趙彬彬， 張?zhí)焘暎?王戰(zhàn),2， 段文洋， 王澤航 (.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 5000； 2.青島哈爾濱工程大學(xué)創(chuàng)新發(fā)展中心，山東 青島 266555)

內(nèi)孤立波是一種最大振幅發(fā)生在密度穩(wěn)定層化海洋內(nèi)部的波動(dòng)，通常由洋流通過不平坦的海底而產(chǎn)生，是海洋中頻繁發(fā)生的現(xiàn)象[1-2]。我國南海是內(nèi)孤立波的頻發(fā)海域,被評(píng)價(jià)為研究大幅內(nèi)波的“天然實(shí)驗(yàn)室”，Huang等[3]在南海觀測(cè)到波幅240 m，流速2.55 m/s的大幅內(nèi)孤立波。大幅內(nèi)孤立波在傳播中攜帶著巨大能量，對(duì)海洋結(jié)構(gòu)物存在嚴(yán)重威脅。因此，內(nèi)孤立波的研究對(duì)于南海海洋環(huán)境的認(rèn)識(shí)和開發(fā)具有極大的現(xiàn)實(shí)意義。在內(nèi)波問題的研究上，當(dāng)密度躍層的厚度較小時(shí)，可以簡化為兩層流體間的內(nèi)波問題，即每一層流體的密度均為常數(shù)，兩層流體界面處存在密度跳躍。在兩層內(nèi)孤立波的水池實(shí)驗(yàn)研究上，文獻(xiàn)[4-7]采用重力塌陷法對(duì)兩層流體間內(nèi)孤立波的波形、波速以及速度場等特性進(jìn)行研究。黃文昊等[8]采用雙推板法生成內(nèi)孤立波，對(duì)實(shí)驗(yàn)中內(nèi)孤立波的振幅實(shí)現(xiàn)了自主控制。國際上流行的內(nèi)孤立波理論模型主要有Korteweg-deVries (KdV)模型、MCC模型以及High-Level Green-Naghdi (HLGN)模型等。KdV模型是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的內(nèi)波模型，但是對(duì)大幅內(nèi)孤立波進(jìn)行研究時(shí)，KdV模型給出的結(jié)果往往不盡如人意[4]。

考慮到大幅內(nèi)孤立波的強(qiáng)非線性，文獻(xiàn)[9-10]假設(shè)特征波長較總水深更長，振幅與總水深相當(dāng)，從完全非線性歐拉方程出發(fā)，采用層平均水平速度方法，建立了適用于剛蓋近似下大幅內(nèi)孤立波的MCC-RL模型。在MCC-RL模型中，由于沒有引入小幅波假定，同時(shí)其形式簡單，因此被廣泛地應(yīng)用到淺水模式下的大幅內(nèi)孤立波問題的研究中，并展示了良好的性能[7-8,10-11]。

當(dāng)上、下層流體密度相差較大時(shí)，自由面對(duì)內(nèi)孤立波特性的影響不可忽略，引入剛蓋近似假設(shè)是不合理的。文獻(xiàn)[5,12]發(fā)現(xiàn)考慮自由面效應(yīng)，MCC-FS模型得到的波形結(jié)果相對(duì)MCC-RL模型要更窄，同樣更接近實(shí)驗(yàn)值。然而，Kodaira等[5]求解MCC-FS模型時(shí)，在MCC-FS模型的4個(gè)方程中消去上、下層平均速度，推導(dǎo)得到只保留自由面以及內(nèi)波界面2個(gè)未知數(shù)的2個(gè)非線性微分方程，求解出自由面和內(nèi)波波面之后，可計(jì)算上、下層的層平均速度。本文中則是對(duì)MCC-FS模型4個(gè)方程進(jìn)行直接求解。另外，MCC-FS模型的速度場結(jié)果從未被展示以及驗(yàn)證。

本文通過與實(shí)驗(yàn)值以及他人數(shù)值結(jié)果的對(duì)比，對(duì)本文算法以及速度場結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。推導(dǎo)出MCC-FS模型的算法以及基于MCC-FS模型速度場結(jié)果，并研究了不同密度比對(duì)淺水模式下內(nèi)孤立波特性的影響。

1 保留自由面的MCC模型

考慮自由面的兩層流體間內(nèi)孤立波傳播示意圖如圖1所示。假定兩層流體均無粘、不可壓縮。在未受擾動(dòng)時(shí)，上層流體厚度為h1，密度為ρ1；下層流體厚度為h2，密度為ρ2。建立大地直角坐標(biāo)系oxz，其中，ox軸與未擾動(dòng)的內(nèi)界面重合，指向內(nèi)孤立波傳播方向。η1、η2分別為上層流體與下層流體的厚度。

圖1 兩層流體間內(nèi)孤立波Fig.1 The sketch of internal solitary wave in a two-layer system

保留自由面的MCC-FS模型方程為[5]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：ζ1表示自由面位移；ζ2表示內(nèi)波界面位移。

η1=h1+ζ1-ζ2

(5)

η2=h2+ζ2

(6)

(7)

(8)

