禹長(zhǎng)龍 韓獲德 王菊芳 邢厚民

摘 要：為了完善非線(xiàn)性量子差分方程邊值問(wèn)題的基本理論，研究了二階非線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題的可解性。首先，計(jì)算線(xiàn)性（p，q）-差分方程邊值問(wèn)題的Green函數(shù)，研究Green函數(shù)的性質(zhì);其次，運(yùn)用Banach壓縮映像原理和Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得二階三點(diǎn)非線(xiàn)性（p，q）-邊值問(wèn)題正解的存在性和唯一性定理;再次，給出線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題的Lyapunov不等式;最后，給出2個(gè)實(shí)例，證明所得結(jié)果是正確的。結(jié)果表明，在賦予非線(xiàn)性項(xiàng)f一定的增長(zhǎng)條件下，非線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題正解具有存在性和唯一性。研究結(jié)果豐富了量子差分方程可解性的理論，對(duì)（p，q）-差分方程在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了重要的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性泛函分析;非線(xiàn)性（p，q）-差分方程;非局部問(wèn)題;Banach壓縮映像原理;Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理;正解

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.8?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04005

收稿日期：2021-04-28;修回日期：2021-06-06;責(zé)任編輯：張士瑩

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11201112）;河北省自然科學(xué)基金（A201520811）;河北省教育廳基金（ON2017065）

第一作者簡(jiǎn)介：禹長(zhǎng)龍（1978—），男，河北陽(yáng)原人，副教授，碩士，主要從事微分方程邊值問(wèn)題、量子差分方程邊值問(wèn)題以及數(shù)值計(jì)算等方面的研究。

E-mail：changlongyu@126.com

禹長(zhǎng)龍，韓獲德，王菊芳，等.非線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題的正解[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，42（4）：352-359.YU Changlong，HAN Huode，WANG Jufang，et al.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：352-359.

Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations

YU Changlong1，HAN Huode1，WANG Jufang1，XING Houmin2

（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China;2.College of Letter and Science，University of California，Berkeley，California 94720，USA）

Abstract：In order to improve the basic theory of boundary value problems for nonlinear quantum difference equations，in this paper，we study the solvability of nonlocal problems for second order three-point nonlinear （p，q）-difference equations.Firstly，the Green function of the boundary value problem of linear （p，q）-difference equation is calculated and the property of Green function is studied.Secondly，we obtain the existence and uniqueness of the positive solution for the problem by the Banach contraction mapping principle and the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem in a cone.Next，we get the Lyapunov inequality for nonlocal problems of linear （p，q）-difference equations.Finally，two examples are given to illustrate the validity of the results.The results show that the existence and uniqueness of positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）-difference equations are obtained，under the condition of nonlinear term f certain growth.The research results enrich the theory of solvability of quantum difference equations and provide important theoretical basis for the application of（p，q）-difference equation in mathematics，physics and other fields.

Keywords：

nonlinear functional analysis;nonlinear （p，q）-difference equation;nonlocal problem;Banach contraction mapping principle;Guo-Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution

量子微積分，又名q-微積分，是一類(lèi)無(wú)極限的微積分，最早于20世紀(jì)初期由JACKSON[1-2]正式提出。1912年，CARMICHAEL[3]研究了線(xiàn)性q-差分方程的一般理論。目前，有關(guān)線(xiàn)性q-差分方程的理論取得了很大進(jìn)展[4-6]。眾所周知，線(xiàn)性q-差分方程的應(yīng)用有其自身的局限性，相對(duì)而言，非線(xiàn)性q-差分方程有著更廣泛的應(yīng)用，如正交多項(xiàng)式、基本超幾何函數(shù)、組合學(xué)、相對(duì)論、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)雜分析和粒子物理等。非線(xiàn)性q-差分方程邊值問(wèn)題（BVPS）的研究可以追溯到2010年[7]。近些年來(lái)，關(guān)于非線(xiàn)性q-差分方程解的存在性的研究取得了很大進(jìn)展[8-15]。

雙參數(shù)量子微積分又稱(chēng)（p，q）-微積分，其作為q-微積分的拓展，起源于1990年[16]。近年來(lái)，關(guān)于（p，q）-微積分已經(jīng)取得了一些研究成果[17-19]，但關(guān)于（p，q）-差分方程的研究結(jié)果尚少[20-22]，尤其是非線(xiàn)性（p，q）-差分方程邊值問(wèn)題的研究仍處于起步階段。2019年，GHOLAMI[21]研究了（p，q）-差分方程邊值問(wèn)題

