陳 實(shí),肖 敏,周 穎,陸云翔

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210023)

嵌入式計(jì)算、傳感器監(jiān)控、無線通信,以及大規(guī)模數(shù)據(jù)處理等技術(shù)的發(fā)展使得物理過程、計(jì)算過程和通信過程可以高度集成。通過將感控能力、計(jì)算能力和通信能力深度嵌入物理過程,可實(shí)現(xiàn)物理設(shè)備的信息化和網(wǎng)絡(luò)化,從而產(chǎn)生集計(jì)算、通信和控制為一體的信息物理融合系統(tǒng)(Cyber-physical systems,CPS)[1-3]。它強(qiáng)調(diào)“Cyber-physical”的交互,涉及未來網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下海量異構(gòu)數(shù)據(jù)的融合、不確定信息信號(hào)的實(shí)時(shí)可靠處理與通訊、動(dòng)態(tài)資源與能力的有機(jī)協(xié)調(diào)和自適應(yīng)控制,是具有高度自主感知、自主判斷、自主調(diào)節(jié)和自治能力,能夠?qū)崿F(xiàn)虛擬世界和實(shí)際物理世界互聯(lián)與協(xié)同的下一代智能系統(tǒng)[4]。

自1927年Kermack等[5]在研究流行于倫敦的黑死病時(shí)提出了易感者-染病者-恢復(fù)者(Susceptible-infected-recovered,SIR)倉(cāng)室模型以來,病毒的傳播與數(shù)學(xué)模型便開始越來越密不可分[6-9]。2010年6月,“震網(wǎng)”病毒的出現(xiàn)給伊朗境內(nèi)的核工廠與眾多國(guó)家內(nèi)的工業(yè)企業(yè)的控制系統(tǒng)帶來了巨大影響[10]。2012年5月28日,卡巴斯基實(shí)驗(yàn)室首先宣布發(fā)現(xiàn)了高度復(fù)雜的“火焰”病毒,這種惡意程序被用作網(wǎng)絡(luò)武器入侵伊朗、黎巴嫩等中東國(guó)家,涉及個(gè)人、國(guó)家機(jī)構(gòu)及學(xué)術(shù)和教育體系等范圍[11]。這些事件使得學(xué)者們開始將惡意病毒與SIR模型結(jié)合起來,建立非線性動(dòng)力學(xué)模型以研究惡意病毒在傳播過程中的動(dòng)力學(xué)行為[12-14],這對(duì)掌握惡意病毒的內(nèi)在特性有著重要意義。目前,在對(duì)各種動(dòng)力學(xué)行為的研究中,Hopf分岔(Hopf bifurcation,HB)的研究已經(jīng)獲得了許多重要成果[15-23]。

在惡意病毒傳播模型中,時(shí)滯也起著重要作用。時(shí)滯可以用來描述惡意病毒的潛伏期,感染態(tài)節(jié)點(diǎn)的感染期以及恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)對(duì)惡意病毒的免疫期。文獻(xiàn)[6]研究了具有潛伏期時(shí)滯的易感者-感染者-隔離者-易感者(Susceptible-infected-quarantined-susceptible,SIQS)模型,文獻(xiàn)[16]研究了具有臨時(shí)免疫期時(shí)滯的SIQS模型,受這2篇文獻(xiàn)的啟發(fā),本文提出了一種同時(shí)具有潛伏期時(shí)滯、感染期時(shí)滯和免疫期時(shí)滯的易感者-染病者-恢復(fù)者-易感者(Susceptible-infected-recovered-susceptible,SIRS)模型。

1 模型的建立

本文考慮以下具有飽和發(fā)生率的時(shí)滯惡意病毒傳播SIRS模型

(1)

注1區(qū)別于一般的SIR模型[13,26],本文的SIRS模型考慮了從感染態(tài)恢復(fù)后的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)仍有可能被感染的風(fēng)險(xiǎn),在模型結(jié)構(gòu)上形成1個(gè)環(huán)。

注2一般文章只考慮單個(gè)時(shí)滯類型,如文獻(xiàn)[6,13]只考慮了疾病的潛伏期,文獻(xiàn)[16]只考慮了染病個(gè)體和隔離個(gè)體的臨時(shí)免疫期時(shí)滯,而本文同時(shí)考慮潛伏期時(shí)滯、感染期時(shí)滯和免疫期時(shí)滯,使得模型更加符合實(shí)際。

2 局部穩(wěn)定性

通過分析式(1),可得無病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)和地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*),其中

令τ1=τ2=τ3=τ,式(1)在E*處線性化后的特征方程為

(λ+μ){λ2+(z1+2μ)λ+z1μ+μ2+e-λτ[(ε+σ-z2)λ+

z1(ε+σ)+μ(ε+σ-z2)]+e-2λτε(σ-z2)}=0

式中

顯然,λ=-μ是方程的根,另2個(gè)根由式(2)決定

λ2+a1λ+a2+(b1λ+b2)e-λτ+c1e-2λτ=0

(2)