Gi作為一個(gè)運(yùn)算規(guī)則，其定義為：

(9)

通過消去速度項(xiàng)，得到了簡化后的含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的非線性微分方程[5]：

(10)

(11)

式中：i,j=1,2；式子中的上標(biāo)撇號(hào)代表對(duì)水平方向上的X的求導(dǎo)，需給出波速c求解上式。該方程組中包含η1、η22個(gè)未知數(shù)，封閉可解。

更多關(guān)于MCC-FS模型原始算法的內(nèi)容參考文獻(xiàn)[5]。

圖2 原始算法與本文算法對(duì)比Fig.2 Comparison between original and the algorithm in this paper

2 MCC-FS模型的數(shù)值算法

在MCC-FS模型的本文算法中，將大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到隨著內(nèi)波面相速度平動(dòng)的穩(wěn)態(tài)坐標(biāo)系oxz：

(12)

式(12)代入MCC-FS模型的方程(1)～(4)，可得到穩(wěn)態(tài)坐標(biāo)系下的MCC-FS模型方程。采用差商代替導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行空間離散，在這里以內(nèi)波界面位移ζ2為例，其他各量的表示方法類似，各階導(dǎo)數(shù)可表示為：

(13)

(14)

2ζ2(X+ΔX)+ζ2(X+2ΔX)]

(15)

將內(nèi)孤立波的波峰設(shè)在X=0處，無論是內(nèi)波界面位移、自由面位移還是上、下層平均速度均滿足對(duì)稱性。同時(shí)，在無窮遠(yuǎn)處，內(nèi)波界面位移、自由面位移以及上、下層平均速度均為0，同樣以內(nèi)波界面位移ζ2為例，邊界條件可以表示為：

ζ2(-ΔX)=ζ2(ΔX)

(16)

ζ2(-2ΔX)=ζ2(2ΔX)

(17)

ζ2(X)=0 (X→∞)

(18)

數(shù)值求解采用牛頓迭代法，當(dāng)相鄰迭代步得到變量的絕對(duì)值之差小于10-7時(shí)，迭代停止。

Camassa等[11]給出了MCC-RL模型中計(jì)算流體質(zhì)點(diǎn)水平速度分布的近似方法，該方法可以應(yīng)用于MCC-FS模型上。

1)對(duì)于上層流體：

(19)

2)對(duì)于下層流體：

(20)

根據(jù)式(19)、(20)以及MCC-FS模型得到的自由面以及內(nèi)波波面結(jié)果，可以得到MCC-FS模型的水平速度分布。在垂向速度的計(jì)算上，Choi等[10]給出了通過層平均水平速度得到垂向速度為：

(21)

式中：i=1代表上層流體；i=2代表下層流體。本文算法可以直接得到上、下層流體的層平均速度，可以更方便地求解MCC-FS模型的垂向速度。

在數(shù)值計(jì)算中，MCC-FS模型本文算法更為直接方便，在MATHMATICA中，得到數(shù)值結(jié)果的時(shí)間要小于1 min，計(jì)算耗時(shí)很短。

3 MCC-FS模型速度場算法結(jié)果與分析

本文基于Kodaira等[5]的算例，比較了本文算法、原始算法、實(shí)驗(yàn)值得到的內(nèi)孤立波的波形以及波速結(jié)果，以驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性。并基于鄒麗等[7]的PIV實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)本文算法以及給出的MCC-FS模型速度場求解方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。最后，研究了不同密度比對(duì)內(nèi)孤立波特性的影響。

3.1 內(nèi)孤立波速度場研究

Kodaira等[5]的算例中，上層流體的密度為ρ1=856 kg/m3，厚度為h1=0.05 m；下層流體的密度為ρ2=996 kg/m3，厚度為h2=0.25 m，對(duì)幅值為a/h1為-0.50、-0.77、-0.99以及-1.21的內(nèi)孤立波進(jìn)行計(jì)算。內(nèi)孤立波波形結(jié)果如圖3所示。圖3中，本文算法與Kodaira等[5]的原始算法得到的波形結(jié)果完全重合，與實(shí)驗(yàn)值相比，波形結(jié)果也很準(zhǔn)確。

圖3 內(nèi)孤立波波形(ρ1/ρ2=0.859,h1/h2=1/5)Fig.3 Profiles of internal solitary waves (ρ1/ρ2=0.859,h1/h2=1/5)

圖4為不同波幅內(nèi)孤立波的波速曲線，其中，速度無量綱化參數(shù)c0為：

圖4 內(nèi)孤立波波速(ρ1/ρ2=0.859,h1/h2=1/5)Fig.4 Speed of internal solitary waves (ρ1/ρ2=0.859,h1/h2=1/5)

(22)

可以看出，本文算法與Kodaira等[5]得到的內(nèi)孤立波波速結(jié)果也完全重合。需要指出的是，對(duì)于該算例，Kodaira等[5]并未給出速度場的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

