段一名　李學(xué)超　張糧成

【摘? ?要】? ?詳細(xì)研究了GaAs/ AlGaAs拋物線形量子點(diǎn)（QDs）在電場和磁場作用下的折射率的變化。通過使用密度矩陣?yán)碚摵偷姆椒?，可以得到線性和非線性子帶間的折射率變化（RIC）的解析表達(dá)式。計算結(jié)果表明，入射光強(qiáng)度、QDs的半徑、寬度以及施加的電場和磁場對系統(tǒng)的折射率變化有很大影響，進(jìn)而為研究拋物線形量子點(diǎn)的非線性光學(xué)折射率變化提供了必要的理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】? ?量子點(diǎn);折射率;密度矩陣?yán)碚?入射光強(qiáng)度;非線性光學(xué)

Nonlinear Optical Refractive Index Change of Parabolic Quantum Dots

Duan Yiming， Li Xuechao*， Zhang Liangcheng

（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China）

【Abstract】? ? The changes in refractive index of GaAs/AlGaAs parabolic quantum dots （QDs） under the action of electric and magnetic fields are studied in detail. By using density matrix theory and iterative methods， an analytical expression of the refractive index change （RIC） between linear and nonlinear subbands can be obtained. Finally， the results of calculation show that the incident optical intensities， the radius and width of QDs， and the applied electric and magnetic fields have a great influence on the refractive index change of the system. Furthermore， it provides the necessary theoretical basis for studying the nonlinear optical refractive index change of parabolic quantum dots.

【Key words】? ? ?quantum dots; refractive index; density matrix theory; incident optical intensities; nonlinear optics

〔中圖分類號〕? O437.1 ? ?〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號〕 1674 - 3229（2021）02- 0046 - 05

0? ? ?引言

近年來，非線性光學(xué)快速發(fā)展帶來了很多強(qiáng)大的功能和應(yīng)用，比如激光、超分辨率成像、光學(xué)開關(guān)、頻率轉(zhuǎn)換效應(yīng)和雙穩(wěn)態(tài)等應(yīng)用[1]。技術(shù)的進(jìn)步促進(jìn)了這些功能的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用運(yùn)行，同時使人們能夠設(shè)計出具有非線性光學(xué)效果的半導(dǎo)體量子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。在過去的十幾年里，人們對半導(dǎo)體量子系統(tǒng)中的量子阱、量子線、量子點(diǎn)和超晶格等非線性光學(xué)性質(zhì)有著濃厚的興趣[2]。尤其是低維半導(dǎo)體納米材料，已經(jīng)取得了豐富的研究成果，同時關(guān)于這種材料的研究方法也有很多，例如有效質(zhì)量近似、密度矩陣?yán)碚?、變分法等[3]。因?yàn)檫@些低維半導(dǎo)體材料具有量子受限效應(yīng)，所以具備了許多新的非線性光學(xué)特性，而這些特性對于制備新的光學(xué)元件有很大的幫助。

半導(dǎo)體量子點(diǎn)具備特殊的光學(xué)特性以及電子特性，由于其在量子光電器件、量子密碼學(xué)、量子計算、量子生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的獨(dú)特應(yīng)用，從而受到了很多的關(guān)注。拋物線形量子點(diǎn)具有很多特性，其中之一就是價帶或?qū)е凶訋еg的光學(xué)躍遷是可以完成的[4-5]。量子點(diǎn)中這些偶極躍遷矩陣元具有極大的值，這些值與子帶之間的小能量間隔很大地增強(qiáng)了介電常數(shù)[6-8]。關(guān)于量子點(diǎn)在各種不同情況下的研究十分廣泛，在非線性光學(xué)特性中，拋物線形量子點(diǎn)系統(tǒng)中具有無限限制勢壘的帶內(nèi)光學(xué)躍遷引起的折射率變化也引起了廣泛關(guān)注。本文將對半導(dǎo)體量子點(diǎn)的線性和非線性光學(xué)折射率（RIC）的變化進(jìn)行研究。

1? ? ?理論推導(dǎo)

球形QDs中的導(dǎo)帶電子在外部電場和磁場中，沿z方向受徑向電勢形式為[12m*ω0r2]限制的運(yùn)動可以通過以下方程式表示[9-11]：

[12m*p-eca2ψ+12m*ω0r2ψ-eFzψ=Eψ] （1）

其中[p]是動量，[a]磁場[B]的矢量勢[（B=?×a）]，由規(guī)范對稱性可知[a=a（az=aρ=0，aφ=Bρ2）]，[m*]是導(dǎo)帶中電子的有效質(zhì)量，[F]是施加的電場，[r]是位置，[ω0]是QDs約束電位的頻率。圓柱坐標(biāo)下的薛定諤方程具有以下形式：