式中

a1=z1+2μa2=z1μ+μ2b1=ε+σ-z2

b2=z1(ε+σ)+μ(ε+σ-z2)c1=ε(σ-z2)

(1)當(dāng)τ=0時(shí),式(2)轉(zhuǎn)化為

λ2+(a1+b1)λ+a2+b2+c1=0

(3)

假設(shè)條件(H1):a1+b1>0,a2+b2+c1>0成立,根據(jù)勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)可知,式(3)的根均具有負(fù)實(shí)部。

(2)當(dāng)τ>0時(shí),式(2)等價(jià)于

(λ2+a1λ+a2)eλτ+b1λ+b2+c1e-λτ=0

(4)

設(shè)λ=iω(ω>0)是式(4)的根,帶入式(4)并分離實(shí)部虛部后得

因此

令l=ω2,根據(jù)cos2ωτ+sin2ωτ=1可以得到

l4+D1l3+D2l2+D3l+D4=0

(5)

式中

對(duì)式(4)兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)并取倒數(shù),可得

設(shè)λ(τ)=η(τ)+iω(τ)是式(4)的根,且滿足η(τ0)=0,ω(τ0)=ω0,則有

式中

P1=b1+a1cosω0τ0-2ω0sinω0τ0

P2=2ω0cosω0τ0+a1sinω0τ0

顯然

假設(shè)條件(H3):P1Q1+P2Q2>0成立,于是可以得到

故滿足穿越條件。

綜上所述,可得到以下定理。

定理1如果條件(H1)、(H2)和(H3)成立,則有:

(1)τ∈[0,τ0)時(shí),式(1)在平衡點(diǎn)E*處局部漸近穩(wěn)定;

(2)τ=τ0時(shí),式(1)在平衡點(diǎn)E*處發(fā)生Hopf分岔。

3 數(shù)值仿真

取μ=0.05,β=0.38,α=0.1,ε=0.15,σ=0.1,此時(shí)(H1)、(H2)和(H3)3個(gè)假設(shè)均成立。通過計(jì)算可以得到式(1)的地方病平衡點(diǎn)E*=(0.410 3,0.393 2,0.196 6),并得到ω0=0.178 7,τ0=9.218 4。根據(jù)定理1,下文算例驗(yàn)證中τ分別選取8和9.3。

圖1(a)表明,在無時(shí)滯的情況下,式(1)會(huì)快速穩(wěn)定到平衡點(diǎn)E*。圖1(b)和圖1(c)表明,當(dāng)τ=8<τ0時(shí),各態(tài)節(jié)點(diǎn)的波形圖曲線最終均收斂成1條直線,相位圖曲線最終收斂到1個(gè)極限點(diǎn),表明式(1)在平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的。圖1(d)和圖1(f)表明,當(dāng)τ=9.3>τ0時(shí),各態(tài)節(jié)點(diǎn)的波形圖曲線發(fā)生振蕩,相位圖曲線出現(xiàn)1個(gè)極限環(huán),表明式(1)在平衡點(diǎn)E*處失去穩(wěn)定性,并發(fā)生Hopf分岔。由此可知,數(shù)值仿真的結(jié)果與定理1的結(jié)論相符。

圖1 式(1)的波形圖和相位圖

圖2刻畫出固定其余參數(shù)時(shí)分岔閾值τ0隨各參數(shù)的變化趨勢(shì),其中分岔閾值τ0與預(yù)防效果系數(shù)α和接入退出率μ成正比,與感染率β、治愈率ε和轉(zhuǎn)化率σ成反比。從圖2可以看出,當(dāng)α>0.1,μ>0.05時(shí),分岔點(diǎn)將被滯后,反之提前;當(dāng)β>0.38,ε>0.15,σ>0.1時(shí),分岔點(diǎn)將被提前,反之滯后。因此可以有目的地調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)使得分岔點(diǎn)提前或滯后,從而改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

圖2 τ0隨各參數(shù)的變化曲線圖

4 結(jié)束語(yǔ)

為了研究惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理,本文利用非線性動(dòng)力學(xué)理論建立了惡意病毒傳播模型,并用微分動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性理論推導(dǎo)出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性條件,根據(jù)Hopf分岔定理選取時(shí)滯為分岔參數(shù)得出分岔點(diǎn)位置及條件。結(jié)果顯示:分岔閾值與預(yù)防效果系數(shù)和接入退出率成正比,與感染率、治愈率和轉(zhuǎn)化率成反比;當(dāng)時(shí)滯小于分岔閾值時(shí),系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài);一旦時(shí)滯大于分岔閾值,系統(tǒng)立刻喪失穩(wěn)定性,并發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象。