉爾法。該方法容易改變階和步長(zhǎng)，且每積分一步解隱式方程組所需的工作量較小[43]。吉爾法缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，有時(shí)引入的微分次數(shù)多。

求解外彈道方程最常用的數(shù)值方法是龍格-庫塔法[44]。該方法是泰勒級(jí)數(shù)的改進(jìn)版，是工程計(jì)算中廣泛應(yīng)用的高精度單步算法，適用于多數(shù)連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)。四階龍格-庫塔法能夠滿足6D剛體外彈道學(xué)模型解算的精度要求，其求解精度正比于積分步長(zhǎng)的五次方。理論上積分步長(zhǎng)越小精度越高，但積分誤差會(huì)累積，因此積分步長(zhǎng)也不宜過小[45]。龍格-庫塔法易于程序化，在求解6D外彈道方程時(shí)運(yùn)用最廣的是四階五階龍格-庫塔法，它用四階方法提供候選解，五階方法控制誤差，是一種自適應(yīng)步長(zhǎng)(變步長(zhǎng))的常微分方程數(shù)值解法[46-47]。龍格-庫塔法從誕生至今一直能在外彈道微分方程組求解上得到應(yīng)用，在于以下優(yōu)點(diǎn):

1) 具有同一形式的計(jì)算流程圖；

2) 不需要進(jìn)行“起始”計(jì)算；

3) 計(jì)算過程中容易改變步長(zhǎng)；

4) 能很好地適應(yīng)方程右端函數(shù)為間斷函數(shù)的情形。

龍格庫塔法缺點(diǎn)也很明顯，即不適用于剛性微分方程組的求解。文獻(xiàn)[48]曾驗(yàn)證，龍格-庫塔法不適用于未知數(shù)過多的剛性微分方程組求解，用龍格-庫塔法求解戰(zhàn)略導(dǎo)彈的6D彈道模型(包含數(shù)百個(gè)變量和數(shù)百個(gè)微分方程)時(shí)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重病態(tài)現(xiàn)象，對(duì)這類彈道模型解算應(yīng)采用高精度的龍格-庫塔轉(zhuǎn)阿當(dāng)姆斯法以保證仿真精度，積分步長(zhǎng)取為2 ms。

此外，吉爾法對(duì)解決剛性微分方程組有很高的穩(wěn)定性，并且在同樣的求解精度下求解時(shí)間最短，文獻(xiàn)[49]對(duì)比了四階龍格-庫塔法和吉爾法在隨機(jī)軌道模型(顆粒相模型)計(jì)算中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)吉爾法在計(jì)算穩(wěn)定性和計(jì)算速度上顯著優(yōu)于四階龍格-庫塔法。目前還未發(fā)現(xiàn)吉爾法已經(jīng)應(yīng)用于無控彈丸剛體外彈道學(xué)模型解算。

1.4.3氣動(dòng)力參數(shù)獲取

獲取彈丸氣動(dòng)力參數(shù)的方式有四種：理論計(jì)算、實(shí)驗(yàn)測(cè)試、實(shí)彈射擊和計(jì)算流體力學(xué)軟件仿真。理論計(jì)算誤差大，實(shí)彈射擊成本高，目前很少單獨(dú)采用。當(dāng)前獲取彈丸氣動(dòng)力參數(shù)的方式主要為實(shí)驗(yàn)測(cè)試和計(jì)算流體力學(xué)軟件仿真。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試包括靶道實(shí)驗(yàn)和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)。靶道試驗(yàn)主要采用偏航紙靶和閃光陰影照相技術(shù)，獲得的攻角精度為0.016°～ 0.12°，獲得質(zhì)心坐標(biāo)精度為0.025～3 mm[50]。將靶道實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)通過概念-知識(shí)(C-K)技術(shù)[51]應(yīng)用到彈道方程上，就可得出各氣動(dòng)力參數(shù)。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)可以很好模擬彈丸在亞音速和跨音速階段的氣動(dòng)力參數(shù)，能精確測(cè)量尾翼彈的俯仰力矩系數(shù)和偏航力矩系數(shù)[52]。