[-?22m*1ρ??ρρ??ρ+?2?z2+1ρ2?2?φ2ψ+12ωclzψ+18m*Ω2ρ2ψ-eFzψ+12m*ω0z2ψ=Eψ]

其中[Ω=ωc2+4ωρ2]，[lz]表示角動量在磁場方向上的投影，[ωc=eB/m*c]是回旋加速頻率，那么該方程的解可寫為：

[ψ=f（ρ，φ）X（z）]

[f（ρ，φ）=1a1+m（m+n）！2π2mn！1m！eimφe-ρ24a2ρmF-n，m+1，ρ22a2]

[X（z）=m*ω0π?1412nznz！exp-m*ω02?z-eFm*ω022]

[Hnm*ω0?z-eFm*ω02? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）]

這里的[a=?/（m*Ω）]表示有效刻度長，[F（a，b，x）]是合流超幾何函數(shù)，[m]是磁量子數(shù)，[nz]是徑向量子數(shù)，[n]是量子數(shù)，[Hn（x）]是哈密頓多項(xiàng)式。

電子的本征能量[E]可由下式得到：

[E=?Ωn+1+m2+12m?ωc+?ω0（nz+12）-e2F22m*ω02]

接下來，我們將基于使用密度矩陣方法和迭代程序得出的線性[χ（1）]和三階非線性[χ（3）]光學(xué)極化率，從而計算出折射率變化。該系統(tǒng)由電磁場[E（t）=Eeiωt+Ee-iωt]所激發(fā)。我們將[σ]表示為該狀態(tài)的單電子密度矩陣，然后由時間相關(guān)的薛定諤方程給出密度矩陣的演化[：]

[?σij?t=1i?H0-qzE（t），ρij+Γijσ（0）-σij]

其中[H0]是該系統(tǒng)在沒有電磁場[E（t）]作用下的哈密頓量，[σ（0）]是非微擾密度矩陣算符，[Γij]是弛豫率。公式（2）可通過以下迭代方法計算：[12-14]

[σ（t）=nσ（n）（t）]

[?σij（n+1）?t=1i?H0，σ（n+1）ij-i?Γijσij（n+1）-1i?qz，σ（n）ijE（t）]

由[E（t）]引起的量子系統(tǒng)的電極化可以表示為：

[P（t）≈ε0χ（1）（ω）E（iωt）+ε0χ（3）（ω）E（iωt）]

其中[χ（1）]和[χ（3）]分別是線性和三階非線性極化率。

通過使用與文獻(xiàn)中相同的密度矩陣?yán)碚摵偷绦騕15]，得到兩能級量子系統(tǒng)的線性和三階非線性極化率的解析表達(dá)式[16-17]。首先對于線性部分：

[ε0χ（1）（ω）=σvM212E21-?ω-i?Γ12] （3）

對于三階非線性部分[：]

[ε0χ（3）（ω）=-σvM212E2E21-?ω-i?Γ12×4M212（E21-?ω）2+（?ω）2-（M22-M11）2（E21-i?Γ12）（E21-?ω-i?Γ12）] （4）

折射率的變化與極化率[χ（ω）]有關(guān)，如下所示：

[Δn（ω）nr=Reχ（ω）2nr2] （5）

其中[nr]表示折射率，由公式（3）-（5），可以得到線性和三階非線性折射率變化表達(dá)式：

[Δn（1）nr=12nr2ε0σvM212（E21-?ω）（E21-?ω）2+（?Γ12）2] （6）

[Δn（3）nr=-σvM2124nr3ε0μcI（E21-?ω）2+（?Γ12）22×{4（E21-?ω）M212+（M22-M11）2（E21）2+（?Γ12）2×]? （7）

[{（?Γ12）2（2E21-?ω）-（E21-?ω）[E21（E21-?ω）-（?Γ12）2]}]? ? ? ? ?其中[σv]，[nr]，[Mij=<ψiezψj>]分別表示電子密度、折射率以及偶極躍遷矩陣元。[Eij=Ei-Ej]表示子帶[i]和[j]之間的能級間距，[μ]和[ε0]分別表示系統(tǒng)的磁導(dǎo)率以及真空介電常數(shù)。[?ω]，[c]，[I]分別代表入射光子能量、真空中的光速以及入射光強(qiáng)度?？偟恼凵渎首兓癁椋?/p>

[Δnnr=Δn（1）nr+Δn（3）nr]

2? ? ?結(jié)果與分析

下面對以GaAs/AlGaAs為材料構(gòu)成的拋物線形量子點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計算。計算中所采用的參數(shù)如下[18-20]：[m*=0.067m0]（[m0]是自由電子質(zhì)量），[σv=5×1024m-3]，[?ω0=?2/m*R2]（[R]是球形QDs的截面半徑），[nr=3.2]，[Γ12=1/T12]，[T12=0.2ps]，[ε0=8.85×]