（D2p，qu）（t）+f（t，u（t））=0， 0≤t≤1，αu（0）-βDp，qu（0）=0，γu（1）+δDp，qu（1）=0

解的存在性?；谏鲜龌A(chǔ)，筆者研究了一類(lèi)二階非線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題

D2p，qu（t）+f（t，u（t））=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=αu（η）（1）

的可解性，其中，I=[0，1]，0

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出本研究用到的定義和相關(guān)定理。

定義1[19] 函數(shù)f（x）的（p，q）-導(dǎo)數(shù)：

Dp，qf（x）=f（px）-f（qx）（p-q）x，x≠0。

若f在x=0處可微，則Dp，qf（0）=f′（0）。

注：當(dāng)p=1時(shí)，（p，q）-導(dǎo)數(shù)退化為q-導(dǎo)數(shù)：Dqf（x）=f（x）-f（qx）（1-q）x，x≠0。

定義2[19] 函數(shù)f（x）的（p，q）-積分：

∫f（x）dp，qx=（p-q）x∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1x）。（2）

定理1[19] 設(shè)0

定義3[19] 設(shè)f是任意函數(shù)，a是實(shí)數(shù)，則

∫a0f（x）dp，qx=（q-p）a∑.SymboleB@k=0pkqk+1f（pkqk+1a）， pq<1;

∫a0f（x）dp，qx=（p-q）a∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1a）， pq>1。

定義4[19] 設(shè)f是任意函數(shù)，a和b是2個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)且a

∫baf（x）dp，qx=∫b0f（x）dp，qx-∫a0f（x）dp，qx。

定理2[19]（（p，q）-微積分基本定理） 若F（x）是f（x）的原函數(shù)且F（x）在x=0處連續(xù)，則∫baf（x）dp，qx=F（b）-F（a），其中0≤a≤b≤.SymboleB@。

引理1[21] 交換積分次序公式，設(shè)函數(shù)f：I→R是連續(xù)的，則有

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tq0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq<1;

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tp0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq>1。

定理3[23] 設(shè)E是一個(gè)Banach空間，KE是一個(gè)錐。若ΩiE，i=1，2，0∈Ω1且Ω1Ω2，令A(yù)：K∩（Ω2＼Ω1）→K是一個(gè)全連續(xù)算子，且滿(mǎn)足

1）||Au||≤||u||，對(duì)u∈K∩Ω1，且||Au||≥||u||，u∈K∩Ω2，或者

2）||Au||≥||u||，對(duì)u∈K∩Ω1，且||Au||≤||u||，u∈K∩Ω2，

則A在K∩（Ω2＼Ω1）中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)論

引理2 若y∈C[0，1]，且假設(shè)對(duì)任意t∈[1，1q]，有y（t）≡0，則（p，q）-差分方程邊值問(wèn)題

D2p，qu（t）+y（t）=0，u（0）=0， u（1）=αu（η）（3）

有唯一解

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs，

其中，G（t，pqs）為（p，q）-差分方程邊值問(wèn)題（3）的Green函數(shù)，且

G（t，pqs）=11-αηpqs（1+αt-t-αη），??? pqs≤t， pqs≤η，t（1-pqs-αη+αpqs），t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη），η≤pqs≤t，t（1-pqs），pqs≥t， pqs≥η。（4）

證明 對(duì)（p，q）-差分方程（3）兩邊從0到t兩次積分得：

u（t）=u（0）+tDp，qu（0）-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs。（5）

由邊界條件u（0）=0，u（1）=αu（η）可得：

Dp，qu（0）=1（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-α（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs，

又由于t∈[1，1q]，有y（t）≡0，則

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs。

證畢。

引理3 若0

1）G（t，pqs）≥0，（t，pqs）∈[0，1]×[0，1];

2）t∈1ξ，ξ-1ξ，G（t，pqs）≥σG（pqs，pqs），其中，σ=1-αξ（1-αη），ξ∈（2，+.SymboleB@）;

3）G（t，pqs）≤G（pqs，pqs）≤Θ，其中，

Θ=pq（1-pq）1-αη，12pq≤1，14（1-αη），12pq>1。

證明 1）經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，易證G（t，pqs）≥0。

2）當(dāng)1ξ≤t≤ξ-1ξ時(shí)，

G（t，pqs）G（pqs，pqs）=1+αt-t-αη1+αpqs-pqs-αη≥1-αξ（1-αη），???? pqs≤t，pqs≤η，tpqs≥1ξ，t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη）pqs（αη-pqs）+pqs（1-αη）≥1-αξ（1-η），η≤pqs≤t，tpqs≥1ξ，pqs≥t，pqs≥η。