測(cè)試結(jié)果說服力較強(qiáng)，但受限于苛刻的實(shí)驗(yàn)條件和成本。目前更多的是使用計(jì)算流體力學(xué)軟件仿真。計(jì)算流體力學(xué)方法具有易獲取流場(chǎng)數(shù)據(jù)和成本低的優(yōu)點(diǎn)，并且可模擬不同尺寸的物理模型，可較為精確地預(yù)測(cè)物理模型的流場(chǎng)特性及現(xiàn)象，在無法完成實(shí)驗(yàn)的情況下能夠較為準(zhǔn)確地得到模型的氣動(dòng)力參數(shù)[53]。文獻(xiàn)[54—56]介紹了通過FLUENT流體力學(xué)軟件仿真旋轉(zhuǎn)彈和尾翼彈在不同馬赫數(shù)下氣動(dòng)力參數(shù)的過程。對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈而言，仿真初始條件包括彈丸外形尺寸、飛行速度、空氣密度和攻角。通過仿真可直接得到彈丸的阻力系數(shù)、升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、赤道阻尼力矩系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)。

2 剛體外彈道學(xué)應(yīng)用情況

2.1 剛體外彈道學(xué)在非引信技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

剛體外彈道學(xué)在現(xiàn)代武器研制中已有應(yīng)用，例如射表編制、火控系統(tǒng)設(shè)計(jì)、火炮測(cè)試與實(shí)驗(yàn)。伴隨20世紀(jì)80年代后期外彈道實(shí)驗(yàn)技術(shù)快速發(fā)展，剛體外彈道學(xué)已應(yīng)用于各彈種(末敏彈、彈道修正彈等智能彈藥)的彈道特性分析，而不再局限于常規(guī)彈藥領(lǐng)域。這些彈丸的彈道主要部分還是無控飛行，適合用剛體外彈道學(xué)模型進(jìn)行分析[57]。目前剛體外彈道學(xué)在以下幾個(gè)方面已投入使用或正在研究[48]：

1) 大擾動(dòng)、大姿態(tài)偏差條件下的彈丸控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)；

2) 飛行器系統(tǒng)質(zhì)量評(píng)估和飛行落點(diǎn)預(yù)報(bào)；

3) 彈頭再入段的誤差分析；

4) 常規(guī)彈丸非常規(guī)飛行故障分析；

5) 導(dǎo)彈系統(tǒng)作戰(zhàn)仿真和作戰(zhàn)效能分析；

6) 彈道導(dǎo)彈精度分析和鑒定；

7) 基于6自由度的全彈道可視化仿真研究[58]。

2.1.1剛體外彈道學(xué)在射表編制中的應(yīng)用

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)炮兵提出首發(fā)命中要求的情況下，提高射表精度并正確使用射表具有更加重要的意義[59]。在測(cè)試技術(shù)和計(jì)算工具不發(fā)達(dá)的過去，只能使用質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型編制射表。由于數(shù)學(xué)模型不精確，故編制射表要消耗大量彈藥，而且編制周期很長(zhǎng)，精度也不高。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)已高速發(fā)展，可采用精度更高的6D彈道模型改進(jìn)編制方法，尤其是對(duì)彈丸初始階段，其攻角對(duì)彈道有很大影響，使用剛體外彈道學(xué)模型更為合適[28]。20世紀(jì)60年代初期，中國常規(guī)兵器試驗(yàn)中心曾嘗試用6D彈道模型編制射表，后因耗用機(jī)時(shí)太長(zhǎng)、占用容量太大、起始擾動(dòng)無法給出等原因，以失敗告終。1991年，我國就5D彈道模型編制射表的可行性作了進(jìn)一步論證，在中國常規(guī)兵器試驗(yàn)中心太極-2220計(jì)算機(jī)上計(jì)算射角為65°、初速為700 m/s、射程為17 km的一條彈道約需機(jī)時(shí)88.45 s，而整個(gè)射表大約需要71 140條彈道，至少耗時(shí)296天，時(shí)間過長(zhǎng)[60]。到目前為止尚未見有文獻(xiàn)涉及起始擾動(dòng)的確定問題。