鄒麗等[7]的算例中，上層流體的密度為ρ1=941 kg/m3，厚度為h1=0.05 m；下層流體的密度為ρ2=1 003 kg/m3，厚度為h2=0.25 m；幅值為a/h1=-0.875,-1.323的內(nèi)孤立波波形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，MCC-FS模型本文算法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖5所示。在該實(shí)驗(yàn)布置下，MCC-FS模型本文算法得到的波形結(jié)果同實(shí)驗(yàn)值基本一致。

圖5 內(nèi)孤立波波形(ρ1/ρ2=0.938,h1/h2=1/5)Fig.5 Profiles of internal solitary waves (ρ1/ρ2=0.938,h1/h2=1/5)

鄒麗等[7]基于PIV技術(shù)得到了內(nèi)孤立波的速度場結(jié)果。其中，實(shí)驗(yàn)中內(nèi)孤立波幅值分別為a/h1=-0.24,-0.59,-0.70,-0.96。需要說明的是，鄒麗等[7]并未直接給出內(nèi)孤立波的波幅，本文中內(nèi)孤立波的波幅是對(duì)文章中給出的內(nèi)孤立波波面描點(diǎn)后得到的。圖6中，基于MCC-FS模型本文算法得到的速度場與鄒麗等[7]得到的實(shí)驗(yàn)速度場基本一致。

針對(duì)幅值為a/h1=-0.59的內(nèi)孤立波，鄒麗等[7]給出了不同深度下水平流速時(shí)歷曲線以及波峰豎直剖面水平速度分布的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖7中，ρ1/ρ2=0.938,h1/h2=1/5,a/h1=-0.59時(shí)，MCC-FS模型本文算法預(yù)報(bào)的不同深度的流體質(zhì)點(diǎn)水平速度時(shí)歷曲線與鄒麗等[7]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果很接近。

圖8中，MCC-FS模型本文算法得到的波峰所在豎直剖面水平速度分布的數(shù)值結(jié)果同實(shí)驗(yàn)值吻合的很好，尤其是下層流體速度的預(yù)報(bào)上，基本與實(shí)驗(yàn)值重合。

3.2 不同密度比的淺水模式內(nèi)孤立波特性研究

在不同密度比內(nèi)孤立波特性的研究上，算例的布置為上層流體的厚度h1=0.05 m，下層流體的厚度h2=0.25 m，下層流體的密度ρ2=1 000 kg/m3，改變上層流體的密度ρ1研究不同密度比的影響，上層密度ρ1=800,900,999 kg/m3，內(nèi)孤立波幅值a=-0.025 m。這里需要說明的是，由于速度的無量綱化參數(shù)c0在不同的上、下層密度比是不同的，因此，接下來展示的結(jié)果均有量綱。

圖9中，h1/h2=1/5,a/h1=-0.5時(shí)，上、下層密度越接近，得到的內(nèi)孤立波波形越寬，上、下層密度相差越大，得到的內(nèi)孤立波波形越窄。圖10中，h1/h2=1/5,a/h1=-0.5時(shí)，在上、下層密度相差不大時(shí)，自由面波形幅值很小，隨著上、下層密度相差的越大，得到的自由面幅值越大。上、下層密度比為0.999、0.9以及0.8時(shí)，自由面最大位移ζ1/h1分別為0.003、0.033 2、0.071 9。這一結(jié)論同樣也解釋了對(duì)于上、下層流體密度接近的情況，引入剛蓋假設(shè)是合理的，而在上、下層密度相差較大時(shí)需要考慮自由面的影響。

圖9 不同密度比內(nèi)孤立波波形Fig.9 Profiles of internal solitary wave with different density ratios

圖10 不同密度比自由面波形Fig.10 Profiles on the free surface with different density ratios

圖11中，h1/h2=1/5,a/h1=-0.5時(shí)隨著密度相差越大，上、下層流體質(zhì)點(diǎn)的水平速度變得更大，內(nèi)波界面上的速度跳躍值也越大。圖12中，h1/h2=1/5,a/h1=-0.5時(shí)，隨著上、下層密度比的增大，內(nèi)孤立波的波速變小，上下層密度比為0.8到0.95時(shí)，波速隨密度比近似成線性變化，密度比為0.95～1時(shí)，隨著密度比增大，波速減小的較快。

圖12 不同密度比內(nèi)孤立波波速Fig.12 Wave speed of internal solitary waves with different density ratios

4 結(jié)論

1)通過與原算法的結(jié)果、文獻(xiàn)[5，7]實(shí)驗(yàn)的波形結(jié)果進(jìn)行比較，表明了本文提出的本文算法準(zhǔn)確可靠，本文算法可同時(shí)求得內(nèi)波波形、自由表面波波形以及上、下層平均速度，更為直接、方便。

2)通過與文獻(xiàn)[7]實(shí)驗(yàn)的速度場結(jié)果對(duì)比，證明了MCC-FS模型可以準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)淺水模式內(nèi)孤立波的速度場。

3)基于MCC-FS模型的速度場結(jié)果，發(fā)現(xiàn)內(nèi)孤立波波峰位置的豎直剖面上，隨著上、下層密度差增大，上、下層流體質(zhì)點(diǎn)的水平速度變得更大，內(nèi)波界面上的速度跳躍值也增大。