經(jīng)計(jì)算可得，minξ∈（2，.SymboleB@）1-αξ（1-αη），1ξ，1-αξ（1-η）=1-αξ（1-αη），所以，

G（t，pqs）≥1-αξ（1-αη）G（pqs，pqs）。

3）由G（t，pqs）關(guān)于t的單調(diào)性易證結(jié)論成立。

證畢。

注：簡(jiǎn)單計(jì)算知Θ≤14（1-αη）：=Θ1。

考慮空間Cp，q=C（[0，1]，R+），‖u‖=maxu，t∈I，u∈Cp，q。定義積分算子T：Cp，q→Cp，q，

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs。

顯然，u是BVP（1）的解的充要條件為u是T的不動(dòng)點(diǎn)。

定義錐K：

K=u∈Cp，q：u（t）≥0，min1ξ≤t≤ξ-1ξu（t）≥σ‖u‖。

定理4 若f：I×R+→R+是連續(xù)函數(shù)，L（t）∈L1p，q（I，R+），且 tL（t），t2L（t）∈L1p，q（I，R+），對(duì)t∈I，u1，u2∈R+滿(mǎn)足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ=pq（A-pqB）1-αη，A=∫10sL（s）dp，qs，B=∫10s2L（s）dp，qs。

證明：令supt∈I|f（t，0）|=M0，M1=∫10pqs（1-pqs）1-αηdp，qs，選擇r>M0M11-δ，?！堞摹?。令Br=

u∈Cp，q：‖u‖≤r，現(xiàn)證TBrBr。對(duì)任意的u∈Br，有

|Tu（t）|=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（L（s）|u|+M0）≤‖u‖Γ+M0M1≤r。

因此，有‖Tu‖≤r，所以，TBrBr。

再證明T是壓縮的。對(duì)任意的t∈I，u，v∈Cp，q，有

|Tu（t）-Tv（t）|=∫10G（t，pqs）（f（s，u（s））-f（s，v（s）））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）L（s）|u-v|dp，qs≤

‖u-v‖∫10pqs（1-pqs）1-αηL（s）dp，qs=

?！瑄-v‖<‖u-v‖。

因此，‖Tu-Tv‖<‖u-v‖，所以T是壓縮的，根據(jù)Banach壓縮映像原理，T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證畢。

推論1 設(shè)f：I×R+→R+是連續(xù)函數(shù)，且L（t）∈L1p，q（I，R+），對(duì)t∈I，u1，u2∈R+滿(mǎn)足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ1<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ1=pq（1-pq）1-αηC，12pq≤1，14（1-αη）C，12pq>1，

且C=∫10L（s）dp，qs。

推論2 設(shè)f：I×R+→R+是連續(xù)函數(shù)，且L1（t）∈C（I，R+），對(duì)t∈I，u1，u2∈R+滿(mǎn)足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L1（t）|u1-u2|。

若Γ2<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ2=ΛM，Λ=maxt∈[0，1]L1（t），M=pq[q2（1-p）+p2（1-q）+pq]（1-αη）（p+q）（p2+pq+q2）。

引理4 T是一個(gè)正算子，且T（K）K。

證明 顯然，T（u）≥0，且有

min1ξ≤t≤ξ-1ξTu（t）=min1ξ≤t≤ξ-1ξ∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σ∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σmax0≤t≤1∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs=

σ‖Tu‖。

所以，T（K）K。

為了方便，引入以下記號(hào)：

Φ（h）：=maxf（t，u）|（t，u）∈[0，1]×[0，h]，（6）

Ψ（h）：=minf（t，u）|（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，h]，（7）

ω1：=1Θ1，ω2：=ω1σ。

顯然，0<σ<1，所以0<ω1<ω2。再證明BVP（1）解的存在性。

定理5 設(shè)存在正常數(shù)a和b，滿(mǎn)足Φ（a）≤aω1且Ψ（b）≥bω2，則BVP（1）至少有一個(gè)解u∈K，且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