一般射表編制是在標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下完成的。我國炮兵的射表形式參照了前華約射表[61]，是以低海拔靶場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ)編制的。炮兵部隊(duì)在高原使用過程中發(fā)現(xiàn)，采用這種方法編制的高原射表與實(shí)際存在明顯差異。文獻(xiàn)[62]給出了一種基于5自由度外彈道學(xué)模型的新型射表編制方法，并以155 mm口徑底凹彈為例，分析其在高原環(huán)境下用傳統(tǒng)方法(2D彈道模型)和新方法(5D彈道模型)編制的射表計(jì)算出的射程，見表2。從表2可看出，在射角為20°和50°、海拔1 423 m條件下，5D彈道模型比2D彈道模型的計(jì)算精度高很多。

表2 在高原環(huán)境下用2D彈道模型和5D彈道模型編制的射表計(jì)算結(jié)果比較[62]

2.1.2剛體外彈道學(xué)在火控系統(tǒng)中的應(yīng)用

在火控系統(tǒng)中，火控彈道模型對(duì)火炮射擊精度影響很大?；鹂貜椀滥Ｐ驼`差在火控系統(tǒng)所有誤差中占比較大。對(duì)于地面火炮，距離誤差占20%～50%，方向誤差占15%～30%[2]。

隨著測(cè)試手段和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，火控系統(tǒng)彈道模型也在不斷發(fā)展，相繼出現(xiàn)了質(zhì)點(diǎn)外彈道模型、修正質(zhì)點(diǎn)外彈道模型、剛體外彈道模型和準(zhǔn)剛體外彈道模型。一般形式的剛體外彈道模型計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，影響火控系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間。目前降階的準(zhǔn)剛體外彈道模型已可滿足精度和實(shí)時(shí)性要求[63]，尤其是4D彈道模型，北約已把4D彈道模型作為射表和火控計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的標(biāo)準(zhǔn)模型[61,64]。然而應(yīng)用4D彈道模型迭代運(yùn)算動(dòng)力平衡角繁瑣費(fèi)時(shí)，而現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中為準(zhǔn)確、快速地求解射擊裝定諸元和進(jìn)行偏差修正，通常要求火炮計(jì)算機(jī)解算時(shí)間不超過5 s[65]。為此，文獻(xiàn)[66]給出求解動(dòng)力平衡角的另一種算法，稱為快4D模型，與原算法相比計(jì)算結(jié)果精度不變，速度提升40%以上。

2.1.3剛體外彈道學(xué)在155 mm口徑榴彈彈丸外彈道解算中的應(yīng)用

目前，剛體外彈道學(xué)模型已應(yīng)用在多種彈丸模型的外彈道計(jì)算中，其中以155 mm口徑榴彈彈丸居多[67-70]。表3給出了幾種155 mm口徑榴彈彈丸模型初始參數(shù)，表4給出了三篇參考文獻(xiàn)中155 mm口徑榴彈彈丸模型6自由度彈道計(jì)算用氣動(dòng)力參數(shù)，彈1為底凹彈，其三維模型見文獻(xiàn)[74]，彈2和彈3均為平底彈。

由表3和表4可知，155 mm口徑榴彈彈丸氣動(dòng)力參數(shù)中零升阻力系數(shù)、升力系數(shù)、極阻尼力矩系數(shù)、翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)相差不大，而馬格努斯力系數(shù)和馬格努斯力矩系數(shù)差異很大。在表3和表4給出的初始條件下，各模型計(jì)算射程和實(shí)驗(yàn)值見表5。由表5可知，馬格努斯力系數(shù)和馬格努斯力矩系數(shù)差異對(duì)計(jì)算誤差影響不大，計(jì)算誤差都在0.5%以內(nèi)，遠(yuǎn)小于質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)射程誤差。文獻(xiàn)[72]分析了155 mm口徑火炮榴彈彈丸地面密集度與射程的關(guān)系。表6和表7分別為155 mm口徑榴彈彈丸在50°射角條件下地面密集度計(jì)算值與射表的誤差對(duì)比以及不同射程下各因素(質(zhì)量散布、初速散布、縱風(fēng)散布、射角散布、橫風(fēng)散布和起始偏角)對(duì)地面密集度的影響。