[10-12Fm-1]，[μ=4π×10-7Hm-1]。

如圖1所示，我們討論了在外加電場和磁場作用下，[R]對拋物線量子點(diǎn)折射率變化的影響。取[F=4KV/cm]，[I=6MW/cm2]，[L=3nm]，[B=4T]。半徑分別?。篬R=8]，10，12[nm]。從圖中可以看出：隨著[R]的增加，RIC共振峰向低能方向移動，即發(fā)生“紅移”，這是量子受限效應(yīng)的結(jié)果。隨著QDs半徑的增加，量子受限效應(yīng)減弱，量子點(diǎn)中受限電子的能級間距減小，因此RIC共振峰向低能方向移動，即發(fā)生“紅移”。同時從圖中可以看出，一階線性、三階非線性以及總折射率都隨著[R]的增大而逐漸增大。此外，線性與非線性的符號相反，一階線性折射率的變化要比三階非線性折射率改變大的多，因此總折射率將隨著線性部分的增大而增大。

圖2討論了外加磁場對拋物線量子點(diǎn)折射率變化的影響，取[F=4KV/cm]，[I=6MW/cm2]，[L=3nm]，[R=10nm]。磁場分別?。篬B=]0，4，8[T]。從圖中可以看出：隨著磁場的增加，RIC共振峰值將逐漸地減小，而且共振峰向高能方向移動，移至曲線的右側(cè)。這是因?yàn)楫?dāng)磁場增加時，量子受限效應(yīng)變得更大，兩個不同電子狀態(tài)之間的能量間隔增加。因此，線性、三階非線性以及總折射率變化的共振峰隨著磁場的增加而向更高能量的方向移動，即發(fā)生“藍(lán)移”。

圖3為不同電場強(qiáng)度下，線性、三階非線性以及總折射率隨光子能量的變化情況曲線圖，?。篬F=0，]4，8[KV/cm。]其余參量為：[I=6MW/cm2]，[L=3nm]，[R=10nm]，[B=4T]。從圖中可以看出線性、三階非線性和總的RIC的峰值隨著電場強(qiáng)度的增加而增大。從公式（6）、（7）可以看出偶極躍遷矩陣元[M21]影響RIC共振峰值，由于電場強(qiáng)度的增加，波函數(shù)的穿透性得到了改善，從而導(dǎo)致偶極躍遷矩陣元的值增加，進(jìn)而增大了線性、三階非線性和總的RIC的峰值。

圖4為入射光強(qiáng)度[I]對拋物線量子點(diǎn)折射率變化的影響，其中取[F=4KV/cm，][B=4T，][L=3nm，][R=10nm。]入射光強(qiáng)度取[I=3]，6，9[MW/cm2]。從圖中可以看出：隨著入射光強(qiáng)度的增強(qiáng)，三階非線性項(xiàng)增加，但線性項(xiàng)不變。因此，對于較高的入射光強(qiáng)度，總折射率變化會減小，此外，折射率總變化的幅度來自線性分量，而降低的幅度則來自三階非線性部分。對于實(shí)際應(yīng)用，如果希望獲得較大的折射率變化，則應(yīng)使用相對較弱的入射光強(qiáng)度。

圖5為QDs寬度[L]對拋物線量子點(diǎn)折射率變化的影響，其中取[F=4KV/cm]，[B=4T]，[I=6MW/cm2]，[R=10nm]。寬度?。篬L=1]，3，5[nm]。從圖中可以看出：隨著寬度的增大，線性、三階非線性以及總的折射率變化也在增大，這是由于QDs寬度的變化將對偶極躍遷矩陣元[M21]產(chǎn)生很大影響，最終將導(dǎo)致RIC共振峰增大。

3? ? ?結(jié)論

本文使用密度矩陣?yán)碚摵偷椒ㄍ茖?dǎo)了拋物線形量子點(diǎn)的折射率變化的解析表達(dá)式。數(shù)值計算表明，折射率的一階線性變化部分與入射光強(qiáng)度無關(guān)，而入射光強(qiáng)度對三階非線性變化部分影響很大，折射率的總變化隨著入射光強(qiáng)度以及磁場的增加而減小。折射率線性和非線性的共振峰會隨著施加的電場和拋物線半徑、寬度的增加而增加。此外，我們發(fā)現(xiàn)由于量子受限效應(yīng)，半徑的增加會導(dǎo)致“紅移”，而磁場增大時會導(dǎo)致“藍(lán)移”。因此，在計算QDs中的光學(xué)特性時，不僅應(yīng)考慮線性部分，也應(yīng)該考慮非線性部分。本文研究結(jié)論可以為實(shí)驗(yàn)研究提供借鑒，并為諸如光電子器件和光通信等實(shí)際??應(yīng)用提供一種近似模型。

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