證明 因?yàn)?<ω1<ω2，由式（6）和式（7）易證a≠b。令Ω1：={u∈E‖u‖

首先，證明對(duì)u∈K∩Ω1，‖Tu‖≤‖u‖成立。

設(shè)u∈K∩Ω1，則0≤u（t）≤‖u‖=a，且

f（t，u）≤Φ（a）≤aω1，（t，u）∈[0，1]×[0，a]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

aω1∫10G（t，pqs）dp，qs≤

aω1∫10max0≤t，pqs≤1G（t，pqs）dp，qs≤

aω1ω-11=‖u‖。

所以，對(duì)于u∈K∩Ω1，有‖Tu‖≤‖u‖。

其次，證明對(duì)u∈K∩Ω2，‖Tu‖≥‖u‖成立。

設(shè)u∈K∩Ω2，則0≤u（t）≤‖u‖=b，且f（t，u）≥Ψ（b）≥bω2，（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，b]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

bω2∫10G（t，pqs）dp，qs≥

bω2∫10min1ξ≤t≤ξ-1ξG（t，pqs）dp，qs≥

bω2σΘ1=‖u‖。

所以，對(duì)于u∈K∩Ω2，有‖Tu‖≥‖u‖。根據(jù)定理3可得，算子T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u∈K，則BVP（1）至少有一個(gè)正解u∈K且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

證畢。

推論3 設(shè)有限序列akn+1k=1，ak

證明 由定理5的簡(jiǎn)單計(jì)算易證。

定理6 設(shè)0hω2，h∈[c，d]，則BVP（1）無(wú)正解，u*滿(mǎn)足c≤‖u*‖≤d。

證明 假設(shè)存在u*∈K是BVP（1）的一個(gè)正解，滿(mǎn)足c≤‖u*‖≤d，則

f（t，u）≤Φ（‖u*‖）≤‖u‖ω1，（t，u）∈[0，1]×[0，‖u*‖]。

由于u*是BVP（1）的一個(gè)正解，故有u*=Tu*，則

‖u*‖=∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs≤

max0≤t，pqs≤1∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs<

‖u*‖ω1ω-11=‖u*‖，

與條件（1）矛盾，所以BVP（1）無(wú)正解u*。類(lèi)似可證第2種情形。證畢。

定理7 設(shè)k（t）∈C（I，R+），k（t）=0，t∈[1，1q]，u（t）∈C（I，R+）且u（t）是邊值問(wèn)題

D2p，qu（t）+k（t）u（t）=0，?? t∈I，u（0）=0，u（1）=αu（η）（8）

的非平凡解，則Lyapunov不等式

∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）

成立。

證明 由引理2可知，邊值問(wèn)題（8）等價(jià)于積分方程u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs，

于是

u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs≤14（1-αη）∫10k（s）u（s）dp，qs，

即‖u‖≤14（1-αη）∫10k（s）‖u（s）‖dp，qs。

由u（t）是平凡解可得，∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）。

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮非線(xiàn)性（p，q）-邊值問(wèn)題

D214，12u（t）+t+111sin|u|=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=12u（12）。（9）

事實(shí)上，p=14，q=12，α=12，η=12，f=t+111sin|u|。顯然，|f（t，u1）-f（t，u2）|≤111|u1-u2|，則Λ=111，ΛM=111×1163=163<1。因此，由推論2可知，邊值問(wèn)題（9）有唯一正解。

例2 考慮非線(xiàn)性（p，q）-邊值問(wèn)題

D213，34u（t）+t（1+sin|u|）12=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=13u（23）。（10）

事實(shí)上，p=13，q=34，α=13，η=23，f=t（1+sin|u|）12。取ξ=4，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得，Θ1=928，ω1=289，ω2=314。

Φ（h）：=maxt（1+sin|u|）12|（t，u）∈[0，1]×[0，h]=1+h12，

Ψ（h）：=mint（1+sin|u|）12|（t，u）∈[14，34]×[0，h]=148，

選擇a=27，b=112，則Φ（a）=73≤aω1=84，且Ψ（b）=148≥bω2=156。由定理5可得，該BVP（10）至少有一個(gè)正解u*∈K滿(mǎn)足

112≤‖u‖≤27。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和Banach壓縮映像原理，研究了非線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題正解的存在性、唯一性，給出了線(xiàn)性（p，q）-差分方程非局部問(wèn)題的Lyapunov不等式，豐富了（p，q）-差分方程的可解性理論，為差分方程在李群、超幾何級(jí)數(shù)、空氣動(dòng)力學(xué)、控制理論等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論參考。在未來(lái)的研究中，將利用分叉理論、臨界點(diǎn)理論、變分法等方法，深入探討雙參數(shù)（或分?jǐn)?shù)階雙參數(shù)）量子差分方程的可解性及其應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)/References：

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