表3 文獻(xiàn)給出的三種155 mm口徑榴彈彈丸剛體外彈道學(xué)模型初始參數(shù)

表4 文獻(xiàn)給出的三種155 mm榴彈彈丸模型剛體外彈道學(xué)計(jì)算用氣動(dòng)力參數(shù)

表5 文獻(xiàn)給出的3種155 mm口徑彈丸剛體外彈道學(xué)計(jì)算射程和對(duì)應(yīng)測(cè)試值的誤差[71-73]

表6 彈2在50°射角和30 088 m射程條件下地面密集度計(jì)算值與射表值[72]

表7 彈2在不同射程和不同射角條件下各因素對(duì)地面密集度影響[72]

文獻(xiàn)[73]分析了考慮彈丸動(dòng)不平衡時(shí)的彈丸6自由度外彈道方程(彈丸原始參數(shù)參考文獻(xiàn)[73])，用其解算了155 mm彈丸(模型初始參數(shù)見表3和表4中的彈丸3數(shù)據(jù))的飛行距離、高度、速度、速度高低角隨時(shí)間的變化規(guī)律，并與質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖5所示?？煽闯鲑|(zhì)點(diǎn)彈道模型和剛體彈道模型解算出的曲線在趨勢(shì)上一致，但6D彈道模型比質(zhì)點(diǎn)彈道模型計(jì)算出的射程、最大高度、落點(diǎn)速度和落角小。

圖5 6D外彈道方程與質(zhì)點(diǎn)外彈道方程計(jì)算結(jié)果對(duì)比[73]Fig.5 Comparison of calculation results between 6D exterior ballistic equation and mass point exterior ballistic equation[73]

2.2 剛體外彈道學(xué)在引信技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

剛體外彈道學(xué)模型能解決因彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的的引信零件受力分析所需的彈道力學(xué)環(huán)境問題[3]。

2.2.1動(dòng)不平衡彈丸6D剛體運(yùn)動(dòng)方程

由于彈丸設(shè)計(jì)、制造等原因，彈丸會(huì)存在質(zhì)量分布不對(duì)稱和幾何外形不對(duì)稱的情況。前者使彈丸質(zhì)心偏離其幾何中心，使彈丸慣性主軸(彈丸的旋轉(zhuǎn)軸)偏離其幾何對(duì)稱軸(引信軸線)，后者使空氣動(dòng)力軸偏離幾何對(duì)稱軸[78]。彈丸的不對(duì)稱性使得在計(jì)算彈丸外彈道6D剛體運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，要去掉彈丸是完全對(duì)稱體的假設(shè)條件。

(1)

2.2.2彈丸質(zhì)量偏心對(duì)章動(dòng)角變化規(guī)律的影響

彈丸章動(dòng)會(huì)顯著影響章動(dòng)力和爬行力。文獻(xiàn)[80]總結(jié)了155 mm口徑榴彈的最大章動(dòng)角和偏心距以及早期、近期文獻(xiàn)所披露的爬行力、章進(jìn)力及總軸向慣性力最大值，發(fā)現(xiàn)章動(dòng)角在9°以內(nèi)時(shí)，考慮章動(dòng)影響的爬行力是未考慮章動(dòng)影響時(shí)的1.45倍。

彈丸質(zhì)量偏心是造成章動(dòng)的關(guān)鍵因素之一，也是影響彈丸軸向慣性力的關(guān)鍵因素之一，在章動(dòng)角相同的條件下，每1 mm的質(zhì)量偏心會(huì)增加15%～30%的軸向慣性力[80]。在有偏心同時(shí)又有初始擾動(dòng)的情況下，章動(dòng)現(xiàn)象是繞著某一章動(dòng)軸線產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，但進(jìn)動(dòng)過程同時(shí)又是繞著速度方向軸線進(jìn)行進(jìn)動(dòng)的復(fù)合章動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這會(huì)導(dǎo)致章動(dòng)角發(fā)散[81]。文獻(xiàn)[81]中以120 mm口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈為例，在初速516 m/s、射角15°、初始擾動(dòng)為3°條件下，通過Adams仿真對(duì)比了彈丸在無偏心和有1.6 mm徑向偏心時(shí)彈丸的章動(dòng)角變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6 120 mm口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈無偏心和有1.6 mm徑向偏心時(shí)章動(dòng)角與時(shí)間關(guān)系[81]Fig.6 The relationship between nutation angle and time when 120 mm caliber rotary stabilized projectile has no eccentricity and 1.6 mm radial eccentricity

由圖6可看出，在無偏心的條件下，在炮口處彈丸的章動(dòng)角最大，隨后逐漸衰減，隨著彈丸初始擾動(dòng)角的增大，彈丸最大章動(dòng)角也隨之增大。在有偏心的條件下，隨著彈丸初始擾動(dòng)角的增大，彈丸最大章動(dòng)角仍隨之增大，但章動(dòng)角將無法收斂，且最大章動(dòng)角比無偏心條件下的要大。

2.2.3自轉(zhuǎn)規(guī)律與以往公式結(jié)果對(duì)比

以往研究彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律常采用經(jīng)驗(yàn)公式。按復(fù)雜程度劃分，比較簡(jiǎn)易的有柔格里公式、冪函數(shù)式和指數(shù)函數(shù)式[82]，它們是考慮彈帶刻槽和彈體表面摩擦阻力得到的經(jīng)驗(yàn)公式。其中柔格里公式的參數(shù)有炮口轉(zhuǎn)速、彈徑、彈長(zhǎng)和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四個(gè)，冪函數(shù)式中的參數(shù)有炮口轉(zhuǎn)速和彈徑兩個(gè)，指數(shù)函數(shù)式的參數(shù)只有炮口轉(zhuǎn)速一個(gè)。冪函數(shù)式和指數(shù)函數(shù)式這兩個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式形式簡(jiǎn)單，能滿足彈丸和引信工程設(shè)計(jì)要求，并能用于彈丸和引信的性能估算，但未考慮極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，對(duì)極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量差異較大的另類彈丸(如破甲彈)，誤差大于柔格里公式[83]。

比較復(fù)雜的經(jīng)驗(yàn)公式有斯列斯金公式[84]和在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的轉(zhuǎn)速衰減模型[85]，它們考慮了彈形、彈體表面摩擦阻力、空氣密度、彈道高度和空氣粘度的影響。其中斯列斯金公式將彈丸分為圓柱部和圓錐部?jī)蓚€(gè)部分，并忽略彈帶刻槽的影響，導(dǎo)致其計(jì)算出的轉(zhuǎn)速下降緩慢，但趨勢(shì)上與實(shí)測(cè)規(guī)律基本接近。對(duì)此，曾通過修正斯列斯金公式系數(shù)“0.002 44”的方式進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[86]以59式100高榴彈在內(nèi)的五種彈丸在不同發(fā)射條件下的系數(shù)值作為樣本，取它們的平均系數(shù)值作為修正后的斯列斯金公式系數(shù)，修正后系數(shù)變?yōu)?.005 24，是之前的2.3倍，修正后的斯列斯金公式計(jì)算出的轉(zhuǎn)速-時(shí)間曲線與實(shí)測(cè)的轉(zhuǎn)速-時(shí)間曲線在趨勢(shì)上和下降速度上接近。轉(zhuǎn)速衰減模型則考慮了彈丸彈帶刻槽的影響，文獻(xiàn)[87]將該模型與其他經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，從結(jié)果上看，轉(zhuǎn)速衰減模型的計(jì)算誤差明顯小于冪函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、柔格里公式和斯列斯金公式的計(jì)算誤差，與修正后的斯列斯金公式計(jì)算誤差接近。因此彈帶刻槽對(duì)彈丸自轉(zhuǎn)規(guī)律的影響不能忽略。

相比之下，6D彈道模型雖然可以計(jì)算彈丸的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律，但是未考慮彈帶刻槽和彈形的影響，僅考慮了彈體表面的摩擦阻力，理論上誤差會(huì)很大。對(duì)該問題，目前還未有較好的解決方案。

而尾翼彈還受尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩的影響，出炮口后會(huì)促使彈丸轉(zhuǎn)速迅速增加，之后受極阻尼力矩和尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩共同影響，轉(zhuǎn)速會(huì)穩(wěn)定到一個(gè)固定的值[88]，這個(gè)過程不再適合用以往的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，但是可通過6D彈道模型仿真得到。文獻(xiàn)[89]建立了一個(gè)基于6D彈道模型的彈丸單自由度滾轉(zhuǎn)仿真模型，得到了彈丸平衡轉(zhuǎn)速與速度的關(guān)系，以及平衡轉(zhuǎn)速與尾翼斜切角的關(guān)系，與實(shí)測(cè)結(jié)果相比，6D彈道模型計(jì)算出來的轉(zhuǎn)速值誤差在5%以內(nèi)。

2.2.4章動(dòng)角規(guī)律

彈丸在外彈道飛行過程中飛行穩(wěn)定性受章動(dòng)角影響，章動(dòng)角過大會(huì)導(dǎo)致彈丸飛行失穩(wěn)，同時(shí)也可能導(dǎo)致引信零部件章動(dòng)力過大，引發(fā)彈道炸[90-91]。章動(dòng)角對(duì)彈丸飛行穩(wěn)定性影響可參考文獻(xiàn)[78]。該文獻(xiàn)認(rèn)為，保證彈丸整個(gè)外彈道飛行穩(wěn)定性的關(guān)鍵之一就是將彈丸章動(dòng)角控制在一定范圍內(nèi)，因此有必要知道全彈道的章動(dòng)角規(guī)律。

為獲取章動(dòng)角數(shù)據(jù)，很多測(cè)試章動(dòng)角的方法被相繼提出，包括紙靶法、狹縫相機(jī)攝影法、單線陣立靶法、雷達(dá)法、光學(xué)法以及傳感器法[92]，但這些方法或多或少都有一定的限制。紙靶法最早被提出，但是紙靶法測(cè)量精度較低，局限于低伸彈道的測(cè)試，并且受炮口火焰與沖擊波影響，不能測(cè)量炮口處的起始章動(dòng)角[93]。狹縫相機(jī)攝影法只適用于短距離彈丸章動(dòng)測(cè)試?，F(xiàn)階段常采用彈道跟蹤技術(shù)與高速攝影結(jié)合測(cè)量章動(dòng)角。單線陣立靶法的測(cè)試設(shè)備操作不便，使用成本較高，且易受到天氣影響[94]。雷達(dá)法對(duì)于被測(cè)彈丸外形具有較高的要求，更改了彈丸原有外形后，其空氣動(dòng)力學(xué)特性便很難保持一致。光學(xué)法的前期準(zhǔn)備工作較為復(fù)雜，易受試驗(yàn)場(chǎng)地氣象條件影響，試驗(yàn)成本較高[95]。傳感器法是目前的主流測(cè)試方法，通過不同的傳感器(加速度計(jì)、陀螺儀、磁傳感器、紅外傳感器)可獲知彈丸姿態(tài)變化過程中各種參量的變化[96]，這其中就包括章動(dòng)角。另外，若要用傳感器法測(cè)量全彈道上的章動(dòng)角變化規(guī)律，需要建立相應(yīng)的補(bǔ)償模型，例如用地磁傳感器測(cè)量全彈道上章動(dòng)角變化規(guī)律時(shí)，需要建立全彈道上的磁場(chǎng)補(bǔ)償模型[97]。

目前常采用仿真的方式獲取全彈道的彈丸章動(dòng)角。已有的仿真方式有Adams動(dòng)力學(xué)仿真[81, 91]和LS-DYNA顯示動(dòng)力學(xué)仿真[98]。這兩種方法都可以得到彈丸外彈道章動(dòng)情況，前者需要先將彈丸模型導(dǎo)入Gambit和Fluent中獲取氣動(dòng)力和力矩?cái)?shù)據(jù)，后者則通過建立龐大的空氣域模擬彈丸全彈道飛行環(huán)境。

3 總結(jié)與展望

本文針對(duì)無控彈丸剛體外彈道學(xué)模型原理和應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，得到以下結(jié)論：

1) 6D彈道模型在求解精度上高于質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型，但在計(jì)算速度上遠(yuǎn)不及后者，4D彈道模型與質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型在計(jì)算速度上接近，在解算精度上4D彈道模型更高，5D彈道模型比質(zhì)點(diǎn)外彈道學(xué)模型的計(jì)算速度慢10倍左右，但5D彈道模型的解算精度更高。

2) 在射角小于65°時(shí)，準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與6D彈道模型相近，在射角大于65°時(shí)，準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型在射程和偏流上與6D彈道模型差異較大。在相同初始條件下，剛體外彈道學(xué)模型計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)大于準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型計(jì)算時(shí)間，大約是5D彈道模型的100倍，是4D彈道模型的500倍。

3) 6D彈道模型與準(zhǔn)剛體外彈道學(xué)模型的解算初始條件都包含彈丸模型參量、發(fā)射環(huán)境和初始擾動(dòng)，它們的差異體目前氣動(dòng)力參量的選取不同，5D彈道模型和6D彈道模型考慮了全部的氣動(dòng)力參數(shù)，4D彈道模型只考慮了阻力系數(shù)、升力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)和極阻尼力矩系數(shù)，而未考慮赤道阻尼力矩系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)和靜力矩系數(shù)。

4) 4階龍格-庫塔法適用于無控彈丸的剛體外彈道方程計(jì)算，但不適用于有控彈丸(尤其是導(dǎo)彈)，當(dāng)外彈道方程未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)過多時(shí)，單純用龍格-庫塔法解算會(huì)出現(xiàn)發(fā)散和失真，此時(shí)應(yīng)當(dāng)采用吉爾法或龍格-庫塔法轉(zhuǎn)阿當(dāng)姆斯法。

5) 剛體外彈道學(xué)模型已應(yīng)用于現(xiàn)代武器的射表編制中，其中4D計(jì)算速度和計(jì)算精度能夠滿足戰(zhàn)場(chǎng)需求，4D彈道模型在國內(nèi)外已作為射表編制的標(biāo)準(zhǔn)模型。5D彈道模型在理論上具備編制射表的條件，具體效果還需要實(shí)際檢驗(yàn)。6D彈道模型解算速度無法控制在5 s內(nèi)，不宜作為火控彈道模型，近些年也沒有用6D彈道模型編制射表的試驗(yàn)。就研究意義而言，在目前計(jì)算機(jī)硬件條件下，4D彈道模型的研究意義不大，5D彈道模型形式簡(jiǎn)單，有助于分析彈丸自轉(zhuǎn)規(guī)律，6D彈道模型最接近實(shí)際彈丸飛行狀態(tài)，有助于分析彈丸章動(dòng)。

6) 剛體外彈道學(xué)模型的解算結(jié)果中包含引信零件外彈道受力環(huán)境，能夠?yàn)橐艖T性發(fā)火機(jī)構(gòu)和解除保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)參考。剛體外彈道模型能夠分析極端條件下(彈丸動(dòng)不平衡、引信質(zhì)量偏心、引信安裝偏差等)引信零件的受力情況，有助于分析引信彈道炸問題。

7) 通過剛體外彈道學(xué)模型可以解算出全彈道上彈丸的轉(zhuǎn)速變化規(guī)律和章動(dòng)角變化規(guī)律，為彈丸和引信的抗章動(dòng)、抗過載性能估算、分析和論證提供數(shù)據(jù)